Decompositie en datering van hoeveelheden in de productie

Plaatsing op Heterodox Gezelschap Sam de Wolff: 22 april 2013

In diverse voorgaande columns is ingegaan op productie-modellen, die gebruik maken van vervlechtings-matrices (ook wel Leontief modellen, input-output tabellen of balansen genoemd). De huidige column beschrijft methoden om de materiaal-coëfficiënten van de totale of volle inbreng (in de Duitse taal Bedarf, Aufwand) in de productie te berekenen, dus inclusief de indirecte inbreng. Verder wordt een methode gepresenteerd om de prijzen voor te stellen als gedateerde hoeveelheden arbeid. Deze methoden zijn van belang voor de economische planning op macro-niveau.

In deze column worden een aantal vereenvoudigende veronderstellingen gemaakt. De producenten kunnen beschikken over één al bestaande productie-techniek. De technische vooruitgang, en dus de innovatie, wordt genegeerd. Dien ten gevolg blijft buiten beschouwing, dat er groei is dankzij de stijgende arbeidsproductiviteit. Bovendien beperken de gebruikte berekeningen zich tot lineaire productie modellen. Het gevolg is dat de eventuele positieve schaaleffecten worden genegeerd. Een schaalvergroting laat hier alle productieverhoudingen onveranderd. De Engelse uitdrukking voor deze neutraliteit is constant returns to scale.

De column is feitelijk geheel ontleend aan het boek Vorlesungen zur Theorie der Produktion van de vermaarde econoom Luigi L. Pasinetti¹. Maar de inspiratie om de column te schrijven ligt elders, namelijk bij de vele economische werken uit het voormalige Oost-blok. In deze landen waren de productie-modellen populair, omdat zij inzicht verschaffen in het functioneren van plan-economieën. Indertijd hebben de Oost-Europese regeringen veel geïnvesteerd in onderzoek om de modellen toepasbaar te maken voor de praktijk van de volkshuishouding. Her en der in de column zal in voetnoten worden verwezen naar de oostelijke literatuur, die uw columnist vooral heeft weggehaald bij het Berlijnse antiquariaat Helle Panke².

Helaas heeft deze rijke bron van literatuur in het westen bitter weinig aandacht gekregen. Daarvoor zijn diverse redenen aan te wijzen. Allereerst laat de vrije markt-economie zich niet plannen. Trouwens, wetenschappelijke instituten hebben bij ons geen toegang tot de productie-informatie van de bedrijven. Ten tweede was er een ideologische barrière: alles uit het oosten zou minder-waardig zijn. En ten derde is de meeste literatuur oorspronkelijk gepubliceerd in de Russische taal, die hier nooit bijster populair was.

De totale of volle inbreng in de productie

In de column over vervlechtingsbalansen is de fundamentele vergelijking van de neoricardiaanse theorie gedefinieerd³

(1)     y = (I − A) · Q

In tegenstelling tot de genoemde column wordt nu de tijds-variabele t weg gelaten, omdat in de huidigde column enkel statische situaties worden beschouwd. De formule 1 is een vector-vergelijking in n dimensies, waarin elke dimensie een tak van economische bedrijvigheid vertegenwoordigt. Elke tak fabriceert slechts één product. De hoeveelheden in het totale product worden voorgesteld door de vector Q. De vector y is het eind-product, bij Sraffa ook wel netto product genoemd.

De verschil term I-A laat zien, dat het eindproduct kleiner is dan het totale product. Hierin stelt I de eenheids matrix voor, en A de matrix met elementen a_ij = q_ij / Q_j. De indices i en j liggen in het interval 1...n. Het symbool q_ij geeft weer, welke hoeveelheden van product i er nodig zijn om een hoeveelheid Q_j van het product j te fabriceren. De elementen van A worden in de westerse landen de productie-coëfficiënten genoemd, terwijl men in de landen van het voormalige Oost-blok ze aanduidde als de coëfficiënten van de directe materiaal-inbreng of als de coëfficiënten van de lopende inbreng (in de Duitse taal: Aufwand)⁴.

Kennelijk wordt in de productie-coëfficiënten de vereiste hoeveelheid q_ij teruggebracht tot de benodigdheid per eenheid j. Dat wordt duidelijker tot uiting gebracht in de schrijfwijze ∂q_ij/∂Q_j = a_ij. Merk voorts op, dat de index j zowel verwijst naar de bedrijfstak als naar zijn product. De formule 1 drukt uit, dat een deel van het totale product wordt verbruikt binnen de bedrijfstakken zelf.

Des gewenst kan de formule 1 worden aangevuld met een relatie, die de samenhang tussen de omvang van de productie en de benodigde hoeveelheid arbeid beschrijft. In vector-notatie is de relatie

(2)     L = a · Q

In de formule 2 is L de totaal benodigde hoeveelheid arbeid. Het rechter lid is het inproduct van twee vectoren. De vector a bestaat uit de componenten a_j = l_j / Q_j, waarin l_j de hoeveelheid benodigde arbeid in de tak j voorstelt. Met andere woorden, de vector geeft weer hoeveel arbeid er benodigd is in de tak j om een eenheid product voort te brengen. De componenten van a worden ook wel de coëfficiënten van de directe arbeids-inbreng genoemd, of kortweg de arbeids-coëfficiënten. Tezamen met de productie-coëfficiënten vormen zij de technische coëfficiënten.

Geef de inverse matrix van I-A de naam B. Dan kan de formule 1 simpel worden herschreven tot

(3)     Q = B · y

De elementen van B worden voorgesteld als β_ij, en zijn uiteraard eveneens constanten. Kennelijk drukt de coëfficiënt β_ij uit, hoeveel van het product i in totaal moet worden voortgebracht per eenheid eindproduct j. Ze kan wiskundig worden genoteerd in de gedaante van de partiële afgeleide β_ij = ∂Q_i/∂y_j. Met andere woorden, zij is het totaal benodigde (in de Duitse taal: Bedarf) aan middelen voor de productie van het eind-verbruik. Zij omvat behalve de directe materiaal-inbreng (de productie-middelen A·Q) ook alle indirecte materiaal-inbreng.

In de Oost-blok landen duidde men de β_ij aan als de coëfficiënten van de volle inbreng⁵. De formule 3 wordt wel opgevat als de basis voor plan-vorming, omdat plannen gewoonlijk baseren op het eind-product. De omvang van het economische systeem is daarvan slechts een afgeleide.

Het kan uit de matrix-theorie worden bewezen⁶, dat de matrix B gelijk is aan I + A + A² + A³ + ... . Invulling van deze macht-reeks in de formule 3 levert op

(4)     Q = y + A · y + A² · y + ...

De formule 4 is een ontleding van het totale product Q zodanig, dat de productie-structuur helder uitkomt. Allereerst moet het productie-systeem het eind-product y voortbrengen. Maar dat volstaat niet. Wie honing wil hebben, moet lijden dat hem de bijen steken. De productie van y kan enkel voortgang vinden, indien er een hoeveelheid A·y aan productie-middelen klaar staat. Dat verklaart de tweede term in het rechter lid van de formule 4.

Figuur 1: Productie-lagen in de fabricage van metaal
--- Getallen ontleend aan het rekenvoorbeeld

Geheel in dezelfde argumentatie trant volgt nu, dat de productie-middelen A·y enkel beschikbaar komen, indien zij eerst zijn geproduceerd met behulp van een hoeveelheid aan productie-middelen A²·y. Dit is de derde term in het rechter lid van de formule 4. Dit argument kan eindeloos worden herhaald, wat het ontstaan van de oneindige reeks in Aⁿ·y verklaart⁷.

Ter illustratie toont de figuur 1 schematisch een aantal lagen van een dergelijk productie proces. Aan de top van de piramide bevindt zich een eind-product (in casu een hoeveelheid metaal ter grootte van 1 ton). Elke onder liggende laag stelt de productie-factoren voor, die dienen voor de productie in de laag erboven. De stippel-lijnen zijn verticale productie-kolommen, die niet verder zijn ingetekend. Het schema is ontleend aan het rekenvoorbeeld, dat ter afsluiting van deze column wordt besproken⁸.

De totale hoeveelheid arbeid, die moet worden besteed bij de vervaardiging van een product, kan het eenvoudigst worden berekend met behulp van de rij-vector v = a · B. De componenten van de vector zijn v_j = Σ_i=1ⁿ a_i × β_ij. Eerder is geconstateerd, dat β_ij de nodige hoeveelheid aan productie-middel i per eenheid eind-product j voorstelt. De vermenigvuldiging met a_i zet de fysieke hoeveelheid i om in de hoeveelheid arbeid, die is verricht om de hoeveelheid i te fabriceren. Met andere woorden, de componenten v_j zijn de hoeveelheden aan arbeid, die is vereist om een eenheid van eindproduct j te maken.

De componenten van v worden de verticaal geïntegreerde arbeids-coëfficiënten genoemd. De aanduiding verticaal drukt uit, dat zij de som is van alle arbeid, die moest worden verricht in de des betreffende bedrijfs-kolom. Zowel de directe arbeid wordt meegeteld, als de indirecte arbeid, die is besteed aan al de gebruikte productie-middelen. In de figuur 1 zijn al deze beetjes arbeid zichtbaar in de blokken met l er in. Aangezien de arbeid zelf niet wordt geproduceerd, wordt een arbeids-blok niet gevolgd door een eigen kolom.

Impliciet komt v al voor in de formules 2 en 3. Namelijk de combinatie van de beide formules levert de formule v · y = L. Merk nu op, dat y/L simpelweg het reële loon w_R per eenheid arbeid voorstelt, althans voor het geval dat de factor arbeid alles ontvangt wat hij aan eind-product heeft voortgebracht. Dat wil zeggen, w_R is het loon in natura per eenheid arbeid. Kennelijk voldoet dat loon aan v · w_R = 1. In deze situatie krijgt een eenheid arbeid precies zoveel betaald, als zij zelf voortbrengt, en wel 1.

Wellicht komen de voorgaande beschouwingen wat niets zeggend over op de lezer. Daarom wordt in een volgende paragraaf een reken-voorbeeld uitgewerkt, waarbij zal worden geprobeerd om de materie wat levendiger en inzichtelijker te maken. So wie so blijkt de praktische toepassing van de zojuist behandelde modellen allerlei problemen op te werpen. In de Oost-Europese boeken over de plan-economie wordt veel aandacht besteed aan de analyse van de technische coëfficiënten. Bijvoorbeeld wordt onderzocht hoe de verandering van een coëfficiënt doorwerkt op het eind-resultaat⁹.

Decompositie van de prijs in gedateerde hoeveelheden arbeid

In deze paragraaf wordt de datering in het prijzen-systeem van het productie-proces onderzocht. Sinds de eerste column van een jaar terug over de prijs-vorming is dit thema uitgediept in diverse columns. Gemaks halve volgt de redenatie hier nogmaals, evenwel uitgebreid met enkele inzichten uit de voormalige Oost-Europese plan-economieën. De prijs-formule in haar meest algemene vorm is

(5)     p_j × Q_j = Σ_i=1ⁿ (p_i × q_ij) + D_j

In de formule 5 wordt afgezien van een tijds-afhankelijkheid, zoals bij economische groei. De grootheid p_i stelt de prijs van product i voor, en D_j is de toegevoegde waarde in de bedrijfs-tak j ¹⁰.

De toegevoegde waarde levert het inkomen om de lonen uit te betalen, en om fondsen te accumuleren ten behoeve van toekomstige investeringen. Ook moeten er belastingen worden afgedragen aan de staat, zodat die de noodzakelijke maatschappelijke infrastructuur op het gewenste peil kan houden. In beginsel zouden vanwege de formules 1 en 5 de gesommeerde toegevoegde waarden moeten voldoen aan de relatie Σ_j=1ⁿ D_j = Σ_i=1ⁿ p_i·y_i. Met andere woorden, het totale "inkomen" moet gelijk zijn aan de waarde van het totale eind-product¹¹.

Echter de realiteit is anders. Zowel in de plan-economie als in de private markt-economie is de prijs-vorming van producten een subjectief proces, dat zich nauwelijks leent voor een logische analyse. In de plan-economie worden de prijzen centraal bepaald of aangestuurd, zodat men er tenminste enige systematiek in kan aanbrengen¹². Dit proces van de prijs als een door planning gemodificeerde waarde is in een eerdere column globaal beschreven. In het bijzonder is het gebruikelijk om de consumptie-prijzen (of eindverbruik-prijzen) te doen afwijken van de prijzen voor de productie-middelen (de industrie- of Erzeuger-prijzen).

Een dergelijk gedifferentieerd prijs-systeem is wellicht praktisch onvermijdelijk, maar moeilijk toegankelijk voor een wetenschappelijke analyse. En ook het rendement r op geïnvesteerd kapitaal werd enigszins gedifferentieerd overeenkomstig het maatschappelijke belang, dat werd gehecht aan een bepaalde economische activiteit. Daarom maakt de centrale planning gewoonlijk gebruik van vervlechtings-balansen in natura, waarbij de waarde-balansen een afgeleid en volgend karakter hebben. Het prijs-systeem werd constant gehouden gedurende de looptijd van het meer-jaren plan, omdat prijs-fluctuaties ontregelend werken op de productie.

Vanwege de zojuist genoemde redenen hebben de Oost-Europese economen (al dan niet terecht) nooit veel aandacht besteed aan een integraal prijs-model. Dien ten gevolge put uw columnist voor deze paragraaf in hoofdzaak uit de neoricardiaanse theorie van Sraffa. In dit model, dat is gebaseerd op de vrije concurrentie, ontvangt de producent j voor zijn productie een opbrengst volgens de formule

(6)     p_j × Q_j = (1 + r) × Σ_i=1ⁿ (p_i × q_ij) + w × l_j

In de formule 6 is w is het loonpeil. Het rendement r kan worden opgevat als de winstvoet, die gebruikelijk is in de heersende maatschappelijke verhoudingen.

De rente moet worden betaald uit de winst. Als men wil veronderstellen, dat producenten nauwelijks winst maken, dan is r gelijk aan de rentevoet. Tezamen met het rendement r zijn er kennelijk n+2 onbekende grootheden. De berekening van die grootheden wordt transparanter, wanneer de hoeveelheden uit de formule 6 worden verwijderd. De deling van het linker en rechter lid door Q_j leidt tot

(7)     p_j = (1 + r) × Σ_i=1ⁿ (p_i × a_ij) + w × a_j

De producent j kan de formule 7 niet zelf oplossen. Hij krijgt de prijzen van zijn grondstoffen en outillage opgelegd door de markt. De oplossing is alleen mogelijk op het macro-economische niveau, waar de formule 7 de vector-gedaante krijgt:

(8)     p = (1 + r) × p · A + w × a

De oplossing is uiteraard¹³

(9)     p = w × a · (I − (1 + r) × A)^-1

Des gewenst kan het loonpeil w als numéraire worden gekozen. In dat geval krijgen de prijzen de genormeerde gedaante p/w.

De redenatie bij de formule 4 kan worden herhaald voor de prijs-formule 9, teneinde nu ook de prijs als een decompositie te schrijven:

(10)     p / w = a + a · (1 + r) × A + (1 + r)² × A² + a · (1 + r)³ × A³ + ...

De formule 10 kan op dezelfde manier worden verklaard als de formule 4. De prijs van een eenheid product moet minstens de loonsom bevatten van de arbeid, die direct is verricht bij de fabricage. Dat is de eerste term a·I in de machtreeks. De tweede term representeert de arbeid, die is verricht om de gebruikte productie-middelen te fabriceren. Dit wordt indirecte arbeid genoemd, omdat zij een periode Δt eerder is verricht. Evenzo laten alle volgende termen zich verklaren.

Het verschil met de formule 4 bestaat uit de termen (1+r)ⁿ. Zij brengen in rekening, dat kapitaal een rendement moet afwerpen. Bekijk bijvoorbeeld de tweede term a·A. Zoals zojuist is geconstateerd, stelt hij de arbeid voor, die een periode Δt eerder is verricht. De investeerder wil een rendement r halen op de voorgeschoten loonsom, zodat a·A bij de verkoop van het eindproduct moet worden "belast" met een opslag r. De volgende termen in de macht-reeks zijn nòg eerder geproduceerd, met als gevolg dat er opslag op de opslag wordt geheven¹⁴.

De formule 10 laat zien dat de prijs is samengesteld uit de bijdragen van directe en indirecte arbeid. Terwijl in de formule 4 alle productie-stadia gelijk worden behandeld, zijn zij in de prijs-formule 10 onmiskenbaar gedateerd. Men ziet aan de formule ook de complexe manier, waarop schommelingen van het loonpeil en het rendement doorwerken in de prijzen. Immers de lonen en het rendement moeten allebei worden bekostigd uit de waarde van het eind-product p·y. Bijvoorbeeld zal daar in het geval van een dalend loonpeil w ruimte ontstaan om het rendement r te verhogen. Elke term in de macht-reeks zal daarop anders reageren¹⁵.

Een rekenvoorbeeld van decompositie en datering

Zeker bij het onderhavige thema is een rekenvoorbeeld gedienstig om de theorie tot leven te wekken. Er wordt terug gegrepen op ons beproefde voorbeeld van een economie met twee bedrijfs-takken (n=2), te weten de landbouw (tak 1) en de industrie (tak 2). In de landbouw produceren 20 arbeiders (20 eenheden arbeid, l_g = 20) 12 balen graan (Q_g = 12) gedurende een productie-periode. In de industrie produceren 10 arbeiders (10 eenheden arbeid, l_m = 10) 3.1 tonnen metaal (Q_m = 3.1) gedurende dezelfde productie-periode. Het netto- of eind-product is y = [3, 0.9].

De productie-techniek wordt vastgelegd door de technische coëfficiënten. De waarden van die coëfficiënten a_ij en a_j zijn weergegeven in de tabel 1. Des gewenst kan de lezer zelf nagaan, dat er wordt voldaan aan de formules 1 en 2. De lezer zij er nogmaals aan herinnerd, dat de waarden de tijdens de voortbrenging direct verbruikte hoeveelheden per eenheid product voorstellen.

Vervolgens zijn de coëfficiënten β_ij van de totale inbreng berekend, die tezamen de matrix B van de formule 3 vormen. Zij geven aan, welke hoeveelheden aan productie-middelen in totaal nodig zijn per eenheid eind-product. Hun waarde is de som van de directe en de indirecte inbreng. Ook de componenten van de vector v van de verticaal geïntegreerde arbeid zijn berekend. Al deze waarden zijn eveneens opgenomen in de tabel 1. Er zij aan herinnerd, dat de waarde van de directe inbreng is genormeerd op het totale product, terwijl de waarde van de totale (volle) inbreng is genormeerd op het eind-product¹⁶.

Bijvoorbeeld zijn er in de landbouw 0.4167 balen graan nodig als direct productie-middel om één baal graan voort te brengen in het totale product. In totaal echter zijn er maar liefst 1.913 balen graan nodig om die ene baal graan te produceren voor het eind-product. Kennelijk moeten er ten behoeve van de eerste tak 0.913 balen graan en 0.08989 tonnen metaal terug gaan in het productie-proces per baal graan voor het eind-product.

Evenzo zijn er in de industrie 0.6452 tonnen metaal nodig als direct productie-middel om één ton metaal voort te brengen. In totaal echter zijn er maar liefst 3.145 tonnen metaal nodig om die ene ton metaal te produceren. Kennelijk moeten er ten behoeve van de tweede tak 6.956 balen graan en 2.145 tonnen metaal terug gaan in het productie-proces per ton metaal voor het eind-product.

Keren wij terug naar het eind-product y = [3, 0.9], dan gaan er ten behoeve van de landbouw 2.739 balen graan en 0.2697 tonnen metaal terug in de productie. Ten behoeve van de industrie gaan er 6.260 balen graan en 1.931 tonnen metaal terug in de productie. In totaal staan er bij aanvang van de volgende productie-slag 9 balen graan en 2.2 tonnen metaal gereed als productie-middel¹⁷. Natuurlijk blijkt dit ook direct uit de gegevens in de eerste alinea van de huidige paragraaf, wanneer men Q − y uitrekent.

De formules 3 en 4 laten zien hoe de matrix B kan worden omgeschreven naar een macht-reeks van de matrix A. De figuur 2 toont, hoe deze decompositie er uit ziet voor het huidige rekenvoorbeeld¹⁸. De eerste term in de macht-reeks garandeert de hoeveelheden ten behoeve van het eind-product, en de tweede term zorgt voor de productie-middelen, waarmee dat eind-product is voortgebracht. De derde term zorgt dat die productie-middelen zelf zijn voortgebracht, en zo voort.

Figuur 2: Decompositie van B in macht-reeks van A

In de voorgaande tekst is al de figuur 1 gepresenteerd, die een uitwerking is van de decompositie in de figuur 2. Het schema in de figuur 1 beperkt zich tot de industrie-tak, en heeft dus betrekking op de tweede kolom in de matrices van de figuur 2. De top van de piramide correspondeert met de eenheids matrix I. Hier bevindt zich een ton metaal. De productie-factoren, die zijn verbruikt bij de productie ervan, zijn weergegeven in de laag eronder (g = graan, m = metaal, l = arbeid). Deze laag correspondeert met de matrix A.

Evenzo correspondeert de derde laag met de matrix A². Dat wordt duidelijk, wanneer alle hoeveelheden van de productie-factoren in het schema worden opgeteld. Het resultaat is 0.54 + 0.83 = 1.37 balen graan, en 0.022 + 0.42 = 0.44 tonnen metaal. Dit is (op afrond fouten na) gelijk aan de tweede kolom van A². De vierde laag in het schema is niet helemaal afgebeeld, maar de lezer wil hopelijk geloven dat hij correspondeert met A³. Enzovoort.

Beschouw vervolgens het prijzen-systeem. De formule 10 laat zien hoe de prijs van een eenheid product kan worden berekend uit een macht-reeks van (1+r)×A. Overigens is deze reeks-ontwikkeling enkel mogelijk, zolang het rendement r niet te groot is. In het huidige rekenvoorbeeld ligt de bovengrens bij r=0.395. Een bijzonder geval is r=0, want dan is p/w gelijk aan v. Dan wordt de prijs onomwonden opgebouwd uit een reeks van arbeids-waarden. De eerste term is de directe arbeids-inbreng, en alle volgende termen weerspiegelen de indirecte arbeid, die is opgeslagen in de productie-middelen.

In het algemene geval met r≠0 worden de indirecte arbeids-inbrengen gedateerd, en gaat de simpele sommering van arbeids-waarden niet meer op. Je zou kunnen zeggen, dat in het algemene geval de interne tijds-structuur van de arbeid gedurende het total productie-proces doorwerkt in de prijzen¹⁹. Ter illustratie geeft de formule 11 de gedaante van p_g/w:

(11)     p_g/w = 1.667 + 0.7484 × (1 + r) + 0.3824 × (1 + r)² + 0.2210 × (1 + r)³ + ...

De genormeerde prijs stijgt bij een toenemende r ²⁰.

1. Zie Vorlesungen zur Theorie der Reproduktion (1988, Metropolis-Verlag) van L.L. Pasinetti. Het boek verscheen in 1975 in de Italiaanse taal. In 1977 verscheen een Engelse vertaling Lectures in the theory of production. Uw columnist leest makkelijker in het Duits; het is net een Nederlands dialect. Bovendien zijn Duitse edities meestal goedkoper.
2. De Nederlandse dichter Jef Last geloofde vast in de plan-economie. Daarbij hielp dat Nederland indertijd in een hardnekkige economische depressie was gedompeld. In Twee werelden dicht hij: Uit staal, beton en steenen groeit het op / uit menschenhart en stalen menschenwil / uit enthousiasme van de stoot-brigaden / uit wetenschap, uit werken staag en stil / en helder waait, boven hun sterke daden / de roode vlag van iedere torentop.
3. Op p.102 van Volkswirtschafsplanung (1971, Verlag Die Wirtschaft) noemen de Oost-Duitse economen L. Reyher en P. Rohrberg deze formule de eerste grond-vergelijking van het vervlechtings-model. Dit boek is meegenomen uit de gevulde kelders van het Berlijnse antiquariaat Helle Panke.
4. Een uitvoerige verhandeling over de materiaal-inbreng in alle sferen van het economische leven (productie en circulatie) is te vinden in het uitstekende boek Volkswirtschaftlicher Reproduktionsprozeβ und dynamische Modelle (1973, Verlag Die Wirtschaft) van de Oost-Duitse econome Eva Müller. Ook dit boek is gekocht bij Helle Panke. Voor de alledaagse praktijk van de economische planning bleek het handig te zijn om te beschikken over een uitgebreid scala van dat soort coëfficiënten. Een enkel voorbeeld uit het grote aanbod: de verdelings- of materiaal-aandeels-coëfficiënt is gedefinieerd als a^*_ij = q_ij / Q_i. Zie p.55 in het zojuist genoemde boek. In Ökonomisch mathematische Methoden und Modelle (1965, Verlag Die Wirtschaft) van de bekende Russische econoom V.S. Nemtsjinov (in het Duits: W.S. Nemtschinow) heet a^*_ij de coëfficiënt van de productie-uitstoot. Zie p.177 aldaar. Het boek stamt uit een antiquariaat te Leipzig.
5. Eva Müller betoogt op p.56 en verder van Volkswirtschaftlicher Reproduktionsprozeβ und dynamische Modelle met enig recht, dat eigenlijk de coëfficiënten van de volle materiaal-inbreng zouden moeten worden gegeven door de matrix B − I. Immers het is wat onlogisch om het eind-product mee te tellen in de volle inbreng. De gewoonte blijkt evenwel sterker te zijn dan de logica. Want alle andere economen, inclusief de Russische, nemen voor de coëfficiënten van de volle materiaal-inbreng simpelweg de elementen van de matrix B.
   Uiteraard is er, afgezien van gemakzucht, geen dwingende reden om de β_ij constant te nemen. Bijvoorbeeld op p.82 en verder van Verflechtungs-bilanzierung (1975, Verlag Die Wirtschaft) van V.V. Kossov (in het Duits W.W. Kossow; opnieuw verkregen via Helle Panke) wordt de alternatieve vorm Q_i = Φ_i(y) voorgesteld. Met andere woorden, de totale hoeveelheden hebben de gedaante van een vector-functie Φ, met als argumenten y₁, ..., y_n. In dit algemenere geval is de vervlechting tussen de takken zodanig, dat de uitdrukking ∂Q_i/∂y_j zelf een variabele functie van y kan zijn.
6. Zie p.88 van Vorlesungen zur Theorie der Reproduktion. Deze ontwikkeling in een macht-reeks is bekender uit de gewone wiskundige analyse, waar voor een reële variabele x geldt dat 1 / (1 − x) = Σ_n=0^N
xⁿ. Ook op p.57 van Volkswirtschaftlicher Reproduktionsprozeβ und dynamische Modelle (en andere Oost-Europese boeken) vindt men een uitleg van de decompositie in een macht-reeks, maar lang niet zo grondig uitgewerkt als in het boek van de onovertroffen Pasinetti. De decompositie heeft niet enkel een theoretische betekenis, maar is ook rekenkundig handig. In veel gevallen kun je B sneller uitrekenen via de macht-reeks dan door de matrix (I − A) te inverteren.
7. Merk op dat je des gewenst de reeks zou kunnen beëindigen na de (k+1)-de term. De rest-term y_R is dan Σ_n=k+1^∞ Aⁿ·y. Die expressie kan worden herschreven tot A^k+1 · (I − A)^-1 · y = A^k+1 · B · y. Er is nu een soort decompositie van Q in de tijd ontstaan, waarbij aan de statische situatie kunstmatig een pre-historie kan worden gegeven. Namelijk, stel op een tijdstip t=0 beschikt de samenleving over hulpbronnen ter grootte van y_R. Die kunnen worden gebruikt in een productie-slag van tijdsduur Δt, waarbij zij zelf opnieuw worden gemaakt en bovendien een extra hoeveelheid A^-1·y_R. Dat wil zeggen, het totale product is gegroeid. Dit groeiproces kan worden doorgezet, waarbij telkens het totale product wordt gebruikt als productie-middelen. Na k van deze productie-slagen, dus op tijdstip t=k×Δt, is de groei zo ver voortgeschreden, dat er een hoeveelheid productie-middelen A·Q gereed staat. Vanaf dat moment kan de statische productie-situatie worden ingegaan, waarbij er eeuwig durend een hoeveelheid Q wordt geproduceerd, en telkens een eind-product y uit de circulatie wordt gehaald. Deze "truc" heeft klaarblijkelijk een mogelijk groeipad naar de statische situatie geconstrueerd.
8. De idee van het schema is bijvoorbeeld te vinden op p.58 van Volkswirtschaftlicher Reproduktionsprozeβ und dynamische Modelle en op p.68 van Ökonomisch mathematische Methoden und Modelle. Die schema's verschillen in zoverre van figuur 1, dat Eva Müller en V.S. Nemtsjinov schema's hebben gekozen, die eindig zijn en een diepste laag hebben. Anderzijds loopt het schema in het rekenvoorbeeld van uw columnist oneindig door naar steeds diepere lagen.
9. Zie bijvoorbeeld p.65 en verder in Volkswirtschaftlicher Reproduktionsprozeβ und dynamische Modelle, of ook p.97 en verder in Verflechtungs-bilanzierung. Dergelijke studies dragen weinig bij aan het fundamentele inzicht, en worden eigenlijk pas nuttig en interessant zodra je werkelijk met economische toepassingen aan de slag gaat.
10. Zie bijvoorbeeld p.102 in Verflechtungs-bilanzierung of p.210 in Ökonomisch mathematische Methoden und Modelle. Strikt genomen moet je in D_j ook de afschrijvingen meetellen. Maar voor een fundamenteel inzicht zijn die niet zo relevant.
11. Namelijk, de formule 1 is Q_i = Σ_j=1ⁿ q_ij + y_i. Vermenigvuldig deze formule met p_i en sommeer over i. Sommeer de formule 5 over j, en combineer de beide resultaten. Ze kunnen enkel allebei juist zijn, indien de in de hoofdtekst genoemde gelijkheid opgeld doet.
12. Henriëtte Roland Holst - van der Schalk had er vertrouwen in. In Heldensage dicht ze dan ook: Ditmaal ontsteeg aan het menschelijk worde' een / nieuwe kracht: kracht van vooruit-zien, van orde- / nende bewustheid. Als een vuurzee ziedt / en loeit, loeide en ziedde begeerten-brand / omlaag. Maar omhoog waakte de gedachte; / zij wikte, woog en wist. Haar koele pracht en / dat wilde laaie' omsloeg de sterke band / van éénen wil. De blinde drang kreeg oogen, / 't reedlijk inzicht materieele macht: / nieuwe, sterke, grootsche rythmen bewogen / de harten. Waarheid overwon den logen, / bloedige daag'raad drong terug den nacht.
13. Als er geen rendement op kapitaal wordt gehaald (r=0), dan krijgt de formule 8 de simpele vorm p = w × v. In die situatie zijn de kosten geheel toe te schrijven aan de verrichte arbeid.
14. De lezer kent deze rekenwijze wellicht uit het begroten van kapitaal. Daar worden geldstromen omgerekend naar hun huidige waarde. Stel bijvoorbeeld, dat er over een aantal toekomstige perioden n een jaarlijkse instroom R(t) aan geld wordt geïncasseerd. Dan is de huidige waarde (in de Engelse taal: net present value) NPV = Σ_t=1ⁿ R(t) / (1+r)^t. Zie p.504 en verder in Managerial economics (1992, Macmillan Publishing Company) van P. Keat en P. Young. In de formule 9 staan de machten in de teller, omdat de investering is gedaan in het verleden, en de investeerders nu willen worden gecompenseerd voor het waardeverlies.
15. Natuurlijk drukt een dalend loonpeil de genormeerde prijs p/w omhoog. Maar deze stijging is wegens de term (1+r)ⁿ ongelijk verdeeld over de machten in de reeks. De econoom P.A. Samuelson gebruikt op p.631 en verder in zijn klassieker Handboek economie (1978, Aula-reeks, Het Spectrum) de macht-reeks zelfs om het omschakelen tussen de diverse beschikbare productie-methoden te verklaren. Uw columnist geeft de voorkeur aan de uitleg via de loon-winst curve. De Nederlander W. van Drimmelen plaatst op p.190 en verder van Meerwaarde en winst (1976, Socialistische Uitgeverij Nijmegen) de datering in een historisch kader, met verwijzingen naar Marx en von Bortkiewicz. Hij benut de decompositie om het transformatie-probleem van de prijzen in de theorie van Marx te illustreren. Deze benadering om de eigenaardigheden van de marxistische arbeids-waarde leer uiteen te zetten leidt tot nogal omslachtige betogen.
16. Het is aardig om te zien dat de waarden van de verticaal geïntegreerde arbeids-coëfficiënten v precies overeenkomen met de arbeids-waarden van een baal graan en een ton metaal, die zijn berekend in een eerdere column. Zie ook verderop in de tekst.
17. Pasinetti voert net zo een berekening uit op p.87 van Vorlesungen zur Theorie der Reproduktion.
18. Pasinetti voert net zo een berekening uit op p.89 van Vorlesungen zur Theorie der Reproduktion.
19. Zie p.197 van Meerwaarde en winst.
20. Zie ook de figuren in de column over de keuze van de techniek.