Ruil-processen in de Edgeworth box

Plaatsing op Heterodox Gezelschap Sam de Wolff: 30 september 2013

E.A. Bakkum is eindredacteur van de periodiek Sociaal Vooruit, en een betrokken PvdA lid. Hij is beroepsmatig werkzaam bij het Socialistisch Centrum, waar hij de functie van zaakwaarnemer vervult.

De theorie van de individuele nuts-functie maakt het mogelijk om te modelleren hoe de concurrerende markt werkt. In het bijzonder kan onder bepaalde aannames worden bewezen, dat een concurrerend evenwicht daadwerkelijk bestaat. Dit model wordt zeer verhelderd door bij de uitleg gebruik te maken van de zogenaamde Edgeworth box, een rechthoek waarin een bilaterale markt kan worden weer-gegeven. Aldus wordt duidelijk hoe de individuele voorkeuren en preferenties tenslotte leiden tot een markt-prijs, waarbij alle markten geheel worden geruimd.

Het doel van deze column is om het ruil-proces te verklaren met behulp van de Edgeworth box. In beginsel is dit een materie, die is opgenomen in elk inleidend boek over micro-economie. Het is echter opvallend hoe vaak de uitleg onvolledig is, en daardoor aanleiding geeft tot misverstanden. Daarom is het toch de moeite waard om in deze column de stand van zaken nog eens uiteen te zetten. Bovendien kan deze column het start- en referentie-punt worden voor de voortgezette verhandelingen in volgende columns.


De Edgeworth box

De Edgeworth box maakt gebruik van de velden van indifferentie-curven van individuen of afzonderlijke huishoudens. In diverse columns is al een uitleg gegeven over het fenomeen van de isonuts- of indifferentie-curven. Figuur 1a beeldt nog eens het veld voor een individu grafisch af. Men kan er uit aflezen welke hoeveelheden x1 en x2 van twee goederen hetzelfde nut hebben voor het individu. In bijna alle leerboeken wordt verondersteld, dat het nut blijft toenemen, naarmate x1 en x2 toenemen. Uiteraard is die aanname onrealistisch. In werkelijkheid zal er altijd een punt van verzadiging zijn. Dat wil zeggen, het veld van indifferentie-curven beschrijft een nuts-berg1, en niet een nuts-wand. Dit verschijnsel is zichtbaar in de figuur 1a.

Drie grafieken van velden van indifferentie-curven
Figuur 1: velden van indifferentie-curven: (a) een volledig veld;
(b) veld rondom het punt ξ ; (c) MSV in 2 punten op dezelfde curve

In de reële wereld kent het individu natuurlijk nooit al zijn voorkeuren. Gewoonlijk zijn de persoonlijke behoeften nauw verbonden met de actuele situatie, waarin het individu zich bevindt, of met vroegere ervaringen. Iets anders kan hij zich simpelweg niet voorstellen - of hij heeft het nooit overdacht. Met andere woorden, het individu kent enkel de indifferentie-curven rondom de hoeveelheden ξ1 en ξ2, die hij zelf in eigendom heeft. Merk op, dat dit kan worden voorgesteld als een vector ξ in twee dimensies. Verder vereist het gebruik van de Edgeworth box, dat de indifferentie-curven een monotoon gedrag vertonen. Ze moeten convex zijn. Feitelijk betekent dat, dat de beschouwde situatie nog ver weg is van een behoeften-verzadiging. Deze situatie is grafisch weergegeven in de figuur 1b 2.

Een belangrijk aspect van een indifferentie-curve is, dat de voorkeuren van het individu voor de goederen 1 en 2 veranderen langs de curve. Die voorkeur wordt bepaald door de verhouding, waarin het goed 1 wordt uitgewisseld tegen het goed 2. Kennelijk is in het veld de voorkeur een "lokaal" verschijnsel. Enkel de marginale (of grens-) verhouding is een zinvolle grootheid. Deze zogenaamde marginale substitutie verhouding MSV is gedefinieerd als MSV = − Δx2 / Δx1. Hierin is Δxn (n=1,2) een differentie, een zeer kleine verandering van de hoeveelheid. Het min-teken is nodig om te zorgen, dat de MSV een positief getal is. In de figuur 1c is de MSV symbolisch ingetekend op twee plaatsen, in de gedaante van een driehoek met rechthoek-zijden Δx2 en Δx1. De lezer ziet het verschil. Feitelijk is de MSV de helling van de raaklijn aan de curve op de betreffende locatie.

De Edgeworth box beschrijft het bilaterale ruil-proces tussen twee individuen, zeg I en II. Het eigendom aan goederen 1 en 2 van individu I is nu de vector ξI, en dat van individu II is de vector ξII. In totaal bevat dit economische systeem van twee individuen dus een hoeveelheid ξnT = ξnI + ξnII van het goed n (n=1,2). De hoeveelheden in eigendom van de twee individuen (ξI en ξII) komen niet noodzakelijk overeen met hun persoonlijke voorkeuren. Daarom willen ze proberen om door een uitruil van elkaars goederen hun eigen nut te vergroten. Dit heet een ruil-economie in natura (in de Engelse taal barter economy)3. In het ruil-proces zijn de velden van indifferentie-curven van I en II sturend. Zij hebben de gedaante van de figuur 1b, maar zijn onderling verschillend.

De Edgeworth box wordt nu geconstrueerd door het veld van indifferentie-curven van individu II te draaien over een hoek van 180o. Vervolgens wordt dit gedraaide veld gelegd op het veld van individu I, en wel zodanig dat de start-punten ξI en ξII op elkaar liggen. Aldus ontstaat er een rechthoek (box), die een lengte heeft ter grootte van ξ1T en een hoogte ter grootte van ξ2T. Alle punten x in deze rechthoek zijn in beginsel toegankelijk als het eindpunt, dat kan worden bereikt door de herverdeling ten gevolge van het ruil-proces.

Wanneer echter de ruil plaats heeft op basis van vrijwilligheid (en dat wordt voortaan verondersteld), dan zijn lang niet al die eindpunten haalbaar. Immers noch I noch II zal een verslechtering van zijn situatie accepteren. Zij kunnen dat blokkeren. Met andere woorden, er wordt enkel geruild, zolang het nut van het eigen eigendom er niet door afneemt. Het individu I wil, dat het eindpunt na herverdeling niet ligt onder zijn indifferentie-curve met nuts-waarde uI(ξI). Evenzo wil II uitkomen op een punt boven zijn indifferentie-curve met nuts-waarde uII(ξII). Aldus ontstaat er een beperkt gebied van toegankelijke eindpunten, dat is ingeklemd tussen deze twee curven. Dit gebied is grafisch weergegeven in de figuur 2a.

Twee afbeeldingen van Edgeworth boxen
Figuur 2: Edgeworth boxen: (a) het acceptabele gebied;
(b) de contract-curve met twee uitbuitings-punten

Men ziet hoe de curve van II concaaf is in het assen-stelsel van I, omdat zij is gedraaid over een hoek van 180o. Dien ten gevolge snijden de twee curven elkaar nog op een tweede plaats, behalve op het startpunt ξI = ξII. In de getekende situatie wil individu I meer van goed 1 hebben, en II wil meer van goed 2 hebben. Dat komt goed uit. Dit blijkt ook uit de raaklijnen aan de twee indifferentie-curven in het startpunt, die duidelijk een verschillende helling hebben. Immers die helling is juist de marginale substitutie verhouding. Zij is in het startpunt groter voor I dan voor II. Het individu I wil relatief graag goederen 2 opgeven ten gunste van meer goederen 1.

Klaarblijkelijk is er ruimte voor verandering en herverdeling. De lezer begrijpt dat het ruil-proces zal moeten stokken op het moment, dat de MSV van de twee individuen gelijk zijn geworden. In formule is dat MSVI = MSVII. Grafisch betekent dit eindpunt, dat daar de raaklijnen aan de twee indifferentie-curven samenvallen. Zulke punten worden Pareto-optimaal genoemd. Het kenmerk van Pareto-optimale toestanden is, dat geen enkel individu zijn nut verder kan vergroten zonder het nut van andere individuen te verkleinen.

Daarmee is allerminst gezegd, dat een Pareto-optimale toestand rechtvaardig is4. Het onrecht wordt geïllustreerd in de figuur 2b. Beschouw allereerst het Pareto-optimale punt xA. Hier is het individu II er in geslaagd om uitgaande van de indifferentie-curve met waarde uII(ξII) zijn nut voortdurend te vergroten door middel van de ruil. In het eindpunt, waar MSVI(A) = MSVII(A), zit het individu I nog steeds op zijn oorspronkelijke nut uI(ξI). Het individu II heeft tijdens het hele ruil-proces steeds de voor hem meest gunstige ruil kunnen doorzetten. Daarom wordt hij de optie-zetter genoemd. De passieve partner in de ruil heet de optie-nemer5.

Het spreekt voor zich, dat ook het individu I graag de optie-zetter wil zijn. Als dat lukt, dan kan hij zijn eigen nut vergroten, terwijl dat van het individu II op uII(ξII) blijft staan. Dan wordt het Parteto-optimale eindpunt gegeven door xB. Zie de figuur 2b. Vanwege de onevenwichtigheid in de ruil worden de punten xA en xB uitbuitings-punten genoemd. Klaarblijkelijk zijn er machts-factoren in het spel, die één individu begunstigen.

Uiteraard zijn er ook meer evenwichtige ruil-processen denkbaar. Hun eindpunten liggen tussen de punten xA en xB. Elk punt is weer het raakpunt van twee indifferentie-curven, één van I en één van II. Tezamen vormen de punten de zogenaamde contract-curve, ook wel de kern genoemd6. Zonder bijkomende informatie is niet te zeggen, waar op de contract-curve het eindpunt van het ruil-proces zal liggen. Hoewel de punten op de contract-curve rustpunten zijn, bestaat er geen uniek evenwichts-punt! Dit is niet de markt, zoals die wordt gemodelleerd in de Walrasiaanse evenwichts theorie7.


Ruil-evenwicht met prijzen

Een essentieel kenmerk van het Walrasiaanse evenwichts model is dat de consumenten prijs-nemers zijn8. Zij proberen hun nut te maximaliseren binnen de door de concurrerende markt gestelde beperkingen. De prijzen ontstaan uit de balans van de totale koopkrachtige vraag en het totale aanbod. De inter-persoonlijke interacties van de barter economie worden vervangen door de prijs-schommelingen, die tezamen de ruiming van alle goederen-markten moeten garanderen. Er ontstaat een uniek concurrerend evenwicht. In de huidige situatie, met de Edgeworth box, zijn er slechts twee goederen. Daarom is de doorslag gevende markt-grootheid de prijs-verhouding p2 / p1, waarbij pn de prijs is van goed n (n=1,2).

Beschouw allereerst weer de situatie van één individu9. Het individu heeft hoeveelheden ξ aan goederen 1 en 2 in eigendom. Aangezien hij in deze situatie een prijs-nemer is, is de prijs-verhouding voor hem een gegeven feit. Dan beschikt hij over een vermogen y ter waarde van p1 × (ξ1 + ξ2 × p2/p1). De prijs p1 kan worden gebruikt als schaal-factor (ook wel numéraire genoemd), zodat het geschaalde vermogen wordt voorgesteld door y/p1.

Twee grafieken van velden van indifferentie-curven
Figuur 3: velden van indifferentie-curven:
(a) nuts-optimum bij een budget-lijn;
(b) nuts-optimum bij een andere budget-lijn en ruil-curve

Uitgaande van zijn voorkeuren, belichaamd in zijn veld van indifferentie-curven, kan het individu nu op zoek gaan naar een pakket goederen x met een groter nut. Daartoe zal hij goederen moeten gaan verkopen om er andere voor te kunnen terug kopen. Aangezien zijn budget (begroting is fraaier Nederlands) y/p1 bedraagt, is zijn budget-lijn gegeven door de vectoren x, die voldoen aan y/p1 = x1 + x2 × p2/p1. De figuur 3a stelt grafisch deze budget-lijn voor, tezamen met enkele indifferentie-curven uit het totale veld van het individu.

De nuts-maximalisatie van het individu bestaat hierin, dat hij de indifferentie-curve zoekt met de hoogste nuts-waarde, die nog juist op de budget-lijn ligt. Dat is uiteraard de curve, die raakt aan de lijn. Stel het raakpunt voor door het symbool xC. Dit punt wordt het consumptie-optimum genoemd. Kennelijk is bij de hier gegeven prijs-verhouding de vraag van het individu gelijk aan een hoeveelheid x1C − ξ1 van het goed 1, en zijn aanbod gelijk aan een hoeveelheid ξ2 − x2C van het goed 2.

De vraag en het aanbod van het individu in het consumptie-optimum zijn duidelijk prijs-afhankelijk. In figuur 3b is voor hetzelfde individu bij een andere prijs-verhouding het eindpunt en consumptie-optimum xD geschetst. Op een soort gelijke manier kunnen voor alle mogelijke prijs-verhoudingen de vraag en het aanbod van het individu worden geconstrueerd. Tezamen vormen al deze punten de zogenaamde ruil-curve (in de terminologie van de econoom A. Marshall de offer-curve) van het individu.

Afbeelding van Edgeworth box
Figuur 4: Edgeworth box voor I en II
met gedeelde budget-lijn

Duidt nu weer dit individu aan met I, en veronderstel dat er een tweede individu II is. Ook voor dit individu kan de ruil-curve worden geconstrueerd. Alvorens het algemene geval van de waaier budget-lijnen door ξ te bekijken, zij eerst de prijs-verhouding p2/p1 onderzocht, die bij het individu I de aanleiding gaf tot de keuze voor xC (zie de figuur 3a)10. Stel deze prijs-verhouding brengt het individu II tot de keuze van hoeveelheden xE. Deze situatie kan worden weergegeven in de Edgeworth box, tezamen met de budget-lijn. Zij is te zien in de figuur 4. Het aardige van de zaak is, dat de budget-lijnen van I en II samenvallen11.

De lezer ziet in de figuur 4, dat de consumptie-optima van I en II (respectievelijk xC en xE) uiteen liggen. Concreet betekent dit, dat bij deze prijs-verhouding er te veel vraag is naar het goed 1, en te weinig naar het goed 2. De markt voor het goed 2 wordt niet geruimd. Zoals dat gaat in markten, zal de prijs van het goed 1 kunnen stijgen, terwijl de prijs van het goed 2 zal dalen. Hierdoor zal de helling van de budget-lijn toenemen. Deze prijs-verandering zal net zolang doorgaan, totdat de twee consumptie-optima samen vallen. Dit unieke punt xC = xE bij een prijs-verhouding pCE wordt in het Engels het top level optimum genoemd.

In het top level optimum raken de twee indifferentie-curven aan elkaar. Dien ten gevolge geldt er MSVI = MSVII, waardoor het Pareto optimaal is en op de contract-curve ligt. De MSV is er precies gelijk aan de prijs-verhouding pCE. Dit is de eis, waaraan moet zijn voldaan in de evenwichts-toestand.

Aldus is op een aanschouwelijke manier getoond, hoe dat evenwicht tot stand kan komen door middel van een prijs-aanpassing op de markt. Een alternatieve manier van argumenteren maakt gebruik van de ruil-curve (zie de figuur 3b)12. Zowel het individu I als II hebben een eigen ruil-curve. De twee ruil-curven kunnen worden getekend in de Edgeworth box. Daar waar de twee curven elkaar snijden, bevindt zich het top level optimum. De budget-lijn raakt per definitie in dat punt zowel aan de indifferentie-curve van I als de indifferentie-curve van II. Daarmee is de Pareto optimaliteit verzekerd.


Kant-tekeningen en uitbreidingen

In de voorgaande paragraaf is de Edgeworth box louter gebruikt als een instrument om de redenatie te verhelderen. Immers op de concurrerende markt is de ruil niet meer een bilateraal proces, maar verloopt multi-lateraal. Elke nieuwe toetreder tot de markt doet de contract-curve (of de kern) verder inkrimpen, totdat er tenslotte bij een oneindig aantal individuen slechts één gedeeld punt in de box overblijft13. Veel individuen leiden tot een situatie, waarin een relatief beperkte ruimte is om te sjacheren. De Edgeworth box dient hier vooral om te illustreren hoe de voorkeuren van het individu toch inwerken op de markt-prijs, al is hij dan per saldo een prijs-nemer geworden.

Het betoog van de voorgaande paragrafen ligt ten grondslag aan het bekende eerste fundamentele theorema van de welvaarts-economie. Het luidt: "Als alle individuen monotone zelfzuchtige nuts-functies hebben, en als (xC, pCE) het concurrerende evenwicht is, dan ligt xC op de contract-lijn, en is dus Pareto-optimaal"14. Uiteraard is de omkering van het theorema niet geldig.

Dat blijkt bijvoorbeeld uit het punt xA in de figuur 2b. Stel dat de prijs-verhouding zodanig is, dat dit punt op de budget-lijn ligt. Dan heeft de lijn een helling, die groter is dan de MSV. Dat wil zeggen, de individuen I en II vinden in het punt xA, dat p1 te groot is ten opzichte van p2. Ze willen allebei het goed 1 verkopen, en meer kopen van het goed 2. Klaarblijkelijk zijn de markt-vraag en het markt-aanbod uit evenwicht. Er is geen concurrerend evenwicht15. Het punt xA kan enkel worden bereikt, doordat kennelijk II een bijzondere machts-positie inneemt.

Hoewel het bovenstaande Walrasiaanse ruil-model onmiskenbaar formeel elegant is, kan zij niet worden toegepast op de werkelijke economie. Het is namelijk niet goed mogelijk om de economische dynamica toe te voegen aan het model. De dynamica doet haar intrede in allerlei grootheden, bijvoorbeeld bij de vermogens y van de individuen. Immers de vermogens worden voortdurend aangevuld door middel van inkomens. De inkomens zelf zijn weer afhankelijk van de voorkeuren van de individuen. Zo is de loon-hoogte (de prijs van de factor arbeid) mede bepalend voor het aantal uren, dat iemand zal willen werken. Zie de column over dit thema. Aldus blijkt de consumenten-markt samen te hangen met de markt voor de productie-factoren16.

Het ruil-proces van consumenten-goederen kan niet los worden gezien van de productie. Uiteraard zijn de prijs-veranderingen op de goederen-markten enkel haalbaar voor zover het productie-proces dit toelaat. De product-prijs kan nooit onder de kostprijs dalen. En het loon-peil en de rente-voet, die de kosten bepalen, zijn weer afhankelijk van de productiviteit van de productie-factoren arbeid en kapitaal. Aldus kan de budget-lijn van de individuen allerlei gedaanten aannemen, afhankelijk van de inrichting en aanpassing van de economische structuur. De bepalende factoren en voorwaarden voor het concurrerende Walrasiaanse evenwicht zijn al eens samengevat, zij het beknopt, in een vroegere column. De gedetailleerde uiteenzetting van het totale model begint met het opstellen van de Edgeworth box voor de allocatie van de productie-factoren arbeid en kapitaal. Dit onderwerp moet blijven liggen voor een toekomstige column.

De markt voor de productie-factoren is uitermate tijds-gevoelig. De toekomst-verwachtingen bepalen, of producenten bereid zijn om investeringen te doen in het productie-kapitaal. Dit soort besluiten is niet meer fatsoenlijk weer te geven in indifferentie-curven. Bovendien is een dergelijk complex systeem totaal onduidelijk, hoe de individuen tezamen ooit het Walrasiaanse evenwicht zullen kunnen vinden. Zodra een prijs-verandering het evenwicht verstoort, verliest het Walrasiaanse model zijn geldigheid. De econoom Sraffa heeft laten zien, hoe onvoorspelbaar een prijs-verandering doorwerkt in alle andere product-prijzen. Dit verschijnsel is beschreven in een eerdere column.

Dit laat zien, dat vooral de modellering van de productie allerlei problemen oproept. De Walrasiaanse theorie van de productie veronderstelt bijvoorbeeld ook nog, dat er in de productie geen schaal-voordelen zullen optreden. Vanzelf sprekend is die aanname weinig realistisch, maar zij vloeit dwingend voort uit de aanname van een concurrerende markt. Daarnaast blijkt in de werkelijke economie de bemiddeling van het geld als ruil-middel allerminst neutraal te zijn. Zij introduceert allerlei neven-effecten17.

  1. Zie p.157 in Micro-economie (1996, Stenfert Kroese) van F.J. Dietz, W.J.M. Heijman en E.P. Kroese. Of p.55 in het oefenboek van Grundzüge der Volkswirtschaftslehre (2011, Pierson Studium) van P. Bofinger en E. Mayer.
  2. De idee van het egoïstische individu, de homo economicus, wordt aardig op de hak genomen door Willem van Toorn in de roman Stoom (p.105): Maar hij kan niks beginnen met het soort taal dat die lui allemaal gebruiken, alsof "kapitalisten" geen mensen zijn maar een soort ongedierte, en alsof de arbeiders een soort heiligen zijn die het allemaal anders zouden doen als zij de macht hadden. Nee, hij begrijpt heel goed wat De Bok zegt, dat de mensen slecht zijn als je ze de kans geeft en dat er geen enkele reden is om te geloven dat de socialisten door een soort wonder van de schepping beter zouden zijn dan anderen, als ze de macht ooit zouden krijgen. Tegelijk voelt hij iets van jaloezie. Zo'n Tabak hoort ergens bij, dat merk je. "Wij" zegt hij steeds, als hij het over de vakbond heeft. Henk praat ook zo, net als zijn vader en zijn broer en de mannen van de Vereniging van Spoor- en Tramweg-personeel. En Maarten heeft volstrekt niet het gevoel dat hij ergens bij hoort, hij zou niet weten hoe dat moest.
  3. Zie p.74 in Mikroökonomische Theorie (2011, UVK Verlagsgesellschaft mbH) van W. Hoyer en W. Eibner. Immers de ruil verloopt zonder de tussenkomst van geld. Dit boek geeft de meest heldere en volledige uiteenzetting over de Edgeworth box, die uw columnist heeft kunnen vinden.
  4. Dit argument wordt goed uitgelegd op p.82 van Mikroökonomische Theorie.
  5. Zie p.248 van Inleiding tot de economische wetenschap (1969, N.V. Uitgeversmaatschappij v/h G. Delwel) van G.Th.J. Delfgaauw. Delfgaauw noemt deze markt-vorm het bilaterale monopolie. Aangezien allebei de individuen beschikken over een volledige marktkennis, en ze ogenschijnlijk geheel op elkaar zijn aangewezen, is er in zijn ogen sprake van een volkomen concurrentie.
  6. Zie p.28 in Welfare economics and social choice theory (1980, Martinus Nijhoff Publishing) van A.M. Feldman.
  7. Naast de bovenstaande grafische verklaring van het ruil-proces kan men ook een zuiver wiskundig betoog houden. Ten einde aan de lezer een indruk te geven wordt in deze voetnoot geschetst hoe F. Etner in hoofdstuk 10 van het aardige boekje Microéconomie (1991, Presses Universitaires de France) de zoektocht naar het punt xA beschrijft. Hier is het individu II de optie-zetter. In het zoek-proces blijft dus het nut uI van het individu I constant, zeg νI. Men kan dan de zogenaamde Lagrangiaan van het probleem opstellen: Λ(λ, μ1, μ2) = uII(x1II, x2II) + λ × (uI(x1I, x2I) − νI) − μ1 × (x1I + x1II − ξ1T) − μ2 × (x2I + x2II − ξ2T). De grootheden λ, μ1 en μ2 zij de zogenaamde multiplicatoren van Lagrange, die in de formule zijn gekoppeld aan de randvoorwaarden, waaraan het optimalisatie-proces moet voldoen. In deze aanpak wordt het optimum van uII gevonden door het maximum van de Lagrangiaan te berekenen. Aldus komt men tot het resultaat dat (∂uI/∂x1I) / (∂uI/∂x2I) = (∂uII/∂x1II) / (∂uII/∂x2II). Op een indifferentie-curve is het linker lid juist MSVI, en het rechterlid is MSVII. Aldus is de gelijkheid MSVI = MSVII wiskundig bewezen, althans voor dit specifieke geval met uI = νI. Door vervolgens allerlei waarden van νI te beschouwen, en dus allerlei punten op de contract-curve, bewijst men de geldigheid voor het algemene geval.
  8. Dit wordt helder uitgelegd op p.14 en verder van het uitstekende leerboek Volkswirtschaftslehre (2003, Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH) van M. Heine en H. Herr.
  9. De nu volgende argumentatie is te vinden op p.85 en verder in Mikroökonomische Theorie, of op p.41 en verder in Welfare economics and social choice theory.
  10. De nu volgende argumentatie is te vinden op p.41 en verder in Welfare economics and social choice theory, of op p.274 en verder in Microéconomie. Uw columnist houdt een soort gelijke redenatie in paragraaf 7.6.1 van de ringband Vooruitgang der economische wetenschap (2011, Uitgeverij E. de Bibelude). De daar gegeven uitleg is bij nader inzien wat te beknopt, waardoor niet alle finesses ter sprake komen.
  11. Namelijk, de budget-lijn van II is yII = xII · p, waarbij het rechter deel van de gelijkheid het vectoriële inproduct voorstelt. Nu is xII = ξTxI. Invullen geeft yII = ξT · pxI · p. De totale koopkracht in het systeem is ξT · p = yI + yII. Aldus is de budget-lijn van II ook te schrijven als yI = xI · p, wat natuurlijk juist de budget-lijn van het individu I is.
  12. Zie p.87 in Mikroökonomische Theorie.
  13. Zie p.35 in Welfare economics and social choice theory.
  14. Zie p.50 in Welfare economics and social choice theory.
  15. Zie p.84-85 in Mikroökonomische Theorie.
  16. In de roman De duivel vaart in ons van de Vlaamse schrijver Piet van Aken blijkt, dat die samenhang ook andere vormen kan aannemen. Op p.32 schrijft hij: Gedreven door hun angst voor het socialisme, deden de patroons al het mogelijke om die twee passies [EB: arbeid en genot] op te hitsen; en de geweldige vraag naar bouw-materialen werkte dit opzet in de hand. Ze voerden een premie-stelsel in voor over-productie, en de waarschuwende stem der socialistische leiders ging verloren in de koortsachtige jacht naar geld. Maar het geld werd even snel verteerd als het gewonnen werd. De herbergen rezen als paddestoelen uit de grond. In de kom van het dorp, langsheen de rivier, en zelfs tussen de ovens en de loodsen, op alle mogelijke en onmogelijke plaatsen, werden kroegen geopend. De herbergen waren het eigendom der patroons, en deze hadden een voordelig kontrakt met huurder en bouwer, zodat het geld, dat ze aan lonen uit betaalden, met winst in hun eigen zak terug keerde. Daar dacht het volk echter niet aan.
  17. Zie voor de opsomming van de bezwaren tegen de Walrasiaanse theorie p.188 en verder in Volkswirtschaftslehre.