Een model van de arbeidsmarkt

Plaatsing op Heterodox Gezelschap Sam de Wolff: 26 mei 2014

In het boek Economic policy: principles and design¹ beschrijft de bekende Nederlandse econoom Jan Tinbergen een interessant micro-economisch model van de arbeids-markt. Het model blinkt uit door twee kenmerken. Ten eerste worden zowel de eigenschappen van de werkzoekenden als die van de aangeboden posities exact verrekend via de methode van Quetelet. En ten tweede wordt de voorkeur van de arbeid-zoekende uitgedrukt in een cardinale nuts-functie. Uit het model kan de verdeling van de arbeids-inkomens worden berekend. Tinbergen laat zien hoe daaruit beleids aanbevelingen kunnen worden afgeleid.

In het model van de arbeidsmarkt komen twee theoretische benaderingen samen, die al zijn toegepast in de voorgaande columns. Ten eerste is in de column over het grensnut van geld uitgelegd hoe de sociaal-democraat Jacob van der Wijk de methode van Quetelet toepast. Volgens Quetelet bestaat er een "gemiddelde mens". Daarom zijn de formules van de kans-rekening en van de statistische theorie bruikbaar voor de beschrijving van persoonlijke eigenschappen en gedragswijzen. Ten tweede is in de column over de schaling van het geldnut toegelicht hoe de econoom Berhard van Praag het individuele nut uitdrukt in een wiskundige functie. Alle twee de begrippen, de waarschijnlijkheids-verdeling en de nuts-functie, zijn verwerkt in het huidige model.

Het model is illustratief voor de practische manier, waarop Tinbergen economische verschijnselen benadert. Bovendien is het verhelderend om te zien hoe de eerder behandelde begrippen (menselijke eigenschappen, menselijke nuts-functie) kunnen worden samen gebracht en gecombineerd in één model. En de functionele relaties van het model bieden aangrijpings punten voor het welzijns beleid van de staat, en helpen om onbedoelde neven-effecten te vermijden. Overigens is het model eenvoudig gehouden, en niet meer dan een illustratie van wat er kan.

De eigenschappen van werkzoekenden en van aangeboden posities

Allereerst wordt de arbeids-markt geschetst. Stel dat er I eigenschappen van werkzoekenden zijn, die van belang zijn voor de transacties op de arbeidsmarkt. Neem aan, dat aan elke eigenschap i een indicator t_i kan worden gekoppeld. Er zij een meet-schaal waarmee aan de indicator t_i een numerieke waarde kan worden toegekend voor elke werkzoekende. Uiteraard is een belangrijke eigenschap de intensiteit of productiviteit, waarmee iemand zijn of haar werk doet. Geef die eigenschap het nummer i=1. Voorts is in de column over de schaling van het geldnut gebleken, dat de grootte van het huishouden van de werkzoekende cruciaal is voor het individuele nut. Geef aan deze gezins-eigenschap het nummer i=0. Aldus zijn er in totaal I+1 eigenschappen, genummerd i = 0, ..., I.

Figuur 1: Jan Tinbergen

Kennelijk kunnen de eigenschappen van de werkzoekende worden voorgesteld door een vector t in een ruimte met I+1 dimensies. Mensen zijn dermate verscheiden, dat de I+1 indicatoren onvoldoende zijn om elke werkzoekende uniek te bepalen. Daarom hoort er bij elke vector t een aantal werkzoekenden. Als dat aantal wordt gedeeld door het totale aantal werkzoekenden, dan vindt men de fractie n(t) van werkzoekenden, wiens eigenschappen gelijk zijn aan de vector t. Met andere woorden, de functie n(t) is de meer-dimensionale frequentie-verdeling van de eigenschappen van de werkzoekenden. Men noemt haar ook wel de (kans-)dichtheids functie.

In dit model registreert de meetschaal continue waarden voor de indicatoren t_i. Dien ten gevolge is het handig om n(t) op te vatten als een continue functie in zijn I+1 dimensies. Uiteraard verdwijnt daardoor de afzonderlijke werkzoekende uit beeld, en in diens plaats komt de kans, dat een willekeurige werkzoekende beschikt over zekere eigenschappen. De fractie van werkzoekenden met indicator-waarden in het differentiaal-interval [t_i; t_i + dt_i] (met i = 0, ..., I) wordt gegeven door n(t) × dt, waarbij dt het infinitesimale volume verbeeldt.

Op geheel analoge wijze kunnen de eigenschappen van de aangeboden posities worden gemodelleerd. Werkgevers met een vacature in hun bedrijf stellen een profiel op voor de positie, dat is gebaseerd op de zojuist gedefinieerde eigenschappen. Voor elke vrije positie kan aan de indicator s_i een bepaalde waarde worden toegekend. Echter aangezien de gezins-grootte irrelevant is voor de prestaties op het werk, wordt de eigenschap i=0 hier achterwege gelaten. Dan is de vector s I-dimensionaal. Geef de dichtheids-functie van s in de ruimte van vrije posities weer door m(s).

Aangezien nu t een vector van stochastische variabelen voorstelt, kunnen voor de beroeps bevolking als geheel zijn gemiddelde ν en zijn variantie τ_i² worden berekend. Hierin is τ_i de standaard afwijking van eigenschap i. Evenzo wordt s gekenmerkt door zijn gemiddelde μ voor de vacatures tezamen en door zijn standaard afwijking σ_i. De vraag en het aanbod op de arbeidsmarkt worden in evenwicht gebracht door het arbeidsloon w(s). De evenwichtige markt is helemaal geruimd, zodra elke werkzoekende met eigenschappen t wordt ingehuurd in een vrije positie met eigenschappen s. Dat wil zeggen, er bestaat een unieke transformatie van t naar s. Zij kan worden voorgesteld als de functie t = Ψ(s), of components gewijze t_i = Ψ_i(s).

Definieer nu de matrix F door F_ij = ∂Ψ_i / ∂s_j. In de differentiaal rekening wordt F de functionaal matrix van Ψ genoemd. De determinant van F wordt de Jacobiaan J_F van de transformatie Ψ genoemd, of ook wel de functionaal determinant. Merk vervolgens op, dat het element ds in de ruimte van de vectoren s van vrije posities een volume ds₁ × ds₂ × ... × ds_I omspant. Evenzo omspant het element dt in de ruimte van de vectoren van werkzoekenden een volume dt₀ × dt₁ × ... × ds_I. Uit de differentiaal rekening is bekend, dat de verhouding van de volumes ds en dt juist gelijk is aan de waarde van de Jacobiaan². In formule is dat dt = J_F × ds.

Het zojuist gememoreerde markt evenwicht en de daardoor gegarandeerde marktruiming kunnen worden voorgesteld door de gelijkheid ∫ n(t) dt = ∫ m(s) ds. Als hier wordt ingevuld dt = J_F × ds, dan is het resultaat

(1)     m(s) = J_F × n(t)

Aldus is de arbeidsmarkt in zijn algemene gedaante gemodelleerd. Vervolgens maakt Tinbergen ter vereenvoudiging van het model enkele aannames. Allereerst veronderstelt hij, dat de eigenschappen t_i van de werkzoekende onderling onafhankelijk zijn. Dan wordt de dichtsheids functie n(t) = n₀(t₀) × n₁(t₁) × ... × n_I(t_I). Evenzo zijn de eigenschappen van de vacatures onderling onafhankelijk, zodat er geldt m(s) = m₁(s₁) × n₂(s₂) × ... × n_I(s_I).

Bovendien neemt Tinbergen voor de dichtheids functie n_i(t_i) en m_i(s_i) (met i = 1, ..., I) aan, dat zij normale verdelingen zijn. Met andere woorden, de eigenschappen gedragen zich als een Gauss curve, ook wel de lijn van Quetelet genoemd, omdat die haar als eerste toepaste in de sociologie. De lezer ziet hoe Tinbergen hier het voorbeeld van Van der Wijk navolgt. Bij Van der Wijk is er slechts één eigenschap, namelijk het psychische inkomen. Concreet geldt er nu

(2)     n_i(t_i) = exp(-(t_i − ν_i)² / (2 × τ_i²)) / (τ_i × √(2×π))

Een zelfde formule geldt er voor m_i(s_i), zij het met μ_i en σ_i. Klaarblijkelijk zijn in het model de eigenschappen t_i van de werkzoekenden symmetrisch verdeeld rond hun gemiddelde waarde ν_i. En evenzo zijn de eigenschappen s_i van de vrije posities symmetrisch verdeeld rond hun gemiddelde waarde μ_i. De spreiding is louter toevallig, zonder neiging. Hiermee is de modellering van de arbeidsmarkt voltooid.

De nutsfunctie van de werkzoekende

Tinbergen ontwikkelt een empirische functie voor het nut van een bepaalde vrije positie voor een zekere werkzoekende. De vacature wordt gekenmerkt door de eigenschappen s, en de werkzoekende door de eigenschappen t. Tinbergen hanteert een soortgelijke redenatie voor nuts effecten als is de econoom B.M.S. van Praag in de eerdere column over het nut van geld. Daarin wordt het nut bepaald door de logaritme van de economische grootheden. De nutsfunctie bij Tinbergen luidt³

(3)     u(t, s) = ln((1 − γ) × w(s) / (t₀/ν₀)) − φ(t₁) − Σ_i=2^I λ_i × (t_i − s_i)²

De grootheid γ is de belasting quote, zodat (1 − γ) × w(s) het beschikbare inkomen is. De trouwe lezer van de eerdere columns herkent in de term (1 − γ) × w(s) / t₀ het hoofdelijke inkomen van het huishouden. De term ν₀ is gemaks halve toegevoegd, maar verandert niets aan de nuts verdeling. Naarmate de arbeids-intensiteit t₁ toeneemt, zal gewoonlijk de onlust groeien. Het precieze functionele verband van deze onlust wordt in het midden gelaten, en voorgesteld door de functie φ. Gewoonlijk zal zij toenemen met t₁, en Tinbergen vermoedt zelfs een steeds steiler verloop, in navolging van Sam de Wolff. Inderdaad kan men zich niet onttrekken aan de indruk, dat De Wolff hier de leermeester is⁴.

Figuur 2: Sticker

De laatste term drukt uit, dat verschillen tussen de persoonlijke eigenschappen en de eisen van de positie leiden tot gevoelens van onlust⁵. Gezien de aanname van een willekeurige spreiding in de persoonlijke eigenschappen, zullen zowel positieve als negatieve afwijkingen leiden tot dezelfde onlust. Dat wordt simpel in rekening gebracht door de afwijking te kwadrateren. Het valt op hoe pragmatisch Tinbergen omgaat met het nuts-begrip, en dat hij niet terugschrikt voor de cardinale benadering. Het ligt voor de hand dat Van Praag in zijn eigen werk hieruit moed heeft geput. Bovendien omvat de formule 3 de hedonistische loon-theorie, al schijnt die te stammen van 1974, dus na de publicatie van Economic policy: principles and design. Immers de werkzoekende is bereid om loon in te leveren voor een meer passende positie.

De loonterm w(s) verdient een nadere beschouwing. In de voorgaande paragraaf is opgemerkt, dat althans in dit model het arbeidsloon ontstaat uit het evenwicht op de arbeids-markt. Er is reeds geconstateerd, dat in het evenwicht de vacature s wordt vervuld door een werker met eigenschappen t = Ψ(s). Uiteraard moet de beloning ook afhangen van de hoeveelheid p(s, t), die deze werker kan produceren in zijn baan. Tinbergen gebruikt een productie functie voor de werker van de gedaante

(4)     p(s, t) = α₀ + α₁ × t₁ + Σ_i=2^I α_i × t_i + Σ_i=2^I β_i × s_i

De term α₀ is het basis product, dat afhangt van de gemiddelde baan-eisen μ en van de spreiding σ_i (i = 1, ..., I) ervan⁶. De twee middelste termen in het rechter lid van de formule 4 hangen af van de kwaliteiten van de werker. Enkel de laatste term relateert de productie-functie aan de specifieke eigenschappen s_i van de baan, al levert elke baan-eis natuurlijk ook een kleine bijdrage aan μ en dus aan het vastleggen van α₀.

De oplossing van het markt-evenwicht

Op de arbeids-markt zorgt de wisselwerking tussen de werkzoekenden en de ondernemers voor het markt-evenwicht⁷. De ondernemers zullen vrije posities aanbieden, zolang zij er hun winst mee kunnen vergroten. Hun totale aanbod legt vast welk basis product α₀ er zal worden voort gebracht. Maar verder doet Tinbergen geen uitspraken over de invloed, die de maximalisatie van de winst zal uitoefenen op de grootheden s_i en op de parameters μ en σ_i van hun dichtheids functie.

Wel wordt in het model het besluitvormings proces van de werkzoekende nader bestudeerd. Allereerst zal de werkzoekende kiezen voor een zodanige arbeids intensiteit t₁, dat daardoor zijn nut maximaal wordt. In formule is dat ∂u/∂t₁=0, waarbij u is gegeven door de formule 3. Toepassing van de ketting regel ∂u / ∂t₁ = [∂u / ∂(ln(w))] × [∂(ln(w)) / ∂p] × [∂p / ∂t₁] en van de formule 4 leidt tot het resultaat

(5)     α₁ × ∂(ln(w)) / ∂p = ∂φ / ∂t₁

In de voorgaande paragraaf is al geconstateerd, dat φ(t₁) redelijker wijze stijgend zal zijn. In het simpelste geval is de stijging lineair. Daarom neemt Tinbergen aan dat geldt ∂φ / ∂t₁ = α₁ × L₁, waarin L₁ een constante is. De consequentie is, dat ln(w) een term L₁ × p moet bevatten. Merk op, dat dit model slecht past bij het stelsel van het stukloon, waar w evenredig is aan p. Integendeel, hier stijgt het loon exponentieel met de productie⁸.

Vervolgens zal de werkzoekende kiezen voor de vacature met eigenschappen s, die zijn nut maximaliseert. In formule is dat ∂u/∂s_i = 0 voor i=2, ..., I. Ook hier verleent de ketting regel nuttige diensten: ∂u/∂s_i = [∂u / ∂(ln(w))] × [∂(ln(w)) / ∂s_i]. Tezamen met de formule 4 volgt er

(6)     ∂(ln(w)) / ∂s_i = 2 × λ_i × (s_i − t_i)

Helaas kan uit deze afwijkingen s_i − t_i op de arbeids-markt niet vanzelf worden afgeleid hoe ln(w) zal afhangen van s_i. Tinbergen besluit om een uiterst simpele gedaante te kiezen voor ln(w), namelijk

(7)     ln(w) = ρ × ln(ν₀ / t₀) + L₀ + L₁ × p + Σ_i=2^I L_i × s_i

De p-afhankelijkheid volgt uit de formule 5. De constante L₀ legt een soort statistisch minimum loon vast. De term ln(ν₀ / t₀) heeft in de formule 7 een andere betekenis dan in de formule 3. Hij geeft hier aan dat de staat een bevolkings-beleid ontwikkelt. Huishoudens met een grootte boven ν₀ krijgen een gezins toelage. Anderzijds moeten huishoudens met t₀ < ν₀ wat inleveren van hun arbeids-inkomen, wellicht om de compensatie-regeling voor grote gezinnen te financieren⁹.

Figuur 3: Sticker

Blijkens de formule 7 leidt een toename van één van de eigenschappen s_i (i>1) kennelijk tot een exponentiële loonstijging. Merk op, dat de s_i normaal zijn verdeeld, zodat de kans op extreme uitschieters gering is. Vervolgens kan de formule 4 worden ingevuld in de formule 7, waarna de formule 7 kan worden ingevuld in de formule 6. Het resultaat is, na een simpele omwerking van termen,

(8)     t_i = s_i − (L₁ × β_i + L_i) / (2 × λ_i)

Als de constanten allemaal positief zijn, wat voor de hand ligt, dan zijn klaarblijkelijk in het markt-evenwicht de eigenschappen van de werkzoekende structureel lager dan de baan-eisen. Bovendien is er een één op één relatie tussen de persoonlijke vaardigheden t_i en de eisen s_i. Dien ten gevolge is de Jacobiaan in de formule 1 gelijk aan J_F=1. Kennelijk laat de transformatie t = Ψ(s) de volumina intact. Als bovendien de dichtheids functies worden vereenvoudigd op de manier, die is voorgesteld direct na de formule 1, dan vindt men

(9)     m_i(s_i) = n_i(s_i − (L₁ × β_i + L_i) / (2 × λ_i))

Klaarblijkelijk schrijft de verdeling van de eigenschappen van de werkzoekenden voor, welk assortiment aan banen er moet worden aangeboden. Als n_i(t_i) normaal verdeeld is volgens de formule 2, en evenzo m_i(s_i), dan bestaat er zelfs een directe relatie tussen de wederzijdse gemiddelden en varianties. Zij luidt

(10)    (s_i − μ_i)² / σ_i² = (s_i − ν_i − (L₁ × β_i + L_i) / (2 × λ_i))² / τ_i² − 2 × ln(σ_i / τ_i)

De formules 8 tot en met 10 zijn de kroon op het werk in dit model van de arbeids-markt. Het is kennelijk in het belang van de werk zoekenden, dat de economische structuur rekening houdt met hun vaardigheden en ervaringen. Een goede inrichting van de economie draagt bij aan het maatschappelijke welzijn. Er bestaat zoiets als "gewoon goed werk", al moet direct worden erkend, dat deze conclusie logisch voortkomt uit de keuze van de formule 3.

De zaak wordt nòg duidelijker, wanneer wordt verondersteld dat de ondernemers bij hun vraag naar werkers rekening houden met de aangeboden vaardigheden. De formule 10 vereenvoudigt aanzienlijk door aan te nemen, dat de ondernemers banen creëren volgens de vuistregel σ_i = τ_i. Immers dan moet er gelden

(11)    μ_i = ν_i + (L₁ × β_i + L_i) / (2 × λ_i)

Dat wil zeggen, de gemiddelde eis i van alle banen tezamen voldoet aan dezelfde formule 8 als de afzonderlijke eis i van iedere baan. Zowel de nuts constante λ_i als de loon constanten L_i oefenen invloed uit op de relatie. De ondernemers hebben enige speelruimte bij het creëren van banen door de belonings structuur van de formule 7 slim te kiezen. Op p.242 van Economic policy: principles and design wijst Tinbergen er op, dat ook de staat enige invloed kan uitoefenen. Dat is direct duidelijk voor de belasting quote γ. Bovendien kan de staat via het onderwijs beleid de eigenschappen t_i veranderen. En tenslotte kan de staat via een macro-economisch loon-beleid ingrijpen in de functie w(s). Dit alles wordt verder uitgewerkt in de volgende paragraaf.

Toepassing op het overheids-beleid

Op p.194 en verder in Economic policy: principles and design laat Tinbergen zien hoe de staat aan de hand van dit eenvoudige arbeids-markt model een welzijns-beleid kan ontwikkelen. In het bijzonder blijkt de staat de inkomens verdeling te kunnen aansturen. Om te beginnen kan uit de formule 4 direct de landelijke productie per werker worden berekend:

(12)     p_land = α₀ + α₁ × ν₁ + Σ_i=2^I α_i × ν_i + Σ_i=2^I β_i × μ_i

Uiteraard zal de algehele welvaart toenemen, naarmate de gemiddelde productie p_land per werker toeneemt. Dat is te bereiken door ν₁ te vergroten, bijvoorbeeld door aan te moedigen, dat de werkers meer discipline ontwikkelen. De formule 3 laat zien, dat zo een beleid tweesnijdend is. Enerzijds neemt de tevredenheid toe door de stijgende w, maar anderzijds ontstaat er wegens de functie φ(t₁) onlust. Dit is precies wat ook Sam de Wolff betoogt in zijn arbeids waarde leer. Een beter beleids middel is de verhoging van ν_i (i = 2, ..., I) door middel van onderwijs en (bij-)scholing. Blijkens de formule 12 neemt daardoor p_land toe zonder onwenselijke neven-effecten.

Figuur 4: NVV actie 1939

Gewoonlijk voelen mensen zich gelukkiger in een egalitaire maatschappij. Daarom kan de staat het welzijn bevorderen door de spreiding van de inkomens te verminderen. Het model bevat daadwerkelijk formules waaruit de nationale inkomens ongelijkheid kan worden berekend. Substitueer daartoe de formule 4 in de formule 7, en elimineer de term L₁ × β₁ + L_i met de formule 11. Het resultaat is

(13)     ln(w) = ρ × ln(ν₀ / t₀) + L₀ + L₁ × (α₀ + α₁ × t₁ + Σ_i=2^I α_i × t_i) + 2 × Σ_i=2^I (μ_i − ν_i) × λ_i × s_i

Tinbergen neemt aan, dat ln(t₀) normaal is verdeeld, waarbij de variantie τ₀² is¹⁰. Eerder is al aangenomen, dat de overige t_i en s_i normaal zijn verdeeld. Het is bekend uit de statistische theorie, dat functies met de eigenschappen van ln(w) zelf normaal zijn verdeeld. Om precies te zijn, ln(w) moet een variantie hebben gelijk aan¹¹

(14)     σ_ln(w)² = ρ² × τ₀² + L₁² × α₁² × τ₁² + L₁² × Σ_i=2^I α_i² × τ_i² + 4 × Σ_i=2^I (μ_i − ν_i)² × λ_i² × σ_i²

De formule 14 bevat aanwijzingen hoe de spreiding in de inkomens kan worden verminderd, en is daarom fascinerend. Beschouw de eerste term met de grootheid ρ, die de gezins toelage modelleert. Het lijkt alsof de nivellering het best is gediend met ρ=0, maar dat is een misvatting. Wordt namelijk de formule 13 ingevuld bij de formule 3, dan verschijnt er in de individuele nuts-functie u een gezins-term (ρ − 1) × ln(ν₀ / t₀). Klaarblijkelijk kan een gezins-toelage met ρ=1 het nut u onafhankelijk maken van de familie-planning. Met andere woorden, in laatste instantie moet niet worden gekeken naar het arbeids-inkomen per huishouden, maar naar het arbeids-inkomen per hoofd.

Het spreekt voor zich, dat het model lang niet alle aspecten omvat, die in werkelijkheid wezenlijk zijn voor de arbeidsmarkt. Onvolledigheid is het noodlot van elk model. Echter maakt de wiskundige voorstellings wijze de probleem stelling transparanter en verheldert zij de afhankelijkheden tussen de diverse grootheden. Voor het economische inzicht geeft het model meer kracht dan bijvoorbeeld de trefwoorden lijst van Hendrik de Man, die trouwens evenmin volledig is. Aldus is het model bij uitstek geschikt om denkfouten te vermijden of aan het licht te brengen.

1. Zie p.236 en verder in Economic policy: principles and design (eerste druk 1967; 1975, North-Holland publishing company) van Jan Tinbergen.
2. In de Heterodoxe Gazet wordt steeds geprobeerd om theorieën zo volledig mogelijk uit te leggen, Des ondanks is dit nooit geheel haalbaar, en komt er soms een moment, waarin beweringen als een gegeven moeten worden gepresenteerd. Uw columnist maakte kennis met de betekenis van de Jacobiaan (determinant van Jacobi) in het eerste jaar van de natuurkunde studie. Intertijd gaf prof.dr.F. van der Blij colleges differentiaal rekening uit het boek Infinitesimaal-rekening (1969, uitgeverij Het Spectrum), dat hij zelf had geschreven tezamen met dr.J. van Tiel. De Jacobiaan als verhouding van volumes wordt genoemd op p.71, maar het bijgevoegde bewijs behandelt slechts het twee-dimensionale geval. Een infinitesimale rechthoek op de plaats s met zijden ds₁ en ds₂ wordt door Ψ bij benadering getransformeerd in een trapezium op de plaats t=Ψ(s). Er geldt bij benadering dt₁ = Ψ₁(s₁+ds₁, s₂) − Ψ₁(s₁, s₂) = ds₁ × ∂Ψ₁/∂s₁ en dt₂ = Ψ₂(s₁, s₂+ds₂) − Ψ₂(s₁, s₂) = ds₂ × ∂Ψ₂/∂s₂. Aldus komt men bij de volume (in dit geval een oppervlakte) berekening tot het product ∂Ψ₁/∂s₁ × ∂Ψ₂/∂s₂. Wegens de trapezium vorm is nog een oppervlakte correctie nodig, die bestaat uit het product -∂Ψ₂/∂s₁ × ∂Ψ₁/∂s₂. Tezamen vormen deze termen de Jacobiaan, te weten de determinant van de matrix ∂Ψ_i/∂s_j in twee dimensies.
3. De geïnteresseerde lezer kan in de column over arbeids-vreugde en arbeids-leed nalezen, dat de werkelijkheid aanmerkelijk complexer is dan de formule 3 van Tinbergen zou doen vermoeden. In de genoemde column noemt Hendrik de Man enkele tientallen invloeds factoren van arbeids (on)lust met een vak-inhoudelijke, organisatorische en maatschappelijke strekking. Zie daarnaast de column over arbeids motivatie. Ook negeert de formule van Tinbergen het optreden van de zogenaamde preferentie drift.
4. Tinbergen heeft zowel Sam de Wolff als Jacob van der Wijk persoonlijk gekend, en heeft hun economische publicaties bestudeerd. De lezer ziet hoe alles in de Heterodoxe Gazet samen hangt. In de column over de arbeidswaarde leer van Sam De Wolff blijkt, dat die een lineaire toename van de onlust-intensiteit met de arbeids-tijd verwacht. De onlust neemt dan kwadratisch met de arbeids-tijd toe. Overigens hangt de arbeids-intensiteit t₁ nog af van andere factoren dan de lengte van de arbeids-dag. Immers er zijn tal van ingrepen denkbaar, die zorgen voor een grotere productie. Het kan gaan om discipline en concentratie, of om het verminderen van pauzes en vacanties. In alle gevallen moet de werker zich meer inspannen. Meer nog dan de arbeidswaarde leer verdient het model aandacht, dat Sam de Wolff opstelt voor de optimale omvang van het nationale product. Want in dat model beweert De Wolff, dat de werkers alleen gevoelig zijn voor het verschil van de lusten en de onlusten. Ze zijn bereid een enorm arbeids-leed te dragen, mits dat tenminste wordt gecompenseerd door een navenante beloning. Met de formule 3 beweert Tinbergen hetzelfde! In werkelijkheid bestaan er natuurlijk(e) grenzen aan het menselijke draag vermogen. Het model van De Wolff is grotendeels gewijd aan de winst maximalisatie door de ondernemers, iets wat buiten het model van Tinbergen valt. Bij De Wolff kiezen de ondernemers de arbeids-intensiteit s₁ van hun vacatures zodanig, dat de winst maximaal wordt. De ondernemers staan in zijn model sterker, omdat De Wolff uitgaat van een structurele werkloosgheid. Er is geen ruiming op de arbeidsmarkt. Het model van Tinbergen kent wèl een markt-ruiming, met als consequentie dat de werkzoekenden de arbeids-tijd kunnen dicteren aan de ondernemers.
5. Bots dicht in Lied van de werkende jeugd: Wij zijn Mien Kous, Piet Staal, Jan Dap en Tinus Teevee. / Wij zijn zestien jaar en we zijn met ons werk heel tevree. / Om vijf uur vrijdags pleuren, al weer een week voorbij. / Geen baas die meer komt zeuren, want het weekend is van mij. / Wij zetten de radio meestal op Hilversum Drie. / Je hoort wel geen zak, maar wie let daar nou op, zeg op wie? / De machines staan te bonzen, al weer een auto klaar; / En je oren blijven gonzen, maar wie vindt dat nou raar? / En je weet wat je hebt en je hebt wat je weet, en alles dat staat vast. / En je maakt je geen zorgen, je schijt op de rest, want wij zijn aangepast.
6. Tinbergen vermeldt nergens dat t_i en s_i per se positief moeten zijn. Daarom zou in beginsel het product p lager kunnen zijn dan α₀.
7. En de Oost-Duitse bard Wolf Biermann dicht in Streik bei Thyssen: Die Arbeiter waren ausgesperrt. / Streikposten vor dem Haupttor / Die sagten zum Betriebsrat: Du / Das stell dir überhaupt vor. / Wir friern uns hier noch einen ab / Beim Warten und beim Beraten -. / Herr Thyssen sitzt inzwischen warm / Zuhaus beim Weihnachtsbraten! / So standen sie in der Heiligen Nacht / Und sahen wenig Sonne. / Und wärmten sich die Finger an / Der alten durchlöcherten Tonne. / Es glühte der Koks. Und als die Fraun / Noch Punsch und Kuchen brachten / Da sangen sie Oh-Tan-ne-baum! / Und fluchten und tranken und lachten.
8. Op zich is zit er logica in de aanname, dat het loon exponentieel stijgt met p, en dus met t₁. Vaak zijn werkers erg onwillig om hun arbeids tijd te verlengen. Zie de aanbod curve in de column over arbeids vreugde. Merk voorts op dat dit model van φ(t₁) voorbij gaat aan de menselijke behoefte om iets omhanden te hebben. In beginsel bestaat er zoiets als arbeids lust. In het model kan dat achterwege blijven, omdat in werkelijkheid gewoonlijk t₁ buiten dit gebied zal liggen.
9. Gevoelsmatig oogt de term ρ × ln(ν₀ / t₀) in de formule 7 vreemd, omdat hij negatief is voor t₀ > ν₀. Wellicht was het duidelijker geweest om de term aan beide zijden van de gelijkheid af te trekken. Immers dan verschijnt hij in het linker lid als een extra inkomen voor de grote gezinnen.
10. Tinbergen vermeldt dit niet, maar de aanname volgt uit de context van p.243 in Economic policy: principles and design.
11. Zie elk fatsoenlijk inleidend boek over statistische theorie. Uw columnist heeft ooit Introduction to mathematical statistics (1978, Macmillan publishing co., Inc.) van R.V. Hogg en A.T. Craig aangeschaft ten behoeve van zijn natuurkunde studie. Op p.168, een zijde die indertijd ergens in 1978 gelukkig de lekkende beker melk heeft overleefd, wordt een handig theorema vermeld: stel X_i is normaal verdeeld volgens n(μ_i, σ_i²). Stel alle X_i met i = 1, ..., I zijn wederzijds stochastisch onafhankelijk. Dan is Y = Σ_i=1^I α_i × X_i normaal verdeeld volgens n(Σ_i=1^I α_i × μ_i, Σ_i=1^I α_i² × σ_i²). Dat wil zeggen, σ_Y² = Σ_i=1^I α_i² × σ_i². Het hier toegepaste theorema is een eenvoudige versie van het Centrale Limiet Theorema, dat Van Praag gebruikt in zijn model van geldnut.