Groei in het éénsector model van Solow

Plaatsing op Heterodox Gezelschap Sam de Wolff: 27 september 2012

E.A. Bakkum is eindredacteur van de periodiek Sociaal Vooruit, en een betrokken PvdA lid. Hij is beroepsmatig werkzaam bij het Socialistisch Centrum, waar hij de functie van zaakwaarnemer vervult.

De Amerikaanse econoom R.M. Solow ontwikkelde in 1956 een groeimodel, waarin het economische systeem wordt opgevat als één geheel, dat wil zeggen als een enkele sector. Het model beschrijft het nationale inkomen met behulp van een productiefunctie, wat het voordeel heeft, dat de factor arbeid expliciet als variabele in het model is opgenomen. Aldus omvat het model de technische vooruitgang, in de zin van een stijgende arbeidsproductiviteit (ap). Het Solow-model is in zijn basisgedaante zeer inzichtelijk, omdat het analytisch kan worden uitgewerkt. De keerzijde is, dat in het basismodel een aantal beperkende veronderstellingen zijn gedaan. Als die worden losgelaten, dan krijgt het model weliswaar een algemenere geldigheid, maar de oplossing vereist dan numerieke rekentechnieken. De geavanceerde leerboeken over macro-economie bevatten meestal wel een uitleg van het Solow-model. Het heeft toch zin om een column aan het thema te wijden. aangezien de uitleg elders soms onvolledig en onduidelijk is1.


De productiefunctie

In een eerdere column is in navolging van de Oost-Duitse econome Eva Müller het eenvoudige nationale inkomens model gepresenteerd. Dat model begint met de formule N(t) = K(t) / κ(t), waarin t de tijdsvariabele is, N het nationale inkomen, K de factor kapitaal (ook wel kapitaalgoederenvoorraad genoemd, of bestand aan grondfonds), en κ de kapitaalcoëfficiënt (met als inverse de kapitaalproductiviteit, of grondfondseffectiviteit)2. Solow vervangt deze formule door een meer algemene, waarin ook de factor arbeid L(t) is opgenomen:

(1)     N(t) = F(L(t), K(t))

Hier stelt het symbool F een functie voor, met L en K als haar variabelen. Men noemt F een productiefunctie. Vaak blijft onduidelijk, in welke eenheden N, L en K zijn uitgedrukt. Hier zal L worden weergeven in het aantal gewerkte arbeidsuren, en N en K als geldsommen, op basis van de nationale munt. Aan het einde van deze column zal kort worden teruggekomen op deze keuze.

Een opvallend aspect aan de productiefunctie is, dat kennelijk eenzelfde nationale inkomen N kan worden bereikt met verschillende combinaties (L, K) van arbeid en kapitaal. Klaarblijkelijk zijn de beide productie-factoren onderling uitwisselbaar. Men spreekt in zo een situatie van substitutionaliteit van de productie-factoren. Met andere woorden, de formule 1 stelt een schaar aan onderling verschillende productie-technieken voor. Op het tijdstip t hebben de producenten de keuze uit een oneindig aantal productie-technieken.

In de zojuist genoemde voorgaande column is gebleken, dat de factor kapitaal K met de tijd verandert ten gevolge van slijtage en investeringen. In een tijdsinterval Δt is de verandering ΔK(t) = K(t) − K(t-Δt) gelijk aan

(2)     ΔK(t) = i(t-Δt) − v × K(t-Δt)

In de formule 2 stelt i de bruto investeringen voor, en v×K de afdankingen. De variabele t verwijst nu naar een tijdsinterval, dat wil zeggen, de tijdspanne liggend tussen (t-1) × Δt en t×Δt. In het algemeen zal v min or meer constant in de tijd zijn. De bruto investeringen kunnen worden uitgesplitst in de netto investeringen iN, en de vervangingen iV. Gewoonlijk wordt verondersteld, dat de vervangingen compenseren voor de afdankingen. Dan is iV = v × K(t-Δt), waarin v de vervangingsvoet wordt genoemd.

De bruto investeringen moeten worden betaald uit het nationale inkomen N. Met andere woorden, er geldt dat

(3)     i(t) = s × N(t)

De grootheid s wordt de spaarquote genoemd, of enigszins ouderwets de accumulatievoet. Gewoonlijk wordt verondersteld, dat de spaarquote niet verandert in de tijd. De formule 3 bevat een belangrijke aanname. Namelijk, de producenten gebruiken het geheel aan spaartegoeden S=s×N van de huishoudens om te investeren. De spaartegoeden en de investeringen bevinden zich in het evenwicht i(t)=S(t). De huishoudens besteden het resterende deel C van het nationale inkomen geheel aan consumptie:

(4)     C(t) = N(t) − S(t)

De formules 1, 2 en 3 kunnen worden gecombineerd tot

(5)     ΔK(t) = s × F(L(t-Δt), K(t-Δt)) − v × K(t-Δt)

De formule 5 maakt het mogelijk om de ontwikkeling van K(t) met de tijd te berekenen in tijdstappen van Δt. Daarvan kunnen andere grootheden worden afgeleid, zoals N(t), met behulp van de formule 3.

In de formule 1 kan ook de factor arbeid L in omvang variëren met de tijd. Het Solow-model onderscheidt twee groeiprocessen:

De combinatie van deze twee groeiprocessen leidt bij een voldoende klein tijdsinterval Δt tot de toename

(6)     ΔL(t) = (gL + ga) × L(t-Δt)

De meest belangrijke grootheid in het groeimodel van Solow is de kapitaalintensiteit k(t). Zij is gedefinieerd als k(t) = K(t) / L(t). Als de kapitaalintensiteit constant is in de tijd, dan bestaat er een directe koppeling tussen de factor arbeid en de factor kapitaal. De groei van de L, zoals in de formule 6, zal dan automatisch moeten leiden tot een groei van K. Volgens de formule 2 zullen de investeringen i(t) daarmee rekening moeten houden. In die situatie zal de nieuw toegevoegde arbeid produceren onder precies dezelfde omstandigheden als de reeds aanwezige.


Het groeimodel van Solow

De kern van het groeimodel is de transformatie van de factoren arbeid L(t) en kapitaal K(t) naar de kapitaalintensiteit k(t). Dit lukt alleen, indien de productiefunctie gelijkblijvende schaalopbrengsten heeft5. Dat wil zeggen, als L en K worden opgeschaald met een constante factor μ, dan zal ook N opschalen met dezelfde factor μ. In de wiskunde wordt zo een functie homogeen in de eerste graad genoemd. Een voorbeeld van een productiefunctie, die voldoet aan deze eis, is de bekende Cobb-Douglas functie

(7)     N(L, K) = α × Lβ × K1-β

In de formule 7 zijn α en β constanten, waarbij bovendien geldt dat β positief is en β<1.

De transformatie wordt bewerkstelligd door het linker- en rechterlid van de formule 1 te delen door L. Wegens de zojuist genoemde homogeniteit geldt dan F/L = F(L/L, K/L) = F(1, k). Definieer n=N/L en F(1, k) = f(k), dan verandert de formule 1 in

(8)     n(t) = f(k(t))

De transformatie heeft de grootheden L en K geëlimineerd uit de vergelijking, en daarvoor in de plaats is de hoeveelheid kapitaal per effectief arbeidsuur gekomen6. Vervolgens kan met enig rekenwerk de groeiformule 5 eveneens worden omgeschreven naar de grootheid k(t). Het uitgangspunt is de relatie7

(9)     Δk(t) = (ΔK(t) − k(t-Δt) × ΔL(t)) / L(t-Δt)

Als de formules 5 en 6 worden ingevuld in de formule 9, dan is het resultaat

(10)     Δk(t) = s × f(k(t-Δt)) − (v + gL + ga) × k(t-Δt)

Aldus is het Solow gelukt om de verandering van de kapitaalintensiteit te schrijven als een verschil van twee termen. De eerste term s × f(k) staat voor de accumulatie per effectief arbeidsuur, die in een periode Δt wordt onttrokken aan het nationale inkomen. De tweede term (v + gL + ga) × k staat voor de benodigde investeringen per effectief arbeidsuur, die in elke periode vereist zijn. Zij moeten compenseren voor de afdankingen, voor de bevolkingsgroei, en voor de stijgende arbeidsproductiviteit.

Grafiek van Solow model
Figuur 1: Het verloop van n en i versus k

In de figuur 1 zijn de twee termen grafisch weergegeven. De tweede term is vanwege de veronderstelde constante groeivoeten simpelweg een rechte lijn. Het gedrag van de eerste term is minder vanzelfsprekend. De vorm van n(t) en de accumulatie s×n is hier gebaseerd op het neoklassieke concept van het grensproduct8. Strikt genomen is dat concept ontwikkeld voor de micro-economie, maar Solow geeft er een macro-economische uitleg aan. Die gaat als volgt. Het aantal effectieve arbeidsuren ligt in een samenleving min of meer vast, althans op de middellange termijn. Bij een gegeven stand der techniek is er dan een optimum voor de kapitaalgoederenvoorraad K, en dus voor de kapitaalintensiteit k. Beneden dat optimum stijgt het grensproduct ∂n/∂k met k, en er boven neemt het af. De lezer kan de beide gebieden herkennen in figuur 1. Uiteraard is het grensproduct altijd positief, behalve in situaties met een extreme overmaat aan kapitaalgoederen. Gewoonlijk zal een economisch systeem zich bevinden in het tweede gebied, dat van het afnemende grensproduct.

De figuur 1 laat zien, dat er in het gebied van het afnemende grensproduct twee bereiken van k kunnen worden onderscheiden. Deze twee bereiken worden gescheiden door het punt k=k*. In het eerste deel is de accumulatie groter dan de benodigde investeringen9. Er worden zoveel kapitaalgoederen in gebruik genomen, dat de hoeveelheid kapitaal per effectief arbeidsuur daadwerkelijk toeneemt. Dit betekent simpelweg dat de kapitaalintensiteit zal toenemen. Met andere woorden, er geldt dat Δk > 0, en k(t) schuift over de horizontale as naar rechts. In het tweede deel is de accumulatie kleiner dan de benodigde investeringen. Hier is Δk < 0, en k(t) schuift naar links. Dientengevolge is er in allebei de bereiken van k een tendens, die k(t) beweegt naar het evenwichtspunt k*.

Grafiek van kapitaalintensiteit
Figuur 2: Convergentie van k bij toenemende t

Zodra het evenwichtspunt k=k* is bereikt, wordt Δk=0 en zal de kapitaalintensiteit niet meer veranderen. Het economische systeem is op een groeitraject gekomen, waarin de verhouding van L en K stabiel is. Er vindt geen factorsubstitutie tussen kapitaal en arbeid meer plaats. De formule 9 toont dit aspect vanuit een ander perspectief. Als Δk=0, dan geldt volgens deze formule dat

(11)     ΔK / K = ΔL / L

De groeivoeten van de twee productiefactoren zijn even groot. Wegens de formule 1 en de homogeniteit van F zal ook het nationale inkomen N(t) groeien met de groeivoet volgens formule 11. Dit groeitraject wordt bevredigende groei genoemd (in de Engelse taal warranted growth), en de bijbehorende groeivoet wordt aangeduid met gw. In het algemeen zal ΔL/L bepalend zijn voor de grootte van gw. Immers de bevolkingsgroei en de vooruitgang zijn een extern gegeven. De kapitaalgroei en de economische groei zullen zich daarbij moeten aanpassen. De consequentie is dat geldt

(12)     gw = gL + ga

Met dit betoog is in essentie de ontdekking van Solow helemaal gekenschetst.

Ter afsluiting van deze paragraaf kan een rekenvoorbeeld illustratief werken. Veronderstel dat het nationale inkomen wordt gegeven door de formule 7, met α=1 en β=0.67. Dan is n(k) = k0.33. De spaarquote zij gelijk aan 0.15. Neem bovendien aan, dat geldt v + gL + ga = 0.2. Men berekent simpel met de formule 10, dat de evenwichtswaarde van k gelijk is aan k*=0.65. Stel nu dat er twee van dit soort samenlevingen zijn, met evenwel verschillende beginwaarden k(0) = 0.5 en 0.8. De figuur 2 laat zien, hoe de groeitrajecten van deze twee samenlevingen in de tijd zullen convergeren. Merk op, dat wegens de formule 12 de bevredigende groeivoet nog niet bekend is. Daarvoor moet eerst de waarde van v bekend zijn.


Het Gouden Regel niveau van kapitaal

In de voorgaande columns is regelmatig benadrukt, dat economen vooral geïnteresseerd zijn in de omvang van de consumptie. In het optimale groeitraject zal de consumptie maximaal zijn. De econoom E.S. Phelps heeft laten zien, hoe met behulp van het model van Solow het optimale groeitraject kan worden gevonden. Hij leidde een voorwaarde af, waarin de kapitaalintensiteit moet voldoen, en noemde haar de Gouden Regel10. De huishoudens zijn bij machte om de economie naar dat optimale punt toe te sturen, aangezien zij bepalen wat de waarde van de spaarquote s is.

Grafiek van Gouden Regel
Figuur 3: Het Gouden Regel kapitaalniveau

Het uitgangspunt is de formule 4. Als het linker- en rechterlid worden gedeeld door L, dan vindt men C/L = n − S/L = f(k) − i/L = f(k) − (v + gL + ga) × k. De optimalisatie moet natuurlijk baseren op het evenwichtspunt k=k*, omdat dit onvermijdelijk de toestand van het economische systeem zal worden. Dan is de optimalisatie-voorwaarde ∂(C/L)/∂k* = 0. Met andere woorden,

(13)     ∂f(k*)/∂k* = v + gL + ga

De formule 13 is de Gouden Regel. De oplossing van de Gouden Regel is het punt k* = k*GR, en wordt ook wel het Gouden Regel niveau van het kapitaal genoemd. De Gouden regel zorgt dat de grootst mogelijke consumptie is gewaarborgd. Figuur 3 geeft de Gouden regel grafisch weer. Het Gouden Regel kapitaalniveau k*GR is het punt, waar de raaklijn aan de kromme n=f(k) de richtingscoëfficiënt v + gL + ga heeft. In dat punt is de consumptie per effectief arbeidsuur gelijk aan f(k*GR) − (v + gL + ga) × k*GR.

De spaarquote sGR, die het Gouden Regel niveau van kapitaal voortbrengt, is een compromis tussen het streven om enerzijds het nationale inkomen n(k*) te vergroten via investeringen, en anderzijds de consumptie n-i niet te laten wegdrukken door de investeringsdrang. Met andere woorden, men moet vermijden dat de consumptiegoederen schaars worden doordat het binnenlandse product geheel opgaat aan het vervangen van de afgedankte kapitaalgoederen en aan het afleveren van voldoende kapitaal voor de groeiende arbeid. Concreet: het is bijvoorbeeld niet zo zinvol om alle arbeiders te willen huisvesten in dure en onderhouds-gevoelige bedrijfspanden.

Grafiek van consumptiegroei
Figuur 4: Consumptie bij meer sparen
N.B. k(t) is neer-geschaald met 0.5

De lezer kan de figuur 3 vergelijken met de figuur 1, en ziet dan dat de huishoudens hun spaarinspanning moesten verminderen om vanuit de figuur 1 het punt k*GR te kunnen bereiken. De kromme s×n is namelijk ingezakt. Zij zullen dit met plezier doen, omdat een kleinere s direct de consumptie C/L vergroot. Dit aspect laat evenwel zien, dat de verandering van de spaarquote leidt tot een tijdelijke instabiliteit. Het systeem zal zich pas geleidelijk aanpassen aan de nieuwe toestand. Het zou dan ook pijnlijker zijn geweest, wanneer de spaarquote had moeten worden verhoogd. Meer sparen betekent in eerste instantie een daling van de consumptie. De consumptie zal pas haar oorspronkelijke waarde gaan overstijgen, nadat de kapitaalgoederen en het nationale inkomen voldoende zijn gegroeid.

Een rekenvoorbeeld zal dit wellicht duidelijker maken. Neem weer de gegevens van het rekenvoorbeeld in de voorgaande paragraaf. Volgens de formule 13 is hier k*GR=1.865. Aangezien het economische systeem er is geconvergeerd naar k*=0.65, zal er meer moeten worden gespaard, en is dus de spaarquote s=0.15 onvoldoende. Toepassing van de formule 10, met Δk=0 en k*GR=1.865, levert een nieuwe spaarquote sGR=0.303 op. Veronderstel dat het nieuwe spaarregime ingaat op t=0, dan laat de figuur 4 zien hoe de consumptie C/L zich in de tijd ontwikkelt. Volledigheids halve is ook k(t) ingetekend (omwille van de presentatie neergeschaald naar 50%).

De trouwe bezoeker van dit portaal zal niet verbaasd zijn door de Gouden Regel. In bijvoorbeeld de column over de één-sectoren modellen van Eva Müller, om maar wat te noemen, laat de figuur 2 zien hoe men de spaarquote doelbewust moet kiezen teneinde de maximale consumptie te bereiken.


Kritiek op het groeimodel van Solow

De kritiek richt zich op de neoklassieke veronderstellingen, die aan het groeimodel van Solow ten grondslag liggen. Allereerst zijn productiefuncties, die homogeen in de eerste graad zijn, zoals de Cobb-Douglas functie (formule 7), niet bijster geschikt om de economische werkelijkheid te beschrijven. Dat komt door hun kenmerk van de constante opbrengsten bij opschaling. Immers bedrijven kunnen meestal efficiëntie-voordelen realiseren, wanneer zij de schaal van het productieproces vergroten.

Een ander punt van zorg is, dat macro-economische productie-functies zoals die in de formule 1, het geaggregeerde kapitaal K als variabele hebben. Een aggregatie van kapitaalgoederen is echter enkel mogelijk door gebruik te maken van hun prijzen. En die prijzen zijn afhankelijk van de verdeling van het nationale inkomen over de lonen en de winsten. Als de verdeling wordt gewijzigd, dan zal de productie-functie een geheel andere gedaante krijgen. Iets anders gezegd, wanneer in een productie-functie prijssommen worden ingevuld, dan is zij eigenlijk geen productiefunctie meer. De technische vervlechting tussen de verschillende productiefactoren raakt uit beeld.

Nog een punt van kritiek is de neoklassieke aanname, dat markten volledig zouden worden geruimd. Aldus neemt Solow in zijn model een volledige werkgelegenheid aan, en een evenwicht tussen de spaartegoeden en de investeringen (I=S). Deze aannames zijn door de theorie van Keynes onderuit gehaald. De investeringen I kunnen wel degelijk lager uitvallen dan de spaartegoeden S. Dit zal de aanleiding vormen voor een krimp van het nationale inkomen N11.

  1. Deze column is gebaseerd op paragraaf 10.3 in de ringband Vooruitgang der economische wetenschap (2011, E. de Bibelude) van E.A. Bakkum. Die tekst maakt op zijn beurt vooral gebruik van het boek Wachstum und Auβenhandel (1999, Physica-Verlag) van K. Farmer en R. Wendner (zie p.47 en verder). Overigens combineren deze auteurs hun uitleg met het OLG-midel, wat in deze column achterwege zal blijven. Daarnaast is het leerboek Verteilung und Wachstum (2004, Metropolis) van E. Hein geraadpleegd (p.89 en verder). Dit is zo een werk, dat lijdt onder enige oppervlakkigheid. Ook is gebruik gemaakt van Macroeconomics (2000, Worth Publishers) van N.G. Mankiw (p.77 en verder). Dit boek verdoezelt soms de in het model gemaakte aannames, met als gevolg dat verwarring ontstaat. Incidenteel zijn de originele publicaties van Solow en anderen geraadpleegd, zoals zij zijn geherdrukt in Growth economics (1970, Penguin Books) van A. Sen, met name p.161 en verder.
  2. In deze column worden de diverse grootheden voorgesteld door andere symbolen dan in de zojuist genoemde column over het model van Eva Müller. Hiervoor is gekozen om aan te sluiten bij de gebruikelijke notaties in de standaardliteratuur. Vaak liggen taalkwesties ten grondslag aan de verschillen. Bijvoorbeeld wordt in het Engelse taalgebied de consumptie voorgesteld door C (consumption), en in het Duitse taalgebied door K (Konsumtion). Aldus is in het Engelse taalgebied de letter K beschikbaar voor de grootheid kapitaal. Enzovoort.
  3. Deze toevoeging aan het model schijnt afkomstig te zijn van de econoom T.W. Swan. Zie p.203 en verder in Growth economics.
  4. De Engelse uitdrukking is labour-augmenting. Hier wordt gekozen voor de vertaling arbeidsversterkend, omdat de voor de hand liggende vertaling arbeidsvermeerderend of arbeidsvergrotend ten onrechte de indruk zou wekken, dat de personeelsformatie wordt uitgebreid. Feitelijk kan er arbeid worden bespaard. Men spreekt in dit geval ook wel van Harrod-neutrale vooruitgang. In de praktijk voltrekt de technische vooruitgang zich lang niet altijd arbeidsbesparend. Een andere mogelijkheid is de zogenaamde Hicks-neutrale vooruitgang. In dat geval groeit de totale factorproductiviteit. Zie paragraaf 10.4 in Vooruitgang der economische wetenschap.
  5. De eerlijkheid gebiedt om nu al te vermelden, dat deze aanname nogal onrealistisch is. Ons economische systeem drijft juist op het gegeven, dat schaalvergrotingen meestal leiden tot een boven-proportionele toename van de opbrengst. Er zal efficiënter worden geproduceerd, en worden bespaard op onkosten.
  6. De grootheid n(t) kan worden opgevat als de gemiddelde arbeidsproductiviteit van de voltallige beroepsbevolking.
  7. De formule 9 volgt uit een toepassing van de kettingregel voor differentialen: d(K/L) = (L × dK − K × dL) /L2 = (dK − (K/L) × dL) / L. De formule 9 is de vertaling van deze regel naar differenties. Hij is geldig, zolang producten van differenties in een goede benadering kunnen worden verwaarloosd en weggelaten.
  8. Het is overbodig om hier een referentie te geven. De lezer kan een uitleg vinden in elk inleidend leerboek over economische theorie.
  9. Merk op, dat hier een stilzwijgende aanname wordt gemaakt. Namelijk, er bestaat een bereik van k, waarin s×n grote is dan i. Als zo een gebied niet zou bestaan, dan zou Δk negatief zijn voor alle k(t). De economische groei zou dan gepaard gaan met een voortdurende inkrimping van de hoeveelheid kapitaal per effectief arbeidsuur. Dat moet uiteindelijk leiden tot stagnatie en achteruitgang.
  10. Zie p.193 en verder in Growth economics. Volgens p.64 van Wachstum und Auβenhandel verwijst de uitdrukking Gouden Regel of Gulden Regel naar Bijbelse teksten, met name Mattheüs 7 vers 12: "Alles nu wat gij wilt, dat u de mensen doen, doet gij hun ook aldus: want dit is de wet en de profeten" en Lucas 6 vers 31: "En gelijk gij wilt, dat u de mensen doen, doet gij hun evenzo". In de economische context wordt dit het advies om niet het hele nationale inkomen te consumeren, maar een deel te sparen ten behoeve van een later tijdstip, en eventueel voor een volgende generatie.
  11. Een referentie lijkt hier overbodig.