Één-sector modellen met kapitaal-schaarste

Plaatsing op Heterodox Gezelschap Sam de Wolff: 24 maart 2014

E.A. Bakkum is eindredacteur van de periodiek Sociaal Vooruit, en een betrokken PvdA lid. Hij is beroepsmatig werkzaam bij het Socialistisch Centrum, waar hij de functie van zaakwaarnemer vervult.

Alweer bijna twee jaren terug zijn op deze webportaal twee dynamische één-sectoren modellen behandeld, die zijn gebruikt voor plannings doeleinden in de voormalige Leninistische economieën. In feite gaat het om differentie versies van het Harrod-Domar model, waarbij de structuur parameters afhangen van de tijd. Daardoor worden de modellen volkomen dynamisch. In de huidige column wordt uitgelegd, welke plan instrumenten de beroemde Nederlandse econoom Jan Tinbergen ontwikkelt, eveneens op basis van het Harrod-Domar model. Zijn plan modellen houden rekening met investerings vertragingen en met vervangingen. Ze zijn ontleend aan het boek Mathematical models of economic growth, dat Tinbergen schreef tezamen met Hendricus C. Bos1.

De modellen richten zich op het oplossen van beleids problemen. De beleids maker zal doelen formuleren, die volgens hem zullen leiden tot de optimale welvaart. Deze drukt zich vooral uit in het gemiddelde consumptie niveau, maar ook in de verdeling van de consumptie over de bevolking2. Vaak verfijnt men de planning in stappen, waarbij eerst het macro probleem wordt opgelost. Het probleem op het micro niveau wordt dan aangepakt in de vervolg fase. Naast de consumptie wil men gewoonlijk ook de werkgelegenheid optimaliseren.

Foto van Tinbergen munt Child right
Figuur 1: Tinbergen munt Child right

Planning is nodig zelfs wanneer de overheid niet direct ingrijpt in de economie. De overheid heft belastingen en besteedt de opbrengst om haar taken uit te voeren. Een deel daarvan heeft de gedaante van investeringen. Daarnaast worden sommige private activiteiten gestimuleerd door middel van subsidies. De taak van de macro-economische modellen is om eventuele tegenstrijdigheden te elimineren uit de politieke plannen. Al in de eerste fase moeten de spaarquote σ en de economische groeivoet gY op elkaar worden afgestemd. De sectorale uitwerking is van later zorg. Als men de aanpak van Domar en Harrod hanteert, dan is de kapitaal coëfficiënt κ constant. Met andere woorden, de technologische veranderingen worden voorlopig verwaarloosd.

De modellen van deze column beschrijven slechts één sector, te weten die van de totale economie in zijn geheel. Aangezien zij dienen voor het plannen van de economische ontwikkeling, is de tijd t een cruciale variabele. De structuur van het economische systeem wordt vastgelegd door algemene parameters, zoals de reeds genoemde σ en κ. De omvang van de economische activiteiten wordt vastgelegd in de waarde van het nationale inkomen Y(t). Gemaks halve wordt verondersteld, dat de voorraad kapitaalgoederen (met een waarde K(t)) de enige schaarse hulpbron is.

De economische groei vereist dat het kapitaal K(t) wordt opgehoogd. Daartoe worden er netto investeringen I(t) gedaan, die per definitie gelijk zijn aan

(1)     I(t) = ∂K(t) / ∂t

Gewoonlijk is het een beleids doel om de groei evenwichtig te laten verlopen, afgezien van eventuele tussentijdse aanpassingen. Dit leidt tot de eis dat de netto investeringen helemaal worden gedekt door de besparingen. In formule is dat I(t) = S(t). Wegens de definitie van de spaarquote zijn de besparingen gelijk aan

(2)     S(t) = σ × Y(t)

Volledigheids halve zij de lezer herinnerd aan de definitie van de kapitaal coëfficiënt:

(3)     κ = K(t) / Y(t)

De kapitaal coëfficiënt geeft weer hoe groot de voorraad aan kapitaal goederen moet zijn om een zeker nationaal inkomen Y(t) voort te brengen. Aangezien κ onafhankelijk is van t, is kennelijk de groei extensief. Met andere woorden, K en Y schalen gelijk op. De factor arbeid L(t) ontbreekt in de formules. De veronderstelling is dat de arbeidsmarkt zich soepel zal aanpassen bij de economische ontwikkelingen3.

In de voorgaande tekst is al geconstateerd, dat de consumptie C(t) een essentieel element is in de beleids doelen. Zij kan direct worden berekend uit de formule van het nationale inkomen

(4)     Y(t) = C(t) + S(t)

Volgens de formule 4 worden de consumpties van de huishoudens betaald uit het nationale inkomen. Datgene wat niet wordt geconsumeerd, zetten de huishoudens op een spaar rekening. Wegens de aanname dat S=I, worden vervolgens ook de spaargelden uitgegeven. Dat gebeurt door de ondernemingen, die het bedrag S lenen ten einde er kapitaal goederen (productie outillage) met een totale waarde I van te kopen.

De investeringen leiden tot een economische groei. Gewoonlijk is een model enkel wiskundig exact oplosbaar, wanneer er wordt gekozen voor een constante groeivoet, dus onafhankelijk van de tijd. Bijvoorbeeld is de groeivoet van het nationale inkomen gedefinieerd door

(5)     gY = (∂Y(t) / ∂t) × dt / Y(t)

In de formule 5 is de grootheid dt het tijds interval, waarop de groeivoet betrekking heeft. Immers naarmate het interval langer is, zal Y meer kunnen groeien. Het is gangbaar om dt gelijk te stellen aan één tijds eenheid. Op een zelfde manier kunnen de andere groeivoeten worden gedefinieerd, zoals die van K(t).

De formules 1-5 zijn het fundament van het Harrod-Domar model. Afhankelijk van de vragen, die ontstaan tijdens het plan proces, kan het model worden verfijnd op allerlei manieren. De modellen, die zullen worden behandeld in deze column, komen overeen met datgene wat de Leninistische econome Eva Müller in de zojuist vermelde column het eenvoudige nationale inkomens model noemt. Men zal in het werk van Müller tevergeefs zoeken naar de naam Tinbergen, hoewel haar publicatie pas twaalf jaren na Mathematical models of economic growth verschijnt4. Zij verwijst wèl naar Russische en Oost-Duitse publicaties, maar ook die verschenen pas enkele jaren na Tinbergen's werk. Tegenwoordig lijkt het ongelofelijk, maar misschien wist Müller ècht van niets!


Model met investerings vertraging

In het plan proces moet er rekening mee worden gehouden, dat het tijd kost om besluiten te realiseren. Dit betreft met name de investeringen. Na de investerings beslissing zal eerst de order moeten worden geplaatst bij een producent, en die zal vervolgens enige tijd nodig hebben om het product voort te brengen en te installeren. Immers investeringen in kapitaal goederen zijn vaak groot van omvang en gewoonlijk maatwerk. Dit geldt helemaal bij infra-structurele werken, waarvan de bouw soms vele jaren kan duren.

Een realistisch model moet rekening houden met deze investerings periode of vertraging (in de Engelse taal lag). Stel dat de investering begint op het tijdstip t, en dat zij een periode τ vereist. Dan bedraagt de gemiddelde investering per tijds eenheid5

(6)     I(t) = (K(t + τ) − K(t)) / τ

Dat wil zeggen, op het tijdstip t moet de jaarlijkse aanbetaling worden gedaan voor alle kapitaal goederen, die worden opgeleverd tussen t en t+τ.

De combinatie van de formules 2, 3 en 6 leidt tot de recursieve betrekking

(7)     K(t+τ) = (1 + τ × σ / κ) × K(t)

Hieruit kan simpel de groeivoet van het kapitaal worden afgeleid6

(8)     gK = ln(1 + τ × σ / κ) / τ

In de formule 8 is ln(x) de natuurlijke logaritme van x, en de groeivoet geldt voor dt=1. In geval τ veel kleiner is dan σ/κ, vindt men bij benadering de bekende formule gK = σ/κ. Als dit niet het geval is, dan zal de groei langzamer verlopen. De vertraagde oplevering van kapitaal goederen dempt de groei.


Model met afdankingen (1)

In deze paragraaf wordt bestudeerd wat het effect op de groei is van de slijtage van de kapitaal goederen. Gemaks halve wordt nu τ=0 genomen, zodat er wordt afgezien van investerings vertragingen. Stel dat er jaarlijks een hoeveelheid A(t) van kapitaal goederen wordt afgedankt, terwijl er een hoeveelheid V(t) ter vervanging wordt toegevoegd. Stel dat de grootheid Γ symbool staat voor de waarde van de voorraad van kapitaal goederen. Dan geldt er

(9)     ∂Γ(t) / ∂t = I(t) + V(t) − A(t)

De trouwe lezer herkent in de formule 9 de vergelijking voor het grondfonds uit het eenvoudige nationale inkomens model van Eva Müller. Ook de andere model formules van Tinbergen en Müller komen overeen. Aldus definieert Tinbergen de gemiddelde levensduur van de kapitaal goederen als

(10)     θ = Γ(t) / V(t)

Merk op dat θ hier constant in de tijd is. Kennelijk schrijft de producent zijn voorraad aan kapitaal goederen af in een tijd θ, en gebruikt hij de afschrijvingen om de voorraad voortdurend weer aan te vullen. De aanvulling V(t) compenseert het deel van de kapitaal goederen Γ(t), dat in de toekomstige periode θ zal worden afgedankt. Haar doel is om de productie op peil te houden. Afschrijvingen zijn een boekhoudkundig middel. Merk verder op dat de amortisatie-voet van Müller overeen komt met 1/θ.

De netto investeringen I(t) voldoen aan de formule 2, in combinatie met S=I. Met andere woorden, het spaar gedrag hangt niet samen met de afdankingen. Dien ten gevolge zal in het algemeen ∂Γ(t) / ∂t ongelijk zijn aan I(t). Wegens de formule 1 zijn dan eveneens Γ(t) en K(t) ongelijk. Klaarblijkelijk moet in dit model K(t) niet worden opgevat als de voorraad van kapitaal goederen, maar als de voorraad van geld kapitaal dankzij het sparen van de huishoudens. Merk op dat de formules van Müller wèl rekening houden met de vertragingen in zowel de netto investeringen als de vervangingen. Echter vervolgens verwaarloost zij in haar getallen voorbeelden alsnog die vertragingen, omdat anders de berekeningen te gecompliceerd worden.

In dit model is er sprake van bruto investeringen IB(t). Zij zijn gedefinieerd als

(11)     IB(t) = I(t) + V(t)

De afdankingen A(t) tenslotte zijn ongelijk aan de vervangingen V(t), omdat zij betrekking hebben op het verleden. Wegens de levensduur θ zullen de afdankingen A(t) juist gelijk zijn aan de aankopen op tijdstip t-θ. Aangezien die aankopen precies de bruto investeringen zijn, moet er gelden

(12)     A(t) = IB(t − θ)

Met de formule 12 is het model voltooid. Er kan nu worden gezocht naar de oplossing, die de ontwikkeling van de economische groei beschrijft. Tinbergen kiest een oplossing van de vorm

(13)     K(t) = K(0) × egK × t

Hierin is gK de groeivoet van het geld kapitaal. Invullen van de oplossing 13 in de formules 1, 2 en 3 leidt tot de bekende relatie gK = σ / κ. Wegens de formule 3 ligt hiermee ook de groei van Y(t) vast.

Toch kan de overheid in haar politieke plan niet zomaar elke spaarquote kiezen. Namelijk, de gemiddelde levensduur θ van de kapitaal goederen werkt door in de groei mogelijkheden. Dit blijkt wanneer de formules 9, 10, 11 en 12 worden gecombineerd. Het resultaat is

(14)     ∂Γ(t) / ∂t = IB(t) − IB(t-θ) = (Γ(t) − Γ(t-θ)) / θ + I(t) − I(t-θ)

De formule 14 is een lineaire inhomogene differentie-differentaal vergelijking. Zoals bekend is uit de theorie van de differentiaal rekening (en zoals eerder is gedemonstreerd op columns in deze portaal) bestaat de oplossing uit een algemeen deel en een particulier deel. In dit geval blijkt de algemene oplossing gelijk te zijn aan nul7. Tinbergen stelt voor om voor het particuliere deel te proberen Γ(t) = Γ(0) × egK × t. Als deze functie wordt ingevuld in de formule 14, tezamen met de formule 13, dan is het resultaat

(15)     gK = { 1/θ + gK×K(0)/Γ(0) } × (1 − e-gK×θ)

De formule 15 is niet exact oplosbaar. Evenwel is de boodschap duidelijk, namelijk dat de evenwichtige groeivoet wordt bepaald door de begin-toestand K(0) en Γ(0), en door de levensduur θ. Aangezien er voor de spaarquote geldt σ = κ×gK, blijkt ook de spaarquote voor evenwichtige groei bij voorbaat te zijn vastgelegd. Er is geen vrijheid van beleids keuze meer, tenzij er vooraf een periode van structurele aanpassing wordt ingelast.


Model met afdankingen (2)

Tinbergen merkt terecht op, dat in het geval met afdankingen het minder voor de hand ligt om de formule 3 te gebruiken8. Immers daarin wordt de economische structuur gerelateerd aan het netto inkomen Y(t). In het zojuist behandelde model met investerings vertraging is dat logisch, omdat daar het netto inkomen alle nieuw toegevoegde waarde voorstelt. De waarde toevoeging is volledig beschikbaar als inkomen, hetzij als loon, hetzij als winst of pacht. Maar in het model met afdankingen moet een deel van de nieuw toegevoegde waarde worden gereserveerd voor de afschrijvingen V(t). Om precies te zijn, de nieuw toegevoegde waarde Q(t) wordt verdeeld volgens

(16)     Q(t) = Y(t) + V(t)

Daarom kan de economische structuur beter worden gedefinieerd door middel van de constante

(17)     γ = Γ(t) / Q(t)

Tinbergen duidt γ aan als de bruto kapitaal coëfficiënt. Eva Müller noemt γ in haar model met uitgebreide investerings vergelijking de intensiteit van de grondfonds inzet (waarbij, zoals de trouwe lezer weet, grondfonds een ander woord is voor de voorraad van kapitaal goederen). Dankzij de definitie in de formule 17 worden alle formules uit de voorgaande paragraaf nèt even eleganter.

Zoek nu voor de bruto investeringen een oplossing in de gedaante IB(t) = IB(0) × egK × t. Wanneer dit wordt gecombineerd met de eerste gelijkheid in de formule 14, en vervolgens de resulterende differentiaal vergelijking wordt opgelost, dan is de oplossing

(18)     Γ(t) = IB(t) × (1 − e-gK × θ) / gK

Figuur van de grafische bepaling van de groeivoet
Figuur 2: gK volgens formule 19

Bovendien geldt er nu dat IB − V = I = S = σ×Y = σ × (Q − V) = σ × Γ × (1/γ − 1/θ), waarbij alle waarden gelden voor tijdstip t. Herschrijf hierin V met behulp van de formule 10, dan verschijnt er de handige formule

(19)     gK = (σ / γ + (1-σ) / θ) × (1 − e-gK × θ)

De formule 19 is nèt wat inzichtelijker dan zijn tegenhanger, de formule 15. Als men de leden van de formule 19 opvat als functies van gK, dan is het linker lid een rechte lijn door de oorsprong, en het rechter lid is een e-macht met als horizontale asymptoot σ / γ + (1-σ) / θ.

Afgezien van de triviale oplossing gK = 0 wordt de oplossing van de vergelijking 19 gevonden uit het snijpunt van de rechte lijn en de asymptotische e-macht. Zie de figuur 2. Voor grote waarden van θ reduceert de formule 19 tot de bekende gedaante gK = σ/γ. Anderzijds kan voor kleine waarden van gK × θ de e-macht worden benaderd door een Taylor reeks, wat bij benadering leidt tot de uitdrukking gK = 2 × σ × (1/γ − 1/θ). Sommige oplossingen zullen bestaan uit complexe getallen. Dit betekent dat zij een cyclisch gedrag vertonen9. Zij zijn irrelevant voor de plan-practijk, die juist is geïnteresseerd in de tendentiële groei.

Aardig aan de formule 19 is ook dat hieruit direct de spaarquote kan worden berekend:

(20)     σ = { gK / (1 − e-gK × θ) − 1/θ } / (1/γ − 1/θ)

Een andere bijzonderheid aan deze versie van het model met afdankingen is, dat de verhoudingen K/Y, K/Γ en A/V allemaal onafhankelijk zijn van de tijd. Daardoor geeft het model een helder inzicht van de ontwikkelingen. Na enig eenvoudig rekenwerk10 vindt men dat K/Y = σ/γ, K/Γ = 1 / (1 − e-gK × θ) − 1/(gK × θ), en A/V = gK × θ / (egK × θ − 1).

Het is leerzaam om twee limiet gevallen te bekijken, namelijk zeer kleine waarden van gK × θ, en zeer grote waarden van θ (en dus ook van gK × θ en van θ/γ). De bevindingen zijn samen gevat in de tabel 1. Bij kleine waarden zijn de afdankingen en de vervangingen vrijwel gelijk, omdat de situatie weinig verandert in een tijd θ. Het geld kapitaal bedraagt dan de helft van het productieve kapitaal. Anderzijds zullen bij een zeer lange levensduur de (op de toekomst gerichte) vervangingen veel groter moeten zijn dan de afdankingen. De bruto kapitaal coëfficiënt γ is dan gelijk aan K/Y, met andere woorden, zij is gelijk aan de netto kapitaal coëfficiënt.

Tabel 1: Enkele model variabelen voor twee uitersten van gK × θ
gK × θgKσK/YK/ΓA/V
klein2×σ × (1/γ − 1/θ)½×gK / (1/γ − 1/θ)½ / (1/γ − 1/θ)½1
grootσ/γgK × γγ10


Evaluatie

Het is interessant om het één-sector model van Tinbergen nogmaals te vergelijken met het eenvoudige nationale inkomens model van Eva Müller. Een wezenlijk verschil is dat bij Müller de accumulatie-voet (de spaarquote) een functie is van de tijd. Uiteraard ontstaat daardoor veel meer beleids vrijheid om een bepaalde groeivoet gK te realiseren. En aangezien in het Leninistische systeem alle winst wordt geïncasseerd door de staat, is die beleids vrijheid inderdaad aanwezig in de practijk. In het kapitalistische systeem van Tinbergen kan het politieke beleids-plan de spaarquote minder goed aansturen, omdat zij grotendeels wordt bepaald door de huishoudens.

Toch is er een tweede reden, waarom Tinbergen de spaarquote constant houdt, en Müller niet. In de westerse economie proberen de wetenschappers vooral om de economie te begrijpen. Daarvoor zijn analytische modellen zeer geschikt, omdat die direct de causale verbanden tussen de variabelen laten zien. Anderzijds is in het Leninistische systeem de wetenschap meer gebruikt om de werkelijkheid te berekenen. Voor dit doel zijn zelfs enorme hoeveelheden feiten verzameld over het productie proces. Economisch onderzoek heeft er veel weg van practisch ingenieurs werk. Het is toegepaste wetenschap.

In het Leninisme zijn al die mathematische modellen tamelijk irrelevant voor het inzicht en het theoretische begrip. Volgens de centrale ideologie wordt het economische inzicht geleverd door het historisch materialisme, en met name de Leninistische versie daarvan. De economie is vooral een maatschappelijk verschijnsel, en onderworpen aan de machts verhoudingen. Wetenschappers die zich specialiseren in één-sector modellen kunnen nooit de essentie en de kern van de economie ontdekken. Hoogstens zou hun onderzoek storend kunnen werken op het geloof in de ideologische leer. Het mag nog eens worden herhaald: waarschijnlijk verkeerde Müller in onwetendheid over de vondsten van Tinbergen.

  1. Zie Mathematical models of economic growth (1962, McGraw-Hill Book Company, Inc.) van J. Tinbergen en H.C. Bos.
  2. Daarom schrijft A.B. Kleerekoper in de aflevering De stem van Oproerige krabbels (p.32): En wéér rijdt even de trein. En wéér staat-ie stil. Recht in een keukentje kijk ik, laag en nauw. Het hok van den Schotsen herder bij mijn buren is grooter. Een tafeltje aan den wand. Daaromheen vijf jongetjes, de koppetjes gebukt naar één bord met brood. Een man, de vader, schenkt iets in de kroesjes, die vóór de kinderen staan. Er is niets innigers denkbaar dan dat troepje etende mannetjes. En niets triesters dan het keukentje, zonder 'n straal van vreugdige huiselijkheid, zonder één knus meubeltje, zonder 'n spoor van de blank-en-lichte blijheid van een woonkamer in den avond. Genadeloos neergekwakt zijn die nieuwe menschjes daar in die grove, leege, zwarte duisternis ... Ik ga gejaagd door het leege compartiment. Ik zou den trein willen duwen. Daar gaat-ie weer. Vooruit! Ik moet naar het P.B. (partijbestuur EB). De wereld veranderen! (Wereld verbeteraars hadden het vroeger toch makkelijker! EB)
  3. Inderdaad is in dit opzicht veel mogelijk. Uw columnist citeert weer eens uit Aan de voet van het belfort van Achilles Mussche (p.182): Daar zitten zij nu, onze meisjes, van hun zesde, hun vijfde jaar al in lage, smalle, vochtige hokken van kamers, bij duizenden, opeengehoopt, de voorsten met het werk van hun handen tegen de ene muur gedrongen, de achtersten met hun ruggetjes tegen de andere muur gedrukt, voorover gebogen over hun kussens, heel de dag, twaalf uren lang, een jaar of zes om de fijne valenciennes te leren klossen en wel een jaar of acht voor het ijle waas van de Mechelse kant. Voor enkele povere centen zijn hun ouders het dadelijk eens met de leermeesteres om hun kinderen te laten beroven van licht en lucht en spel en onderwijs, voor enkele centen is iedereen bij ons tot elke uitbuiting bereid.
  4. Zie hoofdstuk 10 in Volkswirtschaftlicher Reproduktionsprozeß und dynamische Modelle (1973, Verlag Die Wirtschaft) van Eva Müller.
  5. Op p.23 van Mathematical models of economic growth redeneert Tinbergen als volgt: ∂K(t)/∂t = J(t) is het kapitaal, dat per tijds eenheid wordt opgeleverd op het tijdstip t. Dien ten gevolge wordt er in de periode [t; t+τ] een hoeveelheid kapitaal van ∫tt+τ J(θ) dθ = K(t+τ) − K(t) opgeleverd. Het ligt voor de hand om hiervan op tijdstip t een fractie 1/τ aan te betalen. Merk op, dat de aanbetaling verandert met de tijd. Bijvoorbeeld is het verschil tussen de aanbetaling op tijdstip t en tijdstip t+1 gelijk aan { ∫t+τt+τ+1 J(θ) dθ − ∫tt+1 J(θ) dθ } / τ. Immers op het tijdstip t+1 hoeft niet meer te worden aanbetaald voor de opgeleverde investeringen van de periode [t; t+1], terwijl dan wèl voor het eerst moet worden aanbetaald voor de investeringen, die in de periode [t+τ; t+τ+1] zullen worden opgeleverd.
  6. De lezer kan zelf nagaan dat K(t) = K(0) × (1 + τ × σ / κ)t/τ een oplossing is van de formule 7. Ook Müller vindt deze oplossing voor haar eenvoudige nationale inkomens model. De formule 8 wordt gevonden door de oplossing in te vullen in de definitie gK = (∂K(t) / ∂t) / K(t).
  7. Zie p.22 van Mathematical models of economic growth. De homogene vergelijking is ∂Γ(t) / ∂t = (Γ(t) − Γ(t-θ)) / θ. De algemene oplossing ervan is Γ(t) = Γ(0) + β×t. Echter bij tijden voorafgaand aan t=0 kan deze oplossing negatief worden. Daarom moet gelden β=0. Toch bevredigt ook dat niet, omdat dan de algemene oplossing nooit gelijk kan worden aan nul. Er zou vanaf het prille begin al een hoeveelheid kapitaal goederen zijn. De enige weg uit dit dilemma is om voor het algemene deel te kiezen voor Γ(t) = Γ(0) = 0.
  8. Zie p.17 van Mathematical models of economic growth.
  9. Complexe oplossingen en cyclische ontwikkelingen kunnen ontstaan, zodra er vertragingen voorkomen in de formules. In het huidige model bestaat de vertraging uit de levensduur van de kapitaal goederen. In een voorgaande column is aangetoond hoe er in het één-sector model soms cycli kunnen ontstaan door de vertragingen in het consumptie gedrag van de huishoudens.
  10. Zie p.21 van Mathematical models of economic growth. De verhouding K/Y volgt makkelijk uit K/Y = σ × K / I. Invullen van de formules 1 en 13 geeft K/Y = σ/gK. De verhouding A/V volgt met behulp van de formules 10 en 12 uit A/V = IB(t-θ) × θ / Γ(t). Vul de formule 18 in, dan geldt A/V = IB(t-θ) × θ × gK / {IB(t) × (1 − e-gK × θ)}. Invullen van IB(t) = IB(0) × egK × t leidt tot A/V = gK × θ / (egK × θ − 1). Het meest bewerkelijk is nog het vinden van de verhouding K/Γ. Merk op, dat Γ = γ×Q = γ × (Y+V) = γ × (Y + Γ/θ). Er volgt dat Y = Γ × (1/γ − 1/θ). En dus K/Γ = (K/Y) × (Y/Γ) = σ × (1/γ − 1/θ) / gK. Invullen van de formule 20 leidt tot K/Γ = 1 / (1 − e-gK × θ) − 1/(gK × θ). Strikt genomen moet nog worden bewezen, dat de formule 13 daadwerkelijk ook geldt voor het tweede model met afdankingen. Immers in dit tweede model is allereerst het tijds gedrag van IB(t) vast gelegd, en niet dat van K(t). Dat gaat als volgt: ∂K(t) / ∂t = I(t) = S(t) = σ × Y(t) = σ × Γ(t) × (1/γ − 1/θ). Volgens de formule 18 is Γ(t) evenredig aan IB(t). Als K(t) wordt berekend door integratie over t, dan zal natuurlijk ook K(t) blijken te variëren als egK × t. En de evenredigheids constante is uiteraard gelijk aan K(0).