De verdeling van inkomens

Plaatsing in Heterodoxe Gazet Sam de Wolff: 15 mei 2018

Tot nu toe heeft de Gazet weinig aandacht besteed aan de theorie van de inkomens-verdeling. Deze theorie is echter onmisbaar bij de analyse van de welvaartsstaat. Daarom behandelt de huidige column de eerste beginselen. Het verschil tussen bruto en netto inkomens wordt uitgelegd. Diverse afbeeldingen van de verdeling worden getoond, zoals de frequentie-verdeling en het Lorenz diagram. Enkele gangbare maten van de inkomens-ongelijkheid worden beschreven, waaronder de parameter van Pareto en de Gini coëfficiënt.

Ruim vijf jaren terug deed de toenmalige voorzitter Spekman van de PvdA de opvallende uitspraak: "Nivelleren is een feest!". Zijn opmerking veroorzaakte zoveel hilariteit, dat "nivelleringsfeestje" bijna werd gekozen tot woord van het jaar 2012. Natuurlijk is de werkelijkheid gecompliceerder, en de huidige column wil enig inzicht verschaffen in de optimale en billijke verdeling van de inkomens¹. Daarmee wordt voortgebouwd op een lange reeks van artikelen, die zich verdiepen in allerlei inkomensaspecten. Sam de Wolff, de naamgever van de Gazet, laat zien dat het arbeidsleed moet worden gecompenseerd door een beloning. Een column uit 2013 beschrijft hoe de Belgische politicus Hendrik de Man een opsomming geeft van de diverse factoren, die bijdragen aan het arbeidsleed. Bovendien laat hij zien, dat de beloning deels bestaat uit niet-monetaire factoren.

In hetzelfde jaar is een column verschenen, die de compenserende loonverschillen behandelt. Werkers kiezen hun baan niet uitsluitend omwille van het loon, maar wegen ook de bijkomende arbeidsvoorwaarden mee. In de jaren zestig formuleerde de Nederlandse econoom Jan Tinbergen dit fenomeen als een spanningstheorie. Naarmate de functie-eisen s_n meer afwijken van de eigenschappen t_n van de werker, zal diens arbeidsleed toenemen. Als de werker is onder-gekwalificeerd (zeg, t_n < s_n), dan zal hij vermoedelijk worden gecompenseerd met een relatief hoog loon². Een jaar terug zijn al deze modellen nog eens samengevat in een aparte column. Daarbij wordt de volgende formule als uitgangspunt genomen:³

(1)     u(e, w) = v(w) − c(e)

Figuur 1: Kwartetkaart
   katholiek jongerenwerk

In de formule 1 is u het nut (tevredenheid, job satisfaction) van de werker. Dat is samengesteld uit twee delen, te weten de lust v(w) ten gevolge van het loon w, en het leed (kosten) c ten gevolgen van de inspanning e. Een belangrijk doel van zulke modellen is natuurlijk om een rechtvaardiging te geven aan de werkelijk betaalde geldlonen w. Zo mogelijk wil Tinbergen werkclassificaties opstellen, en daaruit de bijbehorende w berekenen. De Nederlandse econoom Bernard van Praag heeft empirisch bepaald, hoe de diverse factoren op het werk bijdragen aan de tevredenheid u met de baan. De taakinhoud blijkt belangrijker te zijn voor u dan de loonhoogte⁴. Van Praag slaagt er in om de voorkeuren van de gemiddelde of representatieve werker te meten, en legt daardoor een verband met het macro niveau van de economie.

Al in 2013 behandelde een column de studie van Jacob van der Wijk, een kennis van De Wolff, die de inkomensverdeling daadwerkelijk analyseert op het macro niveau. Van der Wijk verdiept zich in de spreiding van de inkomens, alsmede de effecten van ongelijkheid op het welzijn van individuen. Aangezien dit een analyse is op het macro niveau, kan Van der Wijk geen rekening houden met allerlei factoren, die compenseren voor de ongelijkheid in inkomens. Hier schuilt natuurlijk ook de denkfout in de geciteerde opmerking van Spekman. Dat maakt zijn uitspraak onbillijk. Immers, de verschillen in geldlonen zijn deels het gevolg van vrije keuzes. De individu kiest zelf zijn opleiding, arbeidstijd, bedrijfstak of samenstelling van het huishouden. Wie wil oordelen over de rechtvaardigheid of billijkheid van loon-verschillen, moet hiermee rekening houden. De huidige column wil zulke overwegen nader uitwerken. Daartoe wordt de formule 1 herschreven tot⁵

(2)     u(w, a) = v(w) + ω(a)

In de formule 2 stelt a de arbeidsvoorwaarden voor, met uitzondering van het loon w, en ω(a) is het totale nut, dat deze arbeidsvoorwaarden opleveren. De formule 2 scheidt dus de beloning in geld van niet-materiële beloningen. Veel economen menen, dat de rechtvaardigheid van de maatschappij moet worden getoetst aan de nivellering van u(w, a) (dus niet van w)⁶. Daarbij moet evenwel worden bedacht, dat de staat allerlei doelen nastreeft, die minstens even belangrijk zijn als billijkheid. De staat moet deze doelen allemaal zo goed mogelijk realiseren, met een geschikte weegfactor voor elk doel, en probeert daarom de optimale inkomensverdeling tot stand te brengen⁷. Ondanks alle pogingen om ω(a) te meten, blijft deze term uiterst speculatief. Daarom heeft de economische wetenschap zich toch vooral verdiept in de inkomensverdeling, dus in het inkomen w_k van alle K burgers of huishoudens.

De inkomens

De introductie van deze column beschouwt eigenlijk enkel de inkomens uit arbeid. Echter gewoonlijk is een deel van het individuele inkomen arbeidsloos. Het bestaat uit bijvoorbeeld rente, pacht, of huur, dankzij het eigendom van respectievelijk kapitaal, grond, of gebouwen. Ook de ondernemerswinst is een inkomen, al dan niet uit arbeid⁸. Al deze inkomens zijn beloningen van productie-factoren. De beloningen drukken de schaarste uit van deze factoren op hun respectievelijke markten. De inkomens op de factormarkten zijn onbelast. Men noemt dit de primaire inkomens, afgekort YP. Echter deze inkomens zijn niet vrij beschikbaar voor de ontvangers. Immers ook de staat moet worden betaald, en die verkrijgt zijn financiële middelen door belastingen te heffen over de private inkomens. Bovendien zijn de individuen verplicht om premies af te dragen voor de diverse werknemers- en werkgevers-verzekeringen.

Figuur 2: Kwartet NVM

De staat vermindert dus YP via zijn directe inkomsten-belastingen. Anderzijds vergroot soms de staat ook inkomens, via overdrachten zoals subsidies en uitkeringen. De directe belastingen en de overdrachten bepalen tezamen, wat het reëel beschikbare inkomen van de individu is. Het beschikbare inkomen wordt het secundaire inkomen genoemd, afgekort YS. Aangezien vooral de arme individuen in aanmerking komen voor uitkeringen, is de verdeling van YS wat egaler dan die van YP. Hoewel YS geheel beschikbaar is voor de individu, is daarmee de staatsingreep nog niet voltooid. Immers, de staat heft ook indirecte belastingen, op de consumptie. Denk aan de BTW (belasting op toegevoegde waarde), accijnzen (belasting op alcohol enzovoort) en importheffingen. Sommigen menen, dat de indirecte belastingen leiden tot een grotere ongelijkheid. Namelijk, zij raken het spaardeel niet⁹.

Strikt genomen moet dus het inkomen worden gecorrigeerd voor de effecten van de indirecte belastingen, met name wanneer men geïnteresseerd is in ongelijkheid (verschillen in reëel besteedbaar inkomen). Voorts gebruikt de staat een deel van zijn financiële middelen voor het garanderen van publieke goederen en diensten, die worden geconsumeerd in natura, zoals onderwijs, zorg en cultuur. Zij zijn immateriële baten van het type ω(a) voor de gebruikers. Men kan ook collectieve goederen zoals defensie en justitie rekenen tot de individuele baten. Blijkens de formule 2 moeten zulke baten worden opgeteld bij het totale individuele inkomen. Als het secundaire inkomen wordt gecorrigeerd voor de effecten van indirecte belastingen en van de individueel geconsumeerde publieke voorzieningen, dan ontstaat het zogenaamde tertiaire inkomen, afgekort YT. Staats-interventies sturen de maatschappij, en wijzigen daardoor ook YP¹⁰.

Tot nu toe is steeds verwezen naar het individuele inkomen. Echter individuen leven vaak in huishoudens, die bestaan uit een aantal personen f. Die f individuen zullen tezamen de inkomens van het huishouden delen. Daarbij profiteren zij van schaalvoordelen, omdat vele huishoudelijke apparaten onderling kunnen worden gedeeld. Denk aan de televisie, verwarming, boeken, uurwerken, in mindere mate ook de wasmachine en de auto, enzovoort. Een kind consumeert minder dan een volwassene. Aldus zou een verkeerd beeld ontstaan, wanneer het individuele inkomen wordt berekend door simpel het gezamenlijke inkomen van het huishouden te delen door f. De Europese Unie en de OESO hanteren tegenwoordig een equivalentie-schaal voor volwassenen, die binnen het huishouden elke extra volwassene weegt als 0.5, en elk kind als 0.3. Met andere woorden, bij een huishouden met n volwassenen en m kinderen wordt f gecorrigeerd via f' = 1 + (n−1) × 0.5 + m×0.3 ¹¹.

Afhankelijk van het thema bestuderen analyses de inkomens per individu of per (lid van het) huishouden. Zulke inkomens worden persoonlijk genoemd. Zonet is al opgemerkt, dat een individu of huishouden eigenaar kan zijn van diverse productie-factoren. De belangstelling van economen is sterk geconcentreerd op de inkomens van deze factoren. Het inkomen van een factor wordt functioneel genoemd, omdat elke factor een eigen functie heeft binnen het productieproces. In de huidige column staat de persoonlijke verdeling centraal, en is de functionele verdeling enkel van bijkomend belang¹².

De inkomensverdeling

De analyse van de verdeling van de inkomens geeft inzicht in de billijkheid van de maatschappij. Stel dat de maatschappij bestaat uit N individuen (of huishoudens). Zij y_n het persoonlijke inkomen van de individu n (met n=1, ..., N). Herorden de individuen tot een rij met oplopende y_n. Dan vindt men de in figuur 3a afgebeelde kromme. Elke n op de horizontale as is gekoppeld aan een "staaf", die even hoog is als diens inkomen y_n. Dit wordt de zogenaamde rij of optocht van Pen genoemd¹³. Ter vergelijking toont de figuur 3a ook het gemiddelde inkomen y_g per individu. Natuurlijk is de optocht discreet in n, maar het is wiskundig handig om de verdeling y₁ ≤ y₂ ≤ ... ≤ y_N te benaderen door een continue functie y(n). Bovendien is de bevolkingsomvang N irrelevant, zodat n zonder verlies aan informatie kan worden genormeerd op N. Veronderstel dus, dat Ω=n/N alle waarden doorloopt tussen 0 en 1. Dan is y = P(Ω), waarbij P de Pen kromme in de figuur 3a voorstelt.

Figuur 3: Inkomensverdeling y(n):
    (a) optocht van Pen; (b) cumulatieve verdeling; (c) frequentie verdeling
        y_g = gemiddeld inkomen;    y_m = modus inkomen

Men kan nu eenvoudig de frequentie- of kans-verdeling van de inkomens afleiden uit P. Namelijk, er geldt Ω = P^-1(y), waarin P^-1 de inverse functie van P is. Zij is weergegeven in de figuur 3b. In feite zijn simpelweg de assen in de figuur 3a verwisseld (en n is genormeerd tot Ω). Aangezien Ω verticaal oploopt van 0 tot 1, kan de functie P^-1(y) worden opgevat als de cumulatieve verdelingsfunctie van de inkomens y. Dien ten gevolge is f(y) = ∂P^-1/∂y de frequentie-verdeling (dichtheidsfunctie) van y. Zie de figuur 3c. Zij is scheef. Met andere woorden, het meest voorkomende inkomen y_m (de modus) is kleiner dan het gemiddelde inkomen y_g. Dit zal de trouwe lezer niet verrassen. Immers, een eerdere column legt uit, dat volgens de sociologische denker J. van der Wijk geldt y = μ + e^u/κ, waarin μ en κ constanten zijn, en u Gaussisch is verdeeld rond nul. Dat veroorzaakt een lange "staart" van hoge inkomens.

Interessant aan de rij van Pen (y = P(Ω)) is, dat daaruit vrij eenvoudig het zogenaamde Lorenz diagram kan worden geconstrueerd. Definieer daartoe het gecumuleerde inkomen Y(n) als de sommatie van de inkomens van alle individuen tussen 0 en n in de figuur 3a. Dat wil zeggen, Y(n) = ∫₀ⁿ y(ν) dν= ∫₀^Ω×N y(ν) dν = N × ∫₀^Ω y(ξ) dξ = N × ∫₀^Ω P(ξ) dξ. Voor n=N is dit een sommatie over alle individuen N, zodat Y(N) = N×y_g gelijk is aan het totale inkomen van de maatschappij. Definieer het genormeerde gecumuleerde inkomen als Ψ(Ω) = Y(n) / Y(N) = Y(N×Ω) / Y(N), zodat Ψ varieert tussen 0 en 1, net zoals Ω zelf. Dan is Ψ(Ω) de zogenaamde Lorenz kromme. Zij is rood weergegeven in de figuur 4, voor de rij van Pen in de figuur 3a.

Figuur 4: Lorenz diagram:
    voor figuur 3a, egaliteit,
    en maximale ongelijkheid

Het Lorenz diagram geeft de ongelijkheid weer op een aparte wijze. Bij volledige gelijkheid is y_g = P(Ω), zodat moet gelden Ψ(Ω) = Ω. Kennelijk is dan de Lorenz kromme de groene diagonaal in de figuur 4. Bij de maximale ongelijkheid bezit individu N het totale inkomen Y(N). Wiskundig kan dit worden voorgesteld als een delta functie, te weten P(Ω) = Y(N) × δ(Ω−1). Nu doorloopt de Lorenz kromme het blauwe traject (Ω, Ψ) = (0,0) - (1,0) - (1,1) in de figuur 4. Alle andere Lorenz krommen liggen tussen de groene en blauwe extreme situaties. Merk tenslotte op, dat het Lorenz diagram, en trouwens ook de figuren 3a-c, kunnen worden gconstrueerd voor de primaire en secundaire inkomens, alsmede voor individuen en huishoudens.

Maten van ongelijkheid

In de voorgaande paragraaf zijn diverse manieren behandeld om de inkomens-verdeling af te beelden. Echter zulke afbeeldingen laten enkel een kwalitatieve vergelijking tussen verschillende verdelingen toe. Kwantitatieve vergelijkingen zijn beter hanteerbaar, en daarom wordt sinds lang gezocht naar geschikte indicatoren (maten) van ongelijkheid. Daarnaast wordt natuurlijk gehoopt, dat de analyse van verdelingen leidt tot een gedegen economische theorie. Helaas is tot op heden deze hoop ijdel, want nog steeds ontbreekt een alomvattend model. Men moet zich behelpen met semi-empirische modellen, die bovendien maar een deel van de verdeling beschrijven¹⁴.

Quantielen

Een voor de hand liggende aanpak is om de frequentie verdeling sterk te comprimeren. Immers, het is ondoenlijk om alle persoonlijke inkomens y_n (met n=1, ..., N) met elkaar te vergelijken. Daarom zal een empirische analyse zich altijd beperken tot de verdeling over groepen. Daarbij gaat onvermijdelijk informatie verloren. Dit is wel zeer duidelijk bij de berekening van het gemiddelde inkomen, waarin de verdeling onzichtbaar wordt. Gewoonlijk aggregeert (verzamelt) men de afzonderlijke inkomens in quantielen. Dat wil zeggen, eerst worden de persoonlijke inkomens geordend naar stijgend inkomen (rij van Pen). Vervolgens wordt deze rij gesplitst in Q groepen (met elk N/Q leden). Het inkomen φ(q) per groep q wordt bepaald door φ(q) = Σ_n=j+1^j+N/Q   y_n, waarbij j = (q−1) × N/Q. Ter afsluiting wordt elk quantiel ook hier genormeerd, met Φ(q) = φ(q) / Y(N). Men spreekt bij Q=4, 5, 10 en 100 van respectievelijk een quartiel, quintiel, deciel en percentiel.

Aldus verenigt het eerste quantiel (q=1) de N/Q laagste inkomens, en het laatste (q=Q) quantiel de N/Q hoogste. Wie armoede wil bestuderen, zal voornamelijk q=1 analyseren. Wanneer is gekozen voor quartielen, dan stellen q=2 en 3 de lagere en hogere middenklasse voor. De continue rij van Pen P(Ω) is veranderd in de discrete blokkendoos Φ(q).

De α maat van Pareto

De bekende econoom V. Pareto meent, dat de verdeling wordt gekenmerkt door een enkele parameter α. Daartoe beschouwt hij de variabele R(y) = ∫_y^∞  f(η) dη. Per definitie is deze cumulatieve functie gelijk aan R(y) = 1 − P^-1(y). Kennelijk is deze kromme de figuur 3b op zijn kop. Pareto veronderstelt, dat de staart van R(y) (dus de hogere inkomens) wordt beschreven door R(y) = c / (y − d)^α. Hierin is c een schaalfactor, en d is een onderste drempel van y. Het probleem van dit model is natuurlijk, dat wegens de drempel de laagste inkomens buiten beschouwing blijven. Het model is vooral nuttig bij de analyse van de hogere inkomens. Daarnaast heeft de maat α geen theoretisch-verklarende betekenis¹⁵.

De coëfficiënt van Gini

De coëfficiënt van Gini (G) is een populaire maat voor de ongelijkheid van de verdeling. G wordt gedefinieerd aan de hand van het Lorenz diagram. Namelijk, G is simpelweg twee maal het oppervlak tussen de diagonaal en de Lorenz kromme in de figuur 4. Dankzij de vermenigvuldiging met 2 ligt G tussen de waarden 0 (bij een gelijke verdeling y_n=y_g) en 1 (bij totale ongelijkheid y_N = N×y_g). Helaas is er geen duidelijke theoretische betekenis verbonden aan G. Uw columnist heeft ook twee formules gevonden om G te berekenen¹⁶. De eerste is

(3)     G = (2 × N² × y_g)^-1 × Σ_n=1^N Σ_k=1^N  |y_n − y_k|

De tweede is, met y₁ ≤ y₂ ≤ ... ≤ y_N,

(4)     G = 1 + 1/N − 2 × (N² × y_g)^-1 × Σ_n=1^N (N − n + 1) × y_n

De ongelijkheids-maat van Atkinson

De econoom A.B. Atkinson heeft de A maat van ongelijkheid bedacht¹⁷. A wordt berekend door de individuen of huishoudens te groeperen, in de trant van de quantielen. Echter nu zijn de diverse groepen niet allemaal even groot. Dat wil zeggen, de groep q heeft n_q leden, met uiteraard Σ_q=1^Q  n_q = N. De definitie is

(5)     A = 1 − ( Σ_q=1^Q  n_q × (Y(q) / (n_q×y_g))^1-ε )^1/(1-ε)

Merk op, dat bij een totaal gelijke verdeling altijd geldt A=0. In de formule 5 is ε de parameter van ongelijkheids-mijding. Het doel van deze parameter is om de maat van ongelijkheid te baseren op de maatschappelijke moraal. Bij ε=0 vindt de maatschappij de ongelijkheid irrelevant. Daarom is in die situatie A=0, ongeacht de verdeling. Naarmate ε groter wordt, zal ook A toenemen voor een gegeven verdeling. Het schijnt, dat men A daadwerkelijk kan afleiden uit de maatschappelijke welvaartsfunctie¹⁸. Aldus heeft de A maat een theoretische betekenis. Atkinson gebruikt in zijn model individuele nutsfuncties van de gedaante u(y_n) = y_n^1-ε / (1 − ε) ¹⁹. Dit is een fascinerende materie, waarop ongetwijfeld nog zal worden teruggekomen in de Gazet.

1. Des al niettemin heeft Spekman waarschijnlijk zijn positie binnen de PvdA versterkt door zijn uitspraak. De partij vergrijst, zodat een aanzienlijk deel van de leden is gevormd tijdens de hoogtijdagen van partijleider Den Uyl. Indertijd luidt de partijdoctrine de "spreiding van kennis, macht en inkomen", zodat nivellering vanzelf spreekt voor de vergrijsde leden. De doctrine is op zich sympathiek, maar wordt sinds de jaren zeventig ingevuld op een dogmatische en soms tirannieke manier. Wie de periode 1966-1977 niet zelf heeft meegemaakt, zal vermoedelijk de soms bizarre denkbeelden en uitwassen niet kunnen begrijpen. Uw columnist kent Spekman vrij lang, vanaf zijn tijd als wethouder, zodat deze kleurrijke persoon een ijkpunt is. (terug)
2. De benaming van spanningstheorie vindt men op p.113 in Naar een rechtvaardiger inkomensverdeling (1977, Uitgeversmaatschappij Agon/Elsevier) van J. Pen en J. Tinbergen. In de moderne literatuur wordt het model van Tinbergen zelden genoemd. Op p.79-81 in Theorie der Einkommensverteilung (1975, Springer-Verlag) bespreekt G. Blümle wel het spannings-model. Blümle werpt tegen, dat de marktvraag naar vaardigheden s_n zich vanzelf zal richten op het aanwezige aanbod t_n (p.80). Bovendien stelt hij op p.81: "Insgesamt jedoch läßt sich die Einkommensgleichheit sicherlich nicht als Kompensation für unterschiedliches Arbeitsleid erklären". Aangezien uw columnist een warm aanhanger is van de formule 1 en van de hedonistische loontheorie, verwerpt hij de kritiek van Blümle. Volledigheids halve zij ook een bijkomende kritiek van Blümle genoemd. Tinbergen neemt aan, dat de individuele vaardigheden (of de scholing) normaal zijn verdeeld over de bevolking. Blümle stelt op p.80, dat dit soort vaardigheden wordt aangeleerd. Sommige individuen zijn excellente leerlingen, zodat de verdeling scheef wordt wegens een "staart" van excellentie. Met andere woorden, aangeleerde eigenschappen zijn gewoonlijk niet normaal verdeeld, anders dan de aangeboren eigenschappen. Wellicht is deze kritiek terecht. Maar Tinbergen ontwikkelt een empirisch model, en daarin zijn (soms grove) versimpelingen onvermijdelijk.
   Overigens kocht uw columnist Naar een rechtvaardiger inkomensverdeling ooit bij de Utrechtse bibliotheek, toen die haar magazijn leegruimde. Hij las het 15 jaren terug voor het eerst, en had toen moeite met de rare mix van complexe berekeningen en oppervlakkige frasen. Pen en Tinbergen hoopten daarmee een groot publiek te kunnen bereiken. Zij behoren tot de generatie van fanatieke volksverheffers, tezamen met onder andere Arnold Heertje. Tegenwoordig zijn de Nederlandse economen in dit opzicht wat bescheidener. Pen en vooral Tinbergen, allebei sociaal-democraat, behalen hun grootste wetenschappelijke successen in de jaren 60. In de jaren 70 distantieert de economie zich zowel van de centrale planning, als van het Keynesianisme. Het lukt de auteurs dan slecht om deze vernieuwing te volgen. De kwaliteit van Naar een rechtvaardiger inkomensverdeling lijdt enigszins onder die starheid. Daarnaast stellen Pen en Tinbergen zich in dit boek inhoudelijk wel bijzonder normatief (moreel) op. Zij pleiten voor een radicale manier van nivelleren, die herinnert aan Spekman. Bijvoorbeeld moet het lage welzijn van invaliden worden gecompenseerd met geld! (p.66, 182, 198) Zo mogelijk moeten ook langdurig werklozen en gebrekkige bejaarden compensatie krijgen! Anderzijds zou aangeboren talent eigenlijk moeten worden belast (p.192). Aangezien zij erkennen, dat de ongelijkheid van inkomens ontstaat uit schaarste op de markt, zou de staat krachtig moeten corrigeren. Daartoe is een campagne, gericht op verandering van de mentaliteit, nodig (p.184). Maar zulke dwang past slecht in de huidige tijd van herwonnen liberalisme. Nogal tactloos is, dat zij soms politieke leuzen verwerven in de tekst. Bijvoorbeeld op p.118: "Met hun praktische conclusie dat de Verenigde Staten behoefte hebben aan een sociaal-democratische beweging hebben wij in het geheel geen moeite". Of op p.202: "Hun ouders [van jongelui] zitten geheel vertrost bij de televisie". Pen zou tenslotte zijn nadagen slijten als columnist bij, onder andere, Vrij Nederland, waarvoor hij nogal rancuneuze tekstjes schreef. (terug)
3. In 2015 is een column verschenen, die het loon beschouwt als een compensatie voor opgegeven vrije tijd t_v. Dan is u = v(w) + ν(t_v), waarbij ν het nut van vrije tijd uitdrukt. Merk op, dat een toename van t_v gelijk is aan een afname van de inspanning e. De formule 1 impliceert, dat arbeidsleed en de kosten c van inspanning e worden gecompenseerd door het loon w. Op p.197 in Naar een rechtvaardiger inkomensverdeling hangt Tinbergen deze visie aan, terwijl zijn co-auteur Pen beweert, dat een hoger loon w gepaard gaat met lagere persoonlijke kosten c. Hoge functies zouden inhoudelijk aangenaam zijn. Blümle valt Pen bij op p.81 in Theorie der Einkommensverteilung: "Einkommen, Ansehen, Einfluß und Erfüllung bei der Beschäftigung sind positiv korreliert". Uw columnist steunt hier onvoorwaardelijk de visie van Tinbergen. Hoge functies stellen hoge eisen, onder andere aan de zelf-motivatie. De verantwoordelijkheid van hoge functies drukt zwaar. Alleen een masochist of sadist zou plezier ontlenen aan het reorganiseren of weg-bezuinigen van een bedrijfs-onderdeel. (terug)
4. Dit wil vermoedelijk zeggen, dat de werkgevers een bevredigend loon betalen aan hun werkers. De loonhoogte voldoet aan de maatschappelijke standaard, en wordt door de werker ervaren als vanzelfsprekend. Op p.110 en verder in Naar een rechtvaardiger inkomensverdeling wordt vermeld, dat Tinbergen en Van Praag in 1976 hebben samengewerkt. Vijtien jaren terug zag uw columnist bij lezing van het boek nog niet de grote betekenis van de methode van Van Praag. Dat kwam pas tien jaren later. (terug)
5. Deze formule is overgenomen uit p.122 in Economics of the welfare state (2004, Oxford University Press) van N. Barr. Barr noemt dit het volledige inkomen. Het is bij Barr niet helemaal duidelijk, of het volledige inkomen is uitgedrukt in geld, of in nuts-eenheden. Uw columnist verkiest om te werken met nutsfuncties. Als men het geldnut kent, dan kunnen natuurlijk de beide variabelen eenvoudig in elkaar worden omgerekend. (terug)
6. Pen en Tinbergen verdedigen dit standpunt in Naar een rechtvaardiger inkomensverdeling, op p.60 en verder, alsmede p.104 en verder. Overigens interpreteren zij daarbij u(w, a) als het gemiddelde nut binnen bepaalde categorieën van individuen, zoals beroepsgroepen. Dan betreft u(w, a) niet het afzonderlijke individu, met al diens eigenaardigheden. De Belgisch-Vlaamse econoom H. Deleeck pleit op p.33 in De architectuur van de welvaartsstaat opnieuw bekeken (2003, Uitgeverij Acco) voor een systeem, waarin "de behoeften van alle burgers gelijkmatig bevredigd kunnen worden". Ook Barr wil op p.122 en 135 in Economics of the welfare state u(w, a) nivelleren. Echter hij vindt dat het immateriële nut ω(a) onmeetbaar is, en beperkt zich verder tot de studie van de inkomensverdeling w. In de column over de studie van Van der Wijk wordt opgemerkt, dat de totale nivellering leidt tot u_k(w, a) = β voor alle burgers k. Als de maatschappelijke welvaartsfunctie W utilitaristisch is, met gelijke weging voor alle K burgers, dan krijgt zij de waarde W = K×β. (terug)
7. Zie p.66 en verder, alsmede p.107 en verder in Naar een rechtvaardiger inkomensverdeling. (terug)
8. Hoewel arbeidsloze inkomens geen inspanning e vereisen, dienen ook zij ter compensatie van een zeker leed. De ontvanger heeft toch kosten c. Immers de eigenaar kan tijdelijk niet zelf beschikken over de productie-factor. (terug)
9. De idee is dat armere mensen een groter deel van hun beschikbare inkomen consumeren dan rijkere mensen. Op p.24 in Theorie der Einkommensverteilung wordt gesteld, dat wegens de verschillen tussen de nationale indirecte belastingen de secundaire inkomens-verdeling niet bijster geschikt is voor een internationale vergelijking van ongelijkheid in verdeling. (terug)
10. Deze diepzinnige opmerking wordt gemaakt op p.33 in De architectuur van de welvaartsstaat opnieuw bekeken. De welvaartsstaat verandert het menselijke gedrag (p.72). Blümle tekent op p.14 in Theorie der Einkommensverteilung aan, dat individuen en groepen er soms in slagen om de gevolgen van de staats-interventie (belasting, premie-heffing) af te wentelen op hun klanten. De huidige column heeft evenwel niet het oogmerk om de financiering van de staat te analyseren. In de toekomst zal de Gazet ongetwijfeld de financiën wèl oppakken. Volgens p.374 in Économie politique de la protection sociale (2011, Presses Universitaires de France) van M. Elbaum is het lastig om YS en YT exact te berekenen, omdat het staats-ingrijpen zo versnipperd is. Het is verdeeld over de diverse beleidsvelden, maar ook over de bestuurslagen (rijk, provincie, gemeente). (terug)
11. Zie p.298 in De architectuur van de welvaartsstaat opnieuw bekeken. Deleeck meent op p.298, dat YT de beste maat is voor de welvaart. (terug)
12. Op p.295 in De architectuur van de welvaartsstaat opnieuw bekeken wordt opgemerkt, dat men de inkomens ook kan indelen naar categorieën, zoals jongeren en ouderen, of mannen en vrouwen, of verschillende nationaliteiten. Zulke analyses liggen op het grensgebied tussen economie en sociologie. Deze manier van indelen is irrelevant voor de huidige column. Op p.3-4 in Theorie der Einkommensverteilung wordt de functionele verdeling gekoppeld aan het neoklassieke paradigma. (terug)
13. Zie p.17 in Naar een rechtvaardiger inkomensverdeling. De rij van Pen heeft enige populariteit verworven, hoewel die weinig extra inzicht geeft ten opzichte van de frequentie verdeling n = f(y). (terug)
14. De theorieën van de quantielen, de α parameter van Pareto, het Lorenz diagram en de Gini coëfficiënt G zijn allemaal ruim een eeuw oud. Jacob van der Wijk behandelt ze uitgebreid in zijn boek Inkomens- en vermogens-verdeling (1939, De Erven F. Bohn N.V.). In de afgelopen eeuw is het niet gelukt om betere maten van ongelijkheid te ontdekken (wellicht afgezien van de A maat van Atkinson). Uiteraard is sindsdien wel enorm veel statistisch materiaal verzameld. Daarbij is de verdeling van inkomens complexer geworden. Tegenwoordig oefent de sociale zekerheid invloed uit op YS, bijvoorbeeld via het uitkeren van pensioenen. Naar een rechtvaardiger inkomensverdeling wijst op p.18 en 60 op het feit, dat de staatspensioenen behoren tot de laagste inkomens. Echter voor de Tweede Wereldoorlog bestonden zulke pensioenen nauwelijks, zodat ze helemaal niet voorkwamen in de individuele YS. Dat vermindert de mate van ongelijkheid. Nochtans verbeteren deze pensioenen natuurlijk wel degelijk het welzijn van de bejaarden.
    Men kan enkele criteria formuleren voor een maat van ongelijkheid. Op p.37 in Theorie der Einkommensverteilung wordt de voorwaarde van Pigou-Dalton genoemd: bij de inkomens-overdracht van een rijkere naar een armere moet de maat een toenemende nivellering uitdrukken. De voorwaarde van Bresciani-Turroni is: een proportionele stijging van alle inkomens mag niet leiden tot een wijziging van de maat (p.38). (terug)
15. Vermeldens waard is dat geldt ∂R/∂y = -∂P^-1/∂y = -f(y). Gegeven de veronderstelde functionele vorm van R is ook ∂R/∂y = -R×α / (y−d). Met andere woorden, er geldt dat R(y)×α = (y−d) × f(y). Kennelijk geeft de R-functie een extra gewicht aan de hoge inkomens in de staart van de frequentie verdeling f. De verdeling f(y) daalt nog sneller dan R(y), wat logisch is, gezien haar vorm in de figuur 3c.
    Van der Wijk leidt op p.266 en verder in Inkomens- en vermogens-verdeling relaties af tussen R(y) en zijn eigen formule u(y) = ln(y−m). Hierbij is het nut van inkomen u(y) normaal verdeeld, met standaard afwijking σ. Zo berekent hij α + 1 = (2×σ²×u + 1) × (y−d) / (y−m). Volgens Van der Wijk is dus de α parameter van Pareto geen constante, maar afhankelijk van het inkomen y. Aangezien α vooral relevant is voor grote inkomens y, kan men deze relatie benaderen door α = 2×σ²×u (p.269). Van der Wijk stelt nu voor om de analyse te beperken tot grote inkomens, met u>0. Dan is gemiddeld u_g = (σ×√π)^-1. Daaruit volgt dat α_g = 2×σ/√π = 1.13×σ. Op p.210 constateert Van der Wijk, dat deze formule strijdig is met de statistische gegevens. Echter er geldt empirisch wel ongeveer dat α/σ = constant. Hiermee geeft Van der Wijk toch een theoretische betekenis aan de α parameter van Pareto.
    Voor Van der Wijk is de inkomens-verdeling louter stochastisch. Dat wil zeggen, twee inkomens y_a en y_b zijn altijd geheel ongecorreleerd. In de practijk is dat natuurlijk niet waar. Blümle geeft in hoofdstuk 2 van Theorie der Einkommensverteilung allerlei mogelijke verklaringen voor de log-normale verdeling van de inkomens uit arbeid, in de paragrafen 2.1-2.5. In paragraaf 2.6 van hoofdstuk 2 worden de inkomens uit vermogen beschouwd. De inkomens uit arbeid zijn een interessante materie, waarin het methodologisch individualisme vruchtbaar blijkt. Immers, het ligt voor de hand om het persoonlijke inkomen te koppelen aan bepaalde eigen vaardigheden. Zelfs als vaardigheden binnen de bevolking normaal zijn verdeeld, dan nog kunnen de vaardigheden van een individu elkaar versterken. Daaruit kunnen hoge inkomens ontstaan. Ook hiërarchische (organisatie-) structuren werken door in de individuele inkomens. De zogenaamde menselijk kapitaal (human capital) school verklaart de persoonlijke inkomens uit het genoten onderwijs (evenals Tinbergen, zij het via een andere redenatie). In dit model is onderwijs een investering, die in het latere beroepsleven het inkomen verhoogt. In feite wordt hier de formule 1 toegepast, waarin e de duur van de opleiding is. In een variant van dit model wordt aangenomen, dat het genoten onderwijs dient als een signaal op de arbeidsmarkt. Merkwaardiger wijze ziet Blümle weinig in deze aanpak. Op p.62 schrijft hij: "Die konsumtiven Aspekte [der individuellen Bildungsausgaben], die oft mit dem Schlagwort Lebensqualität angesprochen werden, bleiben unberücksichtigt". En op p.65: "Die der Theorie zugrunde liegenden Investitionskriterien können sicherlich die durch Neigung intuitiv und durch Herkunft gesellschaftlich bestimmte Entscheidung der Individuen hinsichtlich ihrer Ausbildung kaum ausreichend beschreiben". En op p.168 in Naar een rechtvaardiger inkomensverdeling wordt gesteld, dat de theorie van het menselijk kapitaal te weinig rekening houdt met "het menselijk streven tot zelfontplooiing. ... Deze visie is in strijd met een humanistische kijk op het onderwijs". Uw columnist gaat niet mee in al deze kritiek. Men moet niet alles geloven, wat men leest. Natuurlijk zijn individuele besluiten complex, maar studenten beseffen wel degelijk, dat zij investeren in hun toekomst. Lang niet alle studenten worden innerlijk gegrepen door de geestelijke rijkdom van kennis. Denkers zoals Paul Frijters, James Coleman en Ken Binmore houden terecht vast aan de homo economicus als model van menselijk gedrag. (terug)
16. De eerste formule is te vinden op p.101 van Economic inequality and income distribution (1998, Cambridge Unitersity Press) van D.G. Champernowne en F.A. Cowell. De tweede formule is te vinden op p.142 van Economics of the welfare state. De eerste formule is kennelijk een discrete integratie van de oppervlak in het Lorenz diagram. De tweede formule is ongetwijfeld vrij simpel af te leiden uit de eerste, maar uw columnist heeft dat niet geprobeerd. Op p.302 in De architectuur van de welvaartsstaat opnieuw bekeken wordt de tweede formule gepresenteerd in de vorm G = 2 × (N² × y_g)^-1 × Σ_n=1^N (n − ½ × (N + 1)) × y_n. Op p.43-45 van Theorie der Einkommensverteilung wordt de Gini coëfficiënt berekend voor enkele eenvoudige maar illustratieve getalvoorbeelden. (terug)
17. Zie p.144 in Economics of the welfare state. (terug)
18. Zie nogmaals p.144 in Economics of the welfare state. (terug)
19. Zie p.127 in Economics of the welfare state. Trouwe lezers herkennen deze functie uit een eerdere column, die het CPB rapport Distributionally Weighted Cost-Benefit Analysis (2017) behandelt. Daar wordt de parameter ε van ongelijkheids-mijding voorgesteld door het symbool μ. (terug)