Optimalisatie van de groei

Plaatsing op Heterodox Gezelschap Sam de Wolff: 26 februari 2014

In vele columns is verklaard hoe de Leninistische plan autoriteit het optimale groeipad uitkiest, meestal met vervlechtings matrices. De westerse economen prefereren gewoonlijk om het groeipad te berekenen met dynamische één sector modellen. De huidige column beschrijft een optimalisatie model van de Nederlandse econoom Jan Tinbergen, uit zijn boek Mathematical models of economic growth. Het model is gebouwd rondom een nuts functie. Tinbergen concludeert dat zulke modellen geen optimale groei kunnen aanwijzen, omdat er nog geen realistische nuts functies beschikbaar zijn.

Tot nu toe zijn op deze portaal de noodzaak en de mogelijkheid van de macro-economische planning steeds terugkerende thema's. De kern van de planning wordt gevormd door de afweging tussen de huidige consumptie en de toekomstige consumptie. Hiervoor is geen technische oplossing voor handen, omdat de solidariteit tussen de generaties de doorslag geeft bij de keuze. De economische wetenschap kan enkel aangeven wat de gevolgen zijn van allerlei beleids keuzen voor de verdeling van de consumptie over de generaties. Zij probeert om de waarde oordelen zoveel mogelijk te weren uit haar modellen. De ethiek en de moraal zijn externe factoren voor de economie, die liefst zo abstract en algemeen mogelijk hun plaats vinden in de modellen¹.

Vanuit de Leninistische stroming zijn op de portaal vele teksten van de Oost-Duitse econome Eva Müller geplaatst. Zij onderscheidt twee soorten dynamische modellen. Allereerst zijn er de één-sector modellen, waarmee de groei van het totale product kan worden geschat. Daarnaast zijn er de meer-sectoren modellen of vervlechtings balansen, die de dynamische groei op het micro-niveau kunnen door rekenen met behulp van de lineaire programmering.

Müller gebruikt steeds lineaire doel-functies om de beleids doelen wiskundig vast te leggen. Dit suggereert ten onrechte, dat de maatschappelijke behoeften zijn voor te stellen door een som geld. Müller is zich bewust van deze fout, maar kan geen betere methode bedenken. Ter nuancering mag de lezer bedenken, dat in de beginjaren van de Leninistische plan economieën nog aanmerkelijk primitievere criteria zijn gehanteerd². Andere Leninisten hebben niet-lineaire doel-functies ontwikkeld, die rekening houden met de werkelijke voorkeuren van de plan autoriteit. Een interessant voorbeeld uit deze categorie is het model van Val'tuch. De numerieke berekeningen met de zo verbeterde modellen zijn evenwel tamelijk complex, en nooit practisch ingeburgerd geraakt.

In de westerse stroming van de economische wetenschap is het werken met macro-economische, maatschappelijke doel-functies nooit populair geworden. Men vindt het simpelweg een stap te ver. De bekende Nederlandse econoom Jan Tinbergen geeft in zijn boek Mathematical models of economic growth een aardige illustratie van de obstakels, die de toepassing van doel-functies belemmeren³. De huidige column geeft zijn opvatting weer, met hier en daar een aanvulling of een commentaar. Tinbergen gebruikt een één-sector model, net zoals Müller, waarbij echter de lineaire doel-functie wordt vervangen door een meer realistische versie.

De aannames in het optimalisatie model van Tinbergen

De doel-functie van Tinbergen bestaat uit de nuts-functie van de centrale plan autoriteit. Uiteraard veronderstelt Tinbergen, dat het centrale gezag een democratische legitimiteit heeft, zodat de nuts-functie tevens de verzamelde volks-wil weergeeft⁴. Net zoals de Russische econoom Konstantin Val'tuch of de Tsjechische econoom Miroslav Toms neemt Tinbergen aan, dat de consumptie C ligt tussen een minimum waarde C_min en een verzadigings waarde C_max. De consumptie is een functie C(t) van de tijd t. Stel nu dat het grensnut van de consumptie gelijk is aan

(1)     ∂U / ∂C = u = ((C_max + C_min − C) / (C − C_min))^ν

Figuur 1: Tinbergen Ecu

In de formule 1 is ν een model constante. De functie u(C) is zodanig gekozen, dat zij oneindig is bij C=C_min. Immers op dit consumptie niveau is de bestaans zekerheid bedreigd. Het punt van verzadiging, dat is gedefinieerd door u=0, heeft C = C_max + C_min. Merk voorts op, dat het rekenen met het grensnut vanzelf betekent, dat de nuts schaal cardinaal is. Deze keuze is verdedigbaar, al bestaat er een traditioneel verzet tegen. Uit het consumptie gedrag van de Noord-Amerikaanse en Franse werknemers leidt Tinbergen af, dat de constante ν in benadering de waarde 0.6 heeft⁵.

Economen zijn gewend om toekomstige inkomens af te waarderen met een disconto, een zeker percentage, ten opzichte van het heden. Immers een huidig inkomen kan renderend worden gespaard, en levert in de toekomst meer op. Tinbergen ziet ervan af om een disconto aan te brengen in de formule 1. Dit heeft tot consequentie, dat in geval van een groeiend consumptie-niveau C(t) de toekomstige generaties kunnen genieten van een steeds groter nut U(t). Daar zit een zekere billijkheid in, of althans een berusting in het levens lot. Het kiezen voor de disconto zou willekeur inhouden⁶. Eva Müller werkt in haar modellen vaak met een tijds horizon T, wat neerkomt op een abrupt disconto.

Stel voorts dat de omvang van de bevolking voor eeuwig constant blijft. Daarmee blijft ook het aantal werkers constant, en dien ten gevolge verdwijnt de factor arbeid uit de productie functie. Het kapitaal wordt de beperkende factor voor de productie. In navolging van het Domar-Harrod model definieert Tinbergen de constante

(2)     κ = K / Y

In de formule 2 is Y(t) het nationale inkomen, en K(t) is de voorraad van het kapitaal. De constante κ wordt de kapitaal-coëfficiënt genoemd, of in de Engelse taal de capital-to-output ratio.

Het nationale inkomen gaat op aan de consumptie C en aan het sparen S. Stel dat de economie zich evenwichtig ontwikkelt, zodat alle besparingen worden geïnvesteerd. Dat wil zeggen, S = I. Merk bovendien op, dat geldt I = ∂K / ∂t. De combinatie van deze twee formules met de formule 2 leidt tot

(3)     C + κ × ∂Y / ∂t = Y

De vondst van de optimale consumptie

Het aardige aan het model van Tinbergen is, dat C(t) afzonderlijk kan worden bepaald uit de formule 1. Tinbergen bedenkt daarvoor een vindingrijke redenatie, waaruit tevens zijn grote economische inzicht blijkt. Namelijk de plan autoriteit stelt zich ten doel om het totale nut van alle generaties maximaal te maken. In formule is dat

(4)     vindt in het model van zonet de C(τ) die maximaliseert: Ω = ∫₀^ω U(C(τ)) dτ

In de formule 4 betekent het symbool ω positief oneindig, zodat het belang van alle generaties wordt meegewogen. Volgens de formule 4 moet de geplande consumptie C(τ) (met τ in het interval [0, ω]) zodanig verdeeld worden over de tijd, dat elke afwijking van het plan zou leiden tot een kleiner totaal nut. Beschouw bijvoorbeeld de consumptie C(t) van de generatie op het tijdstip t, en splits de integraal van de formule 4 in twee delen

(5)     Ω = ∫₀^t U(C(τ)) dτ + ∫_t^ω U(C(τ)) dτ

De eerste integraal meet het nut van de consumptie bij alle generaties vóór de generatie t. De tweede integraal meet het nut van de consumptie bij alle generaties erna. Aangezien het totale nut Ω maximaal is in de optimale situatie, zal de generatie t met een kleine verschuiving van de consumptie geen grotere Ω meer kunnen realiseren. Dankzij dit gegeven kan C(t) worden berekend.

Stel bijvoorbeeld de generatie t besluit om één eenheid consumptie op te geven ten einde extra te kunnen sparen. Dan kan zij 1 eenheid extra investeren, en dat vergroot voor de nakomende generaties de voorraad K van kapitaal. De formule 2 toont aan, dat dankzij de investering het nationale inkomen Y van de generatie t+1 is toegenomen met een hoeveelheid 1/κ. Hoewel in het optimum de kleine verschuiving van 1 eenheid consumptie niets wijzigt aan het totale nut Ω van alle generaties tezamen, wijzigen natuurlijk wel de nutten per generatie. De generatie t verliest 1 eenheid consumptie, en dat kost haar een hoeveelheid nut u(C(t))×1.

Als de generatie t+1 haar extra inkomen helemaal consumeert, dan wint zij een hoeveelheid nut u(C(t+1)) / κ. Bovendien blijft de extra eenheid kapitaal ook ten dienste staan van alle daarna komende generaties, die hieraan eveneens een extra inkomen van 1/κ ontlenen. Enzovoort. Tinbergen komt tot de conclusie dat de totale nuts winst voor de generaties na t een omvang heeft van ∫_t^ω u(C(τ)) dτ/κ. Wegens het behoud van Ω moeten het nuts verlies van de generatie t en de nuts winst van de generaties erna elkaar compenseren⁷:

(6)     u(C(t)) = - ∫_t^ω u(C(τ)) dτ/κ

De rest van de redenatie is simpel. Differentieer de formule 6 aan beide zijden naar t, en vul in ∂u/∂t = (∂u/∂C) × dC/dt. Dat geeft het resultaat

(7)     κ × ∂u/∂C × dC/dt = - u

Substitueer vervolgens u van de formule 1 in de formule 7. De aldus gevonden vergelijking voor C(t) blijkt als oplossing te hebben:

(8)     C(t) = C_min + C_max / (1 + B × e^-t/(κ×ν))

In de formule 8 is B uiteraard een integratie constante, die wordt vastgelegd door de waarde van C(0). De consumptie kan nooit dalen beneden C_min, die als het ware een drempel vormt. Voor de wiskundige formules is het handig om C_min verder gelijk aan nul te nemen, waardoor C(t) voortaan de consumptie boven het bestaans minimum voorstelt. Evenzo stelt Y(t) voortaan het inkomen voor boven het bestaans minimum.

Het optimale nationale inkomen

Nu de optimale consumptie is vast gelegd door de formule 8, kan het bijbehorende optimale nationale inkomen worden gevonden door deze C(t) te substitueren in de formule 3. Men vindt⁸

(9)     Y(t) = - (C_max / κ) × ∫ e^(t−τ)/κ / (1 + B × e^{- τ/(κ×ν)}) dτ

De formule 9 is niet simpel oplosbaar. Dat zou wel kunnen indien men neemt ν=½, wat inderdaad een redelijke benadering is van de empirisch gevonden waarde 0.6. Met deze vereenvoudiging vindt Tinbergen het resultaat⁹

(10)     Y(t) = (C_max / √B) × e^t/κ × arctan(e^-t/κ × √B) + A

In de formule 10 is A een integratie constante. Tinbergen wil die bepalen door te kijken naar de situatie t→ω. Uit de wiskunde is bekend lim_x→0 arctan(x) / x = 1. Dan verandert de formule 10 in Y(t→ω) = C_max + A. Blijkens de formule 1 (met nog steeds C_min=0) is u=0 voor C=C_max, en daarom is deze C het punt van de behoefte verzadiging. Tinbergen veronderstelt, dat het nationale inkomen Y tenslotte bij t→ω zover zal zijn gegroeid, dat het verzadigings punt inderdaad is bereikt. In die situatie is er geen noodzaak meer om te sparen of investeren. Dien ten gevolge is dan Y=C_max, met A=0. Het optimale nationale inkomen is nu helemaal bepaald.

Evaluatie van het optimalisatie model

Figuur 2: Groei van consumptie en inkomen
    C_min=1, C_max=4, κ=4, B=16

Tinbergen sluit af met een evaluatie van zijn model. Zij blijkt slecht uit te pakken. Daaruit trekt Tinbergen de conclusie dat de planning met behulp van doel-functies weinig zinvol is. Zijn betoog begint met een beschouwing over de samenhang van de consumptie C en het nationale inkomen Y. Stel dat ∂Y(t)/∂t wordt benaderd door (Y(t) − Y(t-κ)) / κ. Als deze benadering wordt ingevuld in de formule 3, dan volgt er direct dat geldt C(t) = Y(t-κ). Dat wil zeggen, de consumptie komt overeen met het nationale inkomen van een tijd κ eerder. De consumptie C(t) en het nationale inkomen Y(t) zijn weergegeven in de afbeelding 2. De besparingen S(t) vormen het verticale verschil tussen deze twee krommen. Men ziet dat voor de optimale consumptie het sparen aan het begin moet toenemen, en voor de verre toekomst weer moet afnemen.

Interessant is ook om het spaargedrag S(t) exact te berekenen. Definieer de spaarquote als σ(t) = S(t) / Y(t). Voer een hulp variabele in, te weten θ(t) = e^-t/κ × √B (zie ook de voetnoten). Voeg voortaan de drempel C_min weer toe aan de waarden C(t) en Y(t). Definieer gemaks halve γ = C_max/C_min. Tinbergen leidt wiskundig af dat er moet gelden¹⁰

(11)     σ(t) = 1 − (1 + γ / (1 + θ²)) / (1 + γ × arctan(θ) / θ)

Tinbergen heeft voor enkele waarden van γ de maximaal optredende spaarquote σ_max numeriek uitgerekend¹¹. Zijn resultaten worden getoond in de tabel 1. De lezer ziet het probleem, dat er kennelijk extreem hoge spaarquotes kunnen optreden in het optimalisatie model. De oorzaak is in feite de Leninistische wet van de versnelde groei van de productie van productie middelen (outillage). Dat wil zeggen, latere generaties genieten een optimale consumptie indien de eerste generaties bereid zijn om al hun inkomen te investeren.

In de westerse maatschappijen worden zulke hoge spaarquotes nimmer gehaald. Volgens Tinbergen is de gemiddelde spaarquote in de Verenigde Staten van Amerika en in Engeland slechts ongeveer 12% ¹². Kennelijk zijn de mensen simpelweg niet bereid om zich zozeer op te offeren voor hun (verre) nageslacht. In de Leninistische landen, waar de plan autoriteit het toch heeft geprobeerd, leidde dat tot rellen, ondanks het repressieve regime. Met andere woorden, de huidige generatie eist dat in de formule 4 een disconto moet worden aangebracht op het nut U(C(τ)).

Dat disconto verlaagt het nut voor de toekomstige perioden, waarin het nationale inkomen en de consumptie hogere waarden zullen aannemen. Uiteraard werkt het disconto eveneens door in de formule 1. Het is niet uit te sluiten, dat de hoogte van het disconto kan worden geschat door de mensen te ondervragen over hun voorkeuren. Daarin zouden ze hun solidariteit kunnen uiten met de komende generaties, die immers hun eigen belang nog niet kunnen verdedigen. Maar Tinbergen wil niet vooruit lopen op deze mogelijkheid, en sluit zijn verhandeling af met de conclusie, dat de economische wetenschap geen optimale groei kan aanwijzen. Zijn optimalisatie model is elegant, maar voor alsnog slechts een academische vinger oefening.

1. Helaas leert de organisatie kunde dat elk uitvoerend orgaan weer zijn eigen belangen zal laten meewegen. Weber definieert de expert als: iemand die meer en meer weet over minder en minder, totdat hij absoluut alles weet over niets. Daarom wekt de tweede wet van McDonalds geen verbazing meer: adviseurs zijn mystieke wezens die een onderneming om een getal vragen en het vervolgens weer terug geven. De observatie van Horngren luidt: onder economen is de echte wereld een onrealistisch geval. In geval van nood is er de eerste wet van Schrank: als iets niet werkt, maak het dan groter. Daaruit volgt vanzelf de wet van Matilda over het formeren van sub-commissies: als je de kamer uitgaat, zit je erin. Gelukkig blijft er hoop, ook voor niet-experts. Pas simpelweg de sleutel van Ely voor succes toe: creëer een behoefte en vervul die.
2. Vermeldens waard is de Leninistische wet van de versnelde (in de Duitse taal vorrangige) groei van de productie van productie middelen (outillage). De wet is vooral te vinden in de wat oudere Leninistische vak-literatuur, zoals Ökonomische Gesetze im gesellschaftlichen System des Sozialismus (1969, Dietz Verlag) van G. Ebert, G. Koch, F. Matho en H. Milke. In paragraaf 3.3 (p.274 en verder) wordt betoogd, dat de economische groei vraagt om een snelle accumulatie van kapitaal goederen. De investeringen krijgen een voorkeurs behandeling ten opzichte van de consumptie. De auteurs rechtvaardigen hun beleid met een beroep op enkele rekenschema's van Karl Marx. Diens idee is dat kapitaal bevorderlijk werkt op de productiviteit. Natuurlijk zou Marx zelf geschokt zijn door deze dogmatisering van zijn theorie, nota bene een halve eeuw na haar publicatie. Vanaf 1920 heeft gedurende vele decennia de Leninistische plan autoriteit dit beleid van spaarzaamheid opgelegd aan de bevolking, zonder te vragen om goedkeuring. In Ökonomische Gesetze erkennen de auteurs eindelijk, dat deze gedwongen solidariteit met toekomstige generaties niet bijster billijk is, en dat er bovendien een verzadiging aan kapitaal optreedt. Ook in Nederland is direct na de Tweede Wereld-oorlog een soortgelijk beleid gevoerd, zij het gelegitimeerd door de democratie.
3. Zie p.24 en verder in Mathematical models of economic growth (1962, McGraw-Hill Book Company, Ltd.) van J. Tinbergen en H.C. Bos.
4. In het tweede deel Vaste koers van zijn trilogie Achter de horizon laat Willem van Iependaal een arbeider mijmeren (p.127): Dat was weer eens gebleken bij de kiesrecht demonstratie in Den Haag, waar de jongens van de Matrozenbond ook present waren geweest. De jongens van de vloot op het stemrecht appèl! Er was zo het een en ander aan het rommelen, al kraakte het nog niet. Georganiseerde marine mensen, die bij hun gort en snert nou ook nog stemrecht wilden hebben. Het hield niet op met de veeleisendheid van de mindere man! Korter arbeidsduur, beter onderwijs, gelijkheid voor de wet, uitkering bij ziekte, kinderbescherming, scheidsgerechten, invaliditeits verzekering, enzovoort. En nou wilde de doodgewone pikker van de vloot zich ook nog gaan bemoeien met de navigatie van het schip van staat! En er stonden al zulke knappe jongens op de brug ...
5. Zie p.25 van Mathematical models of economic growth. Bij zijn schatting maakt Tinbergen gebruik van de resultaten uit een studie van de Zweedse econoom Ragnar Frisch. Voorts schat Tinbergen dat de Amerikaanse consumptie het dubbele is van de Franse consumptie. Hij vindt als een neven-resultaat dat de Franse consumptie 20% boven het bestaans minimum C_min ligt.
6. In het gedicht De nieuwe roep uit de bundel De twee vaderlanden schetst A.J. Mussche de solidariteit tussen generaties (p.7): Waar wij vroeger in dreunende middag straten joelend schater-lachten, / moet ik verrukt en ontzet nu buigen over iederen stap zijn geheim; / door ster-bezwijmde lentenachten / ristelen stemmen smachtend van klachten, / die mij doen opschrikken, schreiend van heimwee, uit der jeugdjaren zoele zwijm. / Is het leven zooveel dieper dan de jeugd en de dag openbaren, / de dag der jeugd, die toch een duizelende abijs van licht is om mij heen; / moet uit den afgrond der nachten nog 't mysterie der sterren klaren, / kende ik de menschen, mijn broeders, dan niet in vroeger jaren, / dat zij nu in hun sluiers van glimlache' en tranen als vreemden langs mij treeên?
7. Het gewone publiek behoort duidelijk niet tot de doelgroep van dit boek. Jan Tinbergen ontbeert de maatschappelijke passie en overtuiging van Sam de Wolff, maar hij is vakkundig een reus. Daarom is uw columnist als autodidact ape-trots op de huidige column; wie had dit vijf jaren terug durven vermoeden? Hij hoopt de gedachten gang van Tinbergen te hebben begrepen en hier één en ander juist weer te geven. Wegens een slechts ontkiemend economisch begrip moet weer een beroep worden gedaan op de formele wiskunde. Kennelijk redeneert Tinbergen als volgt: aangezien de generatie t één eenheid kapitaal extra inbrengt, kunnen alle volgende generaties beschikken over een extra inkomen van 1/κ. Als zij dat helemaal consumeren, dan stijgt van elke generatie t+n het nut met u(C(t+n)) / κ (met n=1, ..., ω). Het totale nut van die generaties tezamen stijgt met Σ_n=1^ω u(t+n) / κ. In deze redenatie is de tijdstap naar de volgende generatie steeds Δt = 1 jaar. Daarom kan het totale nut worden herschreven tot Σ_n=1^ω u(t+n) × Δt / κ, en dit is juist de differentie vorm van de integraal uit de hoofdtekst, die was te bewijzen. Tinbergen voegt hieraan nog toe, dat elke generatie uiteraard een deel van haar extra inkomen zou kunnen besparen. In de optimale situatie zal dat natuurlijk het totale nut Ω evenmin veranderen, maar het veroorzaakt wel weer verschuivingen tussen de generaties. Uw columnist interpreteert de opmerking van Tinbergen als volgt: stel dat de generatie t+n een kleine fractie δ van zijn extra inkomen 1/κ weer investeert. De generatie t+n behoudt een extra consumptie van (1 − δ) / κ. Dat levert voor alle generaties na t+n een extra inkomen op van δ/κ². Het extra nut per generatie is u(C(t+n+m)) × δ/κ², met m=1, ..., ω. Via dezelfde argumentatie als zonet vindt men aldus, dat geldt u(C(t+n)) = - Σ_m=1^ω u(C(t+n+m)) × Δt/κ. Met andere woorden, de formule 6 heeft daadwerkelijk een universele geldigheid, ongeacht de investerings beslissingen van elke generatie.
8. De differentiaal vergelijking voor Y(t) is Y − κ × ∂Y/∂t = C(t). Tinbergen constateert, dat Y − κ × ∂Y/∂t = - κ × e^t/κ × ∂(Y × e^-t/κ)/∂t. De conclusie is dat C(t) = - κ × e^t/κ × ∂(Y × e^-t/κ)/∂t, waarbij voor C(t) nog de formule 8 kan worden ingevuld (uiteraard weer met C_min = 0). Dan leidt de integratie over t tot de formule 9.
9. Tinbergen stapt voor het gemak even over op de nieuwe variabele θ = e^-t/κ × √B. Dus dθ = - θ × dt / κ. Dat verandert de formule 9 in Y(t) = (C_max / √B) × e^t/κ × ∫ dθ / (1 + θ²). De integraal is bekend uit de wiskunde, en heeft als primitieve arctan(θ). Als men vervolgens weer θ vervangt door t-functies, dan vindt men tenslotte de formule 10.
10. De redenatie is als volgt. Blijkens de formule 8 is C(t) = C_min + C_max / (1 + θ²). Blijkens de formule 10 is Y(t) = C_min + C_max × arctan(θ) / θ. Er volgt C/Y = (1 + γ / (1 + θ²)) / (1 + γ × arctan(θ) / θ). Daaruit volgt direct de formule 11.
11. Zie p.30 in Mathematical models of economic growth. Overigens is een verhouding γ = C_max/C_min = 10 zoals in de tabel eveneens fors. Een dergelijke vooruitgang vergt vele jaren. Bij een wat lager ambitie niveau zal ook de spaarquote wat lager kunnen worden, maar goed.
12. Zie p.24 in Mathematical models of economic growth.