Één-sectorale groeimodellen met productie-functies

Plaatsing op Heterodox Gezelschap Sam de Wolff: 2 april 2014

Nadat in een voorgaande column een beknopte uitleg is gegeven van productie-functies, zal de huidige column enkele macro-economische groei-modellen presenteren uit het boek Mathematical models of economic growth¹ van de bekende Nederlandse econoom Jan Tinbergen. Er wordt een relatie afgeleid tussen de groeivoeten van de economische variabelen (kapitaal, arbeid, technische ontwikkeling). Het uitgangspunt is de Cobb-Douglas productie-functie. Ook wordt de situatie met complementaire factoren onderzocht.

In de zojuist genoemde column is er benadrukt, dat productie-functies weinig bijdragen aan het theoretische inzicht op het macro-niveau van de economie. De beschouwingen in de huidige column zijn wetenschappelijk verouderd, en hebben enkel nog betekenis vanuit het historische gezichts-punt. Men kan Tinbergen geen verwijt maken van zijn theoretische misgreep. De weerlegging ervan, met name de theorie van Sraffa, is pas in 1960 gepubliceerd, twee jaren vóór het verschijnen van Mathematical models of economic growth. In 1962 was de theorie van Sraffa nog controversieel. Bijvoorbeeld probeerde tussen 1962 en 1966 de bekende Noord-Amerikaanse econoom Paul Samuelson op allerlei manieren om die theorie onderuit te halen. Dat is hem niet gelukt².

Het is begrijpelijk dat Tinbergen vasthoudt aan de indertijd gangbare economische groeimodellen, die zijn ontwikkeld onder andere door de Engelse econoom Roy Harrod. Tinbergen specialiseert zich dan al in het bestuderen en ontwikkelen van de methoden en instrumenten voor economische planning. Zijn belangstelling gaat vooral uit naar practische toepassingen en naar het politieke beleid. De modellen in de huidige column beperken zich tot een economisch systeem met één productieve sector, evenwel met diverse schaarse productie-factoren. Daardoor bieden zij meer mogelijkheden dan de in een eerdere column geschilderde één-sector modellen, die enkel de ontwikkeling van de factor kapitaal volgen.

Model met volledige substitutie van productie-factoren

De modellen van Tinbergen gebruiken slechts twee productie-factoren, namelijk het kapitaal K en de arbeid L. Bovendien brengen zij de met de tijd voortschrijdende technische ontwikkeling in rekening. Tinbergen vraagt zich af hoe deze factoren doorwerken in de groei van het binnenlandse product Y ³. Dan ligt de keuze voor de populaire Cobb-Douglas functie voor de hand⁴

(1)     Y(t) = A(t) × L^λ × K^μ

In de formule 1 brengt de term A(t) de technische ontwikkeling in rekening. Zij wordt wel de totale factor-productiviteit genoemd. De grootheden λ en μ zijn constanten. Wegens de substitutie van K en L kan hetzelfde binnenlandse product worden voortgebracht met verschillende hoeveelheden kapitaal. In dit model is de kapitaal-coëfficiënt κ = K/Y variabel, in tegenstelling tot de Harrod-Domar modellen. Dat is een cruciaal verschil. In feite vertoont het hier beschreven model veel overeenkomst met het groeimodel van Solow. Solow werkt met een lineair-homogene productie-functie, wat iets algemener is de de Cobb-Douglas functie.

Cobb-Douglas productie-functies hebben de bijzondere eigenschap dat zij zowel de Hicks- als Harrod-neutrale vooruitgang kunnen beschrijven. De formule 1 is in de gedaante van Hicks-neutraliteit. Deze is echter herschrijfbaar tot Y = (A^1/λ × L)^λ × K^μ, en dat is precies de gedaante van Harrod-neutraliteit. Vaak neemt men A(0)=1. Tinbergen kiest voor A(t) = (1 + g_A)^t, waarin g_A een constante is. Merk op, dat voor dit geval de groeivoet (∂A/∂t) / A kennelijk gelijk is aan de natuurlijke logaritme ln(1 + g_A). Dien ten gevolge komt voor een voldoende kleine waarde van g_A deze grootheid bij benadering overeen met de groeivoet van A.

In deze paragraaf wordt aangenomen dat μ = 1 − λ. Dan is de productie-functie lineair-homogeen, en is de productiviteit onafhankelijk van de gekozen schaal. Weliswaar erkent Tinbergen dat de individuele ondernemingen gewoonlijk profiteren van een schaal-vergroting, maar hij meent dat dit effect wegvalt op het niveau van het nationale economische systeem als geheel. Vervolgens worden de factor-prijzen gelijk gesteld aan de grens-productiviteiten, dat wil zeggen, p_L = ∂Y/∂L en p_K = ∂Y/∂K. De trouwe lezer weet uit de al genoemde column, dat deze aanname eigenlijk ontoelaatbaar is, nu Y en K zijn geaggregeerd. Natuurlijk kan botweg worden aangenomen, dat deze relaties tòch gelden (voor wat het waard is)⁵.

Figuur 1: Aanbods curve van arbeid

Duidt de normale prijs van arbeid aan als p_L,n, en veronderstel dat de beroeps bevolking dan een omvang L_n heeft. Als de prijs wijzigt in een andere waarde p_L, dan zal de bereidheid om te gaan werken overeenkomstig wijzigen. Stel dat dit gedrag voldoet aan de formule

(2)     L = L_n × (p_L / p_L,n)^α

In de formule 2 is α een constante, die de elasticiteit van het arbeids aanbod wordt genoemd. De figuur 1 is een grafische voorstelling van de formule 2. Kennelijk is α = tan(θ) / tan(Φ), waarin θ de hellings-hoek is van de aanbods-curve van de factor arbeid, en Φ de hellings-hoek is van de lijn door het punt (p_L, L) en de oorsprong.

In de figuur heeft de elasticiteit α een positieve waarde, maar zij kan even goed negatief zijn. In dat geval neemt het arbeids aanbod af, naarmate p_L (het loonpeil) stijgt. In die zin is de aanbods-curve van arbeid evenmin vanzelf sprekend als de vraag-curve van arbeid. Geheel analoog kan een formule worden geponeerd voor de factor kapitaal:

(3)     K = K_n × (p_K / p_K,n)^β

De optie van het elastische aanbod voegt een element toe, dat ontbreekt in het model van Solow. Een bijzonder geval van de formules 2 en 3 treedt op, indien de aanbods elasticiteiten α en β nul zijn. Dan zal namelijk het aanbod van K en L steeds gelijk blijven aan K_n en L_n, de hoeveelheden die horen bij de normale factor-prijzen. De bijbehorende aanbods-curve in de figuur 1 is een horizontale lijn. Deze aanname van een volkomen inelastisch aanbod zal worden gemaakt in het huidige model, althans voorlopig. Dan vindt men voor K de gebruikelijke samenhang

(4)     ∂K_n / ∂t = σ × Y

Hierin is σ de constante spaarquote. Aan de formule ligt de aanname ten grondslag, dat alle besparingen worden geïnvesteerd.

De formule 4 toont aan, dat de factor kapitaal groeit in de tijd. Die groei wordt deels veroorzaakt door de natuurlijke bevolkings groei:

(5)     L_n(t) = L_n(0) × (1 + g_L)^t

In de formule 5 is kennelijk g_L bij benadering gelijk aan de groeivoet van L_n. Bovendien kan de normale prijs van de factor arbeid toenemen, omdat immers wegens A(t) het aantal effectieve arbeids-uren toeneemt. Daardoor zal de productie per werker vergroten. Die ontwikkeling leidt tot

(6)     p_L,n(t) = p_L,n(0) × (1 + g_p,L)^t

Echter aangezien dit model uitgaat van het volkomen inelastische aanbod, althans in eerste instantie, is de formule 6 voorlopig overtollig. Tinbergen is zelfs van mening, dat het aanbod van kapitaal altijd volkomen inelastisch zal zijn (β=0), zodat de formule 3 meteen weer kan worden vergeten⁶.

Alle formules staan nu gereed om de relaties tussen de diverse groeivoeten te berekenen. De formule 1 kan worden ingevuld in de formule 4, onder gebruik making van de formule 5. Daardoor vindt men een eerste orde differentiaal vergelijking in K_n(t), die vrij eenvoudig kan worden opgelost⁷. Het resultaat is de oplossing

(7)     K_n^λ = K_n(0)^λ + λ×σ × L_n(0)^λ × { ((1 + g_A) × (1 + g_L)^λ)^t − 1 } / (g_A + λ×g_L)

Terecht constateert Tinbergen, dat dit gedrag van K minder eenvoudig is dan de gangbare statistische methoden suggereren. Het valt op dat de begin-toestand op t=0 bepalend is voor de latere ontwikkeling. De formule 7 levert een belangrijke bouwsteen om het verband tussen de groeivoeten te analyseren.

Een veel gebruikte truc is om de groeivoet te herschrijven als g_Y = (∂Y/∂t) / Y = ∂(ln(Y)) / ∂t, waarbij ln() de natuurlijke logaritme functie is. Pas deze truc toe op de Cobb-Douglas functie uit de formule 1, dan vindt men

(8)     g_Y = ln(1 + g_A) + λ × ln(1 + g_L) + (1 − λ) × (∂K_n / ∂t) / K_n

Des gewenst kunnen de eerste twee termen worden herschreven via de benadering ln(1 + x) = x + O(x²), althans voor kleine groeivoeten. De laatste term in het rechter lid van de formule 8 is eenvoudig de groeivoet van kapitaal g_K.

Aangezien g_K varieert met de tijd, is ook g_Y een functie van t. Voor t=0 krijgt de formule 8 de gedaante g_Y(0) = g_A+ λ×g_L + (1 − λ) × σ × (L_n(0) / K_n(0))^λ. Ook kunnen de formules 1 (nog steeds met μ = 1-λ) en 7 worden gecombineerd ten einde het gedrag van de kapitaal-coëfficiënt κ=K/Y te berekenen. Merk op dat voor grote t-waarden K_n^λ nadert tot λ×σ×A × L_n^λ / (g_A + λ×g_L). Daarom geldt in de limiet van t→ oneindig dat

(9)     κ = λ × σ / (g_A + λ×g_L)

Kennelijk wordt op den lange duur de kapitaal-coëfficiënt toch een constante. Merk op dat bij de afwezigheid van technische vooruitgang (dat wil zeggen, bij A=1) de formule 9 reduceert tot de Harrod-Domar relatie κ = σ / g_w. Hiermee is het fundament van het groeimodel van Tinbergen voltooid. Op p.36 van Mathematical models of economic growth wordt nog getoond, dat de groeivoeten van K, L en Y ook kunnen worden berekend, wanneer het arbeids-aanbod niet volkomen inelastisch is. Een tabel geeft de groeivoeten in situaties, waarin λ=¾ en de elasticiteit waarden heeft van α = -1, 2 en oneindig. In die gevallen verschijnt ook de groeivoet g_p,L van de normale prijs p_L,n van arbeid uit de formule 6 in de tabel. Hij werkt door in de andere groeivoeten.

Evaluatie van het model

In de voorgaande paragraaf is enkele keren het groeimodel van Solow genoemd, dat al is gepubliceerd in 1956. Inderdaad dringt de vraag zich op wat het model van Tinbergen daaraan nog toevoegt. Volgens het model van Solow treedt er een evenwichtige groei op, zodra is voldaan aan g_Y = g_K = g_A + g_L. De eerste identiteit keert terug in het zojuist beschreven model, waar blijkens de formule 9 immers Y en K evenredig zijn. Vervolgens kan de tweede identiteit worden afgeleid uit de formule 8, althans in de gedaante

(10)     g_Y = (g_A / λ) + g_L

Figuur 2: Tinbergen in 1965

In de groei-formule van Solow komt de factor λ niet meer voor, omdat hij een productie functie van de gedaante Y = F(K, A(t) × L) benut. Tinbergen heeft A(t) vóór de F-functie geplaatst. Uiteraard leidt deze keuze voor een afwijkende schrijfwijze niet tot wezenlijk andere conclusies. Verder berekent Tinbergen met de formule 7 het tijds-gedrag van het systeem. Solow kiest er voor om de formules uit te drukken in de kapitaal-intensiteit k = K / (A×L), en laat vervolgens zien dat het systeem zal bewegen naar een toestand met een constante k.

Voorts gaat Solow een stap verder dan Tinbergen, doordat hij de toestand berekent, waarin de consumptie per werker maximaal zal zijn. Hij leidt daaruit zijn Gouden Regel niveau van kapitaal af, die vooschrijft wat de optimale spaarquote σ is. Tinbergen laat die aanpak na, wellicht omdat hij er weinig vertrouwen in heeft. Zijn argumentatie is verklaard in een eerdere column. Kort samengevat, de beleids-maker zou niet enkel de huidige consumptie moeten optimaliseren, maar ook die van de volgende generaties. Daarbij zou hij een netelige afweging moeten maken tussen de inter-generationele belangen.

En tenslotte hecht Tinbergen veel waarde aan de toevoeging van de elasticiteit α van het arbeids-aanbod in het model. Immers naast de optimale consumptie behoort ook het garanderen van de volledige werkgelegenheid tot de beleids doelen. De beleids-makers kunnen hierop sturen door grenzen te stellen aan de loon-ontwikkeling p_L,n. Als α positief is, dan zal volgens het model de groei van het loon remmend werken op de productie en op de werkgelegenheid. Tinbergen illustreert dat aan de hand van de zojuist genoemde tabel, met α-waarden van 2 en oneindig. Als echter α negatief is (α=-1 in de tabel), dan blijkt de loonstijging juist stimulerend te werken op de economie.

Het boek geeft geen uitleg hoe de grootheden in de tabel zijn berekend. Het is duidelijk dat de formule 6 een stijgende p_L,n voorspelt. Daardoor zal in de formule 2 de waarde van p_L/p_L,n afnemen, wat afhankelijk van het teken van α de hoeveelheid L zal verkleinen of vergroten. Merk op dat L_n daarbij zal gehoorzamen aan de formule 5. Daarnaast is volgens het model meer sparen bijna altijd bevorderlijk voor de groei. In het licht van de theorieën van Sraffa en van Keynes moet men uiteraard weer vraagtekens plaatsen bij al deze beleids aanbevelingen!⁸

Vormen van technologische ontwikkeling

In navolging van Solow wijst Tinbergen er op, dat de arbeids-productiviteit is gegeven door ap = Y/L = A × (K / L)^1-λ = A × k^1-λ. Zij neemt toe naarmate de kapitaal-intensiteit stijgt, althans zolang λ<1, wat de normale situatie is. In geval van een stijgende k bij overigens onveranderde factor-prijzen p_K en p_L doet het model de opvallende voorspelling, dat het aandeel van het kapitaal in het nationale inkomen zal stijgen. Zie ook de voetnoten.

Een andere vorm van technologische ontwikkeling doet zich voor, wanneer de exponent λ van de Cobb-Douglas functie zal veranderen. Er geldt dat λ = (∂Y/∂L) / (Y/L). Aangezien het zojuist verklaarde model aanneemt p_L = ∂Y/∂L, is kennelijk L×p_L = λ×Y. Met andere woorden, het aandeel van de factor arbeid in het nationale inkomen zal verminderen, indien de technologische veranderingen leiden tot een lagere waarde van λ.

De exponent λ wordt wel de productie elasticiteit van de factor arbeid genoemd. Gewoonlijk zal men willen, dat de verandering in λ zal leiden tot een groter nationaal product Y. Stel de verandering in λ bedraagt dλ, dan zal Y veranderen met een vermenigvuldigings-factor (L/K)^dλ = 1/k^dλ. Kennelijk wil men voor een positieve dλ dat k<1, en voor een negatieve dλ dat k>1. Tinbergen geeft in een tabel de ontwikkeling van de groeivoeten voor het geval λ(t) = λ(0) + Λ×t, waarin Λ = dλ/dt een constante is⁹. Er is meer speelruimte, wanneer de eis μ = 1 − λ wordt losgelaten. Volgens Tinbergen blijkt uit de statistische gegevens, dat gedurende lange tijd λ nauwelijks is veranderd, met als consequentie dat ook de verdeling van het nationale inkomen tussen de factoren kapitaal en arbeid stabiel is gebleven.

Modellen met complementaire productie-factoren

Tenslotte beschrijft p.45 en verder in Mathematical models of economic growth kort de situatie, waarin er geen substitutie van productie-factoren zal optreden. In dat geval bestaat er niet een continue productie-functie, maar slechts een aantal discrete productie-technieken. In een voorgaande column is dit een productie-proces met complementaire factoren genoemd. Overigens komt dit verschijnsel weinig voor. Een voorbeeld is het weven van katoen in India, een halve eeuw terug, wat enerzijds thuis werd gedaan op simpele weef-getouwen en anderzijds machinaal¹⁰.

Stel er zijn twee technieken beschikbaar, genummerd 1 en 2. Neem aan dat techniek 2 het meest kapitaal-intensief is, zodat er geldt k₂ > k₁. Stel de beroeps-bevolking heeft een omvang L_n, en de kapitaal voorraad bedraagt K_n. Neem tenslotte aan, dat er geldt K_n / L_n < k₁. In deze situatie is er een overschot aan arbeid, waardoor in principe het markt-loon willekeurig laag kan worden (het "arbeidsleger van werklozen"). Er zal een minimum-loon p_L,n moeten worden ingevoerd om te voorkomen dat de werkers verhongeren.

Bij een goed beleid zal de kapitaal-voorraad K_n sneller toenemen dan de bevolking. Op een zeker moment zal gelden K_n / L_n = k₁, zodat alle beschikbare arbeid wordt benut. Het loonpeil is nu niet meer nul, maar onbepaald. Bij een nog verdere groei van K_n voldoet de techniek 1 niet meer, omdat zij dan kapitaal ongebruikt zou laten. De maatschappelijk toegepaste productie-techniek wordt een mengsel van de technieken 1 en 2. Feitelijk is er in deze fase substitutie van productie-factoren mogelijk. De lezer kan een nauwkeurige uitwerking van dit fenomeen vinden in de column over de substitutie van productie-middelen in de theorie van Sraffa, een vinger-oefening van uw columnist. In een andere column wordt hetzelfde fenomeen verklaard met behulp van de theorie van algebraïsche verzamelingen.

In deze fase van substitutie kunnen er isoquanten worden getekend. Feitelijk zijn dit de curven van technologische mogelijkheden. Tinbergen constateert, dat in deze situatie de beide technieken uiteraard dezelfde prijs p_K,n zullen betalen voor kapitaal, en idem voor p_L,n. Uitgaande van p_K,n = (Y − p_L,n×L) / K voor ieder van de technieken berekent men eenvoudig dat moet gelden

(11)     p_L,n = (k₂×ap₁ − k₁×ap₂) / (k₂ − k₁)

In de formule 11 is ap_i de arbeids-productiviteit van de techniek i. Klaarblijkelijk ligt het loonpeil nu vast.

Naarmate de kapitaal voorraad K_n verder aangroeit, zal men steeds meer de techniek 2 toepassen, althans zolang men de volledige werkgelegenheid wil handhaven. Tenslotte zal K_n zozeer zijn gegroeid, dat zelfs de techniek 2 niet meer alle kapitaal kan absorberen. Hier treedt de situatie op, waarin de marktprijs p_K,n van kapitaal willekeurig laag zal worden. Dit fenomeen is niet louter denkbeeldig, want zowel Karl Marx als John M. Keynes zien de daling van de rentevoet gebeuren in het verre verschiet.

1. Zie hoofdstuk 3 in Mathematical models of economic growth (1962, McGraw-Hill Book Company, Inc.) van J. Tinbergen en H.C. Bos.
2. De trouwe bezoeker van deze portaal weet intussen dat de economische wetenschap van de twintigste eeuw werd gedomineerd door de ideologische strijd tussen de westerse en de Leninistische economen. Daarom zou men verwachten, dat de Leninistische economen warme voorstanders zijn van de theorie van Sraffa. In werkelijkheid reageerden zij slechts lauw. Een schoolvoorbeeld is het boek Von Keynes zur neoklassischen Synthese (1976, Verlag Die Wirtschaft) van de Russische econoom I.M. Ossadtschaja. De Russische uitgave verscheen enkele jaren eerder, maar ruimschoots nadat de theorie van Sraffa had gezegevierd. Inderdaad erkent Ossadtschaja op p.126: "Vele commentatoren zijn van mening, dat de kritiek op de veronderstelling van de homogeniteit van het kapitaal doorslag gevend is voor de weerlegging van de marginalistische (E.B.: neoklassieke) theorie. ... Met betrekking tot de crisis van de marginalistische verdelings theorie heeft deze kritiek een grote betekenis, want zij is het bewijs voor het verval en de crisis van een doctrine, die in de burgerlijke politieke economie bijna een eeuw heeft gedomineerd". So far, so good. Maar een dertigtal pagina's tevoren behandelt hij de Cobb-Douglas productie-functie, alsmede de factor-substitutie. Op p.93 betoogt hij: "Ongetwijfeld bestaat er tussen de beweging van de reële prijzen van de productie-factoren en hun inzet in de productie een afhankelijkheid. Een loons-verhoging stimuleert de substitutie van de levende arbeid door de bestendigde arbeid (EB: kapitaal goederen). Het hangt vaak af van de loon-kosten, of er meer of minder kapitaal intensieve productie methoden worden gekozen". Dit is toch merkwaardig! De essentie van de theorie van Sraffa is juist, dat de keuze van de techniek niet duidelijk samenhangt met de prijs-ontwikkeling van de productie-factoren.
3. Zie p.32 in Mathematical models of economic growth. Tinbergen legt niet uit waarin het binnenlandse product verschilt van het nationale inkomen. Gewoonlijk rekent men in het nationale inkomen ook de verdiensten mee, die zijn geïncasseerd met nationale productie-factoren in het buitenland. Aangezien het hier gepresenteerde model geen aandacht besteedt aan het buitenland, vallen kennelijk het binnenlandse product en het nationale inkomen samen.
4. Ter herinnering: voor een uitleg van productie-functies in het algemeen, en van de Cobb-Douglas productie-functies in het bijzonder, kan de lezer terecht bij de zojuist vermelde inleidende column. Dit is zelfs zeer aan te raden voor een goed begrip van de huidige column.
5. Dan kan het karakter van de neutraliteit nader worden onderzocht. Het winstdeel van het nationale inkomen is K×p_K, en het loondeel is L×p_L. Bij Hicks neutraliteit wordt dat respectievelijk K×A × ∂F/∂K en L×A × ∂F/∂L. De verhouding van het winstdeel en het loondeel is k × (∂F/∂K) / (∂F/∂L). Bij een lineair-homogene functie is F(K, L) = L × F(k, 1) = L × F(k). Dus ∂F/∂K = ∂F/∂k en ∂F/∂L = F(k) + k × ∂F/∂k. Kennelijk hangt de verhouding van het winstdeel en het loondeel enkel af van k. Dien ten gevolge zal een constante kapitaal-intensiteit garanderen, dat de renteniers en de werkers ieder hun deel van het nationale inkomen behouden. Dat is Hicks neutraliteit.
   Bij Harrod neutraliteit geldt dezelfde regel, al is nu F(A×L, K) = L × F(A, k) = L × F_A(k). In allebei de gevallen is κ = K/Y een functie van uitsluitend k. Daarom impliceert voor lineair-homogene productie-functies een constante kapitaal-intensiteit automatisch een constante kapitaal-coëfficiënt.
6. Zie p.34 in Mathematical models of economic growth.
7. De differentiaal vergelijking wordt ∂K/∂t = σ × (1 + g_A)^t × L(0)^λ × (1 + g_L)^λ×t × K^1-λ. Definieer gemaks halve ζ = σ × L(0)^λ en η = (1 + g_A) × (1 + g_L)^λ. Dan is K^λ-1 × dK = ζ × η^t × dt. De oplossing is K^λ = constante + λ×ζ × e^{t × ln(η)} / ln(η). Bij t=0 vindt men voor de integratie constante de waarde K(0)^λ − λ×ζ / ln(η). Het resultaat is K^λ = K(0)^λ + λ×ζ × (η^t − 1) / ln(η). Neem gemaks halve bij een kleine waarde van x de benadering ln(1 + x) = x, dan is tenslotte K^λ = K(0)^λ + λ×ζ × (η^t − 1) / (g_A + λ×g_L), hetgeen was te bewijzen.
8. In Winterrozen voor een kwakzalver parodieert de Vlaamse schrijver Johan Daisne de wetenschappelijke vooruitgang (p.24): In zijn droom had hij plotseling tot het inzicht en de erkenning moeten komen dat vader, de bespottelijke kwakzalver, de dolzinnige boniseur, de razende verkondiger van een "leer" zonder slot noch zin, van "ideeën" die als droog zand aan elkaar hingen, des niettemin, en precies met dat alles, zijn voorloper was geweest, zijn onmiddellijke, kostbare, ja zelfs onontbeerlijke wegbereider. Weliswaar had hem het negatieve voorbeeld van vader derwijze afgeschrikt dat hij, gewaarschuwd, altoos en allerwege juist het tegengestelde had gedaan van wat de jammerlijke autodidact eens had uitgekraamd of uitgericht. Tot hem thans eensklaps, na een half mensenleven van onbegrijpelijke blindheid, duidelijk werd dat dit "tegengestelde" slechte een correctie van procédé was, een mise au point van methode. Het negatieve voorbeeld van de schijngeleerde had inderdaad als een voorbeeld, een omgekeerd oerbeeld gevormd, opgenomen met al de fouten en onzuiverheden van diens primitieve toestel, maar het was des niettemin het merkwaardige en onmisbare stuk geweest, waarna hij, als de echte geleerde, had kunnen komen om een gaaf positief ernaar te maken.
9. Zie p.39 in Mathematical models of economic growth.
10. Op een kleinere schaal is het fenomeen ook waarneembaar in Nederland. Zo is in Mensen zonder geld van Jan Mens te lezen: Er is geen cent meer te verdienen, alles komt voor 'n prikkie van buiten en de grote meubel-fabrieken gooien hun mensen op de keien. Voor anderhalve cent zetten ze tegenwoordig je huis vol meubels, maar vraag niet, hoe die rommel d'r uit ziet! Vroeger, ja, toen was er nog 'n beetje aardigheid aan 't vak. Je maakte wel lange dagen, maar als je met zo'n fijn, gebogen penantkastje bezig was, of met 'n buikige, wortelnoten chiffonière, nou, dan had je er tenminste nog aardigheid aan. Kom daar nou es om: alles recht-toe, recht-an; je kan net zo goed 'n paar sinaasappelkisten in je kamer zetten. En nou beginnen ze nog met stalen meubelen ook! Gottogot, da's om zo te zeggen helemaal 'n gekkenhuis. Stalen meubelen, wie heeft dat ooit op de viool horen spelen? Waar gaat 't met het goeie, oude vak naartoe?