Intussen zijn op deze portaal talloze modellen gepresenteerd om de macro-economische dynamiek van landen door te rekenen. De huidige column besteedt aandacht aan twee thema's, die steeds hebben ontbroken, te weten de invloed van de prijzen en de invloed van de buitenlandse handel. Weliswaar is het prijs-systeem verklaard met de theorie van Sraffa, maar dat is nauwelijks in staat om dynamisch gedrag te modelleren. De Nederlandse econoom Jan Tinbergen heeft enkele voorstellen gedaan om het Harrod-Domar model uit te breiden met een prijs-effect. Het is de moeite waard om zijn ideeën hier te herhalen.
De toevoeging van de buitenlandse handel is essentieel in geval een land moet worden gemodelleerd, dat beschikt over een open economie. Immers dan werken de mondiale invloeden door in de binnenlandse verhoudingen. Vaak is zo een land niet autark (in staat om de eigen behoeften te dekken), maar moet zij bepaalde producten importeren. Dan is er sprake van een internationale arbeids verdeling. Het land profiteert het meeste van de internationale ruil, wanneer het zich specialiseert in het type productie, waarin het bij uitstek concurrerend is. Het vergelijkende voordeel (in de Engelse taal comparative advantage) van het land blijkt uit de relatief lage productie-kosten.
In zulke gevallen ligt de binnenlandse prijs van het product beneden de prijs op de wereldmarkt. Het product kan op de wereldmarkt worden verkocht tegen een extra-winst. Theoretisch zou een land zich helemaal kunnen toeleggen op de productie van enkel zulke goederen. In de practijk doet deze toestand zich nooit voor, omdat er altijd bijkomende transport kosten zijn, wanneer er wordt gehandeld met het buitenland. Bovendien is zelfs op de wereldmarkt de vraag naar een product niet onbeperkt. Dien ten gevolge zal er altijd een diversificatie nodig zijn van de nationale productie1.
In het boek Mathematical models of economic growth voegt Tinbergen de variabele prijzen en de buitenlandse handel toe aan zijn meer-sectoren model2. Het meer-sectoren model is behandeld in een voorgaande column, maar zal hier toch kort worden uiteengezet. Stel het economische systeem heeft N productieve sectoren, elk met een productie-omvang van Qn (n=1, ..., N). Elke sector n levert zijn product aan de andere sectoren m, waar zij tijdens de productie worden verbruikt als productie-factoren, met een hoeveelheid van qnm. Bovendien verstrekt de sector n zijn goederen aan de sector m voor diens investeringen, met een hoeveelheid van jnm. Uiteraard zal ook een deel van het product Qn dienen voor de binnenlandse consumptie Cn. Dan blijft er voor de export over
(1) En = Qn − Cn − Σm=1N (qnm + jnm)
In de formule 1 stelt En het verschil voor van de export en de import. Met andere woorden, als er meer wordt verbruikt dan geproduceerd, dan zal er een hoeveelheid -En moeten worden geïmporteerd. In die situatie is En negatief. Zoals steeds in Mathematical models of economic growth definieert Tinbergen de investerings-functie door
(2) jnm = κnm × (Qm(t + θ) − Qm(t)) / θ
De grootheid θ is de periode, die ligt tussen de investering van de sector m en het productief worden van die investering. De matrix κnm is de "partiële" kapitaal-coëfficiënt. De totale investeringen bedragen
(3) I = Σn=1N pn × Σm=1N jnm
In de formule 3 is pn de stuksprijs van het door de sector n voort-gebrachte product. Aldus zijn de grootheden in de formule 1 daadwerkelijk hoeveelheden, en moet hun waarde apart worden bepaald door de vermenigvuldiging met de product-prijs. In de zojuist genoemde eerdere column over het meer-sectoren model is dit niet het geval. Daar zijn de prijzen simpelweg pn=1, zodat de hoeveelheden gelijk zijn aan hun waarden.
De prijs-vector p verschijnt ook in de formule voor het nationale inkomen
(4) Y = Σn=1N pn × (Qn − Σm=1N qnm) = Σn=1N pn × (Qn − Σm=1N anm × Qm)
In het meest rechter deel van de formule 4 zijn de productie-coëfficiënten anm = qnm / Qm ingevuld. Hierdoor kan worden overgestapt op de simpele vector-vorm Y = p · (I − A) · Q, waarin I de eenheids-matrix is en de matrix A de elementen anm heeft. Die schrijfwijze heeft enkel zin, wanneer de anm niet afhangen van Qm.
De besparingen S worden weer eenvoudig berekend uit het nationale inkomen via de spaarquote σ = S/Y. Hierin is σ onafhankelijk van Y, en van de tijd t. Voorts gaat het model uit van een gebalanceerde groei met S=I. De consumptie is C = Y-S. Tinbergen kiest weer de bekende consumptie-functie, echter nu met een prijs-effect
(5) pn × Cn = γn × C + pn × Γn + Σm=1N γnm × pm
In de formule 5 zijn γn de marginale consumptie neigingen van het product n, en Γn is de autonome consumptie ervan. De extra term met de "partiële" consumptie neigingen γnm moet bewerken, dat de autonome consumptie reageert op de prijs-wijzigingen in de andere sectoren.
Een bijzonder aspect van het model is de dynamische reactie van de product-prijs pn op het productie-volume Qn. Dit is een duidelijk verschil met de theorie van Sraffa, dat een systeem met markt-evenwicht beschrijft. Immers de beleids maker wil hier zijn vergelijkende concurrentie voordeel optimaal benutten, en zal daarom zoveel mogelijk van zijn product specialiteit willen afzetten op de wereldmarkt. Echter afhankelijk van de prijs-elasticiteit van de vraag zal die afzet de mondiale product-prijs neerdrukken. Kortom, er geldt dat pn = pn(Qn).
Volgens Tinbergen wordt de situatie complexer, wanneer het land een onderscheid maakt tussen de binnenlandse prijzen en de prijzen op de wereldmarkt3. Ook zou men de substitutie tussen producten in rekening kunnen brengen. Daarnaast vormen de eventuele schaal-effecten een tweede oorzaak voor de afhankelijkheid pn(Qn) tussen de product-prijs en de productie omvang. Die schaal-effecten verwijzen naar de kosten-functie van de productie. Immers in het markt-evenwicht snijdt de vraag-curve de aanbod-curve, die de kosten weergeeft. Vraag en aanbod bepalen tezamen de prijs. Dit is grafisch geïllustreerd in de figuur 2, met twee kosten-functies, behorend bij een verschillende productie-schaal.
Bij de toepassing van dit model moet men zich indenken, dat de beleids maker te maken heeft met een gegeven productie Q(0) op het tijdstip t=0. Daarmee zijn eveneens de product prijzen pn(Q(0)) een gegeven. Via een eenvoudig één-sectoraal model is al voor een bepaalde spaarquote σ gekozen. Dien ten gevolge kan een geldsom S(0) = σ × Y(0) worden geïnvesteerd. De uitdaging voor de beleids maker is om uitgaande van de geldsom S(0) een maximaal nationaal inkomen Y(θ) te bereiken aan het einde van de investerings-periode θ. Hij of zij zal daarvoor alle mogelijke productie-opties Q(θ) moeten onderzoeken.
In de wiskunde wordt dit het zogenaamde probleem van Lagrange genoemd. Het vereist voor het tijdstip θ de oplossing van het stelsel vergelijkingen
(6) ∂Y / ∂Qn + λ × ∂S(0) / ∂Qn = 0
De parameter λ van de formule 6 wordt de multiplicator van Lagrange genoemd. Merk op dat Qn(θ) voorkomt in de formule van S(0) wegens S=I en wegens de formules 2 en 3. Helaas breekt Tinbergen op dit punt, juist nu het spannend begint te worden, zijn uitleg af. Des al niettemin geeft het voorgaande al een goede indruk van waar precies de problemen liggen voor de beleids makers, en hoe ze kunnen worden aangepakt.
In Mathematical models of economic growth wordt het zojuist gepresenteerde model met name aanbevolen voor de beleids vorming met betrekking tot de buitenlandse handel. Inderdaad is voor een economie in ontwikkeling de import van sommige essentiële producten een absolute voorwaarde. En die import is enkel mogelijk, wanneer de daarvoor noodzakelijke buitenlandse valuta worden verdiend via de export. De handels balans Σn=1N En moet ten minste in evenwicht zijn. Des al niettemin is duidelijk - al schrijft Tinbergen dat niet expliciet -, dat er eigenlijk evenzeer bij de planning voor de binnenlandse markt rekening moet worden gehouden met de prijs-effecten.
Het model van de voorgaande paragraaf is nuttig om de wenselijke ontwikkeling van de economische structuur te onderzoeken. Het is evenwel tamelijk omslachtig. Vaak zal de beleids maker kunnen volstaan met een eenvoudiger model, en daaruit zelfs een dieper inzicht verwerven. Stel bijvoorbeeld dat de centrale plan organisatie het toekomstige nationale inkomen Y maximaal wil maken, onder de voorwaarden van een volledige bezettings-graad van het kapitaal, een evenwicht op de handels balans, en een gegeven spaar-quote4.
Het model beschrijft een open economie. Tinbergen vat het buitenland op als een aparte sector, en noemt daarom dit model een twee-sectoren model. In feite is het een eenvoudig één-sectoraal model van het Harrod-Domar type, met als de basis-formules S = σ×Y, S=I, I = ∂K/∂t. en K = κ × Q. Merk op dat hier een onderscheid wordt gemaakt tussen het nationale inkomen Y en het nationale (fysieke) product Q. Het doel van het model is om de voorwaarden te berekenen, waaronder het land zijn internationale handel zal moeten ondernemen (in de Engelse taal de terms of trade). Daarvoor is het nodig om de handels overschotten En te splitsen in de export hoeveelheden EXn en de import hoeveelheden IMn. Aangezien het model één-sectoraal is, geldt dat n=N=1.
Stel de export heeft een gemiddelde prijs pEX(EX), en de import heeft een gemiddelde prijs pIM(IM). Uiteraard vertonen de product prijzen weer het gedrag van de figuur 2, afhankelijk van de prijs-elasticiteiten van de vraag. Het prijs gedrag van EX en IM verschilt, omdat de goederen samenstelling anders is. Met name de ontwikkelings landen hebben soms een eenzijdig export assortiment van grondstoffen (olie, gas, delfstoffen, landbouw producten zoals koffie of suikerriet, enzovoort), terwijl hun import vaak bestaat uit kapitaal goederen. Vanzelf sprekend heeft het land er voordeel bij om de verhouding π = pEX(EX) / pIM(IM) maximaal te maken5.
Het verschil tussen het nationale inkomen Y en het nationale product Q blijkt, wanneer hun balansen worden opgeschreven:
(7a) Q = C + I + EX − IM
(7b) Y = C + I + pEX × EX − pIM × IM
De schrijfwijze van de formule 7b oogt ietwat slordig, omdat C en I niet zijn voorzien van hun prijzen. Kennelijk wordt hier gemaks halve pC = pI = 1 genomen, waarbij deze prijzen ruwweg overeenkomen met de algemene binnenlandse prijs-index. De prijs-index is als het ware de numéraire voor de export- en import-prijzen.
De evenwichtige handels balans wordt gekenmerkt door pEX × EX = pIM × IM, dat wil zeggen, door π×EX = IM. Bij een gegeven pIM geldt dat EX = EX(π), waarbij de prijs-elasticiteit van de vraag EX is gedefinieerd als ε = (∂EX / ∂π) / (EX / π). Onder normale omstandigheden zal ε negatief zijn. Neem gemaks halve aan dat de elasticiteit ε niet afhangt van EX, dan geldt er EX = η × πε, waarin η de waarde van EX voor π=1 representeert. Definieer tenslotte de import quote ι als IM/Q. Met al deze relaties vindt men na enig stug rekenwerk het tijds-gedrag van de prijs-verhouding π:6
(8) π(t) = (π(0) - β) × eα×t + β
In de formule 8 is gemaks halve gedefinieerd α = (σ/κ) × (1+ι) / (1+ε) en β = ι / (1+ι). Dit laat zien, dat kennelijk voor ε>-1 de prijs verhouding gunstiger wordt met het verstrijken van de tijd. In dat geval worden de handels voorwaarden steeds beter. Als evenwel ε<-1, dan ziet de toekomst er droevig uit.
In al zijn eenvoud is het toch een vernuftig model. Zo kan uit IM=ι×Q en EX=η×πε worden geconcludeerd dat Q = (η/ι) ×π1+ε. Dit laat zich goed combineren met de relatie Y = (κ/σ) × ∂Q/∂t. Immers de beleids maker kan nu bepalen welke spaar-quote leidt tot het optimale nationale inkomen Y. Dat vereist ∂Y/∂σ = 0, en wegens de zojuist geciteerde verbanden en de formule 8 moet daarvoor gelden ∂π/∂σ = 0. Dat leidt tot de voorwaarde ∂(α × t)/∂σ = 0, en dus α×t = constant, zodat klaarblijkelijk de spaar-quote omgekeerd evenredig met de tijd zou moeten afnemen!
In zijn latere boek Economic policy: principles and design voegt Tinbergen verfijningen toe aan het zojuist beschreven model7. Daardoor worden ze realistischer en algemener toepasbaar. Daarom zal waarschijnlijk het formalisme, dat in Economic policy: principles and design is beschreven, al dicht in de buurt komen van de methodiek, zoals die gangbaar is in centrale plan bureau's. De keerzijde van de aanpak is, dat wegens de toegenomen complexiteit er geen analytische oplossingen van de formules meer bestaan. De modellen moeten numeriek worden opgelost.
Een verschil met het stelsel 7a-b is dat er geen expliciet onderscheid wordt gemaakt tussen de consumptie C en de investeringen I. Deze twee grootheden worden eenvoudig gebundeld in de reële binnenlandse bestedingen B. In de plaats van de investerings- en de consumptie-functies komt de bestedings-functie
(9) p × B = γ1 × Y + β + γ2 × p
In de formule 9 is p het binnenlandse prijs-peil. De grootheid γ1 is de marginale bestedings neiging. De autonome bestedingen hebben een "nominale" component β en een prijs-afhankelijke component γ2×p. De grootheid γ2 wordt de prijs-coëfficiënt van de bestedingen genoemd. Zij laat zien wat de huishoudens in ieder geval reëel, fysiek, willen besteden, en hangt uiteraard af van de prijs-elasticiteit van de vraag.
In deze benadering is het reële binnenlandse product gelijk aan Q = B + EX. Een verschil met de voorgaande paragraaf is ook dat de export prijs pEX mag verschillen van de prijs pW van de export goederen op de wereldmarkt. De formule EX = η × πε blijft geldig, maar hierin stelt π nu de verhouding pEX / pW voor. De import wordt gekoppeld aan de import-quote ι = IM/Q. Voorts wordt er ruimte geboden aan een tekort (in de Engelse taal deficit) op de handels balans:
(10) D = pEX × EX − pIM × IM
Wellicht is het belangrijkste verschil met het model uit de voorgaande paragraaf de precisie, waarmee in het huidige model de prijzen worden berekend. Aldus wordt het binnenlandse prijs-peil voorgesteld door de formule8
(11) p = p0 × QτQ × pLτL × pIMτIM
De formule 11 heeft de gedaante van een uitgebreide Cobb-Douglas functie. De grootheid pL is de prijs van de factor arbeid, dat wil zeggen, het binnenlandse loon-peil. De coëfficiënten τQ, τL, en τIM hangen af van de diverse prijs-elasticiteiten. Immers het producenten gedrag bepaalt in hoeverre de productie kosten worden doorgegeven aan de klant. De grootheid p0 is eenvoudig een evenredigheids constante.
Op een analoge manier wordt de export-prijs gemodelleerd
(12) pEX = pEX,0 × QρQ × pLρL × pIMρIM × pWρW
De coëfficiënten ρQ, ρL, en ρIM verschillen van de coëfficiënten in de formule 11. Bovendien komt in de formule 12 de wereldmarkt prijs voor, met als coëfficiënt ρW.
Er bestaan bepaalde afhankelijkheden tussen de coëfficiënten en de diverse grootheden in het model9. Bijvoorbeeld mag er worden verondersteld, dat ρQ en τQ bij benadering evenredig zijn met Q / (Q + IM), en dus omgekeerd evenredig aan 1+ι. Immers naarmate de import belangrijker wordt, neemt de invloed van de binnenlandse productie kosten op p en pEX af. Net zo zullen ρIM en τIM bij benadering evenredig zijn aan IM / (Q+IM), en dus evenredig aan ι / (1+ι). Voorts neemt Tinbergen aan, dat ε en EX evenredig zijn10.
Er is ook een afhankelijkheid van de coëfficiënten wegens de tijds-horizon11. Als een bepaalde grootheid verandert van waarde, dan zal dit op de korte termijn vooral invloed hebben op één andere grootheid. Maar op de langere termijn zal de verandering meer invloed uitoefenen, omdat met enige vertraging ook de andere grootheden gaan reageren op de wijziging. Stel bijvoorbeeld dat het loon-peil stijgt. Blijkens de formules 11 en 12 werkt dat direct door in p en pEX, met een weging via de coëfficiënten τL en ρL. Echter op de lange termijn zullen de tarieven van de zelfstandige werkers mee stijgen met de lonen, waardoor p en pEX nogmaals zullen toenemen. Het model brengt dat in rekening door voor de lange termijn grotere waarden voor τL en ρL te gebruiken.
Lezers die willen weten wat voor soort formules dit model oplevert voor de macro-economische grootheden zoals Y, Q, D, en p, worden aangemoedigd om p.106 en verder in Economic policy: principles and design na te slaan. Tinbergen raadpleegt econometrische studies om de waarden te vinden van de diverse elasticiteiten en coëfficiënten. Helaas zijn zulke gegevens niet bijster trefzeker, en dat maakt het model subjectief. Bovendien zijn de formules 11 en 12 een wel zeer sterke vereenvoudiging van de werkelijkheid. Bijvoorbeeld zou men graag willen weten wèlke export-sectoren bij uitstek worden geraakt door het wijzigende loonpeil enzovoort12. Deze kanttekeningen onderstrepen dat het economische beleid de verantwoordelijkheid is en moet blijven van de politici, en niet van de economische wetenschap.