Figuur 1: Sticker Voedingsbond
In een reeks van recente columns zijn groei-modellen beschreven uit het boek Mathematical models of economic growth van Jan Tinbergen1. Het betreft steeds simpele modellen, met één of twee sectoren. In de huidige column worden meer-sectoren modellen beschreven, die bovendien formules bevatten voor de inter-sectorale uitwisseling van productie-factoren. Tevens kan daarin elke sector investerings- of kapitaal-goederen produceren. Met name komen het model van Feldman en het grondmodel van de dynamische vervlechtings-balans nogmaals ter sprake. De aanpak van Tinbergen wordt vergeleken met die van de Leninistische econome Eva Müller.
Een voorgaande column geeft een gedetailleerde beschrijving van het model van Feldman, zoals dat is beschreven door Joan Robinson en John Eatwell2. Ook Tinbergen wijdt er over uit, zij het dat hij de naam van Feldman niet noemt3. Het model heeft drie takken of sectoren, te weten
Tinbergen noem de producten van sector 1 de tweede orde kapitaal goederen, en die van sector 2 de eerste orde kapitaal goederen. In beginsel zou men het aantal orden verder kunnen uitbreiden door nog meer sectoren toe te voegen, maar dat zou weinig extra inzicht opleveren. Het cruciale element van dit model is natuurlijk het onderscheid in kapitaal goederen. Het kapitaal in de sectoren 1 en 2 mag niet zomaar worden geaggregeerd, omdat het niet vrij uitruilbaar is. Dit probleem van de niet-uitwisselbare kapitaal-goederen is ook al aangekaart in een voorgaande column. Hiermee samenhangend is de vraag of de sector, die de kapitaal goederen van de hoogste orde voortbrengt, wellicht enkel de factor arbeid benut, en geen kapitaal meer. Zij kan worden beantwoord door de bedrijfs kolom in detail te analyseren.
In dit eenvoudige drie-sectoren model wordt aangenomen, dat de sector 1 zijn eigen kapitaal goederen voortbrengt, naast die van sector 2. De beschrijving in Mathematical models of economic growth is het vermelden waard, omdat zij enkele aspecten uitwerkt, die ontbreken bij Robinson en Eatwell. Allereerst wordt kort het formalisme herhaald. Het model is dynamisch, zodat alle grootheden afhangen van de tijd t. Wegens de definitie van de sectoren 2 en 3 voldoet de hoeveelheid product (of het sectorale inkomen) van de sector 2 aan Y2 = I3 = ∂K3/∂t = κ3 × ∂Y3/∂t. Hier staat het symbool I voor de investeringen, K is de voorraad aan kapitaal goederen, en κ3 is de (tijds-onafhankelijke) kapitaal-coëfficiënt van de sector 3.
Eveneens moet wegens de definitie van de sectoren 1 en 2 de hoeveelheid product van de sector 1 voldoen aan Y1 = I1 + I2 = ∂K1/∂t + ∂K2/∂t = κ1 × ∂Y1/∂t + κ2 × ∂Y2/∂t. Het nationale product (of inkomen) bedraagt Y = Y1 + Y2 + Y3. Daarvan wordt een deel C geconsumeerd, waarvoor moet gelden dat Y3 = C = Y-I = Y-S = (1 − σ) × Y. In deze identiteit is het evenwicht van investeringen en besparingen aangenomen (I=S), terwijl bovendien de spaarquote σ onafhankelijk is van Y of zelfs van t.
In analogie met Robinson en Eatwell constateert Tinbergen, dat in het bijzondere geval dat Y2/ Y1 = constant de oplossing voor het nationale inkomen als vorm heeft Y(t) = η + ζ×t + ξ × eε×t, waarin η, ζ, ξ en ε afhangen van de economische structuur, maar niet van de tijd4. Voor het meer algemene geval wordt de ontwikkeling van Y(t) beschreven door een differentiaal vergelijking van de tweede orde5
(1) σ × Y − ((1 − σ) × κ3 + σ × κ1) × ∂Y/∂t + κ3 × (κ1 − κ2) × (1 − σ) × ∂²Y/∂t² = 0
Zoals gebruikelijk is voor zulke differentiaal vergelijkingen kan men de probeer oplossing Y(t) = Y(0) × eg×t invullen. Het resultaat is een formule voor de algemene groeivoet g:
(2) σ − ((1 − σ) × κ3 + σ × κ1) × g + κ3 × (κ1 − κ2) × (1 − σ) × g² = 0
De kwadratische vergelijking 2 is eenvoudig oplosbaar, maar leidt tot twee monster-achtige wortels voor g. Echter in speciale gevallen krijgt g een hanteerbare gedaante. Zo een geval is κ1 = κ2. Dan is g = σ / κ, waarin κ = (1 − σ) × κ3 + σ × κ1 als het ware een met σ gewogen kapitaal-coëfficiënt is. Men herkent in deze g de bekende uitdrukking voor gebalanceerde groei (in de Engelse taal warranted) in het Harrod-Domar model.
In beginsel ligt de sector 1 aan de basis van de economische groei. In de practijk behoren bijvoorbeeld de mijnbouw en de zware industrie tot deze sector. Vaak zijn deze activiteiten kapitaal-intensief, zodat κ1 en κ2 groter zijn dan κ3. Dien ten gevolge hebben de sectoren voor de productie van kapitaal goederen een lage kapitaal-productiviteit. Met andere woorden, er moet veel worden gespaard om de groei in stand te houden.
Een essentieel kenmerk van de moderne economie is de verwevenheid van de productie. De arbeids-deling is ver voortgeschreden, waardoor elke onderneming slechts een schakel wordt in de lange productie-keten. Ieder legt zich toe op de productie van datgene, waarmee hij het meest concurrerend is. De ondernemingen leveren allerlei grondstoffen, tussen-producten en half-fabrikaten aan elkaar. In het drie-sectoren model van Feldman wordt dat al zichtbaar, al blijft de product differentiatie daar nog rudimentair. Op p.65 van Mathematical models of economic growth wordt een model gepresenteerd, waarin de differentiatie duidelijker gestalte krijgt6.
Het model beperkt zich nog steeds tot één sector voor de productie van investerings- of kapitaal-goederen. In dit opzicht is het primitiever dan het model van Feldman. Duid deze sector aan met n=1. Het model veronderstelt nu, dat er een willekeurig aantal sectoren is voor de productie van consumptie-goederen, zeg N-1. Zij zijn genummerd met n=2, ..., N. Deze sectoren gebruiken in hun productie-proces niet alleen de kapitaal-goederen uit de sector 1, maar ook de producten van de andere sectoren. Aldus kan de productie in elke sector een groot aantal productie-factoren vereisen. Merk op, dat de productie-factoren, die worden toegeleverd door de sectoren n=2, ..., N geen investerings-goederen zijn. Immers zij zijn eenmalig. Zij worden in één keer verbruikt tijdens de voortbrenging van het consumptie-goed.
In deze situatie is het totale product Qn van een sector n niet meer helemaal beschikbaar voor de consumptie. Immers een deel van Qn moet worden gereserveerd als productie-factoren voor andere sectoren. Stel dat de andere sectoren m hun productie-factoren aankopen bij sector n, met hoeveelheden qnm. Dan zijn deze grootheden verbonden via
(3) Qn = Σm=1N qnm + Yn
In de formule 3 heeft de term Yn de betekenis van netto product. Merk op, dat nu de sector 1 niet enkel de investerings-goederen levert, maar ook vervangings-goederen ter waarde q1m. Al de grootheden zijn geld-sommen. Eigenlijk is dit merkwaardig. Immers wanneer er een product-prijs verandert, dan zullen alle grootheden mee veranderen, terwijl louter materieel gewoon precies hetzelfde wordt voortgebracht.
Voor de trouwe lezer is de formule 3 een oude bekende. Twee jaren terug bijvoorbeeld is zij uitgebreid toegelicht in de column over het grondmodel van de dynamische vervlechtings-balans. Daar wordt qnm de vervlechtings-matrix genoemd. Opvallend is dat de Leninistische economen proberen om zoveel mogelijk te rekenen met materiële grootheden, en niet met geld-bedragen. De vervlechtings-balans kan dan vele honderden sectoren omvatten. Deze aanpak moet niet zozeer verklaard worden uit hun persoonlijke voorkeur voor nauwgezetheid, maar vooral omdat een gedetailleerde vervlechtings-matrix cruciaal is voor de plan werkzaamheden.
Tinbergen definieert de technische coëfficiënten als anm = qnm / Qm. Dit is een handige grootheid voor die gevallen, waarin het verbruik van de productie-factoren evenredig is aan de hoeveelheid van het voortgebrachte product. Dan is namelijk anm simpelweg een constante. Voor de rest blijven de gebruikelijke formules gelden. Zo is de consumptie gegeven door Cn = Yn. Echter de investeringen bedragen I(t) = Q1. Met andere woorden, zij zijn bruto investeringen, inclusief de toelevering van productie-factoren q1m aan de sectoren m. De investerings-functie is
(4) In(t) = κn × (Qn(t+θ) − Qn(t)) / θ
In de formule 4 is θ de vertraging, waarmee een op tijdstip t gedane investering productief wordt (in de Engelse taal de lag). De kapitaal-coëfficiënt is gedefinieerd als κn = Kn / Qn. Het aspect van de vervangingen en van de nieuwe investeringen is eerder behandeld in de column over de vervlechtingsbalans met investerings-vergelijking. Ook daar is de investerings-lag ingebouwd, evenals trouwens in de column over meer-perioden optimalisatie. Daar worden zelfs suggesties gedaan waarmee kan worden gerekend met ingewikkelde tijds-structuren van investeringen.
Het nationale inkomen is Y = Σn=1N Yn. De besparingen zijn S = σ×Y, en dus is de consumptie C = Y-S. In evenwicht geldt er dat S = I = Σn=1N In. De consumptie-functie voor n>1 is weer
(5) Cn(t) = γn × C(t) + Γn
De constanten γn worden wel de marginale consumptie neigingen van het product n genoemd. De Γn vormen de autonome component van de consumptie, die niet afhangt van de omstandigheden (dus van de tijd). Merk op, dat er moet zijn voldaan aan C × Σn=2N (1 − γn) = Σn=2N Γn. Stel dat beide leden van de gelijkheid de waarde nul hebben, dan volgt er Σn=2N γn = 1.
Door de formule 3 in te vullen kunnen de formules 4 en 5 worden gecombineerd tot een stelsel van vergelijkingen:
(6a) σ × Σm=1N (1 − Σn=1N anm) Qm(t) = Σn=1N κn × (Qn(t+θ) − Qn(t)) / θ
(6b) Qn(t) = Γn + Σm=1N anm × Qm(t) + γn × (1 − σ) × Σm=1N (1 − Σh=1N ahm) Qm(t)
Het stelsel 6a-b vertoont een opvallende overeenkomst met het stelsel 4a-b, dat is afgeleid in de column over twee-sectoren modellen. Indien de productie-coëfficiënten anm daadwerkelijk onafhankelijk zijn van Qm, dan is het stelsel 6a-b lineair in de vector Q. Dan verloopt de oplossing van het stelsel geheel analoog aan de methode, die is beschreven voor het stelsel 4a-b in de zojuist aangehaalde column.
Na de vooraf gaande vinger oefeningen zal nu het meer-sectoren model in zijn algemene gedaante worden geformuleerd. Het model laat ook een willekeurig aantal kapitaal-goederen toe7. Dit soort modellen vergt een iets andere denkwijze dan die met één of twee sectoren. Zodra de uitwisseling tussen de sectoren wat complexer wordt, wil men vooral de afkomst van de productie-factoren registeren. Dat blijkt bijvoorbeeld al uit de formule 3, die laat zien hoe het product van sector n wordt verdeeld over de andere sectoren. Ook de investerings-functie kan op deze manier worden gedefinieerd:
(7) Jn(t) = Σm=1N κnm × (Qm(t+θ) − Qm(t)) / θ
De grootheid Jn drukt uit welk deel van het product Qn wordt gebruikt ten behoeve van de investeringen in de andere sectoren. De "partiële" kapitaal-coëfficiënt κnm heeft de vorm van een matrix. Het element κnm drukt uit hoeveel van het product n er moet worden geïnvesteerd om een eenheid van het product m voort te brengen. In de formule 7 staat de sector, die toelevert, centraal en is de ontvangende sector van secundair belang. Zij is analoog aan de formule J = F · ∂x/∂t, die wordt gebruikt in het grondmodel van de dynamische vervlechtings-balans. Inderdaad is het meer-sectoren model vrijwel gelijk aan het grondmodel. Zie verder het einde van deze paragraaf.
Vaak kunnen de formules compacter worden gemaakt door in plaats van de κnm grootheden over te stappen op de grootheden
(8) jnm(t) = κnm × (Qm(t+θ) − Qm(t)) / θ
Dien ten gevolge geldt er dat I = Σn=1N Jn = Σn=1N Σm=1N jnm. Er is een evenwicht I=S tussen de investeringen en de besparingen. De omvang van de besparingen wordt bepaald door de spaarquote σ, via de relatie S = σ×Y. Klaarblijkelijk worden ook in dit model de investeringen betaald uit het nationale inkomen Y.
Vanzelf sprekend moet voor de berekening van de besparingen eerst het nationale inkomen Y bekend zijn. In de Leninistische theorie van de vervlechtings-balansen krijgt dit probleem veel aandacht.Zo constateert de bekende Russische econoom V.S. Nemtsjinov in zijn publicaties8 dat blijkens de formule 3 de sector n zijn totale opbrengst Qn krijgt uit de verkoop van zijn product als productie-factoren voor de andere sectoren (de qnm) èn uit de verkoop voor de consumptie (Yn = Cn + Jn). Dat is de baten-zijde voor de sector n. Anderzijds heeft de sector n kosten voor zijn eigen productie-factoren ter grootte van Ψn = Σm=1N qmn. Dat is de lasten-zijde voor de sector n. Het inkomen van sector n is het verschil van de opbrengst en de kosten, te weten
(9) Λn = Qn − Ψn = Qn − Σm=1N qmn
Wanneer de formules 3 en 9 worden gecombineerd, dan vindt men Σm=1N qnm + Yn = Λn + Σm=1N qmn. Sommeer het linker en het rechter lid van de identiteit over n, dan volgt er dat Σn=1N Yn = Σn=1N Λn. Kortom, het nationale inkomen Y is zowel gelijk aan de gesommeerde netto producten als aan de gesommeerde sectorale inkomens. Maar Yn en Λn zijn niet gelijk! Met qmn = amn × Qn kan worden geschreven (1 − Σm=1N amn) × Qn = Λn. Definieer gemaks halve an = 1 − Σm=1N amn, zodat er geldt an × Qn = Λn.
De sectorale netto producten gaan op aan consumptie en aan investeringen. Met andere woorden, er geldt dat Yn = Cn + Jn. Als dit wordt ingevuld in de formule 3, dan is het resultaat
(10) Qn = Cn + Σm=1N jnm + Σm=1N qnm
De consumptie-functie Cn kan weer worden gedefinieerd volgens de formule 5. Zij geldt hier ook voor n=1. De C in de formule 5 is gelijk aan (1-σ) × Y.
Het is evenwel handiger om de formule 10 helemaal uit te drukken in termen van Qn. Neem daarom C = (1-σ) × Σn=1N Λn = (1-σ) × Σn=1N an × Qn. Na het invullen van de investerings- en consumptie-functie in de formule 10 komt ment tot het eind-resultaat
(11) Qn(t) = γn × (1-σ) × Σm=1N am × Qm(t) + Γn + Σm=1N κnm × (Qm(t+θ) − Qm(t)) / θ + Σm=1N anm × Qm(t)
De formule 11 is een vector vergelijking. Zij kan zelfs helemaal worden uitgedrukt in termen van de vector Q, wanneer de matrix V wordt gedefinieerd, met als elementen vnm = γn × (1-σ) × am. Dan is de vector vorm van de formule 11 gelijk aan Q(t) = V · Q(t) + Γ + κ · (Q(t+θ) − Q(t)) / θ + A · Q(t). Of, zo men wil,
(12) (I − V − A + κ/θ) · Q(t) − κ/θ · Q(t+θ) = Γ
Aan het begin van de paragraaf is al opgemerkt, dat de formule 12 overeen komt met het grondmodel van de dynamische vervlechtings-balans, dat wordt beschreven in hoofdstuk 11 van het uitstekende boek Volkwirtschaftlicher Reproduktionsprozeß und dynamische Modelle van de Oost-Duitse econome Eva Müller9. De vector formule van het grondmodel is Q = C + J + A · Q. Eerder is al opgemerkt, dat de Leninistische economie zo mogelijk rekent met de fysieke hoeveelheden zelf en niet hun geld-waarden. Daarom baseert de Leninistische consumptie functie C gewoon op de sectorale behoeften. Dit is een methodisch verschil met de aanpak van Tinbergen, die eerst alle consumpties aggregeert in de geldsom C, en ze vervolgens splitst via de marginale consumptie neigingen γn (zie de formule 5).
Voorts kent het grondmodel drie versies, afhankelijk van de gekozen investerings functie. Gemaks halve veronderstelt Müller dat θ=1. De meest elegante versie kiest als investerings functie voor J(t) = F · ∂Q/∂t, waarin F een constante matrix is. Dan is de grond-formule een differentiaal vergelijking. Daarnaast zijn er de versies J(t) = F · (Q(t) − Q(t-1)) en J(t) = F · (Q(t+1) − Q(t)). Dan is de grond-formule een differentie vergelijking. De lezer herkent in de laatste versie de investerings functie van Tinbergen. In de tweede versie baseren de ondernemers hun investerings beslissingen op het verleden, met als gevolg dat de investeringen wat lager uitvallen dan in de derde versie.
De oplossings methode van het meer-sectoren model is al beschreven in de column over het grondmodel van de dynamische vervlechtings-balans. Toch loont het de moeite om dit aspect nogmaals aandacht te geven. Immers, in de zojuist genoemde column wordt niet de formule 7 gebruikt voor de investeringen, maar de differentiaal versie ervan. En ten tweede komt in die column niet zo duidelijk naar voren hoe het groeipad van gebalanceerde ontwikkeling kan worden berekend, met een uniforme groeivoet g. In de huidige paragraaf zullen de betogen van Tinbergen en Müller worden gecombineerd tot één geheel10.
Beschouw allereerst de exacte oplossing van de differentie formule 12, waarbij gemaks halve θ=1 wordt genomen11. De oplossing is een combinatie van de oplossing QH van de homogene vergelijking met Γ=0, en de particuliere oplossing QP van de formule 12 (dus inclusief Γ). De algemene oplossing is dan
(13) Q(t) = μ × QH + QP
In de formule 13 mag μ elke willekeurige reële waarde aannemen. Definieer de matrix D = I − V − A + κ/θ, dan is de homogene vergelijking D · QH(t) = κ · QH(t+1). Definieer de matrix G = κ-1 · D, waarin κ-1 de inverse matrix van κ is. Dan is QH(t+1) = G · QH(t). Met andere woorden, de homogene oplossing bedraagt
(14) QH(t) = Gt · QH(0)
De particuliere oplossing is iets ingewikkelder12. Zij wordt gevonden op dezelfde iteratieve manier, die zonet is toegepast in het homogene geval. Allereerst geldt er QP(t+1) = G · QP(t) − κ-1 · Γ. Definieer H(t) = Στ=0t-1 Gτ, dan is
(15) QP(t) = Gt · QP(0) − H(t) · κ-1 · Γ
De formules 13, 14 en 15 laten zien, dat het systeem zich in de tijd ontwikkelt langs een pad, dat op t=0 al is vast gelegd. Tinbergen geeft als verklaring, dat een gegeven productie volume Q(0) ook de inkomens vast legt. Daarmee is tevens de consumptie bepaald. Bovendien is de keuze voor de investeringen niet vrij meer, als men althans alle markten wil ruimen. Immers de formule 8 is star, en laat geen substitutie van productie-factoren toe. Merk op, dat de formule 8 direct voortkomt uit de gekozen productie-functies. Het model van Solow, hoe dubieus ook, is juist geïntroduceerd ten einde deze theoretische starheid te verminderen, en aldus een wat realistischere productie functie te krijgen.
In de column over het grondmodel is een rekenvoorbeeld uitgewerkt, dat laat zien hoe Q(t) voor de diverse sectoren een verschillend groei-gedrag vertoont. Daar is gebruik gemaakt van de probeer oplossing Q(t) = η × eg×t + ζ, waarin η, ζ en g allen constant in de tijd zijn. De trouwe lezer herkent deze oplossings methode eveneens van de column over twee-sectoren groeimodellen. Het voordeel ten opzichte van de methode in de formules 14 en 15 is dat de tijds-ontwikkeling simpel volgt uit de e-machten, en dat de matrix vermenigvuldigingen Gt enzovoort voor elk tijdstip t worden vermeden.
Het invullen van de probeer oplossing leidt tot een stelsel van vector vergelijkingen
(16a) (I − V − A − F × (eg − 1)) · η = 0
(16b) (I − V − A) · ζ = Γ
Uit de formule 16b kan direct ζ worden berekend. De formule 16a levert enkel een van nul verschillende oplossing op, indien de determinant van de matrix gelijk is aan nul. Deze eis leidt tot een vergelijking, die N wortels heeft voor de groeivoet g. Noem die wortels g(n). De formule 16a geeft voor elke g(n) een eigen η(g(n)). Bovendien kan η enkel worden bepaald op een vermenigvuldigings factor ν na. Die factor ν zal moeten worden bepaald uit de gegeven waarden Q(0) op t=0.
Aldus vindt men de oplossing
(17) Q(t) = ζ + ν × Σn=1N η(g(n)) × eg(n) × t
Zowel Tinbergen als Müller waarschuwen, dat slechts één e-macht een gedrag van gestadige groei zal vertonen13. De andere e-machten zorgen voor schommelingen en voor economische krimp. De beleids maker is enkel geïnteresseerd in de groeivoet met een reële en positieve waarde. Men kan de ongewenste componenten in het groei-gedrag verwijderen door de economie gedurende een aanpassings periode op het juiste, gebalanceerde groeipad te brengen.
Uiteraard houdt de lezer op deze portaal een rekenvoorbeeld met het zojuist gepresenteerde meer-sectoren model tegoed.