Figuur 1: matrices I, A en B-1, en de vector a
In een voorgaande column is uitgelegd hoe de prijsvorming van producten tot stand komt in de verschillende economische paradigma's. De huidige column is daarop een directe voortzetting. In een rekenvoorbeeld zal worden beschreven hoe de substitutie van productie-factoren samen hangt met de wisseling van de productie-techniek. Het rekenvoorbeeld maakt gebruik van het neoricardiaanse model van Piero Sraffa. Er wordt geprobeerd om binnen dit formalisme een verband te leggen met de neoklassieke substitutie van productie-factoren.
De lezer zal de inhoud van de column te vergeefs zoeken in leerboeken over het neoricardiaanse paradigma1. Feitelijk is het weinig meer dan een vinger-oefening, die iedere onderzoeker zo vaak in stilte uitvoert, en waartoe met name de theorie van Sraffa zo nadrukkelijk uitnodigt2. Hoewel men daarom in de column geen baanbrekende inzichten moet verwachten, is het net allemaal aardig genoeg om op het web te publiceren.
Ten einde de lengte van de tekst te beperken, zal de mathematische en economische uiteenzetting van het model achterwege blijven. De lezer kan haar nazien in de zojuist genoemde voorgaande column. Gemaks halve speelt het rekenvoorbeeld zich af in het bekende economische systeem met twee bedrijfs-takken: de landbouw en de industrie. De landbouw produceert graan (met als eenheid de baal) en de industrie produceert metaal (met als eenheid het ton gewicht). Aangezien het thema bestaat uit de wisseling van techniek, moet het systeem twee technieken bevatten. Ze worden hier aangeduid als α en β.
Het verschil van de twee technieken is gelegen in de productie-methoden van de landbouw. In de techniek α benut de landbouw de productie-methode τ(g1) en in de techniek β de productie-methode τ(g2). De productie-methode in de industrie, τ(m1) genoemd, is in de beide gevallen gelijk. De technische coëfficiënten van de drie methoden zijn weergegeven in de tabel 1. De lezer kan deze tabel ook vinden in de column over de keuze van de techniek in het neoricardiaanse paradigma. In het vervolg zal regelmatig worden terug gegrepen naar de resultaten in die column.
| landbouw | industrie | ||
|---|---|---|---|
| τ(g1) | τ(g2) | τ(m1) | |
| agj | 0.4167 | 0.2727 | 1.290 |
| amj | 0.01667 | 0.09091 | 0.6452 |
| aj | 1.667 | 0.4091 | 3.226 |
Voor een goed begrip van het betoog is het essentieel om de eigenschappen van de twee methoden τ(g1) en τ(g2) nauwkeurig te bekijken. De tabel 2 zet de verschillen naast elkaar. De methode τ(g1) gebruikt per voortgebrachte baal graan meer graan en minder metaal dan de methode τ(g2). Het zal blijken dat bij de normale prijzen de methode τ(g2) aanzienlijk meer kapitaal-goederen nodig heeft dan de methode τ(g1). De reden is de hoge prijs pm van metaal in verhouding tot de graanprijs pg.
Verder valt op, dat de productie van een baal graan met de methode τ(g1) aanzienlijk meer arbeid vergt dan met de methode τ(g2). De twee getallen relateren aan de totale hoeveelheid geproduceerd graan Qg. Maar het zal blijken dat het verschil eveneens opgaat voor het netto product QgN. Het netto product is de algemeen gebruikelijke maat voor de arbeids-productiviteit. Daarom is in de tabel 2 de arbeids-productiviteit van de methode τ(g2) hoger genoemd dan die van τ(g1).
| kenmerk | τ(g1) | τ(g2) | kenmerk | τ(g1) | τ(g2) | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| graan | veel | weinig | arbeid | veel | weinig | |
| metaal | weinig | veel | netto productiviteit | laag | hoog | |
| totaal kapitaal | weinig | veel |
In de column over prijsvorming zijn de fundamentele vergelijkingen voor de productie in het neoricardiaanse model weergegeven met de formules 1 en 3. Zij worden hier herhaald, zonder nogmaals een toelichting van hun betekenis:
(1a) QN = (I − A) · Q
(1b) L = a · Q
Om te beginnen wordt het stelsel 1a-b eerst zo uitgelegd, alsof er voor elk tijdstip maar één techniek wordt toegepast. Met andere woorden, het stelsel verwijst hetzij naar de techniek α (met 2×2 matrix Aα en liggende 1×2 vector aα), hetzij naar de techniek β (met dito matrix Aβ en liggende vector aβ), maar niet naar een combinatie ervan. Het systeem laat een zekere dynamiek toe, omdat eventueel de productie-techniek kan worden gewisseld. Daardoor wijzigen de productieve structuur en de vereiste hoeveelheden productie-factoren. Merk evenwel op: er wordt hier en overigens in de hele column geen aandacht besteed aan een aanhoudende krimp of groei van het systeem.
Stel dat met elk van de technieken α en β hetzelfde netto product QN moet worden voortgebracht, bijvoorbeeld QN = [3, 0.9]. Enig rekenwerk laat zien, dat de techniek α daarvoor 30 arbeiders (als representanten van een eenheid arbeid) nodig heeft, en de techniek β maar 27.72. Met andere woorden, zodra er wordt gewisseld van de techniek α naar de techniek β, bijvoorbeeld omdat het graan zo duur is geworden, dan zal de producent zonder omhaal 2.28 arbeiders moeten ontslaan3. Er is dus niet sprake van een geleidelijke substitutie van productie-factoren, zoals in het neoklassieke paradigma. Techniek-wisselingen zijn productieve schokken. Dat blijkt eveneens uit de noodzakelijke productie-middelen. Voor het zojuist genoemde netto product heeft de techniek α Q = [12, 3.1] nodig, en de techniek β [15.8, 6.6]. Bij de wisseling naar β moet de hoeveelheid metaal ruimschoots verdubbelen.
Een aardige eigenschap van vervlechtings-matrices is, dat je de verschillende technieken probleemloos kunt weergeven in één en dezelfde matrix. De technieken komen dan naast elkaar voor in het systeem, en kunnen gelijk-tijdig in gebruik zijn. In de rest van deze column zal die representatie daadwerkelijk worden toegepast. Men moet enkel de concessie doen, dat de matrices I en A de dimensies 2×3 krijgen, en daarom niet meer vierkant zijn. De vector a krijgt de dimensie 1×3. Zowel I, A als a zijn weergegeven in de figuur 1. Als vervolgens de vector a onder de matrix (I − A) wordt geplakt, dan ontstaat een 3×3 matrix, die verder B zal worden genoemd.
Voortaan zullen dus in de formule 1a de matrices I en A het vlak (Qg, Qm) koppelen aan de ruimte (Qgα, Qgβ, Qm). Hierin stellen Qgα en Qgβ de hoeveelheden graan voor, die op een zeker tijdstip zijn geproduceerd met respectievelijk de techniek α en β. Het is precies hetzelfde graan, enkel de voortbrenging ervan is verschillend. Er geldt voor de totaal voortgebrachte hoeveelheid graan dat Qg = Qgα + Qgβ. En de formule 1b is een inproduct tussen twee vectoren met ieder drie elementen geworden. Voor de trouwe lezer is deze aanpak overigens niet nieuw, want hij wordt ook toegepast in de column over de vervlechtingsbalans bij meer-perioden optimalisatie. Alleen heeft daar de industrie de keuze uit twee productie-methoden, in plaats van de landbouw, zoals hier.
Er kan de belangrijke observatie worden gedaan, dat het stelsel 1a-b simpel her-schrijfbaar is tot
(2) Q = B-1 · H
In de formule 2 stelt B-1 de inverse matrix van B voor. De staande 3×1 vector H heeft als bovenste elementen QN en als onderste L. Dat wil zeggen, H = [QgN, QmN, L]. De arbeid L wordt in dit geval verdeeld over de tak industrie en de tak landbouw, en binnen de landbouw over de beide productie-methoden. Als QN en L zijn gegeven, dan kunnen alle hoeveelheden Q simpel met de formule 2 worden berekend. Het is dus een uiterst krachtige formule.
De formule 2 laat toe, dat de arbeid L op een continue manier van grootte verandert. De productieve schokken zijn geëlimineerd. De reden is van zelf sprekend, dat de productie nu een mengsel is van α en β. De consequentie is, dat L noodzakelijker wijze moet liggen tussen 27.72 en 30. Bij andere L-waarden zal men negatieve waarden aantreffen in Q, en dat is economisch onmogelijk. Op dezelfde manier blijven Qg en Qm gebonden aan minimale en maximale grenzen.
Het verband tussen de vectoren H en Q = [Qgα, Qgβ, Qm] is intuïtief logisch. Bijvoorbeeld, als het netto product is vastgelegd, en men wil L vergroten, dan kan dat enkel door meer gebruik te maken van de techniek α. Immers α heeft een lage productiviteit, en vereist relatief veel arbeid. Het directe gevolg is, dat Qgα zal toenemen, en Qgβ moet afnemen. Op een soort gelijke manier kan men het effect van allerlei wijzigingen in H op Q nagaan.
De matrix B-1 is dus buiten-gewoon interessant, en weergegeven in de figuur 1. Feitelijk zijn haar elementen substitutie-coëfficiënten. In de figuur 1 wordt dit benadrukt door boven de matrix B-1 de grootheden weer te geven, die men des gewenst kan laten variëren (met andere woorden, de vector H)4. Achter de matrix staan de grootheden, die worden beïnvloed door de des betreffende wijziging. De variatie van een grootheid uit H veroorzaakt verschuivingen van omvang (substituties) tussen de elementen van de product-vector Q.
Bijvoorbeeld geeft B-111 = -16.33 aan, dat de toevoeging van een extra eenheid QgN de hoeveelheid Qgα zal verminderen met 16.33. Immers naarmate het netto product groeit bij een vaste L, moet de arbeids-productiviteit stijgen. Er moet dan meer gebruik worden gemaakt van de techniek β, zodat Qgα daalt. Op dezelfde manier is bijvoorbeeld B-131 = 5.390 verklaarbaar. Een stijgend netto product bij vaste L vraagt om meer techniek β, en dus om meer metaal (Qm) als productiemiddel. Een extra baal graan in het netto product vereist een uitbreiding van het volume metaal met 5.390 ton. Enzovoort.
De menging van productie-technieken, zoals die is verondersteld in de formule 2, komt als een verrassing. Immers in de column over de keuze van de productie-techniek werd geconcludeerd, dat er altijd maar één techniek het hoogste rendement levert. Afhankelijk van het loonpeil krijgt de techniek α of de techniek β de voorkeur. Inderdaad moet een mengvorm van de beide technieken leiden tot een sub-optimaal rendement. Producenten hebben geen enkele prikkel om vast te houden aan een dergelijke toestand. Feitelijk beschrijft de formule 2 een overgangs-situatie, waarin het systeem bezig is om de ene techniek te vervangen door de andere.
Maar ook al is de situatie met een mengvorm economisch instabiel, toch herinnert zij aan het neoklassieke paradigma. Immers het netto product QN stelt de effectieve vraag naar producten voor, en L is de vraag op de arbeids-markt. Een verandering in de markt-vraag of de vraag naar arbeid veroorzaakt via de formule 2 een aanpassing van de hoeveelheden productie-factoren. Echter in tegenstelling tot het neoklassieke geloof ontbeert de aanpassing elke logica. Zij is geheel bepaald door de bijzonderheden van de beschikbare technieken.
Het sub-optimale karakter van de mengvorm wordt duidelijk, wanneer het systeem van product-prijzen wordt beschouwd5. Voor een gedetailleerde uitleg van de prijs-theorie zij de lezer weer verwezen naar de column over de techniek-keuze. Ook in de huidige situatie met gelijk-tijdig twee technieken kunnen de formules van de theorie gewoon worden toegepast, namelijk door de matrix A voor te stellen als de gewogen som van de afzonderlijke technieken. In formule:
(3) aij = f × aijα + (1 − f) × aijβ
In de formule 3 is f de fractie van de arbeid L, die werkt met de techniek α6. Dat wil zeggen, 0 ≤ f ≤ 1.
Beschouw bijvoorbeeld vier verschillende mengvormen van de technieken α en β, met f=1, f=0.66, f=0.22 en f=0. Veronderstel dat de samenleving onder alle omstandigheden het bestaande netto product wil blijven voortbrengen. Als er in de mengvorm f=1 met alleen de techniek α L=30 arbeiders te werk zijn gesteld, dan worden dat er voor de andere mengvormen respectievelijk L=29.5, 28.5 en 27.72. De laatst genoemde mengvorm (f=0) is zuiver techniek β. Men zou hierbij kunnen denken aan een krimpende bevolking, die zich genoodzaakt ziet te wisselen van α naar de productievere β. De figuur 2 laat voor deze vier mengvormen de bij behorende looncurven zien7.
Het is direct duidelijk uit de figuur 2, dat de mengvormen f=1 (techniek α) en f=0 (techniek β) de technologie-grens vormen. De andere mengvormen liggen beneden deze omhullende. Enkel bij het schakelpunt van α en β (te weten bij r=0.024) liggen alle mengvormen op de technologie-grens. Alle technieken leveren daar bij het gegeven loonpeil w/pg hetzelfde rendement op. Het schakel-punt (in de Engelse taal switching point) vormt als het ware de spil, waar omheen de looncurve draait, naarmate f (en daarmee L) verandert.
De kanteling van de curve rondom r=0.024 is het gevolg van twee, elkaar tegenwerkende, economische effecten. Enerzijds is blijkens de tabel 1 de techniek β de meest productieve, waardoor zij voor r=0 het hoogste loonpeil kan garanderen. Anderzijds vereist blijkens de zelfde tabel de techniek β relatief veel productie-middelen, waarvoor veel rente moet worden betaald. Voor de rente-afdracht (in de zin van een pacht voor de productie-middelen) moet worden geput uit het voortgebrachte netto product. Naarmate het verlangde kapitaal-rendement toeneemt, lukt het de techniek β al snel niet meer om die rente op te hoesten.
Minstens zo belangrijk voor deze column zijn de krommen van prijs-verhoudingen pm/pg als functie van het rendement. Immers in het neoklassieke paradigma zijn de prijzen van de producten evenredig aan hun grensnut. Hun verhouding weerspiegelt de waardering, die de samenleving geeft aan de producten. Elke mengvorm van α en β kent haar eigen prijsgedrag. De figuur 3 illustreert dat gedrag voor f=1, 0.66, 0.22 en 08. Ook voor deze curven is r=0.024 het kantelpunt. Klaarblijkelijk stijgt in het algemeen de waardering voor metaal bij een toenemend rendement. Alleen wanneer de techniek β zeer overwegend de voorkeur krijgt, treedt het omgekeerde op. Merk voorts op, dat in de figuur de prijs-verhouding nergens lager wordt dan 6.34, namelijk met techniek β en r=0.178.
De figuren 2 en 3 illustreren de vereffenende werking van de markt. De technieken α en β brengen elk hun eigen prijzen-stelsel mee. Zodra zij evenwel in een mengvorm optreden, dwingt de markt tot een uniforme prijs van de arbeids-factoren en van de eind-producten. Des al niettemin zijn de prijzen voortdurend in beweging, zolang de mengvorm van technieken wijzigt, bijvoorbeeld bij een afnemende werkgelegenheid L. In de volgende paragraaf zal worden terug gekomen op deze economische wetmatigheden.
In een aantal voorgaande columns is aandacht besteed aan optimalisatie-methoden als een middel om te kiezen voor de beste mengvorm van technieken. In het kapitalistische systeem met zijn private wijze van produceren blijft de toepassing van optimalisatie grotendeels beperkt tot het micro-niveau, in de bedrijven. Maar in de voormalige Oost-Europese plan-economieën stond deze aanpak ook bij macro-economische toepassingen in hoog aanzien.
Ter herhaling wordt hier nog eens het optimalisatie-probleem geformuleerd, dat al ter sprake is gekomen in de zuster-column over de prijsvorming. De oplossing maakt gebruik van lineair programmeren (LP). Het LP probleem ziet er als volgt uit:
(4a) maximaliseer Z = p · (I − A) · Q onder de voorwaarden
(4b) (I − A) · Q ≥ QN
(4c) a · Q ≤ L
(4d) Q ≥ 0
In deze column wordt ervan afgezien om de kenmerken van het stelsel 4a-d nogmaals te bespreken. Het volstaat om nog eens te wijzen op de grote maatschappelijke betekenis van de doel-functie Z (of, handiger in onze rekenvoorbeelden, Z'= Z/pg). De weeg-factoren p, die gewoonlijk gelijk worden gesteld aan de markt-prijzen, zijn leidend bij de keuze van de economische ontwikkeling. Uiteraard is het grote gewicht van markt-invloeden een cruciaal kenmerk van het neoklassieke paradigma. De lezer ziet hier tevens een probleem opduiken. Immers de veronderstelling van partiële markten, waarbij de interactie tussen de markten wordt genegeerd, houdt geen stand.
Als bijvoorbeeld de productie-factor L varieert, dan zal dat direct doorklinken in de weeg-factoren p. Met andere woorden, men moet eigenlijk als weeg-factoren niet de huidige markt-prijzen benutten, maar de markt-prijzen die gelden ná de structuur-verandering. Dat compliceert het optimalisatie-proces aanzienlijk, want de toekomstige markt-vraag is een grote onbekende9.
Stel anderzijds dat er wordt ge-optimaliseerd onder de aanname van een constante pm/pg. Beschouw het geval waarin L en dus f langzaam afneemt naarmate de tijd vordert. De figuur 3 laat dan aardig zien wat er zal gebeuren. De curve van de prijs-verhouding draait met de wijzers van de klok rond r=0.024. Dien ten gevolge zal in het gebied r>0.024 het rendement gaan stijgen. Hierin zit een logica. De productie stapt geleidelijk over naar de techniek β. En voor r>0.024 betekent dat een lager loonpeil bij hetzelfde rendement. Als dus het netto product QN in deze ontwikkeling vast wordt gehouden, ontstaat er meer ruimte om het kapitaal-rendement te verhogen.
Daarmee komt het LP probleem in een interessant kader te staan, dat ontbrak in de eerdere columns over optimalisatie. Namelijk het gebruik van een vaste doel-functie impliceert, dat de optimalisatie noch het actuele loonpeil noch het rendement in stand houdt. In deze paragraaf zal dit thema verder worden uitgewerkt aan de hand van simpele rekenvoorbeelden. Daarbij wordt met name geprobeerd om wat meer zicht te geven op de betekenis van de zogenaamde schaduw-prijzen. Schaduw-prijzen drukken de waardering voor schaarse producten en hulpbronnen uit, en zijn daarom een neoklassiek fenomeen. In alle nu volgende rekenvoorbeelden is het uitgangs-punt steeds een vast netto product van QN = [3, 0.9].
Beschouw allereerst de situatie, waarin het plan-bureau (of wie dan ook) uitgaande van L=29.5 wil herstructureren naar een toestand met L=28.5. Het bureau laat zich bij zijn besluiten leiden door het stelsel 4a-d, inclusief de doel-functie. Aangezien de vector Q drie-dimensionaal is, komt een grafische oplossing niet in aanmerking. Immers de grenzen van de ongelijkheden bestaan nu uit vlakken in de ruimte. De oplossing zal rekenkundig moeten worden bepaald, bijvoorbeeld met de simplex methode. Bij de willekeurige keuze r=0.1 wordt de weeg-factor pm/pg = 7.36 (zie de figuur 3). Echter voor dit bijzondere geval volstaat ook een kwalitatieve redenatie.
Het is direct duidelijk, dat bij de inkrimping van L de landbouw meer gebruik zal maken van de techniek β. De doel-functie Z' heeft een sterke voorkeur om de industrie uit te breiden. Immers in de vorige paragraaf is gebleken, dat de metaal-prijs minstens 6.34 keer zo groot is als de graan-prijs. Echter in de praktijk kan geen gevolg worden gegeven aan deze voorkeur. Namelijk, de extra productie-middelen, die beschikbaar komen voor de techniek β, moeten worden ingeleverd door de techniek α. Daarmee is alle keuze-vrijheid opgeheven, en de ongelijkheden van het LP probleem reduceren tot gelijkheden. De oplossing is het snijpunt, dat de bij de drie ongelijkheden behorende grens-vlakken gemeen hebben.
Als toch de simplex methode wordt losgelaten op het probleem (en dat heeft uw columnist gedaan), dan wordt dezelfde oplossing Q gevonden, die ook met de formule 2 wordt berekend (met H = [3, 0.9, 28.5]). Sterker nog, aangezien de simplex tabel (in de Engelse taal tableau) per definitie is samengesteld uit substitutie-coëfficiënten, verschijnt de matrix B-1 als een onderdeel van de simplex tabel. De schaduw-prijzen blijven gelijk aan nul, omdat er noch schaarse noch overvloed aan hulpbronnen ontstaat. Alle middelen worden precies benut.
De situatie ligt anders, wanneer het plan-bureau uitgaande van L=28.5 wil herstructureren naar L=29.5. Immers in dat geval is het bureau geheel vrij om de extra ΔL=1 aan arbeid (één arbeider) in te zetten waar het verkiest. Nu is bij r=0.1 de weeg-factor van de doel-functie gelijk aan pm/pg = 6.88. Ook dit probleem moet worden opgelost met behulp van de simplex methode. Uw columnist heeft zich van deze taak gekweten10.
Het resultaat is tamelijk voorspelbaar. Aangezien de methode τ(g2) een hogere arbeids-productiviteit heeft dan τ(g1), krijgt de eerst genoemde methode de voorkeur. Met andere woorden, al het extra graan wordt voortgebracht met de techniek β. Daarbij dwingt de doel-functie tot een overweldigende voorkeur voor de industrie. Al het meer-product (I−A) · ΔQ, dat ontstaat dankzij ΔL=1, staat in dienst van de metaal-productie. Hierin stelt ΔQ de uitbreiding van het totale product ten gevolge van de extra ΔL voor. Het resultaat is ΔQgα=0, ΔQgβ=0.449 en ΔQm=0.251. Van de extra eenheid arbeid wordt 0.18 toegewezen aan de landbouw, en de rest 0.82 aan de industrie. De groei in de landbouw dient uitsluitend om de groei in de industrie mogelijk te maken, en dus niet voor het uitbreiden van het eigen meer-product. Dat blijft steken op QgN.
Klaarblijkelijk verloopt in dit geval de herstructurering een tikje ingewikkelder dan bij de zojuist beschreven krimp. Het meer-product is nu groter geworden dan het netto product [3, 0.9], namelijk [3, 0.949]. De doel-functie heeft onmiskenbaar richting gegeven aan de nieuwe structuur. Bovendien kent het probleem nu een schaarste aan hulpbronnen. Niet alleen zou men L verder willen vergroten, maar ook vormt de omvang van QgN een rem op de uitbreiding van de industrie. Dien ten gevolge krijgen deze twee grootheden alle twee een schaduw prijs, die verschilt van nul.
De schaduw-prijzen zouden kunnen worden berekend door het duale probleem van het stelsel 4a-d te formuleren en op te lossen. Die aanpak is gekozen in de zuster-column over prijs-vorming, wat de lezer des gewenst kan naslaan. De schaduw-prijzen kunnen echter ook direct worden afgelezen uit de simplex tabel voor het primale probleem11. Die benadering wordt gevolgd in de huidige column. Men vindt voor de schaarse hulpbronnen de twee schaduw-prijzen π(QgN) = 0.0488×pg en π(L) = 0.337×pg. De hulpbron π(QmN) is overvloedig aanwezig, en heeft daarom een schaduw-prijs van 0. Een derde schaduw-prijs met een positieve waarde is π(Qgα) = 0.0643×pg.
De schaduw-prijzen verdienen een nadere beschouwing. De waarde van de schaduw-prijs drukt uit met hoeveel de doel-functie zou toenemen, indien van de des betreffende hulpbron een extra eenheid beschikbaar zou komen. Hij drukt daadwerkelijk een schaarste uit. Bijvoorbeeld is de schaduw-prijs van arbeid groter dan de neoricardiaanse prijs bij r=0.1, die slechts w(29.5) = 0.223×pg bedraagt (zie de figuur 2). Zelfs is hij groter dan de maximale waarde van w(29.5), te weten 0.293×pg bij r=0. De verklaring van deze aardige vondst is, dat de laatst toegevoegde arbeid ΔL=1 boven-gemiddeld bijdraagt aan het meer-product. Immers ze produceert zo veel mogelijk metaal.
Opvallend is ook, dat klaarblijkelijk de schaduw-prijs π(Qgα) verschilt van π(Qgβ), die gelijk is aan 0. En dat terwijl het toch echt hetzelfde graan betreft. Er bestaat geen "tekort" aan Qgα, want de productie ervan is verlies lijdend. Als in de simplex tabel de schaduw-prijs wordt afgelezen voor een product, zoals hier de eenheden graan, en niet voor een hulpbron, dan duidt hij de opbrengst aan, na aftrek van de productie-kosten. Aangezien het product buiten de "mix" van de oplossing valt, vertegenwoordigt de opbrengst een negatieve waarde. In aansluiting op deze bevinding is het aardig om na te gaan, wat voor schaduw-prijzen je kunt vinden voor Qg en Qm in de gedaante van hulpbronnen.
Het uitgangs-punt om de twee schaduw-prijzen π(Qg) en π(Qm) van het totale product te berekenen is een LP probleem met dezelfde plan-matige uitbreiding van zonet, dus ΔL=1 bij een start-situatie L=28.5. Eerst wordt er schaarste van de grootheid Qg gemaakt door aan het stelsel 4a-d een extra ongelijkheid toe te voegen:
(5) ΔQgα + ΔQgβ ≤ 0.3
Het nieuwe LP probleem, waarin nu ΔQg = ΔQgα + ΔQgβ expliciet voorkomt als hulpbron, kan weer worden opgelost met de simplex methode.
Dankzij de ongelijkheid 5 is de arbeid L geen schaars goed meer, zodat haar schaduw-prijs gelijk wordt aan nul. Daardoor krijgt de weinig productieve methode τ(g1) een nieuwe kans. De oplossing is ΔQgα=0.3, ΔQgβ=0, en ΔQm=0.136. Van de extra arbeid ΔL=1 wordt slechts 0.937 benut, waarvan 0.500 in de landbouw en 0.437 in de industrie. Vanwege de extra ongelijkheid 5 worden de schaarse goederen en hulpbronnen nu Qgβ (een product, met verlies π = 0.301×pg), QgN (een hulpbron, met meer-opbrengst π = 0.580×pg), en Qg (een hulpbron, met π = 0.826×pg). De overige schaduw-prijzen, waaronder π(Qgα), zijn gelijk aan nul. Klaarblijkelijk krijgt het graan als hulpbron een andere schaduw-prijs dan het graan als eind-product. En de beperking 5 heeft de schaduw-prijzen radicaal veranderd in vergelijking met het direct voorafgaande rekenvoorbeeld.
Ten slotte wordt een reken-voorbeeld getoond, waarin Qm een positieve schaduw-prijs krijgt. Daartoe moet het metaal schaars worden gemaakt, en daartoe wordt de volgende ongelijkheid ingevoerd:
(6) ΔQm ≤ 0.2
Voor de rest blijft het LP probleem gelijk aan de plan-opgave in de vooraf gaande tekst. Daarbij wordt de beperking van de formule 5 weer weg gelaten. Ook dit LP probleem wordt opgelost met de simplex methode12.
Dankzij de ongelijkheid 6 treden er aanzienlijke verschuivingen op in het optimale meer-product. Nu het metaal een schaarse hulpbron is, verliest de productie-methode τ(g2) veel van haar aantrekkings-kracht. Het gevolg is dat ook de productie-methode τ(g1) weer wordt toegepast. De oplossing is ΔQgα=0.156, ΔQgβ=0.230 en (uiteraard) ΔQm=0.2. Dankzij het inmengen van de arbeids-intensieve methode τ(g1) kan toch alle extra arbeid ΔL=1 worden benut. De verdeling is 0.354 in de landbouw, waarvan 0.260 met de methode τ(g1) en 0.094 met de methode τ(g2), en 0.645 in de industrie. Vanwege de extra ongelijkheid 6 worden de schaarse hulpbronnen nu QgN (π = 0.0221×pg), L (π = 0.411×pg), en Qm (π = 0.190×pg).
Een bijzonderheid aan dit geval is het optreden van een echte mengvorm bij de maximale waarde van het meer-product. Immers de voorgaande paragraaf heeft aangetoond, dat zo een mengvorm nooit de meest renderende techniek is. Kennelijk leidt het maximaliseren van het meer-product niet tot het maximaliseren van het rendement. Met dit verrassende en toch logische rekenvoorbeeld wordt de paragraaf afgesloten.
De voorgaande paragraaf heeft laten zien, dat schaduw-prijzen zich weinig gelegen laten liggen aan de productie-kosten. Dit is een algemeen bekend fenomeen13. Hun grote kracht is het aangeven van de meest productieve inzet van de beschikbare schaarse producten en hulpbronnen. Indertijd pleitte de Sovjet-econoom V.V. Novosjilov (in de Duitse taal W.W. Nowoshilow14) voor de introductie van schaduw-prijzen als het algemeen gangbare prijzen-stelsel15. Prijzen worden dan de pacht, die verschuldigd is aan krappe hulpbronnen. Novosjilov wil de feitelijk gemaakte onkosten verrekenen door de schaduw-prijzen op te schalen. De totale opbrengst zou dan gelijk moeten zijn aan de feitelijk totaal bestede hoeveelheid arbeid. Met andere woorden, zijn prijzen-stelsel leidt tot een herverdeling van de totaal gecreëerde waarde.
Novosjilov heeft zijn ideeën niet in de praktijk kunnen doorzetten, omdat er een aantal bezwaren aan kleven16. De verdelings-functie van de prijs krijgt te veel gewicht, terwijl de kosten uit het beeld verdwijnen. De schaduw-prijzen zijn erg afhankelijk van de "toevallig" gekozen doel-functie. Dit kan remmend werken op de technische vooruitgang. Immers verouderde productie-processen zouden in omloop kunnen blijven, simpelweg omdat ze bijdragen aan het bereiken van het doel. Er is geen prikkel meer voor technische vooruitgang als een waarde in zichzelf.
Zelfs zouden er perfide prikkels kunnen ontstaan. Bedrijven hebben er baat bij om de schaarste van hun product te creëren of handhaven, omdat die de prijs opdrijft. Daarnaast waren er filosofische bezwaren, omdat het voorstel van Novosjilov indruist tegen de arbeids-waarde leer (AWL). Net zoals het neoricardiaanse paradigma veronderstelt de AWL, dat in principe alles zal worden geproduceerd waaraan behoefte bestaat. De idee van schaarste past daar niet in.
Bovendien past een dergelijk centraal bepaald prijzen-stelsel niet in de alledaagse realiteit van de planvorming in de toenmalige Oost-Europese economieën17. In de praktijk namelijk hadden de producenten een eigen verantwoordelijkheid bij de prijsvorming. Het hele proces kende een tamelijk subjectieve zijde, die niet toegankelijk is voor een wiskundige optimalisatie. En ook de prijs op de wereldmarkt is praktisch van belang. Daar en boven had de planvorming een dynamisch karakter, dat toestond om op termijn de schaarste te elimineren. Om al deze redenen gingen in de plan-economieën de berekende schaduw-prijzen enkel als één van de vele mee te wegen factoren in de bepaling en vaststelling van product-prijzen.
Daarmee is nog eens samengevat, wat blijkt uit de rekenvoorbeelden in deze column. Schaduw-prijzen vertonen geen enkele gelijkenis met de kost-prijzen. Ze garanderen geen optimaal rendement. En ze reageren grillig op veranderingen in de beschikbaarheid van hulpbronnen. Partiële markten en vaste prijs-verhoudingen bestaan niet18.