Figuur 1: Nuts-functie met verzadiging
De gangbare neoklassieke leer beperkt zich noodgedwongen tot een specifiek consumenten-gedrag. Door de meetbaarheid en verzadiging van nut te accepteren wordt het mogelijk om de bevrediging van behoeften in algemenere zin te bestuderen. Deze column start met de beschrijving van de nuts-berg. Vervolgens wordt uitgelegd, hoe de Russische econoom K.K. Val'tuch een model van indifferentie-curven ontwikkelt. Zijn formule is praktisch toegepast als doel-functie bij plan-berekeningen met een meer-perioden optimalisatie op basis van een vervlechtingsbalans.
Je hebt nuts-verdelingen in allerlei soorten en maten. In de voorgaande columns is al een drietal soorten van nuts-verdelingen ten tonele gevoerd:
In een eerdere column is uitgelegd, hoe oorspronkelijk de leer van het grensnut is gebouwd op de aanname, dat nut meetbaar is. Wanneer wordt afgezien van meetbaarheid, en wordt gekozen voor een ordinaal nut, of wanneer zelfs het nuts-begrip helemaal wordt omzeild, dan verdwijnt ook de intuïtieve plausibiliteit van deze consumenten-leer. Bovendien wordt haar toepasbaarheid dan beperkt tot bepaalde speciale situaties. Er is dus veel voor te zeggen om te accepteren, dat nut meetbaar is (cardinaliteit).
Vermeldens waard is in dit kader, dat de aanname van meetbaarheid essentieel is voor de bestudering van consumenten-voorkeuren in situaties met onzekerheid. Uw columnist is geattendeerd op dit fenomeen door de uitstekende economische weblog van Robert Vienneau. Een simpel voorbeeld illustreert waarover deze studies gaan3. Stel het verwerven van een eenheid product heeft een nut u1, en het verwerven van twee eenheden heeft een nut u2. Vraag nu aan het individu wat hij verkiest: (a) met zekerheid één eenheid product krijgen, dan wel (b) twee eenheden product krijgen met een kans p, waarbij er dus een kans 1 − p is dat hij helemaal niets krijgt.
Het is nu intuïtief duidelijk, en kan worden aangetoond, dat beide opties voor hem gelijkwaardig zullen zijn voor de situatie, waarin geldt dat p = u1/u2. Het rationeel denkende individu moet in staat worden geacht om zijn eigen p te kunnen inschatten, en kan kennelijk dankzij de afweging tevens de twee nutten onderling schalen. Dan kent hij ook hun relatieve verschil Δu/u2 = 1 − p. Net zoals in de al genoemde voorgaande column over cardinaliteit kan nut worden gemeten simpelweg door het individu te ondervragen!
Dankzij de aanname van cardinaliteit kan men vrij eenvoudig een model opstellen, waarin het verwerven van een product een last is geworden. De figuur 1 illustreert hoe aanvankelijk het nut u(x) toeneemt met de hoeveelheid x van het product. Op het punt x=χ treedt er verzadiging op, waarna nog meer ervan weer iets zal wegnemen van dat nut. De tegenwoordig algemeen gangbare neoklassieke leer van het grensnut kan dit geval eigenlijk niet aan, en dat heeft verrassende consequenties.
Beschouw namelijk allereerst het verloop van de nuts-functie volgens de gangbare neoklassieke opvattingen. In zijn meest simpele vorm beeldt deze leer het nut af via de welbekende isonuts- of indifferentie-curven. Zij zijn zuiver persoonlijk. Elke curve verbindt product-combinaties met een gelijk nuts-niveau. Naarmate de hoeveelheid x aan producten toeneemt, en de afstand tot de oorsprong groter wordt, stijgt uiteraard het nut. De figuur 2a geeft een illustratie van zo een curven-veld of -map. Het individu zal net zolang de producten (of eigenlijk hun nuttige eigenschappen) uitruilen met andere individuen, totdat hij de voor zijn situatie maximaal bereikbare indifferentie-curve heeft bereikt. De indifferentie-map vormt als het ware een wal, die wordt beklommen.
Problematisch aan de figuur 2a is, dat het nut onophoudelijk blijft groeien. Want het klopt gewoon niet, dat iemand beter af is met bijvoorbeeld 100 pols-horloges in plaats van 99 (mits hij geen verzamelaar is). Ze worden een kwelling en een last4. Een last heeft een negatief (grens-)nut, en zal het totale nut van het individu verlagen. Figuur 1 laat dat zien voor het één-dimensionale geval. Aldus verandert in het twee-dimensionale geval de nuts-wal in een nuts-piek. Dit wordt afgebeeld in de figuur 2b. In de standaard leerboeken wordt dit aspect vaak genegeerd, maar niet altijd, zie bijvoorbeeld in Micro-economie van Dietz, Heijman en Kroese5. Uiteraard krijgt het hele nuts-begrip een ander perspectief, zodra rekening wordt gehouden met het dalende nut6.
In de eerdere column over cardinaliteit is geconstateerd, dat een individu nooit kennis kan hebben van het totale nuts-veld, zoals dat is afgebeeld in de figuur 2. Dat is mens-onmogelijk. Er is uiteen gezet hoe volgens de Russische plan-econoom K.K. Val'tuch en de Nederlandse econoom Bernard van Praag het individu beschikt over een beperkte en veranderlijke verzameling van voorkeuren en preferenties. Stel dat op een zeker tijdstip t het bezit in zijn situatie bestaat uit x(t), dan zijn enkel de indifferentie-curven in de directe omgeving van dat punt nauwkeurig aan hem bekend. Naarmate men verder weg beweegt van dat punt, worden zijn indifferenties vager. Hij heeft ze simpelweg nooit doordacht. Daarnaast worden de curven voortdurend aangetast, doordat er nieuwe producten op de markt verschijnen, waarmee hij nog geen ervaringen heeft opgedaan.
Er zijn een aantal redenen om aandacht te besteden aan de leninistische visie op de nuts-functie. Dankzij de ideologische richtingen-stijd tussen de kapitalistische en de plan-economieën lijden de economen uit het voormalige Oost-blok niet onder de verstikkende inkapseling van de neoklassieke grensnuts leer7. En hun werken zijn meer dan hier gericht op de praktische toepasbaarheid. Het waarde-vrije en fundamentele onderzoek bleef er voorbehouden aan politiek-ideologische studies en kritiek op het kapitalistische systeem. Het concentreerde zich op de internationale "methoden-strijd". Een nadeel van deze ideologische stelling-name is dat de grensnut leer met wantrouwen werd bekeken. Sowieso lijkt de leninistische wetenschap meer te voelen voor de sociaal-politieke discours dan voor de formeel-analytische redenatie.
Hoewel de leninistische plan-economen zich dus gewoonlijk verre hielden van "subjectieve" nuts-beschouwingen, was dit soort onderzoek niet verboden. Uw columnist beschikt over het werk Entwicklungs-proportionen und Befriedigung der Bedürfnisse van de Russische econoom K.K. Val'tuch, dat tal van originele ideeën bevat8. Deze paragraaf doorloopt er een aantal in vogelvlucht. Zijn model van indifferentie-curven heeft het unieke kenmerk, wellicht nood-gedwongen om over fondsen te kunnen beschikken, dat het daadwerkelijk is gebruikt bij praktische berekeningen.
Val'tuch ontwikkelt een theorie voor een maatschappelijke welvaarts-functie U(x1, ... , xN), zoals deze column beschrijft in het derde punt van de eerste paragraaf. De nuts-functie U heeft indifferentie-curven, net als ieder ander, maar zij behoren in dit geval toe aan het centrale plan-orgaan. Dit orgaan wordt gevoed met de meningen van de regering, de ministeries, de bedrijfs- en handels-combinaties, de wetenschap, enzovoort. Val'tuch stelt zich een nuts-verloop voor, zoals dat is weergegeven in de figuur 1. Daarbij benadrukt hij, dat je feitelijk niet van nut kunt spreken bij een enkel product, maar enkel in de situatie met een totaal pakket aan waren. De afzonderlijke producten krijgen hun nut in de historische en technologische context van de collectieve rijkdom en welstand.
Het nuts-begrip staat bij Val'tuch helemaal in dienst van het plan-proces, zijn broodheer. Op een zeker tijdstip t=0 bevindt de plan-productie zich op een bepaald niveau, dat door Val'tuch het normale niveau wordt genoemd. Dankzij het plan-proces is er een duurzame productieve groei, zodat het normale niveau nooit meer zal worden onderschreden. Voor het plan-proces heeft enkel de toekomstige groei bovenop het normale niveau een betekenis. Daarom is, wanneer er voortaan in deze paragraaf hoeveelheden x worden genoemd, hierbij uitsluitend de aangroei boven op het normale niveau bedoeld. De aangroei kan worden gepland, en dat wordt vastgelegd in het zogenaamde perspectief-plan. De perspectivische tijds-horizon bedraagt een periode van vijf of meer jaren.
Het plan-orgaan heeft als missie om binnen het perspectief-plan de behoeften van alle burgers zo goed mogelijk te bevredigen. Val'tuch verstaat onder de bevrediging van behoeften simpelweg het verschaffen van bepaalde diensten, waarover de burgers in de visie van het plan-orgaan willen beschikken. Behoeften zijn redelijk en hun vervulling is noodzakelijk in de gegeven historisch bepaalde situatie. Het niveau van de perspectivische behoeften wordt ontleend aan de toestand, waarin de vraag juist helemaal is verzadigd. Met andere woorden, het perspectivische niveau is x=χ. Een hoger niveau kan niet optreden, omdat dat onwenselijk is, en daarom het plan dat belet.
Aldus moet het plan-orgaan een behoeften-niveau zoeken, dat voldoet aan de voorwaarde 0 ≤ xn ≤ χn voor alle n. In het zoek-proces worden de hoeveelheden xn net zolang gevarieerd tot U(x) maximaal is. Merk verder op, dat op een indifferentie-curve U = constant de ruilvoet of marginale substitutie-verhouding ∂xj/∂xk negatief moet zijn. Als je een eenheid k opgeeft, dan moet het verlies aan nut worden gecompenseerd met extra eenheden j. Dien ten gevolge is de bolle kant van de indifferentie-curve gericht naar de assen van het veld.
In een indifferentie-veld (x1, x2) kan de stijging van xj (j=1,2) boven χj enkel worden voorkomen door eisen op te leggen aan de ruilvoet ∂xj/∂xk. Zodra er verzadiging optreedt bij het ene product, kan op de curve een verdere afname van de hoeveelheid van het andere product worden belet door ter compensatie een oneindige hoeveelheid van het verzadigde product te eisen. Natuurlijk kan daaraan onmogelijk worden voldaan. Om precies te zijn: als x1=χ1, dan moet de ruilvoet ∂x2/∂x1 nul zijn. De indifferentie-curve is er horizontaal. En als x2=χ2, dan moet de ruilvoet ∂x2/∂x1 negatief oneindig zijn. De indifferentie-curve is er verticaal.
Evenzo mag de curve nergens de coördinaten-assen x1=0 en x2=0 onderschrijden. Immers dat zou het normale niveau afbreken. Daar waar de indifferentie-curve de xj-as snijdt, mag de toename van xj niet worden gecompenseerd door een verdere afname (naar negatieve waarden) van xk. Dat wil zeggen, als xk=0, dan moet de ruilvoet voldoen aan ∂xj/∂xk=0. Aldus kan xj enkel toenemen met een eenheid, wanneer ter compensatie xk afneemt met een oneindige hoeveelheid eenheden, wat natuurlijk onmogelijk is. Feitelijk betekent dit, dat een indifferentie-curve eindigt, zodra zij de as snijdt.
De figuur 3 geeft het indifferentie-veld van het plan-orgaan weer, zoals Val'tuch zich het voorstelt. Uiteindelijk wil het plan-orgaan het punt x=χ bereiken, dat de top vormt van de nuts-berg, net zoals dat is weergegeven in de figuur 2b. Het plan-orgaan moet een groei-pad kiezen naar de top toe, waarvan in de figuur 3 drie alternatieven zijn ingetekend. Aangezien de nuts-functie U op elk groei-pad een ander verloop zal hebben, moet de meest optimale worden uitgekozen. Uiteraard is het groei-pad een functie van de tijd t.
Merk op, dat de bepaling van het groei-pad essentieel verschilt met de bepaling van het "groei-pad" bij individuen, zoals de neoklassieke grensnut leer die kent. Immers het groei-pad van een individu verloopt uitsluitend via het eigen inkomen. Maar het plan-orgaan heeft de macht om ook het aanbod van producten aan te sturen. Daarbij moet het rekening houden met de beschikbare productie-capaciteiten, waarover het op het tijdstip t=0 kan beschikken! De sturing van het aanbod (in casu de productie) betekent, dat het plan-orgaan de waarde (de kost-prijs) van producten kan variëren.
Voor de praktische toepassing van het indifferentie-veld is het handig om het te schrijven in een wiskundige vorm. Daarom gaat Val'tuch op zoek naar een formule voor de ruilvoet ∂x2/∂x1. In ieder geval moet die formule voldoen aan de rand-voorwaarde ∂x2/∂x1=0 in x1=χ1 en in x2=0, en aan de randvoorwaarde ∂x2/∂x1 = negatief oneindig in x2=χ2 en in x1=0. De simpelste formule, die hieraan voldoet, is
(1) ∂xj/∂xk = - (xj / xk) × (1 − xk/χk) / (1 − xj/χj)
De formule 1 kan worden opgelost met de methode van de scheiding van variabelen. Deze leidt tot
(2) (1 − xj/χj) × (1 / xj) × dxj = (xk/χk − 1) × (1 / xk) × dxk
Het linker-lid en het rechter-lid kunnen allebei simpel worden geïntegreerd. Het resultaat is
(3) ln(xj) − xj / χj = xk / χk − ln(xk) + c
In de formule 3 is ln(.) de functie van de natuurlijke logaritme, en c is een willekeurige integratie-constante. Als beide zijden worden ingevuld in het argument van de e-macht e(.) of exp(.), dan volgt daaruit de relatie xj × xk / exp(xj/χj + xk/χk) = constant. In de meer algemene gedaante met N producten verandert de indifferentie-curve in een hypervlak, dat wordt gedefinieerd door de formule
(4) (Πn=1N xn) / exp(Σ n=1N xn/χn) = C
In de formule 4 is Π het symbool voor de vermenigvuldiging van de variabelen, en Σ is het sommatie symbool. Op de indifferentie-curve is de grootheid C een constante. Varieer nu xj, en houdt de overige xk met k≠j constant. Dan geldt er (niet vermeld in het boek van Val'tuch)
(5) ∂C(xj)/∂xj = C(xj) × (χj − xj) / (χj × xj)
De formule 5 bewijst, dat C een stijgende functie van xj is. Daarom kan C worden gezien als een grootheid, die aangeeft hoe nuttig het waren-pakket (x1, ..., xN) is. Met andere woorden, C vervult de rol van de nuts-waarde op de indifferentie-curve. Aldus kan U(x1, ..., xN) = C inderdaad worden opgevat als de vergelijking van een indifferentie-vlak. Voor zover uw columnist het begrijpt, is deze nuts-functie in beginsel ordinaal. De formule 4 is bijzonder handig voor een plan-orgaan, dat zoekt naar een optimale inrichting van het economische systeem. Immers de formule maakt het mogelijk om het nut U van de diverse alternatieve productie-resultaten onderling kwalitatief te vergelijken.
Om deze reden stelt Va'tuch voor om de door de formule 4 gegeven functie U(x) te gebruiken als een doel-functie Z(x) bij optimalisatie-berekeningen voor het economische plan. De trouwe lezer herinnert zich de columns over meer-perioden optimalisatie, op de basis van een vervlechtings-balans. De doelfunctie Z uit die reken-voorbeelden is vaak simpelweg de omvang van het totale product. De doelfunctie U=C uit de formule 4 brengt veel nauwkeuriger de werkelijke voorkeuren van het plan-orgaan in rekening. Een praktisch nadeel van deze doel-functie is wel, dat zij niet-lineair is, in tegenstelling tot de gebruikelijke doel-functies. Dat compliceert de berekeningen.
Val'tuch heeft daadwerkelijk zulke berekeningen van meer-perioden optimalisatie met een vervlechtings-balans en zijn doelfunctie uitgevoerd. Als normale behoeften, het uitgangs-punt van de berekening (x=0), is de situatie van de USSR in het jaar 1967 genomen9. Als de perspectivische behoeften aan het einde van de plan-periode (x=χ) is de consumptie van de meest welvarende inkomens-groep van de arbeiders en beambten gebruikt, eveneens in het jaar 1967. Val'tuch deelt de vervlechtings-balans op in 11 sectoren, en kan op deze manier vervolgens het optimale groei-traject berekenen.
Aldus is de essentie van Val'tuch's theorie van maatschappelijke indifferentie-curven verduidelijkt. In de zo-even genoemde eerdere column over het cardinale grensnut is beschreven wat voor een invulling Val'tuch geeft aan de historische dynamiek van het indifferentie-veld. Men moet acht slaan op de veranderingen, die de maatschappelijke ontwikkeling aanbrengt in de indifferentie-curven. Zolang het veld onveranderd blijft, kan het als beste uitgekozen plan worden voorgesteld door een curve in dat veld, een pad x(t). Met het voortschrijden van de tijd t beweegt het plan-punt naar rechts en omhoog in het veld.
Val'tuch merkt nog op, dat het meest simpele groei-pad de rechte lijn van x=0 naar x=χ is. Langs deze lijn veranderen de hoeveelheden volgens de formule xj(t) = η(t) × χj. De waarden van η(t) stijgen met een toenemende tijd t van 0 tot aan hoogstens 1. Op het lineaire groei-pad geldt er volgens de formule 4 dat
(6) (Πn=1N χn) × ηN / eN×η = C(x(η(t)))
Om duidelijk te maken hoe C zal veranderen langs dat pad, toont de figuur 4 het verloop van de functie ηN / eN×η, voor het geval N=10. De formule 6 is simpelweg te herschrijven tot
(7) η = eη × C1/N(x) / (Πn=1N χn)1/N
Zo men wil kan men vervolgens in de formule 7 nog de formule 4 voor C invullen. Je kunt deze η opvatten als een maat voor de maatschappelijke vooruitgang, en daarmee als een alternatieve nuts-functie. Anders gezegd, de formule 7 is een niet-lineaire transformatie van de nuts-functie U=C naar de nuts-functie η.
De introductie van de nuts-functie η is in zoverre aardig, dat zij leidt tot een vrij eenvoudige uitdrukking voor het grensnut10
(8) ∂η / ∂xj = η × (1 − xj/χj) / (xj × (1 − η) × N)
Het bijzondere aan dit grensnut is, dat het bij een gegeven waarde van xj toeneemt naarmate alle behoeften in de door η beschreven toestand beter worden bevredigd. Immers naarmate x→χ geldt ook η→1. Val'tuch noemt het een wetmatigheid: het grensnut van een product j stijgt, naarmate het totale niveau van de behoeften-bevrediging (te weten, de grootheid η) hoger ligt11. Deze ontdekking past natuurlijk goed in het algehele beeld, dat Val'tuch schetst, en waarin je enkel van het (grens-)nut van een product kunt spreken in relatie tot het algehele nuts-niveau van de totale productie12.