Dynamica in macro-economische productie-functies

Plaatsing op Heterodox Gezelschap Sam de Wolff: 31 maart 2014

Tot op heden is op deze webportaal de neoklassieke productie theorie er ietwat bekaaid van afgekomen. De huidige column brengt daarin verandering door de micro-economische theorie van productie-functies te beschrijven. Essentiële begrippen zoals de complementariteit en de substitutie van productie-factoren worden verklaard. De isoquant wordt geïntroduceerd, evenals het optreden van verschillende soorten schaal-effecten. Er wordt gewezen op de problemen met macro-economische productie-functies, zoals in het model van Solow. Hoewel de theorie in deze column het niveau van de inleiding niet overstijgt, legt zij een nuttig en zelfs onmisbaar fundament voor toekomstige columns over de technische ontwikkeling in de productie¹.

De micro-economische productiefunctie

Wanneer in een bedrijf een hoeveelheid Q van één of ander goed of van een dienst wordt voortgebracht (in de Engelse taal de output), dan zijn daarvoor productie-factoren nodig (in de Engelse taal de input). De productie-factoren zijn zeer divers, en variëren van de arbeid, de grondstoffen, de hulpstoffen en half-fabricaten tot aan de machines en de bedrijfs-panden. Stel dat er N van zulke factoren bestaan, waarvan de hoeveelheden zijn gegeven door de verzameling (q₁, q₂, ... , q_N). Tezamen vormen de hoeveelheden een n-dimensionale vector q. Nu wordt de productie-functie gedefinieerd als de functie Q = f(q), die het verband weergeeft tussen de inputs en de outputs².

De productie-functie is een typische vondst van de neoklassieke leer, die probeert om de economie te beschrijven op het micro-niveau van de bedrijven en de huishoudens. De functie is een abstracte representatie van een bepaald productie-proces of een bedrijf. Dat wil zeggen, zij staat symbool voor een bepaalde productie-techniek. De variabelen verwijzen naar de materiële situatie, en negeren de geldwaarde van de productie-factoren en van de producten. De keuze voor een productie-functie wordt gemaakt door de ondernemer zelf. In de gangbare theorie worden de organisatorische, bestuurlijke en administratieve regelingen niet expliciet benoemd bij het formuleren van de productie-functie³. Wel wordt erkend, dat de omgeving van de ondernemer mede bepalend is voor Q. Wegens de systeem-neutraliteit bestaat er ook voor Leninistische economen geen ideologisch beletsel om productie-functies te gebruiken..

Gewoonlijk wordt er aangenomen, dat f(q) een technisch efficiënte productie beschrijft. De hoeveelheden q_i (met n=1, ..., N) worden volledig benut. Want hoewel in f(q) de waarde ontbreekt, eist de neoklassieke leer wel degelijk dat de kosten minimaal worden gemaakt. Aangezien zij bovendien verwacht dat de producten zo duur mogelijk worden verkocht, stelt zij de ondernemer voor de opgave⁴:

(1)     maximaliseer voor de q-ruimte   f(q) × p − Σ_n-1^N q_n × p_n

In de formule 1 stelt p de productprijs voor, terwijl p_n de factorprijs van input n weergeeft. Uiteraard is de productie enkel levens vatbaar, zolang het verschil van de baten en de lasten positief is. In de toestand van zuivere mededinging heeft de ondernemer geen invloed op de prijzen, waardoor hij een prijs-nemer wordt, alsmede een hoeveelheden aanpasser. De keuze voor een bepaald productie volume Q wordt gedicteerd door het gedrag van f(q). Gemaks halve gebruiken theoretici in hun model vaak zogenaamde homogene productie-functies van graad γ, die voldoen aan de relatie

(2)     λ^γ × Q = λ^γ × f(q) = f(λ × q)

In de formule 2 is λ een reëel getal, waarmee het productie volume kan worden op- of neer-geschaald. Dit wordt de niveau variatie genoemd. Invullen van de formule 2 in de formule 1 leidt tot⁵

(3)     maximaliseer voor de q-ruimte   q₁ × { q₁^γ-1 × f(q / q₁) − (q / q₁) · (p / p) }

In de formule 3 stelt de laatste term het wiskundige inproduct van de vectoren q/q₁ en p/p voor. De formule 3 is zodanig geschreven dat q₁ de rol van schaal factor speelt, terwijl de verhoudingen q_n/q₁ de techniek representeren.

Figuur 1: diverse schaal effecten

Formule 3 betekent niet vanzelf, dat q₁ zo groot mogelijk moet worden. Dat hangt mede af van de waarde van de term Ψ(q₁, q/q₁) = q₁^γ-1 × f(q / q₁) − (q / q₁) · (p / p). Een bijzonder geval treedt op in het geval γ=1, omdat dan Ψ enkel afhangt van de techniek, maar niet van q₁. Merk op dat er in deze situatie zal gelden Ψ=0 ⁶. Kennelijk is voor γ=1 de maximalisatie onafhankelijk van de schaal van het productie-proces (in de Engelse taal constant returns to scale). Dit type productie-functie met γ=1 wordt lineair-homogeen genoemd.

Anderzijds zijn er positieve schaal effecten (in de Engelse taal increasing returns to scale), wanneer geldt γ>1 (boven-lineariteit). Immers bij een gegeven techniek q/q₁ is dan Ψ positief bij een stijgende q₁, wegens de groeiende term q₁^γ-1 × f(q / q₁). Een dergelijke situatie bevordert de vorming van monopolies, waardoor de zuivere mededinging zal worden ondermijnd. In het geval γ<1 (onder-lineair) zijn er negatieve schaal effecten. Zoals blijkt uit de formule 3 zal in dit geval een stijgende productie schaal tenslotte leiden tot een negatieve Ψ en daarmee tot een verlies lijdende onderneming. Hier moet de ondernemer zoeken naar het optimale productie volume Q = Q_opt. De figuur 1 toont grafisch het gedrag van het productie volume als functie van de schaal factor λ, voor de drie regimes van γ.

Het basis model van de neoklassieke leer gaat uit van zuivere mededinging, en kiest daarom voor een lineair-homogene f(q). Helaas is dat weinig realistisch. Trouwens, de figuur 1 doet al vermoeden, dat ieder van de homogene productie-functies niet universeel toepasbaar is (ook niet met γ<1 of γ>1). De realiteit is meestal een mengvorm. Met name bij een klein productie volume is een schaal vergroting vaak gunstig wegens de afnemende kosten per eenheid product, omdat sommige productie factoren ondeelbaar zijn. Denk vooral aan de "vaste" kosten, zoals de administratie, die gemaakt moeten worden zelfs bij Q=0. Daar en tegen is de dienst-verlening het voorbeeld van een sector, waar vaak een neutrale schaling wordt aangetroffen. Er zijn weinig vaste kosten.

Omgekeerd kan een tè grote schaal leiden tot een starre en uitdijende bureaucratie, die remmend werkt op de efficiëntie. Overigens kan de neoklassieke leer dit laatste verschijnsel moeilijk verklaren. In haar perspectief speelt de belangenstrijd in de organisatie geen rol van betekenis. Er zijn geen doel-conflicten. Voorts zullen wegens uitputting ook allerlei vormen van mijnbouw en ontginning bij een te grote schaal vaak lijden onder afnemende meer-opbrengsten. Hoe dan ook, dit laat zien dat in de werkelijke productie-functie de schaal effecten kunnen wisselen, afhankelijk van het productie volume. Sterker nog, in de realiteit zal schaal vergroting soms gepaard gaan met de keuze voor een totaal andere productie-functie.

Figuur 2: Isoquanten met budget lijn

Wanneer het gedrag van productie-functies wordt onderzocht, dan zijn de isoquanten een nuttig hulpmiddel. Zij zijn gedefinieerd door de vergelijking Q₀ = f(q), waarin Q₀ een constante waarde voorstelt. Een boeiende vraag is of de functie het toestaat om de hoeveelheid Q₀ voort te brengen met verschillende vectoren q, bijvoorbeeld met q₁ en q₂. Als dat niet mogelijk is, dan liggen kennelijk de verhoudingen q_n/q_m bij voorbaat vast. Productie-factoren met dit gedrag worden complementair genoemd. De factor-intensiteiten q_n/q_m zijn onveranderlijk, en dus ook de productie-coëfficiënten q_n/Q₀. De isoquant is simpelweg een punt in de q-ruimte. Men spreekt hier van limitationele productie-functies of Leontief productie-functies⁷.

De neoklassieke leer ziet weinig in complementaire productie-functies. Immers zij beschrijft het ondernemers gedrag door de formule 3. De ondernemer zoekt naar de productie-factoren met de laagste prijzen p_n. In de neoklassieke beleving is hij altijd voldoende inventief om nieuwe productie-technieken te bedenken, met gunstigere factor-intensiteiten. Met andere woorden, de factoren zijn substitutief, en zijn in de neoklassieke leer zelfs volledig uitwisselbaar (met de beperking, dat bijvoorbeeld de hoeveelheden van de factor arbeid L en van bepaalde cruciale kapitaal-goederen K nooit helemaal nul kunnen worden). De isoquant is nu een curve in de q-ruimte. De figuur 2 geeft een illustratie.

Wanneer men langs de isoquant beweegt, dan voltrekt zich een voortdurende substitutie van de productie-factoren. De marginale substitutie verhouding tussen twee productie-factoren n en m is gedefinieerd als MSV_nm = -dq_m / dq_n. Het min-teken maakt de MSV positief. Aldus voldoet de MSV langs de isoquant aan⁸

(4)     MSV_nm = (∂Q / ∂q_n) / (∂Q / ∂q_m)

Een term van de gedaante ∂Q / ∂q_n wordt de grens productiviteit van de productie-factor n genoemd.

Figuur 3: Hicks neutrale isoquanten

Tot nu toe is voorbij gegaan aan de ontwikkeling van Q in de tijd. Echter deze column wil de dynamiek van de technische ontwikkeling bestuderen. Nieuwe technieken zullen de productiviteit van de productie factoren verhogen. Daartoe moet de tijd worden opgenomen in de productie functie, die dan Q(t) = F(q, t) wordt. Ten einde de theorie niet tè complex te maken, zullen voortaan slechts twee productie factoren worden beschouwd, te weten de arbeid L en een kapitaal goed K. De bekende econoom J.R. Hicks heeft voorgesteld om de technische ontwikkeling te modelleren met productie functies van de vorm

(5)     Q(t) = A(t) × F(K, L)

De factor A(t) is een maat voor het niveau van de technologie op het tijdstip t, en wordt de totale factor-productiviteit genoemd. Men noemt de door de formule 5 beschreven technische vooruitgang Hicks-neutraal. Merk op, dat de hoeveelheden van de productie-factoren K en L weliswaar kunnen veranderen met de tijd, maar dat des ondanks hun functionele gedrag F(K, L) bewaard blijft. Waarschijnlijk verklaart dat de benaming "neutraal" voor deze vorm van vooruitgang. Men kan zonder verlies aan algemeenheid definiëren A(0) = 1. Aangezien bij vooruitgang de productiviteit toeneemt, moet er gelden dat A(t) > 1 voor t>0.

De technische ontwikkeling onder Hicks-neutrale condities kan aanschouwelijk worden gemaakt aan de hand van de isoquant Q(t) = Q(0) = Q₀. Immers bij een constante Q₀ en een stijgende productiviteit zullen de hoeveelheden van K en L mogen afnemen. Op de isoquant wordt de stijging van A(t) gecompenseerd door de daling van K en L. Als de functie F(K. L) lineair-homogeen is, zoals de neoklassieke leer standaard veronderstelt, dan geldt er Q₀ = F(K × A(t), L × A(t)). Als men zich op t=0 bevindt in een punt (K, L) van de isoquant met kapitaal-intensiteit k=K/L, dan zal op een later tijdstip t>0 dat punt naar de oorsprong bewegen zonder k te wijzigen. De figuur 3 illustreert dit tijds gedrag van isoquanten onder Hicks neutrale omstandigheden⁹.

Figuur 4: Harrod neutrale isoquanten

De bekende econoom R.F. Harrod was niet bijster tevreden met de formule 5 voor de technische ontwikkeling, omdat hij problemen voorziet bij het empirisch bepalen van de hoeveelheid K van het kapitaal goed. Hij denkt dat het eenvoudiger is om situaties van gelijke K te beschouwen, en uitsluitend te kijken naar de verbetering van de arbeids-productiviteit Q/L. Dat leidt tot productie functies van de vorm

(6)     Q(t) = F(K, A(t) × L)

Men noemt de door de formule 6 beschreven technische vooruitgang Harrod-neutraal. Ook hier blijft het functionele gedrag bewaard, mits men rekent met F(K, Λ(t)) en Λ(t) = A(t) × L. Neem gemaks halve opnieuw A(0) = 1, dan is Λ(0) = L. Voor t>0 neemt Λ toe, niet omdat er gedurende meer uren arbeid zou worden verricht, maar omdat de productiviteit van de hoeveelheid arbeid L stijgt¹⁰. Ook onder Harrod-neutrale condities kan de technische ontwikkeling aanschouwelijk worden gemaakt aan de hand van de isoquant Q(t) = Q(0) = Q₀. De stijging van A(t) moet op de isoquant worden gecompenseerd met een evenredige daling van L. Als men zich op t=0 bevindt in een punt (K, L) van de isoquant met kapitaal-coëfficiënt κ=K/Q, dan zal op een later tijdstip t>0 dat punt naar de K-as bewegen zonder κ te wijzigen. De figuur 4 illustreert dit tijds gedrag van isoquanten onder Harrod neutrale omstandigheden¹¹.

Ten slotte moet bij dit micro-economische betoog nog aandacht worden besteed aan een veel gebruikte wiskundige formule voor de productie-functie. Aan deze functie zijn de namen van de Noord-Amerikanen Cobb en Douglas verbonden, die haar populair hebben gemaakt. Zij luidt¹²

(7)     Q = A × K^β × L^α

Aangezien deze functie meestal wordt gebruikt in statische situaties, is de variabele t weggelaten. De constanten α en β zijn positief. Zoals steeds zijn K en L volkomen substitueerbaar. De formule 7 is erg handig in het gebruik. Bijvoorbeeld is de formule 7 te herschrijven tot K = (Q / A)^1/β / L^α/β, zodat kennelijk de isoquanten zich gedragen als hyperbolen in het (L, K) vlak.

De lezer kan makkelijk nagaan dat de Cobb-Douglas functie homogeen is van graad α+β. Daarom is in het populaire lineair-homogene geval β gelijk aan 1-α. En de grens-productiviteiten zijn ∂Q / ∂K = β × Q/K en ∂Q / ∂L = α × Q/L. Indien α en β kleiner zijn dan 1, wat een veel voorkomende aanname is, dan is kennelijk de grens-productiviteit van een factor kleiner dan de gemiddelde productiviteit (te weten Q/K en Q/L). Hieruit volgt direct, dat de grens-productiviteit van een factor afneemt, naarmate hij overvloediger aanwezig is. Blijkens de formule 4 is een andere aardige eigenschap van de Cobb-Douglas functie, dat de marginale subtitutie verhouding MSV_LK gelijk is aan k × α/β. Langs een lijn van constante kapitaal-intensiteit blijft MSV_LK ongewijzigd.

De macro-economische productiefunctie

Cobb en Douglas hebben vooral naam gemaakt, doordat zij de functie van de formule 7 hebben toegepast op het macro niveau. De natie-staat wordt als het ware voorgesteld als een enorme onderneming. Het spreekt wel vanzelf, dat er grote practische bezwaren kleven aan deze benadering¹³. Immers het is een onmogelijke opgave om alle productie-factoren van de staat te verenigen in één productie-functie. Het zijn er tè veel. Wellicht zal de trouwe lezer tegenwerpen, dat althans voor het geval van complementaire productie-factoren de theorie van Sraffa uitkomst biedt. Maar zelfs die eenvoudige formules zijn enkel practisch toegepast met een uitsplitsing naar de economische sectoren, en niet naar het niveau van de afzonderlijke ondernemingen.

Echter de studies op het sectorale niveau moeten noodgedwongen al gebruik maken van aggregatie. De afzonderlijke kapitaal goederen worden samen gevoegd tot een beperkt aantal categorieën. De aggregatie van heterogene goederen is enkel mogelijk via hun waarde in geld. In de Cobb-Douglas functie gebeurt dat zeer rigoreus, omdat er slechts één kapitaal-factor K overblijft. Hetzelfde gebeurt in het bekende groeimodel van de econoom R.M. Solow. Er ontstaan problemen bij het gebruik van waarde-grootheden in de productie-functies. Immers de productie functies representeren een bepaalde techniek. Zodra er waarden in worden opgenomen, werken ook maatschappelijke grootheden zoals het loonpeil en de rentevoet er in door.

Op het micro niveau, voor de afzonderlijke onderneming, zijn de product prijzen en de factor-prijzen een gegeven, althans zolang de markt wordt gekenmerkt door zuivere mededinging. Maar deze bewering gaat niet meer op voor het geaggregeerde macro niveau, want daar zijn de prijzen onderling gerelateerd. Bijvoorbeeld zodra er productie-factoren worden gesubstitueerd, veranderen de prijzen en de daaruit berekende geaggregeerde waarde-grootheden. Aldus kan het totale product Q veranderen van waarde, zelfs wanneer het materieel helemaal niet verandert. Dit geeft aanleiding tot ogenschijnlijk, en zeker voor de neoklassieke theoretici, vreemde verschijnselen zoals de terugkeer van eerder verworpen productie technieken (in de Engelse taal reswitching).

Het verschil tussen het micro en macro niveau kan ook goed worden toegelicht aan het verband tussen de grens-productiviteiten en de factor-prijzen. Zoals blijkt uit de formule 1 probeert de ondernemer op het micro niveau zijn opbrengst zo groot mogelijk te maken, en zijn onkosten zo klein mogelijk. Zijn methode wordt grafisch weergegeven in de figuur 2. De productie kosten bedragen TC = K × p_K + L × p_L. Dit is de groene rechte lijn in het (L, K)-vlak, die de budget lijn wordt genoemd. In hetzelfde vlak zijn de isoquanten getekend, die behoren bij zijn productie-functie f(K, L).

De ondernemer probeert nu de hoogste isoquant te bereiken, die binnen zijn reikwijdte ligt. Dat bereik wordt beperkt door het bedrag TC, dat hij tot zijn beschikking heeft. Het optimum van de ondernemer is het punt van de budget lijn, dat juist raakt aan een isoquant. Een hoger gelegen isoquant is niet bereikbaar. In het optimum is de helling van de budget lijn (die -p_L/p_K bedraagt) juist gelijk aan de helling van de isoquant aldaar (die gelijk is aan de MSV_LK, en dus voldoet aan de formule 4). In formule is dit¹⁴

(8)     (∂Q / ∂L) / p_L = 1/π = (∂Q / ∂K) / p_K

In de formule 8 is π een constante, waarvan de waarde kan worden bepaald door een eenvoudige redenatie. Namelijk in verreweg de meeste omstandigheden zal de grens-productiviteit ∂Q / ∂L een weliswaar positieve maar toch dalende functie van L zijn¹⁵. Een ondernemer zal personeel blijven aannemen totdat de waarde van de marginale grens-productiviteit van de werkers is gedaald tot het loonpeil. Dat eindpunt voldoet aan p_L = ∂(p × Q) / ∂L = p × ∂Q / ∂L. Dit is precies de formule 8, waarin π=p. Een geheel analoge redenatie kan worden gehouden voor de factor kapitaal.

Is de relatie p_n = p × ∂Q / ∂q_n ook geldig op het macro niveau? Zelfs tegenwoordig beweren sommige leerboeken nog schaamteloos van wèl¹⁶. Maar dat klopt niet, want op het macro niveau worden de product-prijzen p en de factor-prijzen p_n zèlf variabel, en een functie van Q en q_n. Het micro-economische betoog is niet overdraagbaar naar de macro-economie.

Afsluitend wordt nog eens gememoreerd dat de zo-even geformuleerde kritiek op de macro-economische toepassing evenzeer van toepassing is op het groei-model van Solow. Immers ook dat model aggregeert de fysieke producten in geldsommen, te weten de factor kapitaal K(t) en het netto product N(t). De waarden van die geldsommen zullen variëren al naar gelang van de toegepaste productie-techniek. In feite heeft de productie-functie bij Solow weinig meer van doen met technieken¹⁷.

1. Voor deze column zijn een groot aantal leerboeken geraadpleegd, voor het merendeel met een inleidend karakter. Een zeer volledig boekwerk, en bovendien Nederlands talig, is Micro-economie (1996, Stenfert Kroese) van F.J. Dietz, W.J.M. Heijman en E.P. Kroese. Dit boek kan de vergelijking met buitenlandse boeken glansrijk doorstaan, en geeft bovendien informatie over de Nederlandse economie en over het werk van Nederlandse economen. Een schoonheids foutje is dat de auteurs de theoretische gebreken van de gangbare neoklassieke leer enigszins toedekken. Voor een kritische evaluatie van de theorie kan de lezer goed terecht bij Volkswirtschaftslehre (2003, Oldenbourg Wissenschafts-verlag) van M. Heine en H. Herr. Minder diepgaand maar makkelijk toegankelijk is Mikroökonomische Theorie (2011, UVK Verlagsgesellschaft mbH) van W. Hoyer en W. Eibner. Wat beknopter maar toch inzichtelijk is Microéconomie (1991, Presses Universitaires de France) van F. Etner. Uw columnist heeft bovendien de betreffende hoofdstukken in het gevorderde boek Economie en technische ontwikkeling (1973, H.E. Stenfert Kroese B.V.) van A. Heertje gelezen.
   De column volgt in grote lijnen het betoog in de experimentele ringband Vooruitgang der economische wetenschap (2011, Uitgeverij E. de Bibelude) van E.A. Bakkum. De meeste figuren zijn afkomstig van deze ringband. Vermeldens waard is nog, dat indertijd de ringband gratis is aangeboden aan een reeks studie-verenigingen. Dat leverde slechts één reactie op, namelijk dat de dames en heren studenten wel wat beters te doen hebben dan mijn teksten te corrigeren. Zoiets maakt bescheiden. Klaarblijkelijk zoekt de doorsnee student zijn of haar levens geluk niet in vak-kennis.
2. Merk op, dat de productie-functies voldoen aan cardinaliteit. Dat wil zeggen, de evaluatie van de functies leidt tot een kwantitatieve waarde, dus tot een reëel getal. Merk verder op, dat de output van de ene onderneming kan worden gebruikt als input voor een andere onderneming. Zelfs kan een onderneming een deel van zijn eigen productie Q gebruiken als productie factor in de eigen productie-functie. Gemaks halve nemen de inleidende leerboeken aan, dat de productie een continu proces is, en niet eenmalig of periodiek.
3. Hiervoor moet men bij de bedrijfs-economie zijn. Of bij de literatuur, bijvoorbeeld het toneelstuk Glück auf! van Herman Heijermans: (Mijndirecteur): Als we bij 't syndicaat zijn aangesloten, moeten we ons aan de ruggespraak met het syndicaat houden. (Mijnbestuurder): Mijnheer de voorzitter, ik vraag voor de derde maal om tot stemming over te gaan. De geachte interpellant van daarstraks heeft over 't hoofd gezien dat we enkel winst te boeken hebben, als de lokale beweging een algemene wordt. In de strijd om de macht ... (Aandeelhouder): Ja, ja marè, marè, met 'n forceren van 'n staking, terwijl de voorraad in 't begin van de winter betrekkelijk groot is ... Mijnheer de voorzitter, ik tree voor de belangen van de kleine aandeelhouder, die zijn spaarpenningen in onze onderneming gestoken heeft, op - ik zeg, dat we 't in zevenennegentig nog eens gehad hebben, dat de mijn in de zes weken staking zo achteruit ging ...
4. De Leninistische economen zullen hier al afhaken. Immers als een ondernemer zijn winst maximaliseert, dan zal hij minder vaardige ondernemers uit de markt drukken. Maatschappelijk gezien staat tegenover de winst van de succesvolle ondernemer het verlies van zijn verslagen concurrenten. Daarom zou het voor de maatschappij als geheel voordelig kunnen zijn, wanneer de succesvolle ondernemer vrijwillig zijn markt-aandeel beperkt, althans voorlopig totdat de outillage van zijn concurrenten is afgeschreven. In het kapitalisme overheerst, zoals de socioloog Schumpeter het noemt,de creatieve destructie.
5. Immers f(q) × p − q · p = q₁×p × { f(q) / q₁ − (q/q₁) · p/p } = q₁×p × { q₁^γ-1 × f(q / q₁) − (q/q₁) · p/p }. Natuurlijk heeft de vermenigvuldiging met p geen effect op de maximalisatie, zodat die kan worden weg gelaten.
   De vector q/q₁ heeft als elementen q_n/q₁, en dat zijn de factor-intensiteiten. In combinatie met de term q₁/Q zijn hieruit de uit het Leontief-model bekende productie-coëfficiënten te herleiden. De vector p/p heeft als elementen p_n/p, en dat is de prijs verhouding van de productie-factor n en van het product.
6. Namelijk stel dat de techniek is gegeven. Dan liggen alle q_n/q₁ vast. In die situatie betekent de maximalisatie van de formule 3 dat moet gelden ∂(q₁ × Ψ(q / q₁)) / ∂q₁ = 0. Dien ten gevolge is Ψ(q / q₁) = 0, hetgeen was te bewijzen.
   Aangezien in dit betoog q₁ de rol speelt van schaal factor, is de grens-productiviteit ∂Q/∂q₁ tevens de zogenaamde niveau grens productiviteit (in de Engelse taal marginal return to scale). Merk nog op, dat Ψ in deze situatie het verschil tussen de opbrengst en de productie kosten voorstelt. Daarom betekent Ψ=0 dat de opbrengst helemaal wordt verdeeld als inkomens van de productie factoren. Er blijft geen rest over voor de ondernemers winst.
7. Alle neoricardiaanse modellen, die gebruik maken van de theorie van Sraffa, behoren tot het Leontief type. De geïnteresseerde lezer zij aangemoedigd om op deze portaal te zoeken in de vele columns, die zijn gepubliceerd over dit thema.
8. Immers langs de isoquant is dQ = 0. Dat wil zeggen, er geldt Σ_n=1^N dq_n × ∂Q /∂q_n = 0. Beschouw een vlak (q_ν, q_μ) met dq_n=0 voor alle n behalve ν en μ. Dan is dq_μ / dq_ν = - (∂Q / ∂q_ν) / (∂Q / ∂q_μ). En de term in het linker lid van de vergelijking is juist MSV_νμ. Dat voltooit het bewijs.
9. De figuur is getekend op basis van de isoquant 9 = K^¼ × L^¾. Er is aangenomen dat in de tijd Δt de factor productiviteit toeneemt met 1.5 (dat wil zeggen, 50% groei).
10. De Vlaamse toneel schrijver Walter van den Broeck schildert de technische ontwikkeling in Tien jaar later: 't Jaar 10: (Albert): 't Is overal hetzelfde, hé. Alles gaat dicht. (Jan): De Vieille Montagne niet, zeg ik u. De Vieille Montagne niet! (Luc): Verstaat ge 't nog altijd niet? Eerst hebben ze de cité verkocht, van iedereen kleine, bange eigenaarkens gemaakt. Dan hebben ze de ene afdeling na de andere gesloten. Allee, gij waart peller. Waarom zijt gij 't afgestapt? Omdat ge in de weg liept. In die automatische superhallen alleen, daar pellen ze vandaag méér dan vroeger in al de hallen samen. Zelfs bij de stielmannen wordt tegenwoordig al één op de vijf weken gedopt. Ik zeg u dat de Vieille Montagne dicht gaat en gij kunt zeggen wat ge wilt. (Jan): En die miljoenen van de staat dan? Waar moeten die dan voor dienen? (Luc): Voor nog méér automatisatie. Om nog meer werkvolk te laten afvloeien.
11. Ook deze figuur is getekend op basis van de isoquant 9 = K^¼ × L^¾. Er is aangenomen dat in de tijd Δt de productiviteit van de arbeid toeneemt met 2.25 (dat wil zeggen, 125% groei). Aangezien de Harrod neutrale technische ontwikkeling enkel doorwerkt in de factor arbeid, is de verschuiving van de isoquant toch om en nabij gelijk aan die bij de Hicks neutrale technische ontwikkeling van de figuur 3.
12. Het meer-dimensionale equivalent van de Cobb-Douglas functie is Q = A × Π_n=1^N q_n^αn. In deze formule is Π de wiskundige uitdrukking voor de vermenigvuldiging van de N termen q_n^αn. De meeste eigenschappen van de Cobb-Douglas functie zijn simpel uit te breiden tot het geval van haar N-dimensionale equivalent.
13. Er is zelfs een Nederlands talig boek gewijd aan dit thema, namelijk Economie en technische ontwikkeling (1973, H.E. Stenfert Kroese B.V.) van de econoom A. Heertje. Het is een lastig boek, dat een overzicht geeft van de toen actuele wetenschappelijke literatuur over dit thema. Wellicht toch heeft de auteur de omvang van zijn Nederlandse doelgroep wat overschat. Uw columnist heeft het boek weggegrist bij antiquariaat De Slegte juist voor het bedrijf failliet ging.
14. Merk allereerst op, dat de MSV_LK is gedefinieerd als een positieve waarde. Men moet dus ook de helling p_L/p_K als een positief getal opvatten. Dan geldt er (∂Q / ∂L) / (∂Q / ∂K) = p_L / p_K. Breng alle grootheden van een productie-factor aan dezelfde kant van de gelijkheid, dan volgt er (∂Q / ∂L) / p_L = (∂Q / ∂K) / p_K. Natuurlijk is er niets op tegen om het linker- en rechterlid te benoemen als 1/π.
15. Dit kan ook als volgt worden geformuleerd. Er geldt dQ(K, L) = ∂Q/∂K × dK + ∂Q/∂L × dL. Beschouw de verandering langs een pad met een constante kapitaal-intensiteit k=K/L. Dit wil zeggen, dat K en L gelijk opschalen. Neem L als schalings parameter, dan is dQ/dL = k × ∂Q/∂K + ∂Q/∂L. Er volgt (dQ/dL) / (Q/L) = (∂Q/∂K) / (Q/K) + (∂Q/∂L) / (Q/L). Uitgedrukt in woorden: de schalen-elasticiteit is gelijk aan de som van de afzonderlijke productie-elasticiteiten van de factoren. De schalen-elasticiteit kan groter zijn dan 1, bijvoorbeeld bij boven-lineair homogene productie-functies. Maar meestal zal zij toch zó weinig afwijken van 1, dat de productie-elasticiteiten van de afzonderlijke factoren kleiner zijn dan 1. In de formule voor het algemene geval luidt deze constatering ∂Q/∂q_n < Q/q_n, bij de variatie van q_n in een verder onveranderde situatie. De marginale toename is kleiner dan de gemiddelde toename. Dien ten gevolge zwakt kennelijk de groei van de functie Q(q_n) af, naarmate q_n groter wordt. De helling van Q nadert naar nul.
    Volledigheids halve moet hier een kant tekening worden gemaakt, al zal die wellicht de lezer wat verwarren. De constatering ∂Q/∂q_n < Q/q_n gaat uitsluitend op zolang slechts de factor q_n wijzigt. In de zojuist beschreven formule voor de differentaal dQ is daaraan per definitie voldaan. Maar als tegelijk óók de hoeveelheden van andere productie factoren q_m (met m ongelijk aan n) worden gewijzigd, zoals bij een algehele schaal vergroting, dan werkt dat uiteraard eveneens door in Q. De grens-productiviteit ∂Q/∂q_n "profiteert" van de andere stijgende grens-productiviteiten ∂Q/∂q_m. Bij de algehele schaal vergroting kan dus wèl gelden ∂Q/∂q_n > Q/q_n. Dit geval doet zich in het bijzonder voor, wanneer er increasing returns to scale optreden. De ondernemer kan dan de factoren niet meer belonen volgens p_n = p × ∂Q / ∂q_n, omdat dan de factor wordt beloond volgens zijn laatst toegevoegde, meest productieve eenheid. Met andere woorden, de formule is enkel houdbaar zolang de grens-productiviteit daadwerkelijk afneemt bij een stijgende hoeveelheid q_n.
16. Zie bijvoorbeeld p.51 in Macroeconomics (2000, Worth Publishers) van N.G. Mankiw. Daar stapt Mankiw zonder verontschuldiging of gewetensnood over van de toestand in één onderneming naar de nationale economie. Klaarblijkelijk hebben vooringenomenheid en mentale traagheid een lange adem. Er zijn zelfs Nederlandse universiteiten, die nog altijd les geven uit de leerboeken van Mankiw. Een aandachts puntje voor aankomende studenten ...
17. Op p.180 van Economie en technische ontwikkeling stelt Heertje dat Solow de macro-economische productie-functie simpelweg poneert, dat wil zeggen, aanneemt. Maar daarmee wordt onbegrijpelijk wat de substitutie tussen K en L voorstelt in de realiteit.