Figuur 1: Loon- en consumptie-curve: 1a concaaf, 1b convex
In een eerdere column is de neoricardiaanse theorie van Piero Sraffa uitgelegd. Een interessante eigenschap van deze theorie is, dat ook de economische groei er mee kan worden gemodelleerd. De theorie is dynamisch. Zij staat in een direct verband met de input-output modellen van Leontief, en met de vervlechtings-balansen op basis van matrix-rekening. De groei blijkt duaal te zijn aan de winstvorming.
In deze column wordt verondersteld, dat de lezer bekend is met de beginselen van de neoricardiaanse theorie. Desgewenst kunnen die nog even worden nagelezen in de zojuist genoemde eerdere column. Bovendien wordt hier onmiddelijk gebruik gemaakt van matrix-rekening, waarbij wordt voorbij gegaan aan het concreet uitschrijven van de vergelijkingen. De regelmatige bezoeker van dit web-portaal zal intussen ongetwijfeld zijn gaan waarderen, hoezeer de theorie daardoor wint aan overzichtelijkheid1.
In de column over vervlechtingsbalansen is de fundamentele vergelijking van de neoricardiaanse theorie gedefinieerd
(1) ψ(t) = (I − A(t)) · x(t)
Het symbool t stelt de tijds-variabele voor, en maakt de vergelijking dynamisch. De formule 1 is een vector-vergelijking in n dimensies, waarin elke dimensie een tak van economische bedrijvigheid vertegenwoordigt. Elke tak fabriceert slechts één product. De hoeveelheden in het totale product worden voorgesteld door de vector x(t). De vector ψ(t) is het eindproduct, bij Sraffa ook wel netto product genoemd.
De verschil term I-A laat zien, dat het eindproduct kleiner is dan het totale product. Hierin stelt I de eenheids matrix voor, en A de matrix met elementen aij = χij / xj. De elementen van A worden ook wel de productie-coëfficiënten genoemd. Het symbool χij geeft weer, welke hoeveelheden van product i er nodig zijn om een hoeveelheid xj van het product j te fabriceren. Kennelijk wordt in de productie-coëfficiënten deze hoeveelheid teruggebracht tot de benodigdheid per eenheid j. Merk op, dat de index j zowel verwijst naar de bedrijfstak als naar zijn product. De formule 1 drukt uit, dat een deel van het totale product wordt verbruikt binnen de bedrijfstakken zelf.
In de huidige column wordt de economische groei geïntroduceerd in het neoricardiaanse model door rekening te houden met de bevolkingsgroei. De bevolkingsgroei heeft tot gevolg, dat ook de beroepsbevolking l(t) groeit, zeg met een voor alle tijden constante groeivoet g. Hierin is l een vector, die beschrijft hoe de arbeiders zijn verdeeld over alle takken. Het is direct duidelijk, dat de totale beroepsbevolking een omvang ter grootte L(t) = Σj=1n lj(t) heeft2. De groeivoet geeft aan, hoe in een tijds-interval Δt het aantal arbeiders toeneemt volgens
(2) l(t+Δt) = (1 + g) × l(t)
In de huidige column zal de formule 2 de enige bron van dynamiek worden. De lezer kan de formule 2 vergelijken met het model van Solow, en met name de formule 6 aldaar. In tegenstelling tot het model van Solow wordt nu de technische vooruitgang verwaarloosd. Er is slechts één productie-techniek beschikbaar. Vanuit wiskundig oogpunt heeft dit het prettige gevolg, dat de productie-coëfficiënten (en dus ook de matrix A) constant blijven in de tijd.
Het vasthouden aan één techniek impliceert, dat per eenheid eindproduct j de benodigde hoeveelheid arbeid ongewijzigd blijft in de tijd. Deze hoeveelheid arbeid wordt weergegeven door de arbeids-coëfficiënt, die is gedefinieerd als aj = lj(t) / xj(t). Tezamen met de productie-coëfficiënten vormen zij de technische coëfficiënten. In combinatie met de formule 2 betekent dit, dat er geldt
(3) x(t+Δt) = (1 + g) × x(t)
De formule 3 maakt duidelijk, dat in essentie met het verstrijken van de tijd het hele systeem materieel opschaalt met de groeivoet g. Dien ten gevolge geldt dit eveneens voor de productie-middelen χij(t) en voor het eindproduct ψ(t) in alle takken. Dit groeipad wordt een technisch neutrale vooruitgang genoemd.
Het ligt voor de hand om ook de verdeling van de inkomens constant te nemen in de tijd. Dat wil zeggen, stel dat noch het loonpeil w, noch de winstvoet r afhankelijk is van t. In dat geval beschrijft de neoricardiaanse theorie een vorm van bevredigende groei (in de Engelse taal warranted growth), zoals die is gedefinieerd door de economen Roy Harrod en later Robert Solow3. De arbeiders en kapitalisten zijn dan tevreden met de status quo. Merk op, dat g ook het groeitempo is van de hoeveelheid "loongoederen". Deze toename zal juist de stijging van de loonsom dekken, indien het loonpeil constant wordt genomen in de tijd.
In elke productie-cyclus (of omslag) wordt er over het hele economische systeem een hoeveelheid Σj=1n χij(t) = Σj=1n aij × xj van product i ingezet als productie-middel. In matrix-notatie is dat A · x(t). Als de cyclus een tijdsduur heeft van Δt, dan moet voor de volgende cyclus de hoeveelheid van productiemiddelen gelijk zijn aan A · x(t+Δt) = A · x(t) + g × A · x(t). Gemaks halve wordt voortaan x(t+Δt) − x(t) aangeduid met het symbool Δx(t). Klaarblijkelijk moet aan het begin van de nieuwe productie cyclus een extra hoeveelheid productie-middelen ter grootte van A · Δx(t) = g × A · x(t) klaar staan. Deze hoeveelheid zal moeten worden onttrokken aan het eindproduct ψ(t) van de voorgaande cyclus.
In de neoricardiaanse theorie worden de toevoegingen aangeduid als investeringen
(4) i(t) = A · Δx(t)
Toegegeven, dit is een tikje excentriek, omdat gewoonlijk de term investeringen exclusief verwijst naar de outillage. Het restant van het eindproduct wordt geconsumeerd. Er geldt:
(5) C(t) = ψ(t) − i(t)
Kennelijk groeit ook de consumptie C(t) met de groeivoet g. Dien ten gevolge is de verhouding cj = Cj(t) / L(t) een constante grootheid. Zij stelt de consumptie per hoofd voor, en weerspiegelt de voorkeur (preferentie) van de consumenten. De lezer ziet hoe in dit neoricardiaanse model de consumptieve behoeften onveranderlijk blijven.
De fundamentele formule 1 kan nu aan de hand van de overige formules worden herschreven tot
(6) C(t) = (I − (1 + g) × A) · x(t)
De formule 6 geeft door een simpele herordening de oplossing van het totale product
(7) x(t) = (I − (1 + g) × A)-1 · C(t)
In de formule 7 duidt de index -1 aan, dat de inverse van de matrix I − (1 + g) × A wordt bedoeld.
Merk vervolgens nog op, dat per definitie de vector van arbeids-coëfficiënten voldoet aan het wiskundige inproduct a · x(t) = L(t). De formule 7 kan aldus worden omgezet in een meer veelzeggende gedaante
(8) 1 = a · (I − (1 + g) × A)-1 · c
Het aardige aan de formule 8 is, dat elke tijds-afhankelijkheid er uit verdwenen is. Alle systeem-variabelen kunnen worden herschreven in onveranderlijke grootheden. Hierom wordt het neoricardiaanse model soms quasi-dynamisch genoemd. Deze benaming is nodeloos neerbuigend.
De tijds-afhankelijkheid kan overigens ook uit de formule 7 worden verwijderd zonder gebruik te maken van het inproduct. Definieer de vector η = x(t) / L(t), die het totale product per hoofd voorstelt. De componenten van de vector η zijn precies de omgekeerden van die in a. Aangezien zowel het totale product als de beroepsbevolking toenemen met de groeivoet g, blijft η onveranderlijk voor alle tijden t. Daarmee reduceert de formule 7 tot
(9) η = (I − (1 + g) × A)-1 · c
De formules 8 en 9 laten duidelijk zien, dat de technische uitrusting een beperking oplegt aan de keuze-mogelijkheden van de consumenten. Bovendien hangen de consumptie mogelijkheden af van de economische groei: c = c(g). Als de bevolking zich sneller voortplant, en dien ten gevolge aanleiding geeft tot een snellere economische groei, dan zal zij per hoofd een lagere consumptie moeten accepteren.
Tot nu toe is alleen de dynamiek van de hoeveelheden beschreven, afgezien van een enkele opmerking over de verdeling van de inkomens. Deze paragraaf bespreekt welke gevolgen de invoering van een waarden-systeem heeft. Daarbij wordt gemaks halve direct de formule 6 uit de eerdere column over de neoricardiaanse theorie overgenomen:
(10) p = a · (I − (1 + r) × A)-1 × w
De lezer kan daar bij de afleiding nagaan, hoe het stelsel van vergelijkingen 3a-b direct wordt genormeerd op de hoeveelheden x(t). Die normering toont aan, dat het prijzen-stelsel enkel afhangt van de stukwaarden, en niet van de absolute hoeveelheden. Met andere woorden, het prijzen-stelsel beschrijft enkel de ruil-verhoudingen, en is onafhankelijk van de economische groei. Uiteraard is deze constatering enkel geldig, zolang de technische coëfficiënten inderdaad niet afhankelijk zijn van de tijdsvariabele t.
De gelijkenis van de formules 9 en 10 is opvallend. In de formule 9 is de winstvoet r vervangen door de groeivoet g, en de vector a × w is vervangen door de vector c, terwijl bovendien de vectoriële vermenigvuldiging ter rechterzijde (staande vector) is aangebracht in plaats van ter linkerzijde (liggende vector)4. Deze dualiteit is eveneens zichtbaar in de waarde-uitdrukking Y van het eindproduct
(11) Y(t) = p · ψ(t) = p · (I − A(t)) · x(t)
Ook treft men de dualiteit aan in de formule voor het productieve kapitaal:
(12) K(t) = p · A · x(t)
Enerzijds beschrijft de formule 12 de totale winstsom Π, via Π(t) = r × K(t). Anderzijds beschrijft zij de waarde van de investeringen J, via J(t) = g × K(t). Aldus is r × K(t) / Y(t) het constante winstaandeel in het eindproduct. En g × K(t) / Y(t) is het constante aandeel van de investeringen in het eindproduct. Het winstdeel en het investerings deel vallen gewoonlijk niet samen, omdat de kapitalisten zelf ook consumeren, en niet al hun winst accumuleren. In het algemeen moet klaarblijkelijk de winstvoet r groter zijn dan de groeivoet g. Alleen bij een accumumatie quote van 1 zijn de winstvoet r en de groeivoet g gelijk.
In het prijzen systeem kan de looncurve (r, w) worden berekend simpelweg door één van de product-prijzen pj als numéraire te gebruiken voor het loonpeil w. Bij de uitwerking van het statische systeem in de al eerder genoemde column over de theorie van Sraffa werd voor twee dimensies (te weten de landbouw en de industrie) expliciet de gedaante van w/pg(r) berekend. De formule 8 aldaar stelt een concave curve voor, die grafisch is afgebeeld in de figuur 2. Je zou graag een soortgelijk verband berekenen voor de consumptie-vector c, nu natuurlijk met g als het argument van de functie. Echter in het hoeveelheden systeem η is de keuze van een numéraire wat minder vanzelfsprekend, omdat de eenheden verschillend zijn (bijvoorbeeld balen graan en tonnen metaal).
De manier om een consumptie-curve af te leiden begint met de veronderstelling, dat er slechts één consumptie-goed is, bijvoorbeeld graan. Stel dat de eerste tak het graan produceert, dan is alleen de graan-consumptie per hoofd c1 groter dan nul. Alle andere componenten van de vector zijn gelijk aan nul: cj = 0 voor j = 2...n. Definieer gemaks halve de eerste eenheidsvector e1 door [1, 0, 0, ... , 0] (een verticale vector), dan is c = c1 × e1.
Aldus kan de formule 8 worden herschreven tot
(13) 1 = a · (I − (1 + g) × A)-1 · e1 × c1
Het aardige aan de formule 13 is, dat zij exact gelijk is aan de formule 6 in de eerdere column over de neoricardiaanse theorie, wanneer alleen de eerste component van de vector p wordt beschouwd, en deze aan beide zijden van de gelijkheid door p1 wordt gedeeld. Immers het resultaat van die bewerking is
(14) 1 = a · (I − (1 + r) × A)-1 · e1 × w/p1
In de formules 13 en 14 is de dualiteit perfect. De beide formules geven een identieke relatie tussen enerzijds g en c1, en anderzijds r en w/p1. Dit betekent simpelweg, dat althans onder de aanname van een enkel consumptie goed de consumptiecurve precies gelijk is aan de looncurve! Dat maakt het leven van de econoom een stuk aangenamer.
Er bestaat nu een elegante methode om de invloed van de winstvoet op het economische systeem te onderzoeken5. Het betreft daarbij in het bijzonder de waarde van het eindproduct Y(t, r, g) en de waarde van het productieve kapitaal K(t, r, g). De afhankelijkheid van de tijd kan worden verwijderd door de beide grootheden te delen door L(t). Men vindt als resultaat het eindproduct y(r, g) per hoofd en het productieve kapitaal k(r, g) per hoofd. Andere namen voor deze grootheden zijn respectievelijk de arbeids-productiviteit en de kapitaal-intensiteit.
Het eindproduct Y(t) is gelijk aan r×K(t, r, g) + w×L(t). De deling door L(t) geeft als resultaat:
(15) y(r, g) = r × k(r, g) + w(r)
Evenzo is volgens de formule 5 het eindproduct gelijk aan g×K(t, r, g) + p1×C1(t, g). Ook hier helpt de deling door L(t):
(16) y(r, g) = g × k(r, g) + p1 × c1(g)
De formule 16 toont, hoe het eindproduct per hoofd reageert op de winstvoet r. Aangezien in het rechter lid alleen k(r, g) afhangt van r, zal y(r, g) zich precies zo gedragen als de kapitaal-intensiteit. Als k toeneemt, dan zal ook y toenemen. Dit is natuurlijk niet verrassend. Immers, zo een gedrag is kenmerkend voor productie-functies Y = F(K, L). In diverse voorgaande columns is dit al toegelicht6.
Het gelijk stellen van de rechter zijden in de formules 15 en 16 levert een formule op voor de kapitaal-intensiteit:
(17) k(r, g) = (p1 × c1(g) − w(r)) / (r − g)
Het spreekt voor zich, dat zowel de teller als de noemer ter rechterzijde van de gelijkheid groter dan nul moeten zijn. Maar verder maakt de formule 17 niet direct duidelijk, hoe k zal variëren bij een veranderende r. Volgens de neoklassieke theorie zou uiteraard k moeten afnemen, wanneer r toeneemt. De producenten verkiezen dan de factor arbeid, die immers relatief goedkoper wordt. Evenwel is al eerder aan de hand van het neoricardiaans theorie getoond, dat dit neoklassieke automatisme een denkfout is.
De afhankelijkheid van de kapitaal-intensiteit met r kan het duidelijkste grafisch worden geïllustreerd. In het bijzonder moeten twee gedaanten van de loon- en consumptie-curve worden beschouwd: het concave verloop (zie figuur 1a) en het convexe verloop (zie figuur 1b). Reeds eerder is geconstateerd, dat de loon- en consumptie-curve in de figuur 1 moeten samenvallen. De horizontale as stelt te gelijker tijd r en g voor, en de verticale as w(r) en p1 × c1(g) 7. Er wordt verondersteld, dat de groeivoet g constant blijft, en dat geldt dan evenzeer voor de consumptie p1 × c1.
Maar de winstvoet verandert van oorspronkelijk rα naar een grotere waarde rβ. Het gevolg is, dat het loonpeil daalt van wα naar wβ. De figuur 1 in combinatie met de formule 17 laat zien, dat de kapitaal-intensiteit gelijk moet zijn aan k(r, g) = tan(θ). Om precies te zijn, oorspronkelijk is kα = k(rα, g) = tan(θα). En na de toename van r wordt zij kβ = k(rβ, g) = tan(θβ)
De lezer ziet hoe in de figuur 1a (het concave geval) geldt dat θα < θβ. De stijging van de winstvoet r leidt daar tot een stijgende k. Dit is juist het gedrag, dat wordt getoond in de figuur 3 van de voorgaande column over de neoricardiaanse theorie. Maar in de figuur 1b (het convexe geval) blijkt het omgekeerde te gebeuren. Nu leidt de stijging van de winstvoet tot een kleinere hoek, zodat θα > θβ. Met andere woorden, k neemt af. Klaarblijkelijk is er a priori niets zinvols te zeggen over de variaties van k(r, g) bij een veranderende winstvoet r!
Ter afsluiting loont het de moeite om de dynamische versie van de neoricardiaanse theorie te vergelijken met de modellen van de dynamische vervlechtingsbalans, die al eerder op deze webportaal zijn beschreven. In het zogenaamde grondmodel wordt de investerings-formule 4 vervangen door
(18) i(t) = F · ∂x(t)/∂t
In de formule 18 is F een constante matrix. Het mooie van dit model is, dat er een exacte, analytische oplossing bestaat.
Het is nuttig om x(t+Δt) te schrijven als een Taylor-reeks in Δt, met andere woorden, als x(t) + Δt × ∂x(t)/∂t + (Δt)2/2 × ∂2x(t)/∂t2 + ... Gebruik van deze reeks in combinatie met de formule 18 geeft8:
(19) i(t) = F · Δx(t) / Δt − F · Δt/2 × ∂2x(t)/∂t2 − ...
De formule 19 laat zien, dat de neoricardiaanse formule 4 slechts een benadering is van het grondmodel. Anderzijds is dit bezwaar tegen het neoricardiaanse model wat formalistisch: de groeivoet is er gewoon g, punt uit. Dat wil zeggen, er is een zuiver exponentiële (dus analytische) groei9. Het grondmodel heeft als een bijkomstig voordeel, dat de matrix F niet per se gelijk moet zijn aan A. Dien ten gevolge hoeft het economische systeem niet te groeien met een algehele, constante groeivoet g. Anderzijds ontbreekt natuurlijk in het hier gepresenteerde grondmodel het prijzen-stelsel, en daarmee de economische ruilverhoudingen.
In het zogenaamde model met investerings-vergelijking wordt de investerings-formule 4 vervangen door
(20) i(t) = (A(t) + G(t)) · Δx(t)
Dit model geeft dus geen analytische oplossing. Anderzijds mogen de matrices van de productie-coëfficiënten nu afhankelijk van de tijd zijn, en de afschrijvingen van outillage (dat wil zeggen, het gebruik van het grondfonds) worden expliciet en apart verantwoord in de matrix G. Aldus is in het productie-proces het vaste kapitaal afgesplitst van het circulerende kapitaal.
Bovendien biedt het model met investerings-vergelijking de mogelijkheid om de berekeningen te starten bij een willekeurig bestand aan outillage Γ(0). Dit alles maakt het model waarheidsgetrouw. Maar uiteraard ontbreekt ook hier het prijzen-stelsel, dat zo glorieus aanwezig is in het neoricardiaanse groeimodel. En het oplossen van dit model vereist het stapsgewijze in de tijd doorrekenen van de differentie-vergelijkingen, wat een moeizame aangelegenheid is.