Figuur 1: grafiek Herbert Sandberg
De huidige column laat zien, hoe de vervlechtings-balans in natura kan worden omgerekend in een waarde-balans. Uiteraard vereist dit allereerst een prijs-vorming. De hier gepresenteerde theorieën zijn ontleend aan de boeken Ökonomisch-mathematische Methoden und Modelle van V.S. Nemtsjinov, Verflechtungs-bilanzierung van V.V. Kossov, en Volkswirtschafts-planung van een Oost-Duits auteuren-collectief1. De twee laatst genoemde boeken zijn afkomstig van antiquariaat Helle Panke te Berlijn. Een belangrijk aspect is de aggregatie van product-groepen en van bedrijfs-groepen.
Op deze web-portaal is de vervlechtings-balans een populair thema. Twee jaren terug kwam het voor het eerst ter sprake, in de column over het grondmodel van de dynamische balans. De grootheden worden dan nog uitgedrukt in natura, dat wil zeggen, in fysieke eenheden. Beschouw een economisch systeem, waarin N producten worden verhandeld. Het uitgangspunt van het model vormt de formule
(1) x = A · x + y
In de formule 1 representeert x het totale maatschappelijke product. Het is een vector met componenten xi, die de hoeveelheden van product i voorstellen (met i = 1, ..., N). De dimensie van de vector is N×1, zodat hij een kolom-gedaante heeft. De vector y stelt het netto product voor, wat over blijft na afloop van het productie-proces. Immers een deel van de productie x is nodig als grondstof, half-fabrikaat of outillage. Het deel van x, dat is gereserveerd voor de productie, is weergegeven door A·x. Hierin stelt A de matrix voor met elementen aij = xij / xj. De grootheid xij is de hoeveelheid van product i, die nodig is om een hoeveelheid xj van product j te vervaardigen. Dien ten gevolge is A een vierkante N×N matrix. Men noemt aij de productie-coëfficiënten, of in de Leninistische terminologie de coëfficiënten van de directe materiaal-besteding.
In de matrix A is de productie-techniek vastgelegd, die uiteraard wordt bepaald door het maatschappelijke kennis-niveau2. Op die manier zou de formule 1 de bedrijfs-voering van alle afzonderlijke ondernemingen kunnen weergeven. In de practijk is dat onzinnig, en zal men proberen om de ondernemingen te ordenen in bedrijfs-groepen. Echter twee bedrijven zijn nooit helemaal gelijk, evenmin als hun producten. Dien ten gevolge is elke keuze voor een samenvoeging (ook wel aggregatie genoemd) subjectief van karakter. De meest voor de hand liggende keuze is om product-groepen te vormen. Dit zijn er evenwel dermate veel, dat gewoonlijk een verdere aggregatie onvermijdelijk is. Dan gaat men eenheden ongelijke producten optellen, en dat is enkel mogelijk op basis van hun waarde of stukprijs. Er is behoefte aan een prijs-stelsel3.
In deze portaal is ooit het prijs-stelsel als thema aangesneden nog vóór de vervlechtings-balans, namelijk in de column over de neo-ricardiaanse theorie. Deze theorie is weliswaar elegant, maar zij maakt twee nogal beperkende aannames. Ten eerste rekent zij met een uniforme winstvoet voor alle bedrijfs-sectoren. En ten tweede negeert zij, dat één product diverse prijzen kan hebben, afhankelijk van zijn toepassing. De analyse met vervlechtings balansen heeft deze aannames niet nodig. Naast de balans in natura onderscheidt men de materiaal balans en de waarde balans4.
In berekeningen met de materiaal vervlechtings-balans wordt aangenomen dat elk product i een unieke prijs pi heeft. Dan heeft de hoeveelheid xi een waarde pi×xi. De coëfficiënten van de materiaal balans worden uitgedrukt in waarde, en kunnen worden berekend uit de balans in natura via de formule aijM = aij × pi / pj. De bijbehorende matrix formule is kort en bondig5
(2) AM = P · A · P-1
In de formule 2 is P de diagonaal matrix met op de diagonaal de waarden pi. Dat wil zeggen pij = pi × δij, waarin δij de uit de wiskunde bekende Kronecker delta is. De matrix P-1 is de inverse matrix van P. De formule 2 toont op eenvoudige wijze hoe de prijs-wijziging van één product doorwerkt in de waarde-verandering van andere producten.
Het opstellen van de waarde vervlechtings-balans baseert op het andere uiterste, namelijk de hypothese dat de prijs van elk product i afhangt van zijn toepassing j. Met andere woorden, als een ondernemer een product j maakt, en daarbij het product i gebruikt als grondstof of half-fabrikaat, dan betaalt hij voor het product i een stukprijs pij. De coëfficiënten van de waarde balans worden eveneens uitgedrukt in waarde, en kunnen worden berekend uit de balans in natura via de formule aijW = aij × pij / ρj. In deze formule is ρj de gemiddelde stukprijs, die wordt betaald voor het product xj.
Aangezien de productie-kosten altijd de primaire grondslag voor de stukprijs zijn, zal in de practijk de prijs niet al te zeer afhangen van de toepassing. Toch komen prijs-verschillen voor, zoals al is uitgelegd in de column over de Russische plan-economie. Bijvoorbeeld wordt een extra kostenpost veroorzaakt door het transport van het product naar de eind-gebruiker. Dat leidt zelfs tot afzonderlijke territoriale prijs-zones. En de omzet-belasting (zeg maar de BTW) kan verschillen, afhankelijk van de toepassing van het product.
Prijs-verschillen kunnen ook optreden in de verrekenings-wijze binnen ondernemingen. Soms gebruikt de onderneming zelf een deel van de eigen productie, waarbij in de bedrijfs-voering een andere prijs voor dat product wordt gehanteerd dan de markt-prijs. Men noemt dit de omzet binnen het bedrijf. In feite vertekent deze verrekenings-wijze de werkelijke kosten, zodat zij tegenwoordig enigszins in onbruik is geraakt. Al deze prijs-differentiaties relativeren de practische betekenis van de neo-ricardiaanse theorie met haar eenheids-prijs.
Bij een gegeven product i maakt de column over plan-prijzen een tweedeling tussen de betreffende industrie-prijs pi en de consumenten-prijs πi. Hieruit volgt dat het totale product xi een gemiddelde "bruto" stukprijs heeft ter grootte van ρi, waarbij geldt pi ≤ ρi ≤ πi. Dankzij deze prijzen kan de formule 1 worden omgeschreven naar een waarde-balans (ook wel de samengevatte materiaal-balans genoemd)6
(3) ρi × xi = pi × Σj=1N aij × xj + πi × yi
De formule 3 splitst het totale product ρi×xi op in de industrie-markten en in de consumenten markt van eind-producten. Echter hetzelfde totale product kan ook worden gesplitst volgens de kosten, die er worden gemaakt voor zijn productie
(4) ρi × xi = Σj=1N pj × aji × xi + Σj=1N wj × fji
Merk op, dat in de formule 4 de matrix-indices zijn verwisseld ten opzichte van de formule 3. Aldus is Σj=1N pj × aji de i-de component van de vector p·A. In de formule 4 is fij de hoeveelheid van productie factor i, die nodig is om een hoeveelheid xj te vervaardigen. De productie-factor kan arbeid zijn, of kapitaal, of grond, of zelfs de staat of allerlei andere factoren die eventueel een bijdrage leveren aan het rendement van het bedrijf. De beloning van de productie factor i heeft een waarde-grootte wi. Dien ten gevolge is Σj=1N wj × fji (de i-de component van de vector w·F) het deel van het nationale inkomen, dat wordt verdiend in het bedrijf of de sector i.
Men vindt een interessant resultaat door de beide formules 3 en 4 te sommeren over i, en vervolgens onderling te vergelijken. Namelijk dan blijkt
(5) Σi=1N πi × yi = Σi=1N Σj=1N wj × fji
Uitgedrukt in woorden stelt de formule 5, dat de waarde van het totale netto product gelijk moet zijn aan het totale nationale inkomen. Deze opvallende identiteit is al in eerdere columns vermeld, maar de formule 5 laat zien welke rol de product-prijzen en de factor-inkomens daarbij spelen. Bijvoorbeeld, wanneer men de arbeids-lonen verhoogt, dan zal het netto product moeten mee-groeien. Gebeurt dat niet, dan zullen de prijzen stijgen, wat resulteert in inflatie. Of men zou tegelijk bijvoorbeeld de rente of de belastingen moeten verlagen.
In de inleiding is geconstateerd, dat elke economische bedrijfs-voering gebruik maakt van het bijeen voegen van activiteiten op het micro-niveau. Als bijvoorbeeld twee vestigingen van een onderneming (bijna) hetzelfde product i fabriceren, dan kunnen de twee bedrijfs-activiteiten zonder problemen worden gesommeerd. Tezamen brengen zij dan het product i voort met de naar omvang gewogen gemiddelde techniek. Een dergelijke aggregatie is niet mogelijk, indien de twee producten significant verschillen. In dat geval hebben de producten een verschillende waarde of product-prijs, en daarmee moet worden rekening gehouden bij de aggregatie.
Bovendien is voorstelbaar, dat men niet is geïnteresseerd in een afzonderlijke product-groep, maar in de omzet van een bedrijfs-groep, die totaal diverse producten maakt. Een voor de hand liggend voorbeeld is het geval van bedrijven, die allerlei producten maken met een vergelijkbaar productie-proces. De aggregatie bundelt dan alle ondernemingen, die min of meer dezelfde productie-factoren gebruiken7. Een ander voorbeeld is de macro-economie, die de maatschappelijke voortbrenging verdeelt in slechts een handvol sectoren. Volgens de Nederlandse economen A.J. Marijs en W. Hulleman is de meest algemene indeling van de economie die van de markt-sector en de collectieve sector8.
De collectieve of quartaire sector heeft geen winst-oogmerk. Om structuur te brengen in de markt-sector hebben de Kamers van Koophandel en het Centraal Bureau voor de Statistiek hem geclassificeerd in drie bedrijfs-sectoren. De primaire bedrijfs-sector omvat de afdelingen, die grondstoffen voortbrengen. Dat zijn de landbouw, de visserij en de mijnbouw. De secundaire sector verwerkt de grondstoffen tot eind-producten, die geschikt zijn voor consumptie. De afdelingen in deze sector zijn de voedings- en genotmiddelen-industrie, de olie- en chemische industrie, de metaal-industrie, en de overige industrie. De tertiaire sector zorgt voor de distributie van producten, en voor de zakelijke en overige dienst-verlening.
De afdelingen worden onder-verdeeld in bedrijfs-groepen (bijvoorbeeld de dranken-industrie). Vervolgens worden de afdelingen ingedeeld naar de bedrijfs-klassen (bijvoorbeeld de zuivel- en frisdranken-industrie). Tenslotte worden de klassen ingedeeld in bedrijfs-takken (bijvoorbeeld de zuivel-industrie). Er zijn vele tientallen van dit soort takken. Elke tak omvat weer talloze ondernemingen. Volgens Marijs en Hulleman zijn er in Nederland totaal zo een 700.000 ondernemingen, van klein tot groot.
Er bestaan wiskundige methoden om de bedrijfs-processen van de afzonderlijke bedrijfs-takken, -klassen, -groepen en -afdelingen te aggregeren9. Neem weer de N×N matrix A als uitgangs-punt voor het economische systeem. De N rijen van A representeren de N producten (of product-groepen enzovoort). De N kolommen van A representeren de N bedrijven (of bedrijfs-takken enzovoort). Neem aan dat elke bedrijfs-groep haar eigen unieke product(-groep) voortbrengt. Stel nu dat men de product-groepen wil reduceren tot een aantal M, met M<N. De gereduceerde product-groepen worden weergegeven als de M×1 vector x*. Dit wordt bereikt door x te vermenigvuldigen met de M×N matrix U, en wel zodanig dat
(6) x* = U · x
Aangezien is verondersteld dat elk product uniek is, is de aggregatie enkel mogelijk met waarde-grootheden, en niet met hoeveelheden in natura. Met andere woorden, elke component xn is een geldsom. In de formule 6 bestaat de matrix U uit de elementen umn, waarbij m correspondeert met de samengevoegde groepen (m = 1, ..., M). Beschouw de m-de rij van U. Voor elk element in de rij geldt dat umn=1 als de originele product-groep n moet worden toegevoegd aan de nieuwe product-groep m. Als dat niet opgaat, dan geldt umn=0. Met andere woorden, stel dat er een lijst van product-groepen wordt gemaakt waarbij de samen te voegen product-groepen in blokken worden geplaatst. Dan lijkt de matrix U op een eenheids matrix, echter zodanig dat elke eenheids-vector bloks gewijze meermalen voorkomt, even vaak als een product-groep moet worden toegevoegd. Zie het reken-voorbeeld in de volgende paragraaf.
Evenzo volgt het nieuwe netto product uit y* = U · y. Uiteraard is de uitdaging om de M×M matrix A*, die hoort bij x* en y*, af te leiden uit de matrix A. Terwijl de transformatie U enkel de product-groepen aggregeert, moeten eigenlijk ook de betreffende bedrijfs-groepen worden geaggregeerd. Immers meestal wil men in vervlechtings-balansen elk product uniek koppelen aan een bedrijf. Ogenschijnlijk kan de aggregatie van bedrijfs-groepen, die hoort bij de transformatie U, worden bereikt met behulp van de N×M matrix V = U†. In deze formule is † het symbool voor de gespiegelde matrix. De matrix V bestaat dus uit liggende eenheids-vectoren. De transformatie V doet hetzelfde met de bedrijfs-groepen, wat U doet met de product-groepen.
Inderdaad blijkt er te gelden X* = U · X · U†, waarin X de N×N matrix is met elementen xij, en X* de corresponderende M×M matrix na aggregatie. Om de relatie tussen A* en A te vinden, moet elke matrix kolom j van X* en X worden genormeerd op de afzet xj. Keren wij terug naar de aggregatie van bedrijfs-groepen. In deze sommatie moet een weeg-factor wj worden toegevoegd overeenkomstig de afzet xj van elke afzonderlijke groep j in de geaggregeerde groep. Noem de geaggregeerde groep R, dan geldt er wj(R) = xj / ΣiεR xi (sommatie waarin i een element van R is). Kortom, er geldt vnm = wn(m) als de originele bedrijfs-groep n moet worden toegevoegd aan de nieuwe bedrijfs-groep m. Als dat niet opgaat, dan geldt vnm(m) = 0. En de gezochte transformatie wordt
(7) A* = U · A · V
Merk op, dat U en V min of meer per definitie voldoen aan de relatie U · V = I, waarin I de M×M eenheids matrix is. Een andere belangwekkende relatie ontstaat door de beide leden van de formule 1 links te vermenigvuldigen met U. Namelijk dan vindt men x* = U · A · x + y*. Hieruit volgt direct dat moet gelden
(8) U · A · x = A* · x* = A* · U · x
De formule 7 heeft de enigszins problematische consequentie, dat de transformatie met U en V afhangt van de weeg-factoren en daarmee van de afzet-hoeveelheden. Elke keer, zodra de hoeveelheden veranderen, zal het plan-orgaan opnieuw de matrix V moeten berekenen. De productie-coëfficiënten van A* weerspiegelen niet louter de productie-techniek, maar een gewogen combinatie van technieken10.
Ter illustratie van de voorgaande twee paragrafen wordt weer het vertrouwde voorbeeld gebruikt van een economie met twee bedrijfs-takken (n=2), te weten de landbouw (tak 1) en de industrie (tak 2). In de landbouw produceren 20 arbeiders (20 tijds-eenheden arbeid, lg = 20) 12 balen graan (xg = 12) gedurende een productie-periode. In de industrie produceren 10 arbeiders (10 tijds-eenheden arbeid, lm = 10) 3.1 tonnen metaal (xm = 3.1) gedurende dezelfde productie-periode. Het netto- of eind-product is y = [3, 0.9]. De productie-techniek wordt vastgelegd door de technische coëfficiënten. De waarden van die coëfficiënten aij en aj zijn weergegeven in de kolommen τ(g1) en τ(m1) van tabel 1.
| landbouw | industrie | ||
|---|---|---|---|
| τ(g1) | τ(g2) | τ(m1) | |
| graan | agg=0.4167 | agg=0.2727 | agm=1.290 |
| metaal | amg=0.01667 | amg=0.09091 | amm=0.6452 |
| arbeiders | ag=1.667 | ag=0.4091 | am=3.226 |
Vervolgens wordt aan de tabel een alternatieve productie-methode toegevoegd voor de landbouw, die wordt weergegeven in de kolom τ(g2). Stel dat 9 balen graan worden verbouwd met de techniek τ(g1) en 3 balen graan worden verbouwd met de techniek τ(g2). Merk op dat daarmee de aanname lg = 20 vervalt. Het ligt weer voor de hand om deze twee groepen graan-producenten rekenkundig samen te voegen in een geaggregeerde tak. In dat geval zijn de weeg-factoren respectievelijk wg1 = 0.75 en wg2 = 0.25. De figuur 3 toont de gedaante van de transformatie matrices U en V.
Merk op, dat de productie-coëfficiënten in de tabel 1 een 2×3 matrix vormen. Kennelijk is de transformatie U hier al volbracht. Trouwens dat blijkt ook uit de gegevens, want daarin brengen beide productie-technieken hetzelfde type graan voort. Klaarblijkelijk hoeft nog slechts de transformatie V van de formule 7 te worden uitgevoerd. De tabel 2 laat zien, wat de productie-coëfficiënten zijn na de aggregatie, waarbij de geaggregeerde techniek wordt aangeduid door eenvoudig τ(g). De metaal-sector blijft onveranderd.
| landbouw | industrie | |
|---|---|---|
| τ(g) | τ(m1) | |
| graan | agg=0.3807 | agm=1.290 |
| metaal | amg=0.03523 | amm=0.6452 |
Aan het slot van deze column wordt nu een verwant thema opgepakt, namelijk de buitenlandse handel11. In een eerdere column is geschetst hoe de buitenlandse handel kan worden gemodelleerd in de vervlechtings-balans, in geval men uitgaat van één amorf buitenland. Het betreft een balans in natura. Echter het kan nuttig zijn om de buitenlandse handel uit te splitsen naar alle K landen, waarmee men handel drijft. Bijvoorbeeld bestaat er voor sommige producten i geen uniforme wereldmarkt prijs, zodat er wordt geïmporteerd tegen een gedifferentieerde prijs pik, afhankelijk van welk land k de leverancier is (met k = 1, ..., K). De prijs pik geeft uitdrukking aan de terms of trade met het land k. De toevoeging van de buitenlandse handel wijzigt de formule 1 voor de balans in natura
(9) x = A · x + η + Σk=1K bk
In de formule 9 stelt bk de handels-balans met land k voor, dus het verschil van de export ek en de import ik. Merk op dat de handels-balans met het land k een vector is, omdat er kan worden gehandeld met alle gangbare producten i. Aldus is de wiskundige gedaante van de handels-balans bik = eik − iik. Als de handels-balans voor het product i positief is, dan wordt een deel van het netto product opgeofferd aan de export. Dien ten gevolge blijft er minder van het product i over voor het binnenlandse verbruik, namelijk een hoeveelheid ηi = yi − Σk=1K bik. Als de handels-balans voor het product i negatief is, dan kan er juist méér van worden geconsumeerd dan het netto product.
De schrijfwijze in de formule 9 is eigenlijk te breedvoerig, want gewoonlijk zal het product i natuurlijk slechts worden verhandeld met een beperkt aantal landen, zeker veel minder dan K. Een meer beknopte formule ontstaat, wanneer gebruik wordt gemaakt van een matrix van hetzelfde type als U. Immers daarmee kan alle buitenlandse handel met het product i eenvoudig worden geaggregeerd. Ten einde verwarring te voorkomen wordt deze "handels" matrix W genoemd. De matrix W is gevuld met verticale (N×1) eenheids-vectoren n(i), met nj(i) = 1 voor j=i, en nj(i) = 0 voor alle andere j. W heeft evenveel kolommen n(i) als er landen zijn, waarmee het product i wordt verhandeld. Natuurlijk is het handig en overzichtelijk om deze kolommen n(i) als een blok bijeen in W te plaatsen.
Bij deze aanpak krijgt de vector bik de volgende gedaante: van boven naar beneden komen eerst alle componenten b1k, waarbij de index k alle landen telt, waarmee het product 1 wordt verhandeld. Vervolgens komen de componenten b2k, waarbij de index k alle landen telt, waarmee het product 2 wordt verhandeld. Waarschijnlijk verschilt dat aantal van het aantal bij product 1. Op dezelfde manier wordt de vector bik verder ingevuld, tot en met bNk. Dien ten gevolge is het aantal componenten van de vector bk gelijk aan S = (aantal landen dat product 1 verhandelt) + (aantal landen dat product 2 verhandelt) + ... + (aantal landen dat product N verhandelt)12. De figuur 4 illustreert de matrix W en de vector bk. Aldus verandert de formule 9 in
(10) x = A · x + η + W · bk
Voor de buitenlandse handel is de transformatie van de balans in natura naar de waarde-balans tamelijk simpel. Veronderstel gemaks halve dat de industrie en de consumenten van ηi een prijs pi betalen voor het product i. Neem voorts aan, dat het product i in de buitenlandse handel met het land k de prijs pik heeft. Maak van deze buitenlandse product prijzen een diagonaal matrix Π, waarbij de elementen pik dezelfde volgorde aanhouden als de componenten bik. Zij tenslotte ρi de gemiddelde prijs van de afzet xi, en zet die N gemiddelde prijzen in de diagonaal matrix R. Dan wordt de waarde balans gegeven door13
(11) R · x = AM · P · x + P · η + W · Π · bk
Merk tenslotte op, dat de totale handels-balans niet langdurig negatief behoort te zijn. Voor het mondiale evenwicht is het beste, wanneer de totale handels-balans van elk land gemiddeld nul is. Met andere woorden, er moet gelden dat Σi=1N Σk=1S Wik × pik × bik = 0.