Alternatieve schalingen van het geldnut bij inkomens

Plaatsing op Heterodox Gezelschap Sam de Wolff: 21 oktober 2013

E.A. Bakkum is eindredacteur van de periodiek Sociaal Vooruit, en een betrokken PvdA lid. Hij is beroepsmatig werkzaam bij het Socialistisch Centrum, waar hij de functie van zaakwaarnemer vervult.

In een voorgaande column is uitgelegd hoe volgens Van Praag en Ferrer-i-Carbonell de inkomens tevredenheids vraag een indicator is voor het nut van het eigen inkomen. De indicator kan worden voorzien van een ordinale schaling op basis van de ordered probit methode. De huidige column schetst hoe cardinale probit een alternatieve schaling oplevert. Daarnaast wordt de inkomens evaluatie vraag uitgelegd, die het nut meet van een willekeurig inkomen. Deze indicator kan eveneens naar keuze ordinaal of cardinaal worden geschaald, via de kleinste kwadraten methode. De schalen worden toegepast op de GSOEP verzameling van empirische gegevens. De resultaten laten zien dat de tevredenheid van een persoon op drift kan raken.


De cardinale probit methode van schaling

De zojuist genoemde column schildert het raamwerk voor schaling in het onderzoek naar de voorkeuren van huishoudens1. De huidige column borduurt daarop voort, zodat ze tezamen in een zuster-relatie staan, en een eenheid en wederzijdse aanvulling vormen. De inhoud is weer hoofdzakelijk afkomstig van het boek Happiness quantified van Bernard van Praag en Ada Ferrer-i-Carbonell2. Allereerst zal hier worden ingegaan op de cardinale schaling van de inkomens tevredenheids vraag (in de Engelse taal income satisfaction question, afgekort ISQ. Enigszins verwarrend spreekt men ook wel van de financial satisfaction question, afgekort FSQ). De vraag is een indicator van de tevredenheid en het persoonlijke nut, dat wordt ontleend aan het eigen inkomen. De lezer herinnert zich hoe in de zuster-column de indicator is voorzien van een ordinale schaal, zij het dat die vervolgens is gevalideerd met een cardinale latente dimensie.

Gemaks halve wordt dezelfde inkomens tevredenheids vraag gebruikt als in de zuster-column: "Hoe tevreden bent u vandaag met uw huishouds-inkomen?". De ondervraagde kan kiezen uit vijf antwoorden: "totaal niet", "matig", "voldoende", "goed", en "zeer goed". Het is handig om deze meet-waarden van de indicator U te transformeren naar cijfers, respectievelijk 1, 2, 3, 4 en 5. In tegenstelling tot de ordered probit methode wordt nu verondersteld, dat de lengte van de intervallen tussen de meet-waarden gelijk is. Met andere woorden, de antwoorden worden kwantitatief opgevat. Van Praag en zijn medewerkers hebben in diverse publicaties aannemlijk gemaakt, dat de ondervraagden inderdaad impliciet een kwantitatieve schaal hanteren3.

De aanname betekent, dat bijvoorbeeld ondervraagden met het antwoord 3 feitelijk een waarde ergens tussen 2.5 en 3.5 bedoelen. Ze ronden hun voorkeur af naar het meest nabije antwoord. In de zuster-column is geconstateerd, dat een dergelijke schaling meer informatie bevat, en dus van een hoger niveau is dan de ordinale. Om zuiver wiskundige redenen is het handiger de schaal nogmaals te transformeren, nu naar 0, 0.25, 0.5, 0.75 en 1. Dat wil zeggen, het waarden-bereik van de indicator U wordt begrensd tot het interval [0, 1]. Er wordt weer gezocht naar een koppel-functie, die U verbindt met het inkomen Y. Wegens de cardinaliteit is het niet meer nodig om een latente model vergelijking te benutten.

De vergelijking U = α × ln(Y) ligt voor de hand, waarin ln(.) de functie van de natuurlijke logaritme is. Bij nader inzien is zij niet zo geschikt, omdat bij deze formule het waarden-bereik van U onbegrensd is. De koppel-functie moet waarden in [0, 1] opleveren. Al in 1968 stelde Van Praag de volgende koppelings functie voor4

(1)     U = Ψ(ln(Y)) = ∫ln(Y) ψ(x) dx

In de formule 1 is -ω het symbool voor negatief oneindig. De functie ψ(x) is positief en genormeerd op één. Zij is dus een waarschijnlijkheids dichtheids functie. Dien ten gevolge is Ψ(ln(Y)) de bijbehorende cumulatieve verdelings functie.

Deze aanpak leent zich goed voor de huidige probleem-stelling. Van Praag en Ferrer-i-Carbonell kiezen voor de Gaussische of normale verdeling, met E(ln(Y)) = μ als verwachtings waarde en E((ln(Y) − μ)²) = σ² als variantie. De cumulatieve verdelings functie heeft voor dit geval het symbool Φμσ. De functie Φμσ(ln(Y)) kan via een lineaire transformatie in de definitieve vorm worden gebracht5

(2)     U = Φ01(α × ln(Y) + β)

Het is belangrijk om te beseffen, dat de kans-functie Φ01 hier geen stochastische rol speelt. Zij wordt enkel gebruikt omwille van haar handige vorm, die goed overeen komt met de empirische gegevens. Uw columnist hoopt, dat met deze waarschuwing de lezer niet in verwarring zal raken bij het vervolg van het betoog. Namelijk de normale verdeling gaat een tweede keer opduiken in het model, nu met een stochastische betekenis. Dat gebeurt omdat de antwoorden U discreet zijn (te weten vijf keuze-alternatieven). Dien ten gevolge moet ook in de cardinale aanpak de probit methode worden aangewend.

In de zuster-column is gebleken, dat de ondervraagde personen zich niet gedragen volgens een functioneel verband zoals in de formule 2. Zij hebben eigen voorkeuren, afhankelijk van hun door opvoeding en ervaringen verkregen levens houding. Die eigen voorkeur wordt gemodelleerd via de stochastische variabele ε, die een normale verdeling heeft (de lezer herinnert zich, dat die idee afkomstig is van Quetelet). Aldus krijgt de model vergelijking haar uiteindelijke vorm

(3)     U = Φ01(α × ln(Y) + β + ε)

Er wordt verondersteld, dat de grootheid ε zuiver toevallig is verdeeld over de ondervraagden. Dat wil zeggen, dat haar verwachtings waarde E(ε) gelijk is aan nul. In de zuster-column mocht de variantie σε² van ε (de spreiding van haar waarden) gelijk worden gesteld aan één. De reden is, dat daar een lineaire transformatie geen verandering brengt in de ordening van de meet-waarden. Helaas is deze stap niet toelaatbaar in de cardinale probit methode. Immers een dergelijke schaling van ε zou doorwerken in de grootheden α en β, en daarmee de geldigheid van de formule 3 ondermijnen (μ=0, σ=1). Dien ten gevolge blijft σε als een extra model-parameter aanwezig, naast α en β. Het leven gaat niet over rozen.

Een geluk is dat de interval grenzen νj van U geen model-parameters zijn, zoals in de ordinale methode. Er geldt nu simpelweg dat νj = j − 1/8 voor j = 0.25, 0.5, 0.75 en 1, en ν0 = 0 en ν1 = 1. De interval lengte van de keuze-alternatieven is vast gelegd op 0.25. De grenzen drukken uit, dat de ondervraagden hun antwoord afronden naar het meest dichtbij gelegen alternatief. De model parameters α, β en σε kunnen worden bepaald met behulp van de maximale waarschijnlijkheids methode, die is geïntroduceerd in de zuster-column. De schatting maakt de kans maximaal, dat de gemeten indicator waarden daadwerkelijk optreden.

Men kan simpel aantonen, dat de kans op de meting U = j (j=0, 0.25, 0.5, 0.75, 1) gelijk is aan6

(4)     Pr(νj < U ≤ νj+1) = Φ01-1j+1) − α × ln(Y) − β) − Φ01-1j) − α × ln(Y) − β)

In de formule 4 stelt Φ01-1 de inverse functie voor van de cumulatieve normale verdeling. Zij wordt de probit koppel functie genoemd (in de Engelse taal probit link). De waarden van de probit link kunnen worden afgelezen uit een tabel7.

De empirische gegevens zijn een bestand van gegevens over de hele steekproef van ondervraagden, zeg genummerd k = 1, ..., K. De kans op deze verzameling gegevens is het product van de K kansen Pr(νj < Uk ≤ νj+1) op de antwoorden van de afzonderlijke individuen. De maximale waarschijnlijkheids methode is het vinden van de α, β en σε, die het product van kansen maximaal maakt. Daarmee is na de ordered probit methode nu eveneens de cardinale probit methode verklaard.


Een illustratie van de cardinale probit methode

Het werkt verhelderend om de cardinale probit methode te illustreren met empirische gegevens. Allereerst laat de figuur 1 zien hoe dezelfde verzameling van meet-punten uit de zuster-column hier wordt gemodelleerd in de cardinale probit aanpak. Zie ook de figuren in die column. De zwarte punten stellen de meet-waarden voor. De rode curve is de koppel-functie van het model, die de tevredenheid beschrijft. In de afbeelding 1a verloopt de tevredenheid volgens de cumulatieve normale functie. De blauwe horizontale lijnen zijn de omslag grenzen van het tevredenheids antwoord. De afbeelding 1b toont dezelfde objecten, maar na de transformatie met de probit link. Het verticale bereik [0;1] is nu opgerekt tot <-ω;ω>.

Afbeelding van meet- en functie-waarden
Figuur 1: meet-punten en koppel-functie
  Afbeelding (1a): cumulatieve normale functie; afbeelding (1b): idem na transformatie met de probit link.
  De blauwe horizontale lijnen zijn de omslag grenzen van de tevredenheid.
  De gele oppervlakken tonen de kansen dat het punt op de groene lijnen wordt gemeten.

Nog boeiender is de analyse, die Van Praag en Ferrer-i-Carbonell hebben gemaakt van het German socio-economic panel survey (afgekort GSOEP) voor het jaar 1997. In dit gegevens bestand heeft de indicator van de ISQ een schaling met elf waarden (in plaats van vijf, zoals in de voorgaande paragraaf). Bovendien zijn er meer onafhankelijke variabelen beschikbaar, waardoor de formule 3 verandert in

(5)     U = Φ01(α × ln(Y) + β × ln(G) + γ + ε)

In de formule 5 staat G voor het aantal gezins leden in het huishouden. De schatting met de maximale waarschijnlijkheids methode levert op, dat α = 0.342, β = -0.102, γ = -2.524 en σε = 0.466. Zo de lezer wil, kan hij of zij naar harte lust rekenen met dit resultaat. Bijvoorbeeld, stel dat een persoon zich exact volgens de algemene trend gedraagt. Dan is ε=0. Neem daarnaast aan, dat de persoon "voldoende" tevreden is met het eigen inkomen. Dan is U=0.5, en de formule 5 krijgt de gedaante Y = 1600 × G0.3. Dit doet vermoeden dat in GSOEP het inkomen is opgeslagen als het maand-inkomen in Duitse marken8.

Of beschouw de volgende berekening: stel opnieuw dat de persoon "voldoende" tevreden is. Dit betekent dat de tevredenheid ligt tussen de grenzen 0.45 en 0.55. De kans hierop is Pr(0.45 < U ≤ 0.55), wat via de probit link wordt vertaald in Pr(-0.13 < 0.342 × ln(Y) − 0.102 × ln(G) − 2.524 + ε ≤ 0.13). Stel de persoon is alleen staand (G=1) met een loon Y=1600. De kans wordt nu Pr(-0.13 < ε ≤ 0.13) = 0.22 9. Met andere woorden, er is een kans van 78% dat de persoon volgens de algemene trend (te weten 0.342 × ln(Y) − 0.102 × ln(G) − 2.524) "voldoende" tevreden zou moeten zijn, terwijl die zich zelf feitelijk in een andere U-categorie indeelt. Deze berekening laat zien, hoe groot de spreiding is in persoonlijke voorkeuren. De trend verklaart iets, maar lang niet alles.


De inkomens evaluatie vraag als indicator
Ordinale aanpak

De inkomens evaluatie vraag (in de Engelse taal income evaluation question, afgekort IEQ) is een alternatieve indicator in plaats van de ISQ indicator. De IEQ indicator bestaat feitelijk uit zes vragen. De ondervraagde persoon krijgt zes tevredenheids waarden voorgelegd: "zeer laag", "laag", "onvoldoende", "voldoende", "goed", en "zeer goed". Bij elke waarde moet de ondervraagde aangeven wat in diens perceptie de hoogte van het bijbehorende inkomen is. Deze vragenlijst levert zes waarden op voor de IEQ indicator, zeg ηj voor respectievelijk j = 1, 2, 3, 4, 5, en 6. Het is duidelijk dat de IEQ indicator meer informatie oplevert dan de ISQ indicator. Aangezien er zes meet-waarden (items) zijn, moeten er ook zes schalingen worden uitgevoerd.

Men kan de IEQ indicator zowel ordinaal als cardinaal schalen. De huidige column zal allebei de schalingen uitleggen, te beginnen met de ordinale. Merk allereerst op, dat de antwoorden in dit geval een continue schaling hebben. De persoon hoeft zijn keuze niet te beperken tot een handvol alternatieven, maar mag elk denkbaar geld-bedrag ηj (een positief reëel getal) invullen. In deze situatie is de probit methode overbodig. En de maximale waarschijnlijkheids methode kan worden vervangen door de simpele kleinste kwadraten regressie methode.

Afbeelding van correlaties tussen afwijkingen
Figuur 2: correlaties tussen afwijkingen (i,j = 1-6)

Natuurlijk zijn bij de IEQ de verschillen tussen de geld-bedragen ηj bekend. Het ordinale karakter komt tot uiting in het feit, dat er geen kwantitatieve veronderstellingen worden gemaakt over de afstanden tussen de zes tevredenheids waarden "zeer laag", ..., "zeer goed". In de ordinale aanpak luidt de model vergelijking

(6)     ln(ηj) = αj × ln(Y) + βj × ln(G) + γj + εj

De lezer ziet, dat in dit model elke grootheid ηj haar eigen model-paramaters heeft. Uiteraard is de grootheid εj weer de afwijking van de meet-waarde ten opzichte van de algemene trend. Zij drukt de persoonlijke houding van de ondervraagde uit.

Bij een model vergelijking zoals de formule 6 worden de parameters geschat met behulp van de algemeen bekende kleinste kwadraten methode10. Die methode levert schattingen op voor de parameters αj, βj en γj. Zij blijken allemaal positief te zijn, en dat zet aan tot reflectie. Kennelijk is voor een willekeurig inkomen het oordeel van de bijbehorende tevredenheid afhankelijk van de eigen situatie (inkomen en gezins grootte). Merk verder op, dat β nu positief is, omdat de ondervraagde het effect van de gezins grootte heeft verwerkt in zijn antwoord ηj. Iemand met een groot gezin zal een hoger inkomen verlangen voor bijvoorbeeld de waarde "voldoende" dan een alleen staande.

Men noemt de situatie-afhankelijkheid van het oordeel de preferentie-drift. Als iemand in een nieuwe situatie belandt, dan zal die de oordelen ηj overeenkomstig aanpassen. Vermoedelijk zullen mensen een redelijke inschatting kunnen maken van de tevredenheid met een inkomen, dat weinig afwijkt van het eigen. Naarmate men een meer vreemde situatie moet beoordelen, bijvoorbeeld "zeer laag" of "zeer goed", zal het antwoord waarschijnlijk minder betrouwbaar zijn. Men gaat speculeren. Inderdaad blijkt in de GSOEP gegevens de correlatie tussen εi en εj te verminderen, naarmate i en j verder uiteen liggen. Dit verschijnsel zichtbaar in de figuur 2, waar de correlatie coëfficiënten tussen de afwijkingen zijn uitgezet11.

Afbeelding van indifferentie curven
Figuur 3: Persoonlijke indifferentie curven

Voor de volledigheid is in de figuur 3 voor alle j = 1, ...., 6 de formule 6 grafisch weer gegeven, op basis van de schattingen met de GSOEP gegevens. Gemaks halve is hier een persoon verondersteld, die de trend volgt, en dus εj gelijk aan nul heeft. De persoon verdient Y=1600 (zeg DM per maand), en is alleen staand (G=1). De lijnen in de figuur 3 corresponderen met de willekeurig door uw columnist gekozen antwoorden ηj = 1000, 1200, 1500, 1900, 2600, en 3600 voor respectievelijk j = 1, 2, 3, 4, 5 en 6. De lijnen kunnen worden opgevat als de indifferentie curven van de persoon. Merk op, dat de persoon in de situatie ln(G)=0 verkeert, dus helemaal rechts in de figuur 3.

De figuur 3 is intrigerend. Immers stel dat de persoon een daling van het inkomen Y ondergaat. De indifferentie curven laten zien, dat de persoon dan bij dezelfde tevredenheids waarde j een groter gezin zal accepteren. Uiteraard zal daardoor in zijn huishouden het inkomen per hoofd omlaag gaan. Bijvoorbeeld betekent het antwoord η1 = 1000 bij G=2 een bedrag van slechts 500 per persoon. Dien ten gevolge stelt de persoon bij een lager inkomen kennelijk minder eisen, en is eerder tevreden met zijn inkomen. De indifferentie curven houden in dit geval rekening met de veranderende perceptie van de persoon. Zij zijn hier in zekere zin dynamisch.

Het verlagen van de behoeften door een dalend inkomen is het meest opvallend bij de hoogste tevredenheids waarden. De lezer ziet hoe bij het antwoord η6 = 3600 de persoon bij een dalend inkomen zijn gezin en huishouden aanzienlijk zal willen uitbreiden, wat tot een even grote daling van het inkomen per hoofd zal leiden. Wegens het gedaalde inkomen van de persoon lijkt η6 = 3600 relatief gezien plotseling een grotere financiële rijkdom te beloven. Dat maakt een groter gezin of huishouden mogelijk.


De inkomens evaluatie vraag als indicator
Cardinale aanpak

In de cardinale aanpak wordt verondersteld, dat de intervallen tussen de tevredenheids waarden "zeer laag", "laag", "onvoldoende", "voldoende", "goed", en "zeer goed" gelijk zijn. Eerder in de column is deze aanname al plausibel gemaakt. Bovendien wordt het bereik van tevredenheids- of nuts-waarden beperkt tot het interval [0, 1]. Aan de beide eisen wordt voldaan door de zes tevredenheids waarden te representeren door 1/12, 1/4, 5/12, 7/12, 3/4 en 11/12 (ofwel door (2×j − 1) / 12 met j = 1, ..., 6).

De cardinale methode vereist, dat de mate van tevredenheid ook bekend is in de intervallen tussen deze zes waarden. Er wordt vrijwel dezelfde koppel functie gebruikt als in de formule 5, namelijk

(7)     U(k) = Φμ(k)σ(k)(ln(η)) = Φ01((ln(η) − μ(k)) / σ(k))

Hierin is Φμ(k)σ(k) weer de cumulatieve functie voor de normale verdeling. De symbolen U(k), μ(k) en σ(k) duiden aan, dat zij kenmerkend zijn voor de persoon met nummer k in het gegevens bestand. Immers elke persoon geeft aan zijn nuts functie een eigen karakteristieke gedaante. De IEQ maakt het mogelijk om de parameters van deze persoons-gebonden functie te schatten.

De verwachting μ(k) = E(ln(η)) wordt berekend via de integratie met φμ(k)σ(k)(ln(η)) als de waarschijnlijkheids dichtheids functie van de normale verdeling. Deze grootheid μ(k) kan uit de empirische gegevens worden geschat door de uitdrukking m(k) = Σj=16 (ln(ηj(k)))/6. Hierin staat ηj(k) voor de antwoorden van de persoon k. De waarden van ln(ηj) mogen eenvoudig worden gemiddeld tot m(k), omdat de waarden Uj(k) zonet equidistant zijn gekozen. Evenzo kan de variantie σ²(k) door s²(k) = Σj=16 (ln(ηj(k)) − m(k))² / 5 worden geschat12. De lezer kan hieraan zien hoeveel informatie er is opgeslagen in de IEQ. Elders noemt Van Praag μ de natuurlijke eenheid van de variabele, en σ² de welvaarts gevoeligheid (in de Engelse taal welfare sensitivity)13.

De model vergelijking is voor de cardinale aanpak een regressie formule

(8)     m(k) = α × ln(Y(k)) + β × ln(G(k)) + γ

In de formule 8 zijn Y(k) en G(k) respectievelijk het eigen inkomen en de gezins grootte van de persoon k. Uit de K vergelijkingen worden met de kleinste kwadraten methode de model parameters α, β en γ geschat. Klaarblijkelijk kan in dit geval de cardinale benadering toe met minder model parameters dan de ordinale. Uit de GSOEP gegevens wordt geschat, dat α = 0.527, β = 0.121, en γ = 3.611.

Men kan ook s² in de gedaante van de formule 8 gieten. Het blijkt dan, dat deze welvaarts gevoeligheid geen duidelijke trend vertoont. Daarom nemen Van Praag en Ferrer-i-Carbonell α = β = 0, en vinden dan s² = γ = 0.453. Kennelijk spreidt binnen de steekproef van de GSOEP de welvaarts gevoeligheid willekeurig rond deze gemiddelde waarde. Dat voltooit de cardinale analyse van de IEQ.

Merk op, dat nu met behulp van de formule 7 de trendmatige antwoorden kunnen worden berekend van een persoon in een gegeven situatie. Stel dat de situatie Y=1600 en G=1 is (zoals in het ordinale voorbeeld). Dan blijkt m=7.50 te zijn, en dus em = 1810. De zes antwoorden ηj zijn 960, 1330, 1630, 1980, 2430 en 3350 voor respectievelijk j = 1, ..., 6. Deze informatie is niet beschikbaar in de ordinale aanpak.


Welvaarts functies

De formule 7 stelt in feite de welvaarts functie van een persoon voor. De functie drukt het oordeel uit, dat de persoon k heeft over het nut van allerlei inkomens. Op de korte termijn is de functie onveranderlijk, en zijn μ(k) en σ(k) constanten. Van Praag en Ferrer-i-Carbonell noemen dit de korte termijn of virtuele welvaarts functie.

Op de lange termijn kan μ(k) veranderen, omdat de persoon k een ander inkomen Y krijgt of de gezins grootte G wijzigt. Nu moet μ(k) worden herberekend met behulp van de formule 8. Invullen van die formule in de formule 7 leidt tot14

(9)     U'(k) = Φμ'(k)σ'(k)(ln(η))

In de formule 9 zijn μ' = (β × ln(G) + γ) / (1 − α) en σ' = σ / (1 − α). De functie U'(k) wordt de lange termijn of werkelijke welvaarts functie genoemd.

Voor de gedaante van U'(k) is vooral de welvaarts gevoeligheid σ' van belang, die voor de GSOEP gegevens kennelijk gelijk is aan 2.11 × σ. Dit betekent namelijk, dat de lange termijn functie U'(k) langzamer toeneemt met ln(η) dan de korte termijn functie U(k). Met andere woorden, volgens de korte termijn functie zal een inkomens wijziging sterker inwerken op het welbevinden dan men achteraf (op de lange termijn) oordeelt. Op de lange termijn valt het allemaal wel mee. Men raakt gewend aan de nieuwe situatie, en gaat het gewoon vinden. De lezer zal dit gevoel wel herkennen. Een arme berust in zijn ellende, terwijl de varkens knorren aan de volle bak. Volgens uw columnist is dit de preferentie drift in een andere gedaante (al zeggen Van Praag en Ferrer-i-Carbonell dat niet).

Wellicht duizelt het de lezer na het doorlopen van deze column. Dat zou begrijpelijk zijn. Het is de moeite waard om twee conclusies vast te houden. Ten eerste toont de inkomens tevredenheids vraag (ISQ, FSQ), dat mensen zeer verschillende behoeften en verwachtingen hebben voor hun inkomen. Dit is politiek relevant, omdat kennelijk elke groep met een bepaalde waarde van (on-)tevredenheid een grote diversiteit aan persoonlijke achtergronden (leef-situaties) heeft. Overigens geeft enkel de cardinale aanpak deze informatie, de ordinale niet. Ook bij de inkomens evaluatie vraag (IEQ) blijkt enkel de cardinale aanpak informatie te geven over de spreiding van voorkeuren. Er is evenwel bij alle schalings methoden een onmiskenbare trend om tevredener te worden, naarmate het inkomen toeneemt.

Ten tweede toont de IEQ, dat na een wijziging van het inkomen de mensen gewend raken aan de nieuwe situatie. Op de lange termijn verzwakken de emoties. Echter men moet niet vergeten, dat in alle besluitvorming de eerste emotie de doorslag geeft15. En tenslotte mag worden geconcludeerd, dat de schaling van tevredenheid een zinvolle en fascinerende uitbreiding van onze inzichten betekent.

  1. Michiel Mulder parodieert in Het ongrijpbare gelijk van John Winkle de fantasieën van de wetenschapper (p.11): Als we de wereld kunnen vertellen hoe de moraal in elkaar steekt, mijn hemel, wat winnen we dan? We winnen diezelfde wereld, Joep, niets minder dan dat. De mensheid, het behoud van de mensheid in zijn huidige vorm. De mens met zijn verstand ... het begin van de individuele keuze ... het einde van de meelopers, de aanmatigende massa.
  2. Zie hoofdstuk 2 in Happiness quantified (2008, Oxford University Press) van B.M.S. van Praag en A. Ferrer-i-Carbonell.
  3. Bijvoorbeeld is dit zichtbaar in de analyse van empirische gegevens op basis van de ordered probit methode, die wordt weergegeven op p.19 van Happiness quantified. Daar zijn de waarden van de intervallen geschat aan de hand van de optimale aanpassing van de model-parameters. De lengten van de intervallen tussen de tevredenheids waarden blijken te zijn: 0.49, 0.45, 0.56, 0.43, 0.65, 0.84, en 0.65. Een meer volledige bevestiging van de aanname is te vinden in het artikel The measurement of welfare and well-being - The Leyden approach van B.M.S. van Praag en P. Frijters, in het boek Well-being: the foundations of hedonic psychology, scientific perspectives on enjoyment and suffering (1999, Russell Sage).
  4. Zie p.16 van Individual welfare functions and consumer behavior (1968, North-Holland Publishing Company) van B.M.S. van Praag. De functie is eerder afgebeeld in de column over individuele voorkeuren.
  5. Een bekende reken-regel is Φμσ(x) = Φ01((x − μ) / σ). De lezer kan dit eventueel zelf nagaan met de definities van de normale verdeling in de zuster column. Het gevolg is dat Φμσ(ln(Y)) = Φ01(ln(Y) / σ − μ / σ) = Φ01(α × ln(Y) + β), met α=1/σ en β = -μ/σ.
  6. Namelijk wegens de formule 3 geldt dat Pr(νj < U ≤ νj+1) = Pr(Φ01-1j) < Φ01-1(U) ≤ Φ01-1j+1)) = Pr(Φ01-1j) < α × ln(Y) + β + ε ≤ Φ01-1j+1)) = Pr(Φ01-1j) − α × ln(Y) − β < ε ≤ Φ01-1j+1) − α × ln(Y) − β). Aangezien ε normaal is verdeeld, kan dit worden omgeschreven tot Pr(νj < U ≤ νj+1) = Φ01-1j+1) − α × ln(Y) − β) − Φ01-1j) − α × ln(Y) − β). Het geen te bewijzen was.
  7. Uw columnist gebruikt de tabel op p.552 van Introduction to the theory of statistics (1974, McGraw-Hill, Inc.) van A.M. Mood, F.A. Graybill, en D.C. Boes. Elk ander fatsoenlijk boek over statistiek is ook goed. Voor ν = 0, 0.125, 0.375, 0.625, 0.875 en 1 vindt men respectievelijk -ω, -1.15, -0.32, 0.32, 1.15, en ω. De functie is gespiegeld symmetrisch rond ν = 0.5.
  8. Merkwaardiger wijze maken Van Praag en Ferrer-i-Carbonell in Happiness quantified geen melding van de gebruikte eenheid voor het inkomen.
  9. Namelijk Pr(-0.13 < ε ≤ 0.13) = 2 × Φ0,0.466(0.13) − 1 = 2 × Φ01(0.13/0.466) − 1 = 0.22.
  10. Lezers, die onbekend zijn met de kleinste-kwadraten methode, kunnen zich op de hoogte stellen in elk fatsoenlijk inleidend boek over statistiek of meet-methoden. Bijvoorbeeld is een uitleg te vinden op p.498 van Introduction to the theory of statistics. Overigens vermelden Van Praag en Ferrer-i-Carbonell op p.38 van Happiness quantified, dat zij de seemingly unrelated regression (afgekort SUR) toepassen. Uw columnist is niet bekend met die variant van de kleinste kwadraten methode. Wellicht heeft de keuze voor de SUR te maken met de bijzonderheid, dat de zes grootheden εj een onderling verband hebben. Immers deze afwijkingen zullen per persoon overeenkomstig zijn, omdat zij worden bepaald door diens persoonlijke houding.
  11. Zie p.40 in Happiness quantified.
  12. Zie bijvoorbeeld p.229 van Introduction to the theory of statistics. De formule op p.40 van Happiness quantified bevat een drukfout.
  13. Zie p.37-38 in Individual welfare functions and consumer behavior.
  14. Immers (ln(η) − μ) / σ = (ln(η) − α × ln(η) − β × ln(G) − γ) / σ = (ln(η) − (β × ln(G) + γ) / (1 − α)) / (σ / (1 − α)) = (ln(η) − μ') / σ', met μ' = (β × ln(G) + γ) / (1 − α) en σ' = σ / (1 − α).
  15. Daarom kan Willemijn Dicke in Mea enige zelfspot niet laten (p.44): Burgers interesseren zich niet voor de echt belangrijke zaken, zeker niet als het kwesties op lange termijn betreft. Als het ze al interesseert, begrijpen ze het niet goed. En dat soort lui zou dan moeten meepraten over strategische aangelegenheden. Zij zijn alleen maar uit op eigenbelang, die kleine lieden. Alleen de elite is verlicht.