Twee-sectoren groeimodellen

Plaatsing op Heterodox Gezelschap Sam de Wolff: 9 april 2014

Nadat in voorgaande columns er diverse soorten één-sectorale groeimodellen zijn behandeld, besteedt de huidige column aandacht aan twee-sectoren modellen. Ze zijn opnieuw afkomstig van het boek Mathematical models of economic growth¹ van Jan Tinbergen. Met deze modellen kan de economische structuur worden onderzocht, net zoals bij de theorie van Sraffa. Aldus kan het pad van gebalanceerde groei worden gevonden. Bovendien kan de bezettings-graad van de productie-capaciteit worden geoptimaliseerd tijdens de noodzakelijke vooraf gaande aanpassings periode. Dit soort theorieën met een investerings-functie zijn daadwerkelijk dynamisch. De twee-sectoren modellen zijn de schakel tussen de macro-economie en de micro-economische structuur modellen².

De twee-sectoren modellen bouwen voort op de productie-schema's van Karl Marx. Ze negeren evenwel de verdeling van het product, in tegenstelling tot Marx, die het inkomen splitst in een loon- en een winst-deel. De modellen hebben een eigenaardigheid, waarvoor de lezer moet worden gewaarschuwd. Namelijk, alle grootheden zijn geaggregeerd, zodat hun grootte uitdrukking geeft aan de geld-waarde, en niet aan fysieke hoeveelheden. Dit geeft problemen, zodra de productie-technologie verandert, bijvoorbeeld door de keuze voor andere kapitaal-coëfficiënten. Immers dan zouden de product-prijzen moeten veranderen, en dus de geld-waarden. Tinbergen gaat bij deze modellen uit van constante prijzen, maar in het geval van technische innovatie is dat natuurlijk wat merkwaardig.

Een twee-sectoren model

In deze paragraaf wordt een groei-model beschreven met twee sectoren, te weten de productie van investerings- en consumptie-goederen³. Feitelijk zal het model worden gepresenteerd met een willekeurig groot aantal consumptie-sectoren, in plaats van slechts één. De uitbreiding naar meerdere consumptie-sectoren is natuurlijk handig voor de practijk van plan-studies, maar voegt inzichtelijk weinig toe. Investeringen zorgen voor economische groei, zodat het model dynamisch is. In beginsel zijn alle grootheden een variabele functie van de tijd t.

De sector voor de productie van de investerings- of kapitaal-goederen krijgt de index n=1. Deze sector moet alle outillage voortbrengen van het economische systeem. Dien ten gevolge bedraagt de omvang van het sectorale product (of van het daar verdiende inkomen, wat in de gegeven omstandigheden neerkomt op hetzelfde) Y₁(t) = I(t), waarin I(t) het investerings volume op tijdstip t weergeeft. Er wordt aangenomen, dat de investeringen precies worden gedekt door de besparingen, zodat er geldt I(t) = S(t). Zoals gebruikelijk is, wordt het gedrag van de besparingen voorgesteld door de formule S(t) = σ × Y(t), waarin σ de spaarquote is en Y(t) het maatschappelijke product is, dat wil zeggen: het nationale inkomen.

Het nationale inkomen is samengesteld uit de afzonderlijke inkomens Y_n van alle n sectoren. Het wordt berekend uit

(1)     Y(t) = Σ_n=1^N Y_n(t)

In de sectoren n=2, ..., N worden de consumptie- of eind-producten voortgebracht. Elke sector beschikt over een hoeveelheid K_n(t) aan kapitaal-goederen of outillage. De investering in de sector n voldoet aan I_n(t) = ∂K_n/∂t = ∂(κ_n × Y_n(t)) / ∂t = κ_n × ∂Y_n/∂t, waarin κ_n de kapitaal-coëfficiënt is van de betreffende sector. Er wordt verondersteld dat κ_n niet afhangt van de tijd.

Bovendien is er een vertraging θ alvorens de investering productief wordt. Immers producenten zullen gewoonlijk niet direct kunnen leveren na de plaatsing van een order. De investering wordt egaal verdeeld over de periode θ, die nodig is om de outillage voort te brengen en te installeren. Wegens de vertraging θ reageert het inkomen Y_n(t) niet direct op een investering. Neem gemaks halve aan dat de vertraging gelijk is voor alle sectoren. Dien ten gevolge heeft de investerings functie de gedaante

(2)     I_n(t) = κ_n × (Y_n(t + θ) − Y_n(t)) / θ

In analogie met de formule 1 geldt er dat I(t) = Σ_n=1^N I_n(t). Aangezien het product van de sectoren met n>1 wordt geconsumeerd, geldt er voor deze sectoren dat Y_n = C_n(t). Immers op een evenwichtige markt zijn het aanbod en de vraag in evenwicht. De totale consumptie C(t) is het verschil van het inkomen en de besparingen. In formule is dat C(t) = Y(t) − S(t) = (1-σ) × Y(t). Stel dat de consumptieve vraag naar het product van sector n een autonome compontent Γ_n heeft, en een inkomens afhankelijke component γ_n × C(t). Dan krijgt de consumptie functie voor het product n de gedaante

(3)     C_n(t) = γ_n × (1 − σ) × Y(t) + Γ_n

De constanten γ_n worden wel de marginale consumptie neigingen van het product n genoemd. Wegens het onderscheid tussen de investerings- en consumptie-goederen heeft de sector 1 geen eigen consumptie functie. Merk verder op, dat de aanname C = Y-I betekent, dat er niet op krediet wordt geconsumeerd. Dan leidt de formule 3 tot C × Σ_n=2^N (1 − γ_n) = Σ_n=2^N Γ_n. Stel dat beide leden van de gelijkheid de waarde nul hebben, dan volgt er Σ_n=2^N γ_n = 1.

In het algemeen zal het aldus geformuleerde model pas worden gebruikt in de tweede fase van de planning. In de eerste fase zal met een simpel één-sectoraal model de spaarquote σ worden bepaald, omdat die cruciaal is voor het gewenste groei-tempo van de economie als geheel. Zodra er is gekozen voor een zekere waarde van σ kan vervolgens worden gezocht naar de meest wenselijke structuur, bijvoorbeeld met het zojuist gepresenteerde model. De structuur moet redelijk duurzaam zijn, omdat anders de markten te zeer ontregeld raken. Een dergelijk plan proces kan een iteratief verloop hebben, waarbij de beleids makers na de vervolg fase van het plan-proces terug keren de eerste plan fase, teneinde de waarde van σ bij te stellen.

Het model van deze paragraaf kan worden opgelost door de formule 1 te combineren met de identiteiten voor de markt-evenwichten S=I en Y_n=C_n (met n>1). Daardoor kunnen de formules 2 en 3 geheel in termen van Y_n worden uitgedrukt. Men vindt:

(4a)     σ × Σ_m=1^N Y_m(t) = Σ_m=1^N κ_m × (Y_m(t + θ) − Y_m(t)) / θ
(4b)     Y_n(t) = Γ_n + γ_n × (1 − σ) × Σ_m=1^N Y_m(t)     (n>1)

Het stelsel 4a-b kan in de gedaante van een matrix-vergelijking worden gebracht. Namelijk zij is gelijk aan

(5a)     Σ_m=1^N κ_m × Y_m(t) = Σ_m=1^N (κ_m + σ×θ) × Y_m(t − θ)
(5b)     Σ_m=1^N (δ_nm − γ_n × (1 − σ)) × Y_m(t) = Γ_n     (n>1)

In de formule 5b is δ_nm de bekende wiskundige Kronecker delta;. Het stelsel 5a-b heeft de gedaante A · Y(t) = b, waarin A een n×n matrix voorstelt, Y(t) is een 1×n vector met als elementen Y_n(t), en b is een constante vector.

Om precies te zijn, de elementen van de matrix A zijn a_1m = κ_m, en voor n>1 a_nm = δ_nm − γ_n × (1 − σ). De vector b heeft de elementen b₁ = Σ_m=1^N (κ_m + σ×θ) × Y_m(t − θ), en voor n>1 b_n = Γ_n. Weliswaar hangt b₁ af van t-θ maar toch kan dit worden opgevat als een constante waarde, aangezien op het tijdstip t de grootheden van het tijdstip t-θ intussen allemaal bekend zijn.

Aldus is het model gebracht in een vorm, die simpel oplosbaar is. Immers er moet nu gelden dat Y(t) = A^-1 · b, waarin A^-1 de inverse matris is van A. Het valt daarbij op, dat niet alle Y_n(t-θ) bekend hoeven te zijn, maar slechts de grootheid b₁. Kennelijk bepaalt b₁ de groeivoet g van het systeem. Stel men is op zoek naar een oplossing met een uniforme groeivoet voor alle sectoren. Dit wordt gebalanceerde groei genoemd, omdat het tijds-verloop niets verandert aan de sectorale structuren. Teneinde deze groeivoet te berekenen uit b₁, kan de oplossing Y(t) = η ×e^g×t + ζ worden geprobeerd. Zij kan worden ingevuld in de formule 5a, dus in Σ_m=1^N a_1m × Y_m(t) = b₁(t-θ). Het resultaat is⁴

(6)     Σ_m=1^N (κ_m × (e^g×θ − 1) - σ×θ) × η_m = 0

Dezelfde probeer oplossing kan eveneens worden ingevuld in de formule 5b, dus in Σ_m=1^N a_nm × Y_m(t) = Γ_n met n>1. Aangezien het rechter lid niet afhangt van de tijd, moet er gelden dat Σ_m=1^N a_nm × η_m = 0. Definieer een nieuwe matrix A'(g) met elementen a'_1m = κ_m × (e^g×θ − 1) - σ×θ en voor n>1 a'_nm = a_nm. Dan heeft kennelijk de matrix A'(g) de eigenvector η met eigenwaarde nul. Dat is enkel mogelijk indien de determinant van A'(g) gelijk is aan nul. Uit deze determinant vergelijking kan de waarde van g worden berekend.

Nu de juiste groeivoet g is gevonden, die verenigbaar is met b₁, kan η worden berekend uit A' · η = 0. Op analoge wijze vindt men door invullen in 5a-b een stelsel van vergelijkingen voor ζ, waaruit ζ kan worden opgelost⁵. Merk op, dat η een eigenvector van A' is, en daarom bekend is op een schalings-factor na. Deze schalings-factor kan evenwel worden berekend uit de begin-voorwaarde Y(t-θ) = η × e^{g × (t-θ)} + ζ. Daarmee is het probleem helemaal opgelost. Tinbergen noemt dit geval uitzonderlijk. Immers klaarblijkelijk kan bij een willekeurige begin-toestand Y(t-θ) in één tijds-stap θ een pad van gebalanceerde groei worden bereikt, waarin alle sectoren verder gehoorzamen aan de groeivoet g.

In feite doet dit model niets anders dan het boekhouden van de hoeveelheden kapitaal goederen. Bij het aanvangs kapitaal moet nog het nieuw geïnvesteerde kapitaal worden opgeteld. De beleids maker (bijvoorbeeld het centrale plan bureau) moet uitgaande van de begin toestand het kapitaal zodanig herverdelen over de sectoren, dat de gebalanceerde groei voortaan is gewaarborgd. De herverdeling legt tevens de structuur vast. Het pad van gebalanceerde groei wordt bereikt in de periode θ van aanpassing. Merk op, dat de ontwikkeling Y(t) = η ×e^g×t + ζ pas inzet na de aanpassing, maar niet van toepassing is tijdens het aanpassings proces.

Het is een verdienste van dit model, dat er willekeurig veel sectoren voor consumptie goederen worden gemodelleerd. Maar het zal de trouwe lezer opvallen, dat met uitzondering van de sector 1 er geen enkele wisselwerking is tussen de sectoren. In dit opzicht is het model primitiever dan bijvoorbeeld de drie-sectoren modellen van Biersack (met een extra sector voor de productie van grondstoffen) en van Feldman (met een extra sector voor de productie van outillage voor de machine-bouw, de zogenaamde tweede-orde kapitaal goederen).

Een rekenvoorbeeld van planning met twee sectoren

Het zojuist gepresenteerde model kan aardig worden geïllustreerd met behulp van een rekenvoorbeeld, waarin naast de sector 1 één sector is voor de productie van consumptie goederen. Dan is per definitie γ₂=1 en Γ₂=0. Bovendien blijkt uit de formule 5b dat moet gelden η₂ = (1/σ − 1) × η₁. Wegens Γ₂=0 moet in dit eenvoudige rekenvoorbeeld gelden dat ζ=0. Kennelijk is het beoogde groeipad in het (Y₁, Y₂)-vlak de lijn door de oorsprong met helling (1/σ) − 1. De eis, dat de matrix A'(g) gelijk een determinant ter waarde van nul moet hebben, legt de groeivoet voor de gebalanceerde ontwikkeling vast

(7)     g = ln(1 + θ / (κ₁ − κ₂ + κ₂/σ)) / θ

Stel dat de begin toestand van het systeem is vastgelegd volgens Y₁(0) = 0.7 en Y₂(0) = 7. In de figuur 1 is dit punt de rode stip. De beleids maker heeft in beginsel de vrije keuze van σ, κ, en θ. Wegens de bestaande voorraad kapitaal goederen is de keuze voor κ en θ niet helemaal vrij, maar dankzij de investeringen is toch enige bijstelling mogelijk. De tabel 1 somt de waarden van deze grootheden op, de opties, die de beleids maker wil overwegen. Wegens de twee waarden σ=0.1 en 0.12 zijn er twee groeipaden. In de figuur zijn zij getekend in respectievelijk de kleuren licht groen en donker blauw.

Figuur 1: Gebalanceerde groeipaden
    van tabel 1. Startpunt Y = (0.7, 7)

Per optie wordt de groeivoet berekend uit de formule 7, en is eveneens opgenomen in de tabel 1. Na de periode θ is het groeipad bereikt. Het behoud van kapitaal vereist dat het punt van aankomst voldoet aan de formule 6. Tezamen met η₂ = (1/σ − 1) × η₁ legt die de vector η vast. Vervolgens kan daaruit de vector Y(θ) worden berekend, die het punt van aankomst op het groeipad aanwijst. Deze vector is eveneens opgenomen in de tabel 1, en bovendien is hij getekend in de figuur 1 (zie voor de betreffende kleuren de legenda van de figuur). Vanaf het punt van aankomst zal de vector bij elke volgende tijds-stap θ groeien met een factor e^g×θ. De opeenvolging van punten is eveneens afgebeeld in de figuur 1.

De tabel laat zien, dat beleids keuzen zelden triviaal zijn. Voor de toekomst is een hoge spaarquote (optie IV: σ = 0.12) gunstig, maar daarvoor moet de bevolking tijdelijk consumptie inleveren. De groei in de sector 1 is dermate onstuimig, dat het derde punt Y(3 × θ) al buiten de figuur 1 ligt. Anderzijds staat een hoge kapitaal-coëfficiënt (optie II) gelijk aan een lage kapitaal-productiviteit. En een grote vertraging bij investeringen (optie III) blijkt het groei-tempo te drukken. Merk op, dat in de figuur 1 voor het geval θ=1.2 de punten Y(n × θ) een grotere onderlinge tijds-afstand hebben dan voor θ=1. Daarom moet in de figuur 1 de lezer zich niet laten misleiden door de ogenschijnlijk snelle groei van deze optie III.

Een twee-sectoren model met onbezette productie-capaciteit

De meeste modellen, die worden gepresenteerd in de columns op deze portaal, veronderstellen dat de bezettings-graad van de beschikbare kapitaal-goederen 100% bedraagt. Uitzonderingen zijn de column over de theorie van Domar, en de column over meer-perioden optimalisatie met een vervlechtings-balans. De huidige paragraaf zal de aanpak van Domar verder uitwerken voor een economisch systeem met twee sectoren, te weten de productie van kapitaal goederen (sector 1) en de productie van consumptie-goederen (sector 2)⁶.

In de theorie van Domar is de bezettings-graad gedefinieerd als de fractie u = Y / (K/κ). Uit u<1 volgt direct dat K > κ×Y. In het huidige model met twee sectoren zijn er twee bezettings-graden u_n (n=1, 2), terwijl ook de kapitaal-coëfficiënt κ_n kan verschillen. De formule 2 is nu niet meer van toepassing, en verandert in de investerings-functie

(8)     I(t) = Σ_n=1² (K_n(t+1) − K_n(t))

Gemaks halve is in de formule 8 de investerings-vertraging verwaarloosd, door in te vullen θ=1. De consumptie-functie is eenvoudig, namelijk C = Y − S = (1-σ) × Y. Vanwege C = Y₂ en Y = Y₁+Y₂ voldoen de sectorale producten aan de verhouding Y₂/Y₁ = (1-σ) / σ. Deze relatie kan worden omgeschreven naar de verhouding van de bezettings-graden

(9)     u₂ / u₁ = ((1 − σ) / σ) × (K₁ / K₂) × (κ₂ / κ₁)

De formule 9 laat duidelijk zien, dat bij gegeven voorraden aan kapitaal goederen K_n(0) op t=0 er slechts bij één spaarquote een volledige benutting van de productie-capaciteit mogelijk is. Als de spaarquote afwijkt van deze waarde, dan zal hetzij u₁(0) hetzij u₂(0) kleiner dan 1 zijn. Anders gezegd, in de situatie met u₁(0) = u₂(0) = 1 zal een capaciteits probleem ontstaan zodra σ zal veranderen⁷.

Structuur aanpassingen bij een variabele spaarquote

Het lijkt alsof het probleem van de variabele spaarquote kan worden verholpen simpelweg door kapitaal uit te wisselen tussen de sectoren, en daarmee de verhouding K₁/K₂ in overeenstemming te brengen met de nieuwe σ. Inderdaad zijn er situaties denkbaar, waarin deze aanpak zal werken. Trouwens, sommige theorieën zijn gebaseerd op deze aanname, vooral die één-sectorale modellen, zoals die met kapitaal schaarste en met factor substitutie.

Met name is de aanname gerechtvaardigd, zolang het economische systeem blijft groeien. Immers dan kan men de verhoudingen tussen de K_n veranderen door tijdelijk elke sector een eigen groeivoet te geven⁸. De structuur past zich geleidelijk aan bij de nieuwe σ. Dan is de uitruil van kapitaal tussen sectoren helemaal niet nodig. Zolang het plan-proces is gericht op economische groei, maakt kennelijk een wijziging van σ het plan wel ingewikkelder maar niet onmogelijk.

Tinbergen benadrukt evenwel, dat in situaties met een geringe groei of zelfs met krimp de gedifferentieerde groei geen bevredigende oplossing biedt⁹. In dit geval slagen idealiter de beleids makers er in om de kapitaal goederen te herverdelen over de sectoren¹⁰. Dit zou betekenen, dat bijvoorbeeld kapitaal goederen voor de productie van consumptie goederen uitruilbaar zijn tegen de kapitaal goederen voor de productie van investerings goederen. De eerste categorie wordt aangeduid als de eerste-orde kapitaal goederen, en de tweede categorie als de tweede-orde kapitaal goederen (de trouwe lezer herinnert zich het drie-sectoren model van Feldman). In beginsel kan deze keten van kapitaal-goederen, die andere kapitaal goederen produceren, willekeurig naar hogere ordes worden gedifferentieerd.

Vanzelf sprekend zal deze uitruil van kapitaal goederen tussen sectoren vaak onmogelijk zijn, omdat machines specifiek voor één productie-proces zijn geconstrueerd. Dit zal een acute crisis veroorzaken in situaties, waarin één of meer sectoren eigenlijk in omvang zouden moeten krimpen. Er zijn dan twee mogelijkheden. Ten eerste kan men in de betreffende sectoren de bezettings-graad van de kapitaal goederen verminderen, zoals is uitgelegd in de voorgaande paragraaf. Ten tweede kan men in de betreffende voorlopig doorgaan met de productie op het oude niveau, en de capaciteit geleidelijk terugbrengen door middel van de afdankingen.

Als een enkel voorbeeld van de mogelijkheden zal nu de twee-sectorale economie worden doorgerekend, zoals die is gemodelleerd in de paragraaf over de bezettings-graad. Stel dat de beleids makers op t=0 de spaarquote willen ophogen naar α×σ, met α>1. Op dat moment zijn de voorraden aan kapitaal goederen K₁(0) en K₂(0). Gedurende het aanpassings proces willen de beleids makers alle productie capaciteit volledig blijven benutten. Volgens de formule 9 moet na de aanpassings periode met een duur θ de kapitaal verhouding zijn gewijzigd in

(10)     K₁(θ) / K₂(θ) = (α×σ / (1 − α×σ)) × (κ₁ / κ₂)

Veronderstel nu dat er geen uitruil van kapitaal goederen mogelijk is. Dan is noodgedwongen K₂(t) = K₂(0) gedurende de hele periode θ. Ten opzichte van de begin situatie zal K₁ moeten groeien. Formuleer de vergelijking 8 algemener als I(t) = ∂K₁/∂t + ∂K₂/∂t. De beleids makers zullen nu kiezen voor ∂K₂/∂t=0, en dus voor I(t) = ∂K₁/∂t. Vul in I(t) = Y₁(t) en K₁(t) = κ₁ × Y₁(t), dan volgt daaruit de differentiaal vergelijking Y₁(t) = κ₁ × ∂Y₁/∂t. Deze heeft als oplossing

(11)     Y₁(t) = Y₁(0) × e^{t / κ1}

Figuur 2: Aanpassing σ van 0.1 naar 0.2

De formule 11 laat helder zien hoe het aanpassings-proces van K₁ tot stand komt. Immers wegens K₁ = κ₁ × Y₁ groeit K₁(t) aan met dezelfde e-macht als Y₁(t). Zodra de voorraad van kapitaal goederen gelijk is geworden aan K₁(θ) = K₁(0) × e^{θ / κ1}, zal ook K₁(t) weer moeten gaan groeien, opdat zij voortaan blijft voldoen aan de formule 10. Klaarblijkelijk staan de beleids makers voor de taak om de duur θ te bepalen van de aanpassings periode, waarin er enkel wordt geïnvesteerd in de sector 1. De duur van de periode blijkt gegeven te worden door¹¹

(12)     θ = κ₁ × ln(α × (1 − σ) / (1 − α×σ))

In dit kader is nog interessant hoe σ(t) zich gedraagt tijdens het aanpassings-proces. Immers σ(t) = S/Y = I/Y = Y₁(t) / (Y₁(t) + Y₂(t)). Vul weer de formule Y₁(t) in en Y₂(t) = Y₂(0). Gebruik nog K_n(0) / κ_n = Y_n(0), dan is

(13)     σ(t) = 1 / (1 + e^-t/κ1 × (K₂(0) / K₁(0)) × (κ₁ / κ₂))

Op p.61 van Mathematical models of economic growth staat een reken-voorbeeld met κ₁=4, κ₂/κ₁ = ½, K₂(0) / K₁(0) = 4½, σ=0.1, en α=2. Volgens de formule 12 is dan θ = 3.24. In tegenstelling tot het eerst gepresenteerde model kost de aanpassing niet één tijds-stap, maar meerdere. De figuur 2 laat zien hoe de verdubbeling van σ verloopt.

1. Zie hoofdstuk 4 in Mathematical models of economic growth (1962, McGraw-Hill Book Company, Inc.) van J. Tinbergen en H.C. Bos.
2. De bekende Vlaamse romanschrijver Louis Paul Boon schetst in De Kapellekensbaan helder de beperkingen van deze model-aanpak (p.250): Nemen wij als voorbeeld de 1ste januari 1947, waarin engeland na een halve eeuw sociale agitatie de kolenmijnen heeft genationaliseerd ... wat voor een schouwspel hadden hitler en mussolini te zien gegeven om dat bij het volk in te hameren! ... ik heb de grote gebeurtenis in het filmjournaal gezien: ze vond plaats in de nuchtere zitkamer van het ministerie voor brandstof, en was ongeveer zo opwindend als het jaarlijkse bezoek van het welvaartscomitee aan een staatwezenhuis. Maar misschien is mijn voorstelling van sociale bewegingen een halve eeuw ten achter ... misschien is het werkelijk zo dat arbeiden-zoals-gewoonte het motto der moderne revolutie moet worden. Doch, toegegeven dat deze reformistische weg voor Dit land de enige mogelijkheid is ... en een revolutie volgens de orthodoxe richtlijnen bij hen tot een catastroof moet leiden: als alles goed blijft gaan en de labourregering aan de macht blijft, zal zij in alle stilte een geweldige ommekeer brengen in de gezamenlijke sociale en economische structuur van dat land ... doch, de labourregering kan slechts aan de macht blijven als het haar gelukt het hart van het volk te winnen: het volk heeft labour gekozen omdat het van de torries genoeg had ... 3 jaren van miserie zijn voldoende opdat het volk zich om dezelfde negatieve reden warm zou maken voor het stalinisme, of nogmaals voor de torries.
3. Zie p.52 en verder in Mathematical models of economic growth.
4. Immers nu is b₁ = Σ_m=1^N (κ_m + σ×θ) × (η_m ×e^{g × (t-θ)} + ζ_m), en ook b₁ = Σ_m=1^N κ_m × (η_m ×e^g×t; + ζ_m). De tijds-afhankelijke termen links en rechts van de identiteit moeten gelijk zijn, zodat er voldaan moet zijn aan Σ_m=1^N (κ_m + σ×θ) × η_m ×e^-g×θ = Σ_m=1^N κ_m × η_m. Kortom, Σ_m=1^N (κ_m × (e^g×θ − 1) - σ×θ) × η_m = 0, hetgeen was te bewijzen.
5. Bij het invullen in de formule 5a ontstaan een tijds-afhankelijk deel voor η, en een tijds-onafhankelijk deel voor ζ. Dit laatste deel luidt (na enige herschrijven) Σ_m=1^N ζ_m = 0. Zie ook de voorgaande voetnoot. De formule 5b krijgt voor ζ de vorm Σ_m=1^N a_nm × ζ_m = Γ_n. Definieer de matrix A'' met a''_1m = 1 en a''_nm = a_nm (met n>1), alsmede de vector b' met b'₁ = 0 en b'_n = Γ_n, dan is A'' · ζ = b', met de oplossing ζ = A''^-1 · b'.
6. Zie p.60 en verder in Mathematical models of economic growth.
7. In het kapitalisme hebben de beleids makers weinig invloed op de spaarquote, omdat die vooral wordt bepaald door de huishoudens. Daarom dicht Jef Last in het gedicht Twee werelden!: En alles breekt en alles gaat kapot / de schepen in de haven liggen stil / de kumpels van de Borinage staken / de honger loert ... maar als een wreede gril / hoor ik de balken van het pakhuis kraken / onder het graan, dat, onverkoopbaar, rot. / En alles breekt en alles gaat te niet / voor kleeren en voor kinderen is geen geld / kultuur ligt op de markt bij oude waren / de vruchten staan te rotten op het veld / met starre blikken van vertwijfeling staren / mannen en vrouwen op hun leeg verdriet. In het Leninisme zou alles nòg veel erger worden, maar dat heeft het voorstellings vermogen van Last overstegen.
8. Dit geval is al uitgewerkt door Sam de Wolff in een groeimodel, zij het onder de aanname van ongelijke sectorale winstvoeten. Desondanks gelooft De Wolff, dat dit toch geen uitkomst zal bieden. Namelijk de accumulatie van kapitaal vergroot de arbeids-productiviteit, en daardoor ontstaat er over-productie. De ondernemers zijn niet bij machte om dit te voorzien, en de omvang van hun product overeenkomstig aan te passen. De Wolff verwacht dat de economische ontwikkeling enkel schoks-gewijze mogelijk is, via crises.
9. Zie p.56 en verder in Mathematical models of economic growth.
10. In het rekenvoorbeeld met twee sectoren is σ zodanig gekozen, dat vanuit Y(0) het groeipad wordt bereikt door een groei in alle twee de sectoren. Echter dit is geen vanzelf sprekende toestand. Bijvoorbeeld zou bij de keuze voor σ=0.07 (met κ₁=3, κ₂=1, θ=1) de aankomst op het groeipad plaats vinden in het punt (0.63, 8.3). Dat wil zeggen, er geldt dat Y₁(θ) < Y₁(0) = 0.7. De bijbehorende kapitalen bedragen respectievelijk K₁(θ) = 1.88 en K₁(0) = 2.1. Kennelijk is hier in de aanpassings periode kapitaal weg genomen uit de sector 1 en overgedragen aan de sector 2.
11. Deze formule wordt niet gegeven in Mathematical models of economic growth, omdat Tinbergen een numerieke berekening van θ verkiest. Wellicht vindt hij dat didactisch gezien duidelijker, of wil hij de gedachte behouden, dat het nieuwe kapitaal staps gewijze beschikbaar komt. De formule 12 volgt uit de identiteit ∫₀^θ ∂K₁/∂t dt = K₁(θ) − K₁(0). Vul in K₁(t) = K₁(0) × e^t/κ1, en voer de integratie uit, dan is e^θ/κ1 − 1 = (K₁(θ) / K₁(0)) − 1. Aangezien er geldt K₂(θ) = K₂(0), kan de verhouding van de hoeveelheden kapitaal worden berekend uit de formule 10. Het resultaat is e^θ/κ1 = (α×σ / (1 − α×σ)) / (σ / (1 − σ)). En deze identiteit reduceert tot θ = κ₁ × ln(α × (1 − σ) / (1 − α×σ)). Hetgeen was te bewijzen.