Algebraïsche verzamelingen in de productie-theorie

Plaatsing op Heterodox Gezelschap Sam de Wolff: 8 mei 2013

Veel columns in dit webportaal zijn gewijd aan het input-output (inbreng-uitstoot) model van Leontief. Kenmerken van het Leontief model zijn de constante schaal-opbrengsten, de arbeid als afzonderlijke productie-factor, en het ontbreken van koppel-productie. Feitelijk is het een lineair model en dus een bijzonder geval uit de economische theorie van de ondernemings gewijze productie. In de algemene theorie kunnen ook niet-lineaire productie-processen worden beschreven. Het is dan handig om de theorie te formuleren in termen van algebraïsche verzamelingen. De huidige column heeft tot doel om de algebraïsche verzameling te integreren in het vertrouwde Leontief model. De tekst baseert in hoofdlijnen op het boek Micro-economic theory van A. Mas-Colell, M.D. Whinston en J.R. Green¹.

Het productie-model van Leontief

Het open Leontief model bestaat uit het stelsel van vector-vergelijkingen

(1a)     y = (I − A) · x
(1b)     L = a · x

In het stelsel 1a-b is x de vector van product-hoeveelheden. Als het systeem n verschillende producten kent, dan heeft x n componenten. De vector y geeft de omvang van het netto- of eind-product. De scalar L is de totaal in de productie bestede hoeveelheid arbeidstijd.

De matrix A bestaat uit constante elementen a_ij. Zij drukken uit welke hoeveelheden van de producten i (met i=1, ..., n) nodig zijn om een eenheid van product j te produceren. Deze getallen heten de productie-coëfficiënten. De componenten a_j van de vector a drukken uit hoeveel arbeidstijd er wordt besteed aan de productie van een eenheid van product j. Zij heten de arbeids-coëfficiënten. Het geheel van A en a wordt aangeduid als de technische coëfficiënten. Het symbool I tenslotte stelt de eenheids matrix voor. Voor een uitgebreidere uitleg zij de lezer verwezen naar een andere column.

Het stelsel 1a-b kan worden uitgeschreven in de gedaante

(2a)     y_i = Σ_j=1ⁿ (δ_ij − a_ij) × x_j
(2b)     -L = Σ_j=1ⁿ -a_j × x_j

In de formule 2a-b is Σ het wiskundige symbool voor de sommatie, in dit geval met j=1, ... , n. Het symbool δ_ij is de Kronecker delta. Dit stelsel leent zich goed voor het formuleren van een algebraïsche leer van verzamelingen in de productie-theorie.

Definieer allereerst de zogenaamde elementaire activiteit j, die hoort bij het product j. Zij wordt voorgesteld door een vector α(j) in de n+1 dimensionale ruimte. Diens componenten zijn

(3a)     α_i(j) = δ_ij − a_ij voor i= 1, ... , n
(3b)     α_n+1(j) = -a_j

Feitelijk is α(j) simpelweg de j-de kolom van de matrix I − A, onderaan aangevuld met de component a_j.

Definieer vervolgens een willekeurige productie activiteit. Zij wordt voorgesteld door een vector η in de n+1 dimensionale ruimte. Diens componenten zijn η_i = y_i voor i= 1, ... , n, en η_n+1 = -L. Met andere woorden, η is de vector van het netto product, onderaan aangevuld met de hoeveelheid arbeid, die daaraan wordt besteed. Aangezien de arbeid verloren gaat, is deze laatste component negatief. Tezamen met de stelsels 2a-b en 3a-b leidt de definitie tot

(4)     η = Σ_j=1ⁿ x_j × α(j)

De zojuist gepresenteerde herformulering van het stelsel 1a-b geeft een ander perspectief op de productie dan de bekende Leontief formules. De productie techniek is nu nader gespecificeerd in de gedaante van de j elementaire activiteiten α(j), die voor elke bedrijfs-tak de productie methode voorstellen. In dit alternatieve perspectief worden de productie-hoeveelheden x_j aangeduid als de niveau's van de elementaire activiteit j. Uiteraard kunnen de niveau's nooit negatief zijn. De productie vectoren η worden ook wel het productie plan genoemd, of soms input-output. Tezamen vormen al deze vectoren de productie verzameling Π. Hierin bevinden zich alle productie uitstoten, die de samenleving in beginsel kan voortbrengen met de gegeven stand der techniek.

Kenmerken van de productie verzameling

Het is direct duidelijk uit het stelsel 3a-b, dat elke elementaire activiteit een aantal negatieve componenten heeft. De economische betekenis van dit fenomeen is, dat er productie factoren het productie-proces ingaan en worden verbruikt. Dien ten gevolge kan ook de productie vector η negatieve componenten hebben. Het spreekt voor zich, dat in een economisch zinvolle productie vector tenminste één component groter dan nul zal zijn. Immers alleen dan heeft het proces een uitstoot. In het geval dat alle componenten gelijk zijn aan nul is de productie inactief. Zij ligt stil.

Figuur 1: Productie-verzameling
-- met winst-maximum

Des al niet te min is een helemaal negatieve vector in beginsel mogelijk. Gemaks halve worden de elementaire activiteiten aangevuld met de zogenaamde afdank activiteiten d(j). Deze vectoren hebben de waarde -1 als j-de component, en nul voor de resterende componenten. Dat wil zeggen, d(j) = -e(j), waarin e(j) de eenheids vector voor de j-as is. Een bedrijfs-tak j kan zijn product enkel voortbrengen, wanneer er voldoende productie factoren worden ingebracht uit de andere bedrijfs-takken. Productie vectoren η, die niet realiseerbaar zijn met de bestaande techniek, maken geen deel uit van de verzameling Π. Maar een teveel aan productie factoren kan worden verwijderd via de afdank activiteiten.

De lezer zal zich wellicht afvragen wat voor zin de zojuist geformuleerde leer van algebraïsche verzamelingen heeft. De reden is dat binnen dit theoretische raamwerk de optimale productie vectoren kunnen worden opgespoord. Ter illustratie laat de figuur 1 de verzameling Π zien voor het verbouwen van graan. Zij wordt voorgesteld door het groen gekleurde gebied. Het graan is zowel zaaigoed (een productie factor) als eind-product. Er wordt netto een hoeveelheid η_g van voortgebracht. Naast het graan vereist het productie-proces slechts de inbreng van een hoeveelheid η_L aan arbeids-tijd. Met andere woorden, de productie vector is twee-dimensionaal, met als componenten η = [η_L, η_g].

De productie methode in de landbouw legt beperkingen op aan de oogst, omdat bij haar een zekere arbeids productiviteit ap hoort. Vanzelf sprekend stelt men prijs op zoveel mogelijk uitstoot aan graan, bij een gegeven hoeveelheid arbeidstijd. Daarom worden de productie vectoren op de bovenste grens van de verzameling Π optimaal of efficiënt genoemd². Echter ook alle vectoren daaronder, in het groene gebied, zijn mogelijk en maken deel uit van Π. Merk op, dat het gebied met positieve waarden van η_L buiten Π ligt. Zojuist is al gezegd, dat η_L negatief zal zijn. Dit is altijd het geval. Immers de factor arbeid kan zelf niet worden geproduceerd (althans in dit model). Daarom wordt de arbeidstijd een primaire factor genoemd³.

De productie vector is buitengewoon geschikt om de winst φ van de producent te berekenen. Namelijk, zij p_j de markt-prijs van het product j. Dan kan het hele prijs-systeem worden voorgesteld door de vector p met componenten p_j (j=1, ... , n) ⁴. En de winst wordt simpelweg gegeven door het inproduct

(5)     φ(p) = p · η

In de formule 5 wordt handig gebruik gemaakt van het feit, dat de productie factoren in η worden voorgesteld door negatieve getallen. Merk op, dat de winst afhangt van het prijs-systeem. Ter ilustratie is er in de figuur 1 een aantal iso-winst lijnen ingetekend. Dat zijn lijnen, die de productie vectoren met één en dezelfde constante winst φ verbinden. De prijs-vector maakt een loodrechte hoek met deze lijnen⁵.

Bij een gegeven prijs-systeem p wordt het winst maximalisatie probleem gegeven door

(6a)     maximaliseer p · η
(6b)     mits η ε Π

In de formule 6b stel ε het "is een element van" teken voor. De figuur 1 laat in een oogopslag zien, dat de winst-maximaliserende vector wordt gegeven door de iso-winst lijn, die juist raakt aan de bovengrens van de verzameling Π. Het raakpunt is het optimum⁶.

Een voordeel van de leer van de productie verzameling is, dat zij ook geldt voor productie methoden, die niet lineair zijn. Terwijl het Leontief model alleen het geval van constante schaal opbrengsten aankan, is de in de huidige paragraaf geformuleerde theorie ook toepasbaar voor positieve of negatieve schaal-effecten. Met andere woorden, de leer is breder toepasbaar dan alleen op productie vectoren van de gedaante volgens de formule 4. De technische coëfficiënten hoeven niet per se constanten te zijn. Te gelijk moet men het belang van dit voordeel niet overdrijven. Bijvoorbeeld suggereren positieve schaal-effecten, dat de winst willekeurig kan worden vergroot door steeds meer te produceren. Er valt dan weinig te optimaliseren, wat hier toch juist de bedoeling was.

In het verlengde van het zojuist genoemde voordeel staat de leer van de productie verzameling toe, dat er koppel-productie plaats vindt. De productie vector van een enkele bedrijfs-tak kan twee of nog meer positieve componenten hebben. En het is handig, dat afzonderlijke productie vectoren simpelweg kunnen worden opgeteld (ge-aggregeerd). Als men de productie vector van de samenleving als geheel bekijkt, dus macro-economisch, dan kan η geen negatieve componenten meer bevatten (met uitzondering van de arbeids-tijd). Immers in deze situatie betekent een negatieve component, dat de samenleving een tekort heeft aan de des betreffende productie factor. Dat tekort zou moeten worden gedekt uit voorraden, en dat is geen duurzame oplossing.

Een rekenvoorbeeld met de leer van verzamelingen

Ter illustratie van de voorgaande twee paragrafen wordt weer het vertrouwde voorbeeld gebruikt van een economie met twee bedrijfs-takken (n=2), te weten de landbouw (tak 1) en de industrie (tak 2). In de landbouw produceren 20 arbeiders (20 tijds-eenheden arbeid, l_g = 20) 12 balen graan (x_g = 12) gedurende een productie-periode. In de industrie produceren 10 arbeiders (10 tijds-eenheden arbeid, l_m = 10) 3.1 tonnen metaal (x_m = 3.1) gedurende dezelfde productie-periode. Het netto- of eind-product is y = [3, 0.9].

De productie-techniek wordt vastgelegd door de technische coëfficiënten. De waarden van die coëfficiënten a_ij en a_j zijn weergegeven in de kolommen τ(g1) en τ(m1) van tabel 1. Bovendien bevat de tabel een alternatieve productie-methode voor de landbouw, die is weergegeven in de kolom τ(g2). Het stelsel 3a-b kan nu worden toegepast om elk van deze drie methoden om te zetten in een elementaire activiteit.

Figuur 2: Iso-quant voor τ(g1)

De elementaire activiteit van τ(g1) is de vector [0.5833, -0.01667, -1.667]. Vervolgens kan uit de formule 4 worden berekend, welke productie vector is vereist om bijvoorbeeld een bruto (totaal) product van 12 balen graan voort te brengen. Met andere woorden, men zou de vector kunnen uitrekenen, die hoort bij een niveau van 12 balen graan. Het resultaat is de productie activiteit [7, -0.2, -20]. Er worden netto 7 balen graan voortgebracht⁷, en daarbij worden χ_mg = 0.2 tonnen metaal verbruikt alsmede l_g = 20 eenheden arbeids-tijd verbruikt.

Je zou nu denken dat in het vlak (χ_mg, l_g) de iso-quant van deze 7 balen graan bestaat uit het enkele punt [0.2, 20]. Echter in tegenstelling tot het Leontief model laat de productie verzameling ook productie-plannen toe, die niet efficiënt zijn (zie bijvoorbeeld figuur 1). Dezelfde 7 balen graan kunnen worden voortgebracht met een grotere hoeveelheid productie factoren χ_mg en l_g. Immers de producent heeft afdank activiteiten tot zijn beschikking, waarmee hij het overschot aan productie factoren kan lozen. Dien ten gevolge heeft de iso-quant voor 7 voortgebrachte balen graan de gedaante van figuur 2.

Een bijzondere eigenschap van de iso-quant in de figuur 2 is, dat er geen substitutie van productie-factoren mogelijk is. Dit is kenmerkend voor een productie-methode met constante technische coëfficiënten. Bij gevolg kan de producent zijn productie proces niet flexibel aanpassen bij eventuele prijs-veranderingen van de productie-factoren. Verder zal een eventuele uitbreiding van de productie via de stippel-lijn moeten verlopen, omdat het proces lineair opschaalt⁸.

Figuur 3: Iso-quant voor τ(g1) en τ(g1)

Een interessanter geval doet zich voor, wanneer twee elementaire activiteiten hetzelfde type product uitstoten. Stel bijvoorbeeld dat de landbouw ook kan beschikken over de methode τ(g2), met productie vector [0.7273, -0.09091, -0.4091]. Ook deze methode kan netto 7 balen graan voortbrengen, zij het dat het niveau van deze activiteit dan 9.625 balen graan moet zijn. De benodigde hoeveelheden productie factoren zijn χ_mg = 0.8750 tonnen metaal en l_g = 3.937 eenheden arbeids-tijd.

De figuur 3 toont de iso-quant voor 7 balen graan na de toevoeging van de elementaire activiteit τ(g2). Sowieso voegt deze activiteit het punt [0.8740, 3.937] toe aan de iso-quant. Maar dankzij de formule 4 behoren ook alle productie vectoren op het lijnstuk tussen de twee punten [0.2, 20] en [0.8740, 3.937] tot de mogelijkheden. Op dit lijnstuk kunnen de productie-factoren wèl worden gesubstitueerd!

Des ondanks blijkt de substitutie geen zin te hebben. Namelijk er kan een zogenaamd non-substitutie theorema worden bewezen, dat het aantal efficiënte productie vectoren inperkt⁹. In het zojuist beschouwde rekenvoorbeeld met twee producten (balen graan en tonnen metaal) kunnen volgens het theorema alle efficiënte productie vectoren worden voortgebracht met precies twee elementaire activiteiten. Er is geen behoefte aan een derde elementaire activiteit, zoals in de tabel 1.

Voor de trouwe lezer zal het non-substitutie theorema niet echt als een verrassing komen. Immers in een voorgaande column over de neoricardiaanse productie-theorie is al uiteen gezet, dat er voor elk loonpeil p_L slechts één techniek het meest efficiënt en rendabel is. De zojuist genoemde column laat voor het huidige rekenvoorbeeld zien, dat de methode τ(g2) efficiënter is voor p_L/p_g > 0.277, terwijl omgekeerd de methode τ(g1) efficiënter is voor p_L/p_g < 0.277. Enkel in het punt p_L/p_g = 0.277 kan elke lineaire combinatie van de beide productie methoden worden gekozen, zonder de efficiëntie negatief te beïnvloeden. Kennelijk correspondeert het lijnstuk van de iso-quant met de prijs-vector, die hoort bij het schakelpunt van de twee technieken.

De input-output tabel van de bedrijfs-takken

Deze paragraaf is een uitdieping van de eigenschappen van de input-output tabellen. Volledigheids halve zij de lezer er aan herinnerd, dat de voormalige plan-economieën in Oost-Europa liever spraken van vervlechtings balansen. De formule 4 laat zien, dat de elementaire activiteiten α(j) als het ware een stel basis vectoren vormen, waarin allerlei productie plannen η kunnen worden uitgedrukt. Als men evenwel efficiënte productie vectoren wil uitdrukken in de α(j), dan moet men die elementaire activiteiten uitkiezen, die bij het gegeven prijs-systeem p inderdaad de winst maximaliseren. Een verlies lijdende α(j) komt dan niet in aanmerking.

Figuur 4: Drie elementaire activiteiten in R³,
--- behorend bij τ(g1), τ(g2) en τ(m1)

De rol van de elementaire activiteiten kan worden geïllustreerd aan de hand van het rekenvoorbeeld, dat in de voorgaande paragraaf is geïntroduceerd. Daarin worden drie elementaire activiteiten genoemd, namelijk α(g1) = [0.5833, -0.01667, -1.667], α(g2) = [0.7273, -0.09091, -0.4091], en α(m1) = [-1.29, 0.3548, -3.226]. Het zijn vectoren in de drie-dimensionale ruimte. Hoewel het een wat hachelijke onderneming is, heeft uw columnist geprobeerd om ze af te beelden in de figuur 4.

In de figuur wordt het drie-dimensionale assen-kruis weergegeven door de zwarte lijnen. De pijlen markeren het positieve deel. De hoeveelheden graan en metaal worden weergegeven in de horizontale vlakken. De arbeids-tijd l is verticaal uitgezet, waarbij natuurlijk enkel het negatieve deel van de as een reële betekenis heeft. De rode vectoren stellen de elementaire activiteiten voor. Via stippel-lijnen is geprobeerd om deze vectoren een ruimtelijk perspectief te geven binnen het assen-kruis. Ze wijzen alle drie neerwaarts. Verder wijzen de landbouw activiteiten naar links-voor, en de industrie activiteit naar rechts-achter.

In de voorgaande paragraaf is uiteen gezet, dat voor het loonpeil p_L/p_g > 0.277 de efficiënte productie vectoren liggen in het vlak, dat is opgespannen door de vectoren α(g2) en α(m1). Als het loonpeil echter p_L/p_g < 0.277 bedraagt, dan liggen de efficiënte productie vectoren in het vlak van de vectoren α(g1) en α(m1). Er zij aan herinnerd, dat de niveau's x_j van de activiteiten niet negatief kunnen zijn. Dien ten gevolge liggen de mogelijke productie vectoren η allemaal "ingeklemd" tussen de twee omspannende elementaire activiteiten.

Ter afsluiting kan nog worden vermeld, dat het concept van de elementaire activiteiten ook een praktische betekenis heeft. De Russische plan-econoom V.V. Kossov wijst er in zijn boek Verflechtungs-bilanzierung op, dat het bij de opstelling van de input-output tabellen altijd nodig is om bedrijfs-takken enigszins te bundelen¹⁰. De samenvoeging, met een moeilijk woord ook wel aggregatie genoemd, voorkomt dat de tabellen of matrices een wanstaltig en onwerkbaar grote omvang gaan aannemen. Bovendien is een grote detaillering vaak onhaalbaar, simpelweg omdat de empirische informatie ontbreekt.

Vervolgens is het de vraag welke bedrijfs-takken men moet samenvoegen in het proces van aggregatie. De aggregatie is enkel zinvol, indien de des betreffende takken veel gemeen hebben met elkaar. Klaarblijkelijk is er behoefte aan een criterium om de takken te classificeren overeenkomstig hun technische eigenschappen. Kossov doet het voorstel om takken samen te voegen, die ongeveer dezelfde productie factoren benutten, en in ruwweg even grote hoeveelheden. Bovendien moeten de eind-producten van de te verenigen takken enige verwantschap vertonen. Met andere woorden, je moet elementaire activiteiten alleen dan bundelen, wanneer hun vectoren in een min of meer gelijke richting wijzen.

De zojuist beschreven aanpak van aggregatie kan worden geïllustreerd met het rekenvoorbeeld. Twee vectoren wijzen in een ongeveer gelijke richting, wanneer de hoek θ ertussen klein is. Men kan θ eenvoudig uitrekenen door het inproduct van de twee vectoren te nemen¹¹. Aldus kun je berekenen, dat de hoek θ tussen α(g1) en α(g2) 41.6° bedraagt, tussen α(g1) en α(m1) 41.5°, en maar liefst 83.2° tussen α(g2) en α(m1). Kennelijk is de aggregatie van de twee graan-producties gelijkwaardig aan de aggregatie van τ(g1) in de landbouw met de industrie.

Deze conclusie verrast wellicht, zeker wanneer men de figuur 4 in ogenschouw neemt. De twee landbouw activiteiten lijken bijna samen te vallen, maar de blik-richting misleidt enigszins. Bovendien is de schaal van het assen-kruis niet uniform. De schalen van de graan-as en vooral die van de metaal-as zijn uitgerekt. Bij een nadere bestudering evenwel blijkt α(g2) uit te blinken door een lage arbeids-intensiteit. Omgekeerd zijn de industrie en α(g1) in de landbouw allebei nogal arbeids-intensief. Dat zou inderdaad een argument kunnen zijn om deze twee ogenschijnlijk verschillende bedrijfs-takken te bundelen. Nadat aldus de takken voor de samenvoeging zijn gekozen, verloopt de praktische aggregatie zelf natuurlijk weer door toepassing van de formule 4.

1. Zie Micro-economic theory (1995, Oxford University Press, Inc.) van Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston en Jerry R. Green, met name het hoofdstuk 5.
2. De lezer met enige kennis van economie ziet direct, dat η_g op de bovengrens van de verzameling Π een productie-functie voorstelt, met als argument de arbeidstijd L = -η_L. In de figuur 1 heeft de functie η_g(-η_L) een afnemende meer-opbrengst, en is dus concaaf. Enigszins verwarrend heet de verzameling Π in dit geval convex. Wellicht is het aardig om deze figuur te vergelijken met die in de column over het Solow-model. De functies daar vertonen afnemende èn toenemende meer-opbrengsten, zodat de bijbehorende verzameling niet convex is.
3. Er zijn ook filosofische argumenten aan te voeren om de speciale plaats van de factor arbeid te benadrukken. Zo dicht A. van Collem op p.45 in zijn bundel Liederen van huisvlijt: Al het kostelijk cement: - / Arbeidskracht, het element / Dat de wereld houdt bijeen, / Vonkelt door de sterren heen, / Geeft de zeeën zijn maatslag, / Staat gestegen in den dag.
4. De prijs van de eenheid arbeids-tijd is het loon, dat daarvoor wordt betaald.
5. Op de iso-winst lijn geldt dat η_g = constante / p_g − η_L × p_L / p_g. De richtings coëfficiënt van de lijn is -p_L / p_g, want overeen komt met de vector [1, -p_L / p_g]. Deze vector staat loodrecht op [p_L, p_g], want hun inproduct is gelijk aan nul.
6. Althans dat is de veronderstelling van het model. In de politieke economie is deze aanname controversieel en omstreden. C.S. Adama van Scheltema zet het in zijn gedichten-bundel Eerste oogst (p.15 van Verzamelde gedichten) puntig op rijm: Ai veil geslacht! dat wikt en weegt en telt, / Van andren koopt hun liefde en laf geweten, / Dat lacht en kruipt in zonde en zweet, en / Meer nog dan dat: - uw ziel verkoopt voor geld!
7. Netto betekent in deze context, dat het eigen verbruik van 5 balen graan hieruit is verwijderd. Een deel van die 7 balen graan wordt evenwel als productie-factor ingebracht bij de industrie.
8. In feite is het wat koddig om in dit geval een iso-quant te tekenen. Waarom zou een producent meer productie-factoren opkopen dan hij nodig heeft? En als je inderdaad die mogelijkheid intekent als iso-quant, waarom ontbreekt er in de figuur 2 dan de situatie met overschotten voor allebei de productie-factoren? Met andere woorden, waarom behoort het gebied boven en rechts van de lijnen niet tot de iso-quant? Vermoedelijk ziet men af van deze optie, omdat er dan oneindig veel iso-quanten door één punt van de figuur zouden lopen. Dat laat zich niet verenigen met de gangbare definitie van iso-quanten. Dit alles laat zien, dat het beter ware geweest om de iso-quant van het Leontief model te beperken tot het ene punt op het expansie-pad. Waarschijnlijk is het gebruik van figuur 2 gewoon een poging om het model te persen in de conventies van de grens-productiviteits theorie.
9. In zijn algemene vorm luidt het non-substitutie theorema:
   Beschouw een productief Leontief input-output model met n producten en M_j ≥ 1 elementaire activiteiten voor het product j (j = 1, ... , n). Dan bestaan er n elementaire activiteiten a_j zodanig dat alle efficiënte productie vectoren daarmee kunnen worden voortgebracht. Indien een product meerdere elementaire activiteiten heeft (dus M_j > 1), dan mag de omspannende activiteit a_j een lineaire combinatie van al deze elementaire activiteiten zijn.
   Zie p.159 in Micro-economic theory. Op die pagina wordt tevens het bewijs geleverd van het theorema. Merk op dat het van het prijs-systeem p afhangt, welke productie vectoren daadwerkelijk efficiënt zijn. Zie p.150 in Micro-economic theory. Daarom begrijpt uw columnist het theorema in die zin, dat de prijs-vector p gegeven is.
10. Zie p.151 en verder in Verflechtungs-bilanzierung (1975, Verlag Die Wirtschaft) van (in de Duitse taal) W.W. Kossow.
11. Het inproduct van twee vectoren u en v kan worden geschreven als u · v = ¦u¦ × ¦v¦ × cos(θ). Hierin is ¦u¦ de lengte van de vector, en θ is de hoek tussen u en v. De formule behoort tot de elementaire wiskunde (al gebruikt Kossov haar niet).