Groei in de éénsector modellen van Domar en Harrod

Plaatsing op Heterodox Gezelschap Sam de Wolff: 5 oktober 2012

De macro-economische theorie van J.M. Keynes zette in het westen de deur open voor de ontwikkeling van groeimodellen voor één sector. Keynes zelf hield zich vooral bezig met conjuncturele verschijnselen. R.F. Harrod introduceerde als eerste een groeimodel, en benadrukte daarbij de dynamica. Enkele jaren later breidde E. Domar dat model uit met elegante wiskundige formules. Tegenwoordig worden hun resultaten gewoonlijk gepresenteerd als één geheel, en aangeduid als het groeimodel van Harrod-Domar.

Het valt op, dat de publicaties van succesvolle economen vaak door aanhangers opnieuw worden geïnterpreteerd, en daardoor een andere lading krijgen. Dat lijkt ook bij Harrod en Domar het geval te zijn. Een bijkomstig probleem is, dat de publicaties van Harrod en Domar zelf zijn geplaatst in vakbladen, met slechts een kleine oplage. Bovendien heeft uw columnist de indruk, dat de publicatie van Harrod tamelijk moeilijk leesbaar is¹. In deze column zullen diverse visies, die bestaan over het model van Harrod-Domar, worden gepresenteerd.

De bevredigende groeivoet

Bijna alle leerboeken over economie presenteren de éénsector modellen van Domar en Harrod in de vorm van differentie-vergelijkingen. De differentiaal vorm is evenwel analytisch duidelijker en precieser. Aangezien Domar de theorie formuleerde in differentiaal gedaante, wordt in deze paragraaf zijn werk gevolgd². Daarbij zij aangetekend, dat Harrod als eerste de idee lanceerde.

Zij t de variable, die de tijd voorstelt. Zij Y(t) het nationale inkomen, dat is samengesteld uit de loonsom L(t) en de winstsom W(t). Dit inkomen ontstaat dankzij de maatschappelijk mogelijke fysieke productie met een omvang O(t). Als het prijspeil gelijk is aan P(t), dan zal normaal gelden dat Y(t) = P(t) × O(t). In de rest van de column zal dit althans worden verondersteld. In de praktijk kunnen er natuurlijk lonen worden uitbetaald, die niet direct een beschikbaar product vertegenwoordigen, namelijk wanneer het desbetreffende product nog niet is voltooid. Omgekeerd is een werkloosheid denkbaar, zodanig dat niet alle productie-capaciteit wordt benut. Dan is het inkomen kleiner dan verwacht op grond van het potentieel mogelijke product O(t).

Zij K(t) de voorraad aan kapitaalgoederen, die productief kan worden ingezet. Hij wordt ook wel aangeduid als het bestand aan grondfonds, of kortweg de factor kapitaal. Materieel betreft het hier outillage met een relatief lange levensduur (veel langer dan één productie-cyclus), zoals machines en onroerend goed. De verhouding K(t) / Y(t) wordt de kapitaalcoëfficiënt genoemd. Zij geeft aan hoeveel eenheden kapitaal er nodig zijn om een eenheid eindproduct voort te brengen. Zij is een technische coëfficiënt, die een weerspiegeling is van de stand van de technologische vooruitgang in het productieproces. De differentiaal gedaante ervan is

(1)     dK/dY(t) = κ(t)

In deze column wordt κ de marginale kapitaalcoëfficiënt genoemd. Wegens het tijdsafhankelijke karakter kan zij verschillen van de kapitaalcoëfficiënt zelf. Harrod geeft κ geen naam, al maakt hij bij de inleiding van zijn publicatie wèl duidelijk, dat hij er een accelerator in ziet. Domar gebruikt in zijn tekst de inverse van κ, en noemt die de potentiële maatschappelijk gemiddelde investerings productiviteit.

Stel dat in een infinitesimale tijdsstap dt er een hoeveelheid kapitaal dK(t) wordt toegevoegd aan het bestand K(t). Men noemt de verhouding dK/dt de investeringen I(t). Het bestand K(t) is aldus op te vatten als het resultaat van voortdurende investeringen. Daarom spreekt men bij K(t) ook wel over investeringsgoederen. Uit de formule 1 volgt nu, dat geldt

(2)     dY/dt(t) = I(t) / κ(t)

Het is althans in dit soort groeimodellen gebruikelijk om te veronderstellen, dat de spaarquote s = S(t) / Y(t) constant in de tijd is. Hier is S(t) uiteraard de totale som aan spaargeld, die de huishoudens afdragen uit hun inkomen Y(t). In een evenwichtssituatie investeren de producenten het gehele spaargeld. Met andere woorden, er geldt dat I(t) = S(t). Er volgt direct, dat geldt

(3)     I(t) = s × Y(t)

Invullen van de formule 3 in de formule 2 leidt tot een differentiaal vergelijking voor Y(t)

(4)     dY/dt(t) = (s / κ(t)) × Y(t)

Neem aan, dat κ eveneens onafhankelijk is van de tijd t. Dan is de oplossing voor het nationale inkomen

(5)     Y(t) = Y(0) × e^(s/κ)×t

De grootheid g_Y(t) = dY/Y(t) noemt men de groeivoet van het nationale inkomen. Volgens de formule 5 geldt er

(6)     g_Y = s / κ

De grootheid g_Y is constant, en dus groeit het economische systeem voor alle tijden met dezelfde groeivoet. De onafhankelijkheid van κ voor de tijd betekent, dat de kapitaalproductiviteit onveranderd blijft. Dat suggereert, dat er geen technische vooruitgang is, ondanks de investeringen I(t). De verklaring zou kunnen zijn, dat de investeringen onvoltooid zijn en daardoor nog niet productief. In die situatie wordt de groei veroorzaakt door het benutten van tot dan toe stilstaande outillage³.

De formule 5 heeft consequenties voor de ontwikkeling van de factor kapitaal. Immers je kunt schrijven dat K(t) = K(0) + ∫₀^t I(τ) dτ. Gebruik de formule 2 in combinatie met de formule 5, dan is het resultaat

(7)     K(t) = K(0) + κ × Y(0) × e^g_Y×t

De formule 7 laat zien, dat voor een voldoende grote tijd t de factor kapitaal dezelfde groeivoet heeft als het nationale inkomen.

De economische interpretatie is, dat een groeiend nationaal inkomen Y(t) en een groeiend fysiek product O(t) een overeenkomstige groei van de outillage K(t) vereisen, althans zolang de techniek niet verandert. Harrod noemt dit soort groei bevredigend (in de Engelse taal: warranted). Natuurlijk geldt die groeivoet net zo voor I(t), wegens haar definitie I(t) = dK/dt. Dat wil zeggen, Y(t) - en O(t) -, K(t) en I(t) groeien alle drie voor alle tijden met één en dezelfde constante groeivoet. Kort samengevat, in wiskundige gedaante

(8)     dY / Y = dK / K = g_w = s / κ

In een eerdere column is al opgemerkt, dat g_w niet groter kan zijn dan de som van groeivoeten g_L + g_a. Hierin is g_L de groeivoet van de beroepsbevolking, en g_a is de groeivoet van de effectiviteit van de arbeid. Harrod noemt deze bovengrens de natuurlijke groeivoet.

De bezettingsgraad van het bestand aan kapitaalgoederen

Het voorgaande betoog is algemeen bekend en te vinden in elk fatsoenlijk leerboek over macro-economie. Het is hier enkel herhaald teneinde de diverse grootheden te definiëren, en dat hopelijk op een begrijpelijke manier. Veel minder bekend is, dat Domar er een theorie van capaciteits bezetting aan heeft gekoppeld⁴. Zij is voldoende aardig om hier weer te geven. De lezer herinnert zich, dat O(t) de potentieel mogelijke productie is. Dienten gevolge is de bezettingsgraad u(t) van de outillage (bij een constant prijspeil P)

(9)     u(t) = Y(t) / (P × O(t))

De formule 9 zegt, dat de producenten kunnen besluiten om een deel van de productiecapaciteit onbezet te laten. Uiteraard resulteert dat in minder inkomsten voor alle betrokkenen. Dan is u(t) kleiner dan 1 ⁵.

De formule 1 zal in dit geval betrekking hebben op O(t) en niet op Y(t). Met andere woorden, er geldt dK/dO = κ×P. Immers dit is simpelweg de stand der techniek, los van operationele beslissingen over de benutting van de capaciteit. Neem hier weer κ constant. Kennelijk hebben dan de grootheden K(t) en O(t) hetzelfde groeigedrag, met als gevolg dat zij voor voldoende grote tijden dezelfde groeivoet hebben. Die is per definitie tevens de groeivoet van I(t). Bij benadering zal dan K(t) gelijk aan (κ×P) × O(t) worden. Noteer de groeivoet van K(t) als g_K. Voorts blijven de investeringen gewoon voldoen aan de formule 3. Als deze inzichten worden ingevuld in de formule 9, dan resulteert dat in

(10)     u = (dK / K) × (κ / s) = g_K / g_w

De formule 10 toont, dat de economische groei g_K vanzelf sprekend kleiner kan zijn dan de bevredigende groei g_w. Het gevolg is evenwel, dat er outillage onbenut blijft. De bezettingsgraad u is onafhankelijk van de tijd, omdat g_K en g_w allebei constant zijn. Er is permanent eenzelfde precentage aan capaciteit in reserve⁶. Dit verklaart ook nogmaals, waarom de groei g_w bevredigend is. Zodra geldt dat g_K = g_w, wordt alle capaciteit benut. En dat is in principe het streven van elke producent.

Het punt van de capaciteits bezetting is belangrijk in de theorie van Keynes. Zij argumenteert, dat een injectie aan koopkracht leidt tot economische groei. Immers het extra inkomen zal de producenten motiveren tot het inzetten van tot dan toe stilstaande productiecapaciteit. Deze extra productie genereert extra inkomen, wat zich voorzet in een proces van inkomens-multiplicatie. Het is niet per se nodig, dat de injectie aan koopkracht zelf nieuwe outillage installeert (al is dat natuurlijk wel wenselijk).

Koopkrachtige vraag en het nationale inkomen

Volledigheids halve wordt in deze paragraaf kort beschreven hoe het evenwicht op de warenmarkt kan worden bepaald in het geval van een inkomens-afhankelijke vraag⁷. Dit heeft als bijkomend voordeel, dat er grootheden worden gedefinieerd, die zo dadelijk nodig zijn in het dynamische model van Harrod. Een markt wordt gekenmerkt door een vraag en een aanbod, die in evenwicht moeten worden gebracht.

Figuur 1: De warenmarkt op t=0 en 1

Veronderstel, dat de consumptieve vraag wordt gegeven door de relatie C(t) = (1-s) × Y(t). Zet de productieve vraag op I(t) = I_A (A van autonoom). Zoals de lezer ziet, zijn de investeringen in dit model onafhankelijk van Y(t). De totale (geaggregeerde) vraagfunctie wordt aldus⁸

(11)     V(t) = (1 − s) × Y(t) + I_A

De formule 11 is grafisch weergegeven in de figuur 1.

Het aanbod kan worden bepaald uit de som van alle inkomens, dus uit Y(t) = L(t) + W(t). Immers dat is juist de waarde, die het productie-proces heeft toegevoegd. Daarmee is het de waarde van het netto product, dat op de markt wordt aangeboden. Het aanbod is

(12)     A(t) = Y(t)

Het aanbod A als functie van Y is klaarblijkelijk simpelweg een rechte lijn door de oorsprong. Zij is eveneens weergegeven in de figuur 1.

In het evenwicht geldt dat V=A. De figuur 1 toont twee van zulke evenwichtsinkomens. De eerste is Y(0), op het tijdstip t=0. De tweede is Y(1), op het tijdstip t=1. Aangezien deze column gaat over groei, is Y(1) > Y(1), en het verschil is ΔY = Y(1) − Y(0). De lezer ziet in de figuur 1, dat I_A op t=1 groter moet zijn dan op t=0. Als het nationale inkomen groeit, dan kan het evenwicht op de warenmarkt alleen behouden blijven, zolang geldt dat I_A(1) = I_A(0) + ΔI_A. Deze verandering van de autonome vraag hangt niet af van Y, maar wel van ΔY. Om precies te zijn, ΔI_A = s × ΔY. De extra investeringen werken via een multiplicator door in het nationale inkomen⁹.

Het dynamische evenwicht volgens Harrod

Voor deze paragraaf zijn twee bronnen geraadpleegd¹⁰. De uitleg van Harrod zelf is wat moeilijk te begrijpen, en ontbeert bovendien een wiskundige formulering. Daar waar uw columnist Harrod niet helemaal kon volgen, wordt dat in een voetnoot toegelicht.

Harrod kiest er in zijn verhandeling voor om de economie stapsgewijze te laten groeien. Uw columnist volgt hem daarin, onder andere om niet nodeloos verwarring te stichten. Het gevolg is evenwel, dat de formules 1-8 voortaan worden toegepast in de differentie-versie, in plaats van de differentiaal versie. De bezettingsgraad is bij Harrod gewoon u=1. Verder is het voor het formalisme handiger om gebruik te maken van de groeifactor G(t) in plaats van de groeivoet g(t). De groeifactor G(t) is gedefinieerd door

(13)     G(t) = Y(t) / Y(t-1)

In de formule 13 nummert t de opeenvolgende tijdsintervallen. Elk tijdsinterval heeft een duur Δt.

De formule 2 verandert in

(14)     I(t) = κ × ΔY(t)

In formule 14 is de inkomensgroei ΔY(t) gelijk aan Y(t) − Y(t-1). De formule 14 moet zo worden uitgelegd, dat de investeringen I(t) worden gedaan in het tijdsinterval t, dat loopt van (t-1) × Δt tot t × Δt.

Harrod is er zich van bewust, dat er een bevredigend groeipad bestaat, met de g_w van formule 8 als groeivoet (hij heeft dat zelfs als eerste bedacht). De bijbehorende groeifactor is G_w = κ / (κ-s) ¹¹. Maar wat gebeurt er, zo vraagt Harrod zich af, wanneer de groeifactor G(t) zal afwijken van de bevredigende groeifactor G_w? De producenten hebben op het tijdstip t een product voortgebracht met een toegevoegde waarde Y(t). Er zal een storing ontstaan zodra de geaggregeerde vraag C(t) + I(t) gaat afwijken van Y(t). Dan is er geen evenwicht op de warenmarkt (zie figuur 1)¹².

Bijvoorbeeld zou kunnen blijken dat Y(t) < C(t) + I(t). De vraagzijde is kennelijk bereid om extra koopkracht te mobiliseren, wellicht door kredieten op te nemen. De producenten merken de onverwacht grote koopkracht, doordat zij niet uit de productie kunnen leveren, en dus hun product-voorraden moeten aanspreken. Zij beseffen, dat ze tegen hun productie-capaciteit dreigen aan te lopen. Ze moeten opnieuw investeren voor de volgende productie-periode t+1, en stellen hun groeiverwachting in opwaartse richting bij. Dat wil zeggen, ze verwachten dat voor de groeifactor zal gelden G(t+1) > G(t). Ze denken, dat G(t) niet gelijk is aan de bevredigend groeifactor G_w. Het lijkt aan hen, dat het bevredigende groeipad een snellere groei vereist. Dat vereist extra investeringen.

Net zo goed zou kunnen blijken, dat Y(t) > C(t) + I(t). De vraag blijft achter bij het aanbod. De producenten zijn gedwongen om hun product-voorraden te vergroten. Of ze zullen de bezettingsgraad u van hun outillage verminderen. In navolging van Domar zullen ze denken, dat het groeipad G(t) beneden G_w ligt. Maar anders dan Domar suggereert met de formule 10, zullen de producenten hiermee niet tevreden zijn. Ze stappen over op een trager groeipad, en laten de investeringen minder snel toenemen.

Figuur 2: Groeivoet versus t volgens Harrod

Het ligt voor de hand, dat de producenten aan die bijstelling de volgende vorm zullen geven (wat anders?):

(15)     G(t+1) = G(t) × (C(t) + I(t)) / Y(t)

Als bijvoorbeeld de vraag 5% meer was dan hun aanbod, dan willen de producenten hun investeringen baseren op de verwachting van een 5% grotere groeifactor G(t+1). Met C(t) = (1-s) × Y(t) en de formule 14 krijgt de formule 15 de gedaante

(16)     G(t+1) = G(t) × (1 − s + κ) − κ

De formule 16 is een inhomogene differentie-vergelijking van de eerste orde. De oplossing bestaat uit een algemeen deel en een particulier deel¹³. De particuliere oplossing is G(t) = G_w = κ / (κ-s), en de algemene oplossing van de homogene vergelijking is G(t) = α × (1 − s + κ)^t. Desgewenst kan de lezer dit nagaan door ze in te vullen in de formule 16. Als dit wordt gecombineerd met de startvoorwaarde G(0) voor G(t) op t=0, dan wordt de algemene oplossing van de inhomogene differentie-vergelijking

(17)     G(t) = G_w + (G(0) − G_w) × (1 − s + κ)^t

Zoals is te verwachten, is de groei stabiel bij G(t) = G_w. Zodra hiervan echter wordt afgeweken, zal G(t) zich met de tijd steeds verder van G_w af bewegen¹⁴. Dit wordt grafisch geïllustreerd in de figuur 2. Het volgens de formule 15 rationele gedrag van de individuele producent blijkt te leiden tot een collectieve irrationaliteit. Als het systeem iets te snel groeit, dan gaan de producenten extra investeren. Groeit het iets te langzaam, dan beperken ze juist hun investeringen. Daarom spreekt Harrod van een groeigedrag als op het scherp van de snede (in de Engelse taal knive edge).

Interpretaties van dynamische groei volgens Harrod

Harrod is zelf niet duidelijk over de oorzaak van de economische storingen. Hij suggereert onder andere, dat G(t) zou kunnen gaan afwijken van G_w ten gevolge van seizoens-invloeden, een veranderd consumptie-gedrag of veranderingen in de handelsbalans. Jan Pen geeft in zijn boek Macro-economie een kwalitatieve beschrijving van het dynamische evenwicht volgens Harrod¹⁵. Pen legt de schuld van de economische storingen bij de producenten. Namelijk, zij zullen soms iets te veel of te weinig investeren, met als gevolg dat Y niet samenvalt met C+I. Zelfs de formule 16 lijkt de storing te zoeken in de investeringen, omdat de consumptie gewoon blijft gehoorzamen aan C= (1-s) × Y.

Hoewel ook Harrod spreekt van onevenwichtigheden op de markt, is dat in zijn formules niet terug te vinden. In zijn betoog worden de producenten simpelweg overvallen door een onverwachte wijziging in het groeipad van het nationale inkomen. Hij koppelt dat vast aan een wijziging van de marginale kapitaalcoëfficiënt, iets wat zijn navolgers nalaten. Dat maakt het geheel ietwat verwarrend, althans voor uw columnist.

En ondanks de dreigende aanduiding van de knive edge, zoals getoond in de figuur 2, is Harrod niet pessimistisch. Hij schrijft¹⁶: "As actual growth departs upwards or downwards from the warranted level, the warranted level itself moves, and may chase the actual rate in either direction. The maximum rates of advance or recession may be expected to occur at the moment when the chase is succesful". Dit is niet zozeer een beschrijving van een instabiliteit, als wel van geleidelijk veranderende economische grootheden. Daarmee verliest het model van Harrod veel van zijn dramatische karakter.

Desondanks geeft het model van Harrod toch aanleiding voor bezorgdheid. Namelijk, de factor arbeid komt er niet in voor. Er is geen reden, waarom de bevredigende groei g_w precies zou moeten samenvallen met de natuurlijke groei van de hoeveelheid effectieve arbeidsuren. Met name zou de bevredigende groei zeer wel kunnen leiden tot een structurele werkloosheid.

Vooral de neoklassiek geöriënteerde economen zijn ongelukkig met de vondst van Harrod. Voor hen is de gedachte van een structureel instabiele markt-economie een nachtmerrie. Ook accepteren zij de suggestie niet, dat de arbeidsmarkt structureel uit evenwicht kan zijn. Aldus is het model van Harrod een stimulans geworden om een neoklassiek alternatief aan te dragen, en wel het model van Solow, dat in een eerdere column is besproken.

Aldus kan de substitutie van productiefactoren ook de knive edge instabiliteit verzachten. Stel bijvoorbeeld, dat er een situatie is ontstaan met Y < C+I. Dat wil zeggen, er is een vraag-overschot. De producenten zouden nu in eerste instantie kunnen afzien van nieuwe investeringen, en in plaats daarvan nieuwe arbeiders kunnen inhuren. De kans, dat er te veel aan kapitaalgoederen wordt geaccumuleerd, neemt daardoor af. Tevens wordt de kapitaalcoëfficiënt K/Y op deze wijze verlaagd. Het niveau van bevredigende groei schuift omhoog¹⁸. In een situatie van grote werkloosheid wordt dit zelfs waarschijnlijk, omdat dan de lonen laag zijn. Het wordt voor producenten aantrekkelijk om meer arbeiders in te huren.

Klaarblijkelijk moet de idee van de constante κ worden gerelativeerd. Nu heeft Harrod dat zelf al nadrukkelijk gedaan, zodat de kritiek uit de neoklassieke hoek wat overtrokken overkomt¹⁹. Het groeimodel van Harrod heeft daadwerkelijk een verdienste, namelijk dat het aantoont hoe het economische systeem kan ontsporen in situaties, waarin de factor-substitutie onvoldoende verlichting kan bieden.

Ter afsluiting van deze column is het aardig om interpretaties uit een wat onverwachte richting te vermelden, namelijk die van leninistische economen uit het voormalige Oostblok. Men zou daar een groot enthousiasme voor de vondst van Harrod verwachten, maar dat valt tegen. Hoewel men weliswaar zijn pessimisme jegens de vrije marktwerking prijst, vindt men dat hij de essentie (de belangentegenstelling tussen de factoren kapitaal en arbeid) overziet²⁰. Als overtuigde aanhanger van een centrale plan-economie zijn ze sowieso al overtuigd van de instabiliteit van de vrije markt. Bovendien heeft men in een plan-economie een volledig overzicht over de maatschappelijke productie, zodat er helemaal geen sprake kan zijn van collectieve irrationaliteit. Daarom is het werk van Harrod voor deze economen van weinig praktisch belang, ook al prijzen zij zijn intellectuele verdienste. In de studies van Eva Müller, die in voorgaande columns zijn beschreven, zal men dit soort beschouwingen over producenten-gedrag tevergeefs zoeken.

1. De publicaties van Harrod en Domar zijn gebundeld in Growth economics (1970, Penguin Books), samengesteld door A. Sen. Uw columnist vindt eerlijk gezegd de tekst van Harrod ietwat verwarrend, maar sluit niet uit dat dit te wijten is aan zijn persoonlijke falen. Harrod schijnt later zijn bevindingen ook te hebben gepubliceerd in boeken, maar die staan aan uw columnist niet direct ter beschikking.
2. Zie p.65 en verder in Growth economics.
3. Een alternatieve verklaring is, dat de investeringen dienen om de groeiende beroepsbevolking te voorzien van outillage. Maar in ontwikkelde beschavingen ligt de economische groei gewoonlijk boven de bevolkingsgroei.
4. Zie p.70 en verder in Growth economics.
5. In beginsel zou u(t) ook groter dan 1 kunnen zijn, namelijk wanneer Y(t) > P×O. Bijvoorbeeld zou kunnen worden overgestapt van twee-ploegen dienst naar drie-ploegen dienst. Anderzijds zou je ook kunnen zeggen, dat in die situatie kennelijk de maximale capaciteit is onderschat. Daarom lijkt voor de praktijk u≤1 een logische voorwaarde.
6. Modellen besteden zelden aandacht aan de bezettingsgraad van de factor kapitaal. Een voorbeeld, waarin dat wèl gebeurt, is te vinden in de column over meerperioden optimalisatie.
7. Dit betoog is natuurlijk algemeen bekend. De columnist heeft het nog even snel nagekeken op p.402 en verder in Volkswirtschaftslehre (2003, Oldenbourg Wissenschafts Verlag GmbH) van M. Heine en H. Herr.
8. Heine en Herr gebruiken in hun boek ook O(t) = Y(t) / P(t) als variabele om er de totale vraagfunctie in uit te drukken. Aangezien hier steeds wordt uitgegaan van prijs-stabiliteit, dus van P(t) = constant, verkiest uw columnist om voortaan simpelweg te rekenen met Y(t) en niet met O(t). Bovendien nemen Heine en Herr in de consumptieve vraag een autonome component op. Die leidt evenwel tot problemen in het model van Harrod, zodat zij op deze plaats wordt verwaarloosd. Dit impliceert, dat de spaarquote en de marginale spaarquote aan elkaar gelijk zijn.
9. Het zij nogmaals benadrukt, dat de extra investeringen ΔI_A niet direct nieuwe capaciteit voor productie realiseren. De groei ontstaat door het aanspreken van op dat moment nog onbezette, maar wel al aanwezige productiecapaciteit.
10. De eerste bron is de publicatie van Harrod zelf, op p.43 en verder in Growth economics. De tweede bron is Wachstum und Auβenhandel (1999, Physica-Verlag) van K. Farmer en R. Wendner (zie p.34 en verder). In paragraaf 10.2.2 van de ringband Vooruitgang der economische wetenschap (2011, Uitgeverij E. de Bibelude) van E.A. Bakkum wordt op basis van deze twee bronnen het model van Harrod eveneens uitgelegd. Bij nader inzien is die beschrijving niet helemaal geslaagd te noemen.
11. Hier is enige toelichting nodig. Volgens Harrod maakt het niet uit of je de groeivoet g(t) definieert als ΔY(t) / Y(t-1) of als ΔY(t) / Y(t). Intuïtief gezien verdient wellicht de eerstgenoemde definitie de voorkeur. Maar Y(t) en Y(t-1) verschillen slechts weinig in grootte, en daarom geven allebei de definities een bijna gelijke waarde voor de groeivoet. Als je definieert g_w = ΔY(t) / Y(t), dan vindt je inderdaad de genoemde G_w. Er geldt dan, dat G_w = 1 / (1 − g_w). Deze definitie is de keuze van de door uw columnist geraadpleegde bronnen.
12. Vanaf hier wijkt deze column enigszins af van de publicatie van Harrod. Harrod veronderstelt weliswaar een afwijkende groeivoet g(t), bijvoorbeeld g(t) > g_w, maar daarbij houdt hij vast aan de formule 3 (I = s×Y). Volgens de formule 11 blijven dan de vraag C+I en het aanbod Y in evenwicht. Harrod neemt gemaks halve een ongewijzigde spaarquote s aan, en veronderstelt dat de nieuwe groeivoet voldoet aan g(t) = s/κ'. Met andere woorden, er is een nieuwe marginale kapitaalcoëfficiënt κ' met κ'< κ. Harrod noemt onder andere seizoens-invloeden als de oorzaak van het nieuwe groeipad (zie p.46 in Growth economics). Natuurlijk is de door Harrod geschetste situatie denkbaar. Maar op deze manier is niet duidelijk, waarom het nieuwe groeipad niet bevredigend zou zijn. Immers de markten zijn opnieuw in evenwicht. Harrod beweert, dat de product-voorraden zullen inkrimpen en dat de productie-capaciteit tegen haar grenzen aanloopt (zie p.53 in Growth economics). Maar zolang geldt dat Y=C+I, is daarvoor geen enkele reden. De argumentatie van Harrod is hier dus moeilijk te begrijpen.
13. Zie ook een voorgaande column. Verder wordt de geïnteresseerde lezer verwezen naar een fatsoenlijk wiskundeboek over differentiaalvergelijkingen. De columnist heeft wegens een vroegere natuurkundestudie nog het boek Gewöhnliche Differentialgleichungen (1976, Springer Verlag) van W. Walter in zijn boekenkast staan.
14. De factor 1-s+κ is namelijk groter dan 1. Gewoonlijk ligt s rond de 0.1 (10%) en κ rond de 4.
15. Zie p.284 en verder in Macro-economie (1980, Uitgeverij Het Spectrum). Eckhard Hein volgt precies dezelfde interpretatie als Pen, op p.138 en verder in Verteilung und Wachstum (2004, Metropolis Verlag).
16. Zie p.60 in Growth economics.
17. De columnist volgt hier uiteraard weer de argumentatie van de eerder genoemde bronnen, zoals die van Pen.
18. Op zich lijkt deze conclusie op de zojuist geciteerde uitspraak van Harrod. Echter Harrod spreekt in deze context nergens over de factor arbeid.
19. Nog een voorbeeld hiervan is te vinden bij de econoom Eckhard Hein (overigens niet een typisch neoklassicus). Hij beschouwt op p.142 en verder in Verteilung und Wachstum een storing, bijvoorbeeld Y > C+I (overproductie). In de orthodoxe opvatting van het groeimodel van Harrod zullen de producenten nu de investeringen gaan beperken. Echter een slimme producent realiseert zich, dat er feitelijk sprake is van een onvolledige capaciteits-benutting. De kapitaalcoëfficiënt K/Y is in die situatie gestegen (immers Y wordt kleiner dan nodig is). Wegens de formule 14 is dan de producent gerechtvaardigd om zijn investeringen op peil te houden. En tevens zal wegens de formule 8 het bevredigende groeipad g^w dalen, en het werkelijke pad benaderen, met als consequentie dat de producent zich minder zorgen begint te maken.
20. De Oost-Duitse econoom K.O.W. Müller schrijft op p.172 in Neokeynesianismus (1974, Verlag das europäische Buch): "Harrod herkent onbewust, dat in het hedendaagse kapitalisme de productieve krachten (EB: productie-factoren) niet volledig worden benut, maar dat alleen nog door de staats-monopolistische regelgeving hun benutting bij benadering mogelijk is. De zwakte in zijn theoretische argumenten zit ondanks zijn realistische opvattingen daarin, dat hij blijft hangen in de beschrijving van de fenomenen. Het wezen van de processen, de vraag naar de tegenstelling tussen de hoge stand van de maatschappelijke ontwikkeling en de daarmee onverenigbare productie-verhoudingen (EB: privaat-eigendom) wordt door hem bewust niet gesteld". De Russische econoom I.M. Ossadtschaja is iets vriendelijker op p.60 en verder in Von Keynes zur neoklassischen Synthese (1976, Verlag die Wirtschaft), maar stelt toch ook: "De conclusies van Harrod keren zich tegen de grondwet van de oude burgerlijke vulgaire economie, die het doet voorkomen alsof de productie zich zelf reguleert, waarbij elke afwijking van het evenwicht direct krachten mobiliseert om het evenwicht te herstellen. Maar ze dragen weinig nieuws bij voor het begrip van de eigenlijke oorzaken van de storingen in het evenwicht. Harrods theorie levert ook geen antwoord op de vraag, waarom de groei van de productie hapert of waarom de crisis eindigt en een nieuwe opbloei begint". Allebei de auteurs beperken zich tot het citeren uit de teksten van Harrod, en voelen kennelijk weinig behoefte om zelf bij te dragen aan de verheldering ervan. Het is klaarblijkelijk weinig motiverend om een wetenschapper te bestuderen, die je een bewustzijns-stoornis toeschrijft.