Een dynamisch model van groei en conjunctuur

Plaatsing op Heterodox Gezelschap Sam de Wolff: 7 augustus 2013

E.A. Bakkum is eindredacteur van de periodiek Sociaal Vooruit, en een betrokken PvdA lid. Hij is beroepsmatig werkzaam bij het Socialistisch Centrum, waar hij de functie van zaakwaarnemer vervult.

In eerdere columns is aandacht besteed aan dynamische verschijnselen zoals de economische groei en de conjunctuur. De huidige column beschrijft een multiplicator-accelerator model, dat in staat is om allebei de verschijnselen in één keer te beschrijven. Het model is ooit bedacht en gepubliceerd door de bekende econoom Luigi L. Pasinetti. Enkele simpele wiskundige formules van het nationale inkomen en van de investeringen met tijds-vertragingen (lags) blijken voldoende te zijn om een dynamisch gedrag voort te brengen, dat een opvallende gelijkenis vertoont met de reële economie. Tegelijk wordt duidelijk, dat een geslaagde model-simulatie absoluut niet wil zeggen, dat daarmee de werkelijkheid ook is verklaard en begrepen.

De nu volgende tekst is al eerder gepubliceerd in de ringband Vooruitgang der economische wetenschap. De betreffende paragraaf is op haar beurt ontleend aan het boek Growth and income distribution van L.L. Pasinetti1. In een eerdere column over conjunctuur-golven zijn al enkele schema's getoond van de diverse in omloop zijnde theorieën en modellen. De vondst van Pasinetti behoort tot de categorie van de multiplicator-accelerator modellen. Bovendien is het een één-sector model, omdat enkel de op het nationale niveau geaggregeerde grootheden worden door-gerekend.

De accelerator-formule beschrijft hoe de economische groei een prikkel voor de ondernemers wordt om te investeren. Zij stelt een macro-economisch verband voor. Haar wiskundige gedaante is

(1)     ΔK(t) = κ × ΔY(t)

In de formule 1 is ΔY(t) de groei van het nationale inkomen Y in het tijds-interval tussen t-Δt en t. De kapitaal-accumulatie ΔK(t) is de investering I(t), waartoe de ondernemers besluiten op het tijdstip t. De veronderstelling is kennelijk, dat die investering evenredig zal zijn aan de absolute groei van de inkomens. De evenredigheids-constante κ wordt de kapitaal-coëfficiënt genoemd. Trouwe lezers zullen de coëfficiënt herkennen uit de column over het model van Harrod-Domar, dat de economische groei beschrijft. Het verschil is, dat de formule 1 is uitgedrukt in differenties en niet in differentialen.

Op tijdstip t is gewoonlijk ΔY(t) nog niet precies bekend. Daarom zullen de ondernemers hun investeringen moet baseren op de verwachte groei. Veronderstel, dat de groei van een periode eerder, op het tijdstip t-Δt, wèl bekend is. Dan ligt het voor de hand dat zij hun schatting zullen berekenen volgens de formule

(2)     ΔYV(t) = ΔY(t − Δt) = Y(t − Δt) − Y(t − 2×Δt)

Uit de formules 1 en 2 blijkt, dat het ondernemers-gedrag (de acceleratie) kan worden benaderd door de formule

(3)     I(t) = κ × (Y(t − Δt) − Y(t − 2×Δt))

Het loont de moeite om de formule 3 te vergelijken met de investerings-theorie van Kalecki, die is behandeld in een voorgaande column. In de investerings-functie I(t) van Kalecki laten de ondernemers zich leiden door de veranderingen in de winstvoet r = ΔP/ΔK, waarbij ΔP de verandering van de winst is. De formule 3 is wat slordiger, omdat enkel ΔY er in voorkomt, die zowel een winst- als een loon-component bevat. Met andere woorden, de ondernemers zouden ook investeren, indien de lonen W stijgen maar de winst P niet. Voorts bevat de investerings-functie van Kalecki een autonome term, die dient om de afgedankte outillage te vervangen. Klaarblijkelijk geeft de formule 3 enkel de netto investeringen weer, waaruit de vervangings-investeringen al zijn verwijderd.

Het multiplicator deel van de theorie ontstaat ten gevolge van de consumptie. De consumptie wordt voorgesteld door de consumptie-functie

(4)     C(t) = CA + c × Y(t − Δt)

In de formule 4 is c de marginale consumptie-quote, en CA is de autonome consumptie, die altijd plaats vindt, zelfs als er geen inkomen is. In dat geval zal er worden geput uit spaar-tegoeden, of er wordt krediet opgenomen. Merk op, dat de consumenten hun gedrag met een vertraging Δt (in de Engelse taal een zogenaamde lag) aanpassen aan het nationale inkomen. De consumptie-functie is ook al bekend uit de theorie van Kalecki, waar zij het gedrag van de kapitaal-eigenaren voorstelt. In het huidige model van Pasinetti is de consumptie van de kapitaal-eigenaren en van de arbeiders op één hoop gegooid.

Het nationale inkomen wordt voortgebracht in de vorm van de toegevoegde waarde bij de productie van de consumptie- en kapitaal-goederen. In formule is dat

(5)     Y(t) = C(t) + I(t)

Aangezien er steeds markt-ruiming wordt aangenomen, worden alle consumptie-goederen verbruikt. Dien ten gevolge moet de term I(t) overgaan in de spaar-inleg S(t). Het nationale inkomen verandert steeds zodanig, dat aan I(t)=S(t) is voldaan. Maar dit "ex post" spaar-tegoed is niet gelijk aan datgene wat de huishoudens "ex ante" hadden willen sparen, te weten Y(t-Δt) − C(t)!2

Wellicht is het nuttig om in een alinea kort te schetsen, waarom zich hier een multiplicatie voordoet. Neem gemaks halve even aan, dat de investeringen constant zijn (I(t) = IA). Blijkens de formules 4 en 5 is dan de economische groei gelijk aan Y = (CA + IA) / (1 − c). Uiteraard is de factor 1-c in de noemer kleiner dan 1. Zijn inverse wordt de multiplicator genoemd, omdat de investering IA (en overigens ook CA) in veelvoud terug keert in het nationale inkomen3.

Voor het algemene geval leidt het combineren van de formules 4 en 5 tot de formule

(6)     Y(t) = CA + (c + κ) × Y(t − Δt) − κ × Y(t − 2×Δt)

De formule 6 toont aan, dat afhankelijk van de toestand in het verleden en de c- en κ-waarden het nationale inkomen Y(t) zich zeer verschillend zal ontwikkelen. Het model van Pasinetti brengt het dynamische gedrag endogeen voort, zonder de noodzaak van externe schokken. De dynamica ontstaat louter door het feit, dat zowel de consumenten als de producenten met enige vertraging (lag) reageren op de economische ontwikkelingen. Pasinetti heeft wiskundig bewezen, dat de fluctuaties in vier verschillende typen kunnen worden ondergebracht4. Hij leidt vier wiskundige formules af, die ieder één van de typen voorstellen. In deze column zal echter worden volstaan met het geven van vier reken-voorbeelden, waarbij elk voorbeeld representatief is voor één van de functies.

In alle voorbeelden wordt de autonome consumptie CA gelijk gesteld aan 10, en de marginale consumptie-quote c is overal gelijk aan 0.9. De multiplicator 1/(1 – c) = 10 zorgt, dat de autonome consumptie in het nationale inkomen wordt uitvergroot tot 10×CA = 100. De fluctuaties ontwikkelen zich rondom deze waarde van Y. Het lijkt daarom redelijk om de berekening in alle voorbeelden uit te voeren met de begin-voorwaarden Y(0) = 99 en Y(Δt) = 101.


De gedempte oscillatie

In het eerste rekenvoorbeeld is de kapitaal-coëfficiënt κ gelijk aan 0.8. De differentie-vergelijking wordt

(7)     Y(t) = 10 + 1.7 × Y(t − Δt) − 0.8 × Y(t − 2×Δt)

De ontwikkeling van het nationale inkomen en de investering kan vervolgens worden uitgerekend met behulp van de formule 7. Het resultaat is weergegeven in de tabel 1 en in de figuur 1.

Tabel 1: Nationale inkomen Y en investeringen I als functie van de tijd t=n×Δt
t/Δt012345678910111213
Y(t)99.00101.00102.50103.45103.87103.81103.39102.71101.89101.05100.2899.6399.1498.84
I(t)  1.601.200.760.33-0.04-0.34-0.54-0.65-0.67-0.62-0.52-0.39
t/Δt1415161718192021222324252627
Y(t)98.7298.7598.9099.1299.3999.6799.93100.14100.29100.39100.42100.41100.36100.28
I(t)-0.24-0.100.020.120.180.220.220.200.170.120.080.03-0.01-0.04

Figuur van gedempte oscillatie
Figuur 1: Nationale inkomen Y en investeringen I als functie van de tijd t

Het nationale inkomen gedraagt zich in dit rekenvoorbeeld als een sinusoïde, die slingert rondom de waarde 100. De eerste crisis treedt op bij t = 4×Δt, en de tweede bij t = 24×Δt. Kennelijk is de periode van de cyclus gelijk aan 20×Δt. Uiteraard kunnen uit de tabel 1 allerlei afgeleide grootheden worden berekend. De investering I(t), die ook in tabel 1 is opgenomen en daar is berekend met behulp van de formule 3, heeft dezelfde periode als Y(t). Zij begint al 5×Δt voor de crisis te dalen, wordt nul kort na de crisis evenals kort na het bereiken van de bodem van de recessie. De consumptie C(t) is gelijk aan Y(t) – I(t), en kan desgewenst uit tabel 1 worden berekend. Het is opvallend, dat het nationale inkomen in de eerste hoog-conjunctuur komt tot een waarde van 103.87, en in de tweede tot 100.42. Deze afname laat zien, dat de oscillatie gedempt wordt en geleidelijk zal uitsterven.

Pasinetti heeft voor het gesimuleerde type van fluctuaties het functionele verband afgeleid:

(8)     Y(n×Δt) = CA + A × κn/2 × cos(n×θ + φ)

De grootheden A en φ zijn constanten, die worden vastgelegd door de keuze van de begin-voorwaarden (te weten Y(0) en Y(Δt)). De demping wordt veroorzaakt door de term κt/2, mits uiteraard κ<1. In de formule 8 moet de hoek θ voldoen aan

(9)     cos(θ) = (c + κ) / (2×√κ)

Dit verband legt aan κ en c de eis op, dat (κ+c) / (2×√κ) ≤ 1, en inderdaad voldoen κ=0.8 en c=0.9 hieraan. Volgens de formule 9 is θ in het reken-voorbeeld gelijk is aan 18.13o, zodat gedurende de periode van 20×Δt inderdaad een hoek van 360o wordt doorlopen.


De exploderende oscillatie

In het tweede reken-voorbeeld is de kapitaal-coëfficiënt κ gelijk aan 1.2. De differentie-vergelijking wordt

(10)     Y(t) = 10 + 2.1 × Y(t − Δt) − 1.2 × Y(t − 2×Δt)

De ontwikkeling van het nationale inkomen kan worden uitgerekend met behulp van de formule 10. Het resultaat is weergegeven in de tabel 2 en in de figuur 2.

Tabel 2: Nationale inkomen Y en investeringen I als functie van de tijd t=n×Δt
t/Δt012345678910111213
Y(t)99.00101.00103.30105.73108.07110.07111.47112.00111.44109.62106.47102.0496.5390.26
I(t)  2.402.762.922.812.411.680.64-0.68-2.19-3.78-5.31-6.62
t/Δt1415161718192021222324252627
Y(t)83.7177.4872.2568.7667.6969.6475.0183.9596.29111.47128.54146.17162.70176.27
I(t)-7.52-7.86-7.48-6.27-4.19-1.282.346.4510.7414.8118.2120.4821.1519.84
t/Δt2829303132 
Y(t)184.93186.83180.42164.69139.35 
I(t)16.2910.392.28-7.69-18.88 

Figuur van exploderende oscillatie
Figuur 2: Nationale inkomen Y en investeringen I als functie van de tijd t

Het nationale inkomen is ook in dit reken-voorbeeld een sinusoïde, waarvan de schommelingen een vergelijkbaar tijdverloop hebben als in het eerste reken-voorbeeld. De amplitude van de sinus-curve gedraagt zich nu echter totaal anders. Het nationale inkomen komt in de eerste hoog-conjunctuur tot een waarde van 112.00 (bij t=7×Δt), en in de tweede tot maar liefst 186.83 (bij t=29×Δt). De oscillatie explodeert bij dit type, en zal in de komende recessie zelfs tot Y=0 vallen. Het zal duidelijk zijn, dat geen enkele samenleving zulke extreme wijzigingen ongeschonden kan doorstaan. De regering zal zich al gedurende de eerste cyclus gedwongen zien om regulerend in te grijpen5.

Volgens Pasinetti wordt ook de exploderende oscillatie beschreven door de formules 8 en 9. Aangezien nu geldt dat κ>1, veroorzaakt de term κn/2 inderdaad een explosieve toename van de amplitude. Volgens de formule 9 is θ in dit reken-voorbeeld gelijk is aan 16.56o, zodat er nu bijna een tijd 22×Δt nodig is om de hoek van 360o te doorlopen.


De convergerende krimp

In het derde reken-voorbeeld is de kapitaal-coëfficiënt κ gelijk aan 0.4. De differentievergelijking wordt

(11)     Y(t) = 10 + 1.3 × Y(t − Δt) − 0.4 × Y(t − 2×Δt)

De ontwikkeling van het nationale inkomen kan worden uitgerekend met behulp van de formule 11. Het resultaat is weergegeven in de tabel 3 en in de figuur 3.

Tabel 3: Nationale inkomen Y en investeringen I als functie van de tijd t=n×Δt
t/Δt012345678910111213
Y(t)99.00101.00101.70101.81101.67101.45101.22101.00100.82100.66100.53100.43100.34100.27
I(t)  0.800.280.04-0.05-0.09-0.09-0.09-0.07-0.06-0.05-0.04-0.03

Figuur van convergerende krimp
Figuur 3: Y en I als functie van de tijd t

Het nationale inkomen vertoont in dit reken-voorbeeld een continue krimp, die convergeert naar de waarde 100. De differentie-vergelijking brengt hier klaarblijkelijk geen conjunctuur voort, maar een lange-termijn verandering. Men kan evenwel aan de getallen in de tabel 3 zien, dat de krimp niet evenwichtig verloopt6.

Pasinetti heeft voor dit gesimuleerde type verandering het functionele verband afgeleid:

(12)     Y(n×Δt) = CA + A1 × x1n + A2 × x2n

De grootheden A1 en A2 zijn constanten, die worden vastgelegd door de keuze van de begin-voorwaarden (te weten Y(0) en Y(Δt)). De x-termen worden bepaald door κ en c:

(13a)     x1 = (κ + c)/2 + √((κ+c)²/4 – κ)
(13b)     x2 = (κ + c)/2 − √((κ+c)²/4 – κ)

Hierbij zijn x1 en x2 reële getallen, zodat de uitdrukking onder de wortel niet negatief mag zijn. Dien ten gevolge moeten κ en c voldoen aan de eis κ+c ≥ 2×√κ. Bovendien stelt formule 12 alleen een convergerende krimp voor, indien x1 en x2 allebei kleiner zijn dan 1. Hierbij is x1 de cruciale term, omdat x1>x2. Met andere woorden, vereist is (κ + c)/2 + √((κ+c)²/4 – κ) < 1. De wortel is niet-negatief, zodat moet gelden κ+c < 2. Inderdaad voldoen κ=0.4 en c=0.9 aan de beide gestelde eisen. Invullen van deze κ en c in de formules 13a-b levert voor x1 en x2 respectievelijk de waarden 0.8 en 0.5 op. Na enige tijd wordt Y–CA bepaald door A1 × x1n, en wordt daarom bij elke volgende stap Δt een factor x1=0.8 kleiner. Dan is x1 de krimpvoet geworden.


De exponentiële groei

In het vierde en laatste reken-voorbeeld is de kapitaal-coëfficiënt κ gelijk aan 1.8. De differentie-vergelijking wordt

(14)     Y(t) = 10 + 2.7 × Y(t − Δt) − 1.8 × Y(t − 2×Δt)

De ontwikkeling van het nationale inkomen kan worden uitgerekend met behulp van de formule 14. Het resultaat is weergegeven in de tabel 4 en in de figuur 4.

Tabel 4: Nationale inkomen Y en investeringen I als functie van de tijd t=n×Δt
t/Δt0123456789101112
Y(t)99.00101.00104.50110.35119.84134.951158.65195.44252.11338.92471.27672.39977.16
I(t)  3.606.3010.5317.0927.1942.6566.22102.02156.25238.24362.01

Figuur van exponentiële groei
Figuur 4: Y en I als functie van de tijd t

Het nationale inkomen vertoont in dit reken-voorbeeld een exponentiële groei. De differentie-vergelijking brengt ook bij dit type geen conjunctuur voort, maar een lange-termijn groei. Wegens de willekeurig gekozen beginvoorwaarden Y(0) en Y(Δt) zal deze groei evenmin evenwichtig zijn als de krimp in de voorgaande paragraaf7.

Volgens Pasinetti wordt ook de exponentiële groei beschreven door de formules 12 en 13a-b. Aangezien voor dit type tenminste de grootste wortel moet voldoen aan de eis x1>1, veroorzaakt de term x1n inderdaad een explosieve toename van de amplitude. De gestelde eis betekent (κ + c)/2 + √((κ+c)²/4 – κ) > 1. Met andere woorden, √((κ + c)² – 4×κ) > 2 – (κ+c). Dit blijkt alleen mogelijk te zijn, indien 2–(κ + c) niet positief is. Er moet dus zijn voldaan aan de eis κ+c≥2. Inderdaad voldoen κ=1.8 en c=0.9 aan deze eis, en aan κ+c ≥ 2×√κ.

Invullen van deze κ en c in de formules 13a-b levert voor x1 en x2 respectievelijk de waarden 1.5 en 1.2 op. Na enige tijd wordt Y–CA bepaald door A1 × x1n, en wordt daarom bij elke volgende stap Δt een factor x1=1.5 groter. Dan is x1 de groeivoet geworden. De groeivoet hangt af van de spaar-quote s=1–c en van de kapitaal-coëfficiënt κ. Dat herinnert aan de formule voor de groeivoet in het Harrod-Domar model (zie de betreffende column). De functionele afhankelijkheid x1(c, κ) is echter complexer dan de Harrod-Domar groeivoet gw.


Evaluatie van het dynamische model van Pasinetti

In de vier voorgaande paragrafen blijkt de wisselwerking van het acceleratie-principe en de multiplicator tot zeer verschillende veranderings-processen te kunnen leiden. De reeks reken-voorbeelden laat zien hoe de groei meer wordt gestimuleerd, naarmate men de kapitaal-coëfficiënt κ verder ophoogt. Een grotere κ impliceert, dat de producenten in het geval van een toenemende vraag naar hun producten veel zullen moeten investeren. Men ziet dat aan de formule 3, die voor de gekozen beginvoorwaarden reduceert tot I(2×Δt) = 2×κ. Al die investeringen tezamen zullen via de versterkende werking van de multiplicator (die afhangt van de consumptie-quote c) de consumptieve vraag van de huishoudens verder omhoog duwen.

De kwantitatieve uitwerking van de multiplicator bepaalt, of de vraag voldoende toeneemt om de producenten te verleiden tot opnieuw extra investeringen. Men ziet hoe bij de gedempte oscillatie de eerste investeringsgolf dermate klein is, dat zij instabiel en kwijnend is. De exploderende oscillatie toont een eerste investeringsgolf, die ook later de consumptieve vraag duurzaam verbetert. Toch keren hier soms nog periodes van ontbrekend vertrouwen terug, die leiden tot tijdelijke economische malaises. Dit geeft aan dit type economie een instabiel karakter. Alleen de exponentiële groei laat een duurzame verbetering zien.

Op het eerste gezicht is het bevredigend, dat met één differentie-vergelijking zowel de conjunctuur als de lange termijn groei kunnen worden gereproduceerd. Pasinetti wijst echter terecht op een tegenstrijdigheid, die hierbij aan de oppervlakte treedt . De vergelijking voor de conjunctuur vereist κ+c ≤ 2×√κ, terwijl de vergelijking voor de trendmatige groei juist het omgekeerde eist, dus κ+c ≥ 2×√κ. De twee typen van verandering lijken elkaar dus wederzijds uit te sluiten. Pasinetti lost dit probleem op door te veronderstellen, dat maatschappelijke processen steeds weer aanleiding geven tot veranderingen in de waarden van de grootheden κ en c.

Stel bijvoorbeeld, dat de economie het conjuncturele gedrag van de gedempte oscillatie vertoont. Een technische uitvinding zou kunnen leiden tot een plotselinge stijging van κ naar 1.8, waardoor de economie overgaat naar een exponentiële groei. Dit zou na verloop van tijd opnieuw een verandering kunnen veroorzaken, bijvoorbeeld een daling van de consumptie-quote wegens het gestegen nationale inkomen. Enzovoort. Het nadeel van de oplossing van Pasinetti is, dat dan de multiplicator-accelerator aanpak zal moeten samengaan met kennis over de veranderingen in κ en c.

Een andere verklaring wordt gegeven door H.J. Sherman8. Hij merkt op, dat niet alleen de recente gebeurtenissen van invloed zijn op het menselijke gedrag, maar ook het verre verleden. Dientengevolge moeten de consumptie- en investerings-functies in de formules 4 en 3 eigenlijk ook termen bevatten voor de tijdstippen t − 2×Δt, t − 3×Δt enzovoort. De aldus aangepaste vergelijkingen geven de aanleiding tot handels-cycli met een gedrag, dat een mengvorm is van het tijdsverloop in de vier reken-voorbeelden.

Een bijzonder kenmerk van het multiplicator-accelerator model is, dat de dynamica endogeen is, dat wil zeggen inherent aan het economische systeem. In de eerdere column over de conjunctuur is uiteen gezet, dat er nog allerlei andere categorieën van theorieën opgang maken. Sommige van die theorieën beweren, dat de conjunctuur wordt veroorzaakt door de technische vooruitgang9. Ook het model van Sam de Wolff valt in die categorie. Er zouden schoks-gewijze productiviteits-stijgingen optreden, die golven veroorzaken. Aangezien zo een wisseling van techniek gepaard zal gaan met een veranderende kapitaal-coëfficiënt (veelal een stijging), kan het multiplicator-accelerator model haar niet beschrijven.

Deze constatering verdient enige overpeinzing. Inderdaad kunnen wisselingen van de techniek de aanleiding zijn voor economische oscillaties. In deze column is nu een model geïntroduceerd, dat die oscillaties weliswaar prima nabootst, maar daaraan een totaal andere uitleg geeft. Klaarblijkelijk is een optische overeenkomst tussen een model en de werkelijkheid geen garantie, dat de veronderstellingen in het model realiteits-getrouw zijn. In zo een geval geeft het model geen inzicht in de werkelijkheid, en is niets meer dan een empirische parametrisatie. De zeldzame wiskundige schoonheid van het multiplicator-accelerator model mag geen aanleiding zijn voor economische hersen-schimmen!

Verder is opvallend, dat het multiplicator-accelerator model geen aandacht besteedt aan de ontwikkeling van de prijzen. En de lonen en de winsten oefenen enkel indirect invloed uit, via het nationale inkomen. Daarom is het model niet in staat om oscillaties te verklaren ten gevolge van de loon-druk, of algemener ten gevolge van het afknijpen van de winst (de zogenaamde profit squeeze). Het model zou de loon-druk of de winst-afknijping hoogstens indirect in rekening kunnen brengen, namelijk indien er een verband zou kunnen worden gevonden tussen het nationale inkomen en de investeringen enerzijds, en de lonen en de winsten anderzijds.

Uiteraard zullen in het algemeen de conjunctuur en de groei het gevolg zijn van een veelheid aan factoren. Zelfs indien men een poly-causale theorie hanteert, zal het toch nooit mogelijk zijn om al die invloeden waarheids-getrouw na te rekenen. Dien ten gevolge blijft het verklaren van de economische dynamica maatwerk. Steeds moet worden onderzocht welke mechanismen in de betreffende situatie dominant en doorslag gevend zijn.

  1. Zie de paragrafen 11.5 en 11.6 in de ringband Vooruitgang der economische wetenschap (2011, uitgeverij E. de Bibelude) van E.A. Bakkum en hoofdstuk III in Growth and income distribution - Essays in economic theory (1974, Cambridge University Press) van L.L. Pasinetti. De inhoud van de ringband is intussen grotendeels ook geplaatst op dit webportaal, soms in een verbeterde versie.
  2. Zie p.53 van Growth and income distribution.
  3. Immers na een herhaalde toepassing van de formule 4 vindt men de formule Y(t) = cN × Y(t − N×Δt) + (CA + IA) Σn=0N-1 cn. Voor voldoende grote N is cN bij benadering gelijk aan nul, en de sommatie is bij benadering gelijk aan (1-c)-1.
  4. Zie hier en in het vervolg hoofdstuk III van Growth and income distribution.
  5. Dit was een eeuw terug al duidelijk, zij het dat de economische wetenschap er niet aan wilde. Zo schrijft Herman Heijermans in zijn roman Diamantstad (p.165): Wààrom zouden we moedeloos zijn, zoolang we màcht hebben. Wij hebben de macht, hier, overal, wij arbeiders, wij alleen! Wij hebben de macht, als we staan schouder naast schouder, hoofd naast hoofd, hart naast hart! Wij, wij alleen, as we eensgezind zijn, eensgezind tot in den dood, den strijd prediken zonder genade, oog voor oog, tand om tand, omdat 'r voor ons geen genade is - geen genade, geen recht! Eeuwenlang zijn we 'n kudde geweest, 'n getrapte, mishandelde, weerlooze kudde.
  6. De evenwichtige krimp zou vereisen, dat het kapitaal en het nationale inkomen dezelfde groeivoet hebben. In formule wordt deze eis ΔK/K = ΔY/Y. Er zou moeten gelden dat ΔK/ΔY = K/Y, dat wil zeggen, de marginale kapitaal-coëfficiënt κ zou gelijk moeten zijn aan de gemiddelde kapitaal-coëfficiënt. De producenten kunnen dit natuurlijk hanteren als hun wensbeeld. De economische ontwikkeling laat zich evenwel niet in deze verhouding dwingen, omdat zij onverenigbaar is met de willekeurig gekozen beginvoorwaarden Y(0)=99 en Y(Δt)=101. Men ziet bijvoorbeeld in de tabel 3, dat ΔY al negatief wordt tussen tijdstip 3 en 4, terwijl ΔK pas negatief wordt op tijdstip 5.
  7. Het zal aan de trouwe lezer bij deze variant van het model van Pasinetti opvallen, dat zij hetzelfde is als het nationale inkomens aanwas-model, dat is behandeld in de column over dynamische één-sector modellen.
  8. Zie p.155 van The business cycle (1991, Princeton University Press) van H.J. Sherman.
  9. Daarom schrijft Louis Paul Boon in zijn roman De kapellekensbaan met een fijn gevoel voor ironie (p.236): in wetenschap en verstand, in het begrijpen van al wat nu nog voor de mensen duister bleef, daarin lag het vertrekpunt voor een gelukkiger mensdom. En hij, met zijn uitvinding, zou meer geluk en welstand brengen dan alle vakbonden samen: de anderen maakten vandaag ruzie en morgen opstand en overmorgen revolutie ... maar hoe men het ook keerde of draaide, de kleine burgerij zou de gebroken potten betalen ... de kleine burgerij is de melkkoe, nu moet ik bijvoorbeeld het hout betalen ... En verschrikt was hij blijven haperen omdat hij nu toch, onbewust, over geld was begonnen: straks dachten die mensen nog dat hij dààrom gekomen was.