Figuur 1: Grenzen in het LP probleem bij periode 1
(één techniek)
In een eerdere column is de optimalisatie bij centrale planning beschreven. Zij maakt gebruik van de methode van lineair programmeren. In het boek Volkswirtschaftsplanung1, alweer een parel gekocht bij antiquariaat Helle Panke2, laat Hans Knop zien hoe dat model door enkele aanvullingen bruikbaar kan worden gemaakt voor de praktijk.
De in de voorgaande column gepresenteerde aanpak is zeer schematisch, en negeert belangrijke economische verschijnselen. Vanuit een didactisch oogpunt is dit gerechtvaardigd, omdat aldus de essentie van het model goed duidelijk wordt. In de tekst van Knop wordt uitgelegd hoe het formalisme relatief eenvoudig kan worden uitgebreid voor meer realistische berekeningen. Er worden hier vijf aspecten behandeld, te weten: (1) de verdeling van het eindproduct, (2) de wisseling van de productietechniek, (3) de buitenlandse handel, (4) onbenutte capaciteit, en (5) de vertraging bij de oplevering van investeringsgoederen.
De kern van de optimalisatie blijft natuurlijk de dynamische vervlechtingsbalans. In een eerdere column is de basisvergelijking van de balans gedefinieerd. Zij is in matrixnotatie:
(1) ψ(t) = (I - A(t)) · x(t)
In de formule 1 is t de tijdsvariabele, x is de vector van totaal geproduceerde hoeveelheden (in de Duitse taal volkswirtschaftliches Gesamtprodukt), A is de vervlechtingsmatrix van de productie, I is de eenheidsmatrix, en ψ is de vector van hoeveelheden eindproduct (in de Duitse terminologie van Knop Endprodukt). De formule drukt simpelweg uit, dat het eindproduct datgene is wat overblijft van het totale product, wanneer de in de productie verbruikte goederen zijn weggenomen. In de column over optimalisatie is gebleken, dat de begrenzing van de beschikbare hoeveelheid van de diverse hulpbronnen (arbeid, bodem, grondstoffen, valuta enzovoort) de toegestane waarden x aanmerkelijk inperkt.
Optimalisatie vereist de definitie van een doelfunctie Z(t). Gewoonlijk heeft deze de vorm
(2) Z(t) = z†(t) · x(t)
In de formule 2 omvat z de weegfactoren van alle i producten. Het symbool † staat voor transponering, zodat z een liggende vector is, en formule 2 een wiskundig inproduct voorstelt. Het ligt voor de hand om voor de weegfactoren z simpelweg de prijsvector p te kiezen. In dat geval stelt Z(t) de waarde van het totale product van de volkshuishouding voor. Bij meerperioden optimalisatie zal de doelfunctie moeten worden samengesteld uit de doelfuncties Z(t), Z(t+1), Z(t+2), .... van de afzonderlijke perioden. De productie-opbrengsten in de afzonderlijke perioden zijn aan elkaar gekoppeld via het investeringsbeleid.
Alleenstaand is de formule 1 ongeschikt voor optimalisatie. Immers zij suggereert, dat het eindproduct ψ(t) willekeurig groot kan worden gemaakt door het totale product van de volkshuishouding x(t) voldoende groot te kiezen. In werkelijkheid wordt de omvang van x(t) natuurlijk begrensd door het bij aanvang beschikbare bestand aan grondfonds Γ(t-1), door de omvang van de beroepsbevolking (en dus de beschikbare arbeidstijd) B0(t), en door allerlei niet produceerbare hulpbronnen van type ε (bodem, grondstoffen enzovoort) met een omvang Rε(t).
Van al deze beperkingen kan alleen het bestand aan grondfonds geleidelijk worden vergroot, namelijk door middel van netto investeringen i(t). De andere hulpbronnen zijn min of meer onveranderlijk, althans wanneer wordt afgezien van een doelbewust bevolkingsbeleid en van de ontginning van braakliggende percelen woesternij. De netto investeringen bestaan uit kapitaalgoederen, die moeten worden onttrokken aan het eindproduct. Daarnaast moeten ook nog andere maatschappelijke behoeften worden bevredigd uit het eindproduct. Knop geeft de volgende opsomming van het gebruik3.
Samenvattend: het nationale inkomen kan worden geschreven als
(6) N(t) = G · Δx(t) + Κ(t) + Δu(t)
En aldus kan de formule 1 worden herschreven in
(7) K(t) = (I - A(t)) · x(t) − V · G · x(t-1) − G · Δx(t) − Δu(t)
Of, zo men wil
(8) K(t) = (I - A(t) - G) · x(t) + (I − V) · G · x(t-1) − Δu(t)
Het centrale planbureau zal in zijn berekeningen gewoonlijk de consumptie Κ(t) willen maximaliseren. Vele columns op dit webportaal geven daar voorbeelden van. Dit is natuurlijk niet precies hetzelfde als het maximaliseren van de doelfunctie Z(t) in de formule 2. Deze doelfunctie maximaliseert het totale product x, het eindproduct ψ en dus ook het nationale inkomen N. Als het planbureau de groeivoet van Κ(t) vastlegt, dan staat volgens de formule 6 de maximalisatie van N(t) gelijk aan de maximalisatie van de netto investeringen i(t). Dit garandeert een optimale groei van de economie als geheel. En hoe meer de economie groeit, des te meer potentieel is er om te zijner tijd ook de consumptie sterk te verhogen. Aldus komt het maximaliseren van x tenslotte toch neer op het maximaliseren van Κ(t) 4.
Zelfs een klein en primitief economisch systeem brengt al vele duizenden producten voort. Daarom is het praktisch ondoenlijk om het hele systeem in één grote vervlechtingsbalans te modelleren. Het centraal planbureau moet de producten van de balans aggregeren (samen nemen en optellen) tot op het niveau van bedrijfsgroepen of zelfs bedrijfstakken (industriële sectoren). Desgewenst kan op het decentrale of bedrijfsniveau de vervlechtingsbalans altijd nog worden verfijnd en in detail worden uitgewerkt. Zulke berekeningen helpen het bedrijf om de juiste keuzes te maken bij de inrichting van het productieproces.
Nochtans komt het soms zelfs op het hoge niveau van de centrale planning al voor, dat er voor een bepaalde geaggregeerde groep een keuze moet worden gemaakt tussen de verschillende productietechieken. Dit aspect wordt genegeerd in de modellen, zoals Eva Müller die presenteert5. In al de voorgaande columns is bij de opstelling van het model steeds aangenomen, dat er voorafgaand aan de optimalisatie al een keuze voor de productietechniek is gemaakt. Er is voor elk product maar één productietechniek bekeken.
Echter vaak spreekt het vooraf helemaal niet vanzelf, welke techniek de voorkeur verdient. Dit zou eigenlijk door de berekening zelf moeten worden beslist6. Productietechnieken kunnen verschillen, doordat men verschillende apparatuur inzet bij de fabricage van hetzelfde goed. Dit zal optreden in het geval de productie in verschillende regio's plaats vindt. Het is ook denkbaar, dat in één bedrijf oude en nieuwe machines naast elkaar worden gebruikt. Een bijzonder geval treedt op, indien de productie schaalvoordelen kent. Dat wil zeggen, zodra de vraag naar het goed een bepaald minimum overschrijdt, kan er worden overgestapt naar een efficiënter en goedkoper (per stuk) productieproces.
De keuze voor een bepaald productieproces zal hier worden toegelicht aan de hand van een rekenvoorbeeld. Het uitgangspunt is de formule 7, waarbij gemaks halve de afdankingen en het productie-omloop fonds worden verwaarloosd. Met andere woorden, V=0 en Δu(t)=0. Uiteraard vereist de groei toch, dat het omloop-fonds voortdurend wordt uitgebreid. In de huidige versimpeling worden die investeringen onttrokken aan hypothetische voorraden, die vroeger al zijn opgebouwd 7. De productietechniek (matrices A en G) wordt tijdsonafhankelijk genomen. De numerieke gegevens van het rekenvoorbeeld worden overgenomen van de voorgaande column over meerperioden optimalisatie. De lezer herinnert zich, dat daar twee takken worden onderscheiden, te weten de landbouw (graan) en de industrie (metaal). De grenzen aan de productie worden net als in die column opgelegd door de beginvoorwaarden Γ(0) = [11.6, 12.7] en Κ(t) = [1.0, 0.3] × 1.1t. Merk nogmaals op, dat hier kennelijk de consumptie zelf niet direct het onderwerp van maximalisatie is. Ter vereenvoudiging worden hier de beperkingen b(t) ten gevolge van de hulpbronnen verwaarloosd.
De doelfunctie wordt in deze paragraaf gedefinieerd door Zd(t) = xg + 7×xm. Deze definitie verschilt van die in de zojuist genoemde eerdere column. De productie van tonnen metaal wordt hoger gewaardeerd dan die van balen graan. Deze doelfunctie krijgt hier de voorkeur, omdat een eerdere column over de theorie van Sraffa laat zien, dat de invoering van een prijzensysteem zal leiden tot een prijsverhouding pm / pg nabij 7. Dit feit krijgt nu zijn weerslag in de doelfunctie, die daarmee wint aan realiteitsgehalte. De doelfunctie wordt aldus gerelateerd aan de geldelijke opbrengst van de productie. Overigens is dit voor het huidige rekenvoorbeeld van weinig belang, maar het geeft wel een extra illustratie van de betekenis en het gebruik van de doelfunctie.
Aldus staat alle informatie gereed, die nodig is om het meest wenselijke groeipad op te sporen. In het rekenvoorbeeld wordt allereerst een enkele periode beschouwd, namelijk het tijdsinterval t=1. Als dit probleem wordt opgelost met de methode van lineair programmeren (LP), dan wordt het optimum gevonden bij [xg, xm] = [25.1, 5.50]. Dat punt kan grafisch worden gevonden, of door berekening met de simplex methode. Figuur 1 is de grafische weergave.
In het huidige rekenvoorbeeld wordt nu nagegaan, wat er zal veranderen, wanneer de metaalindustrie de beschikking krijgt over een tweede productietechniek. Het al bestaande productieproces (voortaan genummerd met 1) wordt gekenmerkt door de productiecoëfficiënten agm1 = 1.29 (balen graan per ton metaal), amm1 = 0.6452 (tonnen metaal per ton metaal), ggm1 = 1.0 en gmm1 = 0.25. De nieuwe productietechniek, genummerd 2, wordt gekenmerkt door de productiecoëfficiënten agm2 = 0.9675, amm2 = 0.3226, ggm2 = 1.0 en gmm2 = 0.25. Dat wil zeggen, de nieuwe techniek stelt dezelfde eisen aan het grondfonds, maar gebruikt bij het circulerende materiaal 25% minder graan en 50% minder metaal. Bijkomend wordt hier aangenomen, dat de techniek 2 pas rendabel kan worden ingezet, wanneer er meer dan 6 tonnen metaal worden geproduceerd. Beneden een productie van 6 tonnen metaal komt de techniek 2 niet in aanmerking.
De figuur 2 geeft de gedaante van de matrices A en G weer voor de economie met twee technieken bij de metaalproductie. Bovendien wordt de "eenheids"-matrix Is weergegeven, die nu moet worden gebruikt in de formule 7. De matrices zijn niet meer vierkant, maar rechthoekig. Het bijbehorende LP probleem krijgt voor de eerste periode (t=1) de volgende gedaante8:
(9a) -0.0833×xg + 2.29×xm1 + 1.968×xm2 ≤ 10.5
(9b) 0.5167×xg − 0.1048×xm1 − 0.4274×xm2 ≤ 12.37
(9c) xm2 ≥ 6
(9d) xg + 7 × (xm1 + xm2) → max
Het LP probleem heeft nu drie variabelen (xg, xm1, en xm2), en kan niet grafisch worden opgelost. Er moet gebruik worden gemaakt van de simplex methode9.
De simplex methode geeft als optimaal punt voor dit LP probleem [xg, xm1, xm2] = [29.00, 0.4838, 6.281]. De oplossing wordt gevonden na vier simplex tableau's, met andere woorden, nadat er vier hoekpunten in de (xg, xm1, xm2) ruimte zijn afgelopen. Allereerst valt op, dat dankzij de introductie van de tweede techniek de productie zowel van metaal als graan stijgt. De kritieke grens (formule 9c) voor techniek 2 wordt met xm2 = 6.281 voldoende overschreden. De grotere efficiëntie van techniek 2 in vergelijking met techniek 1 maakt haar toepassing in de metaalindustrie aantrekkelijk, atlhans bij deze doelfunctie. Desondanks blijft het kennelijk toch zinvol om techniek 1 zeer beperkt te blijven benutten10.
Een model, dat de buitenlandse handel negeert, zal natuurlijk nooit tot realistische resultaten leiden. Hans Knop geeft een tamelijk compleet formalisme om de buitenlandse handel toe te voegen in de formule 1, 7 of 8 11. In deze paragraaf zal een beknopte versie van zijn benadering worden uitgelegd. In het bijzonder wordt afgezien van een uitsplitsing van de handel naar de verschillende landen. Het buitenland wordt hier opgevat als één grote staat. Later zal wellicht nog in een aparte column wat uitgebreider aandacht worden besteed aan het handelsmodel van Knop.
De buitenlandse handel kan worden voorgesteld door het materiële saldo EX(t) van de goederenbalans, die het verschil tussen de export en de import uitdrukt. Dat materiële saldo moet worden onttrokken aan het totale product van de volkshuishouding. De formule 8 verandert daarmee in
(10) K(t) = (I - A(t) - G) · x(t) + (I − V) · G · x(t-1) − Δu(t) − EX(t)
De staat zal een ondergrens en een bovengrens opleggen aan het materiële saldo van de goederenbalans. Met andere woorden,
(11) EXmin(t) ≤ EX(t) ≤ EXmax(t)
De betekenis van deze grenzen wordt duidelijk, wanneer men zich inbeeldt dat EX alleen de export of alleen de import voorstelt. De ondergrens is dan nodig om te garanderen, dat er wordt voldaan aan de langlopende verdragen en contracten met het buitenland. De bovengrens moet voorkomen, dat de staat te zeer afhankelijk wordt van het buitenland. De staat wil enige autonomie behouden.
Een tweede beperking wordt vanzelfsprekend opgelegd door de eis, dat het totale product x(t) van de volkshuishouding groter is dan de totale export. Je kunt niet iets exporteren, dat je niet hebt. De derde beperking betreft het saldo van de goederenbalans als geldsom. Immers voor sommige goederen zal het materiële saldo positief zijn, en voor andere goederen juist negatief. De balans is enkel in evenwicht, zolang de overschotten en tekorten elkaar compenseren. Liever nog wil men een overschot op de goederenbalans. Uiteraard verloopt de vereffening niet door de fysieke ruil, maar door betalingen in de buitenlandse valuta. Aldus wordt de derde beperking
Figuur 3: Grenzen voor buitenlandse handel
(export versus import, periode 1)
(12) pB† · EX ≥ 0
In de formule 12 is pB de prijsvector in buitenlandse valuta.
Het saldo van de goederenbalans komt niet voor in de doelfunctie. het oefent enkel invloed uit op de waarde van de doelfunctie, doordat de exportproducten worden onttrokken aan x(t).
Ter illustratie volgt ook voor de buitenlandse handel een rekenvoorbeeld. De gegevens van het economische systeem worden overgenomen van de voorgaande paragraaf (over de techniek), voor het geval dat graanproductie en metaalproductie plaatsvindt, met alleen de eerste techniek. De bijkomende veronderstelling is, dat er alleen metaal wordt geëxporteerd, en graan wordt geïmporteerd. Om notationele redenen wordt gedefinieerd IMg = -EXg. Aangezien het saldo voor graan een tekort laat zien, wordt zo IMg een positief getal. Stel dat de staat kiest voor de volgende grenzen: 8 ≤ IMg ≤ 12, en 1 ≤ EXm ≤ 2. De buitenlandse prijsverhouding is pmB / pgB = 7, net zoals in het binnenland. De figuur 3 toont in het (IMg, EXm) vlak de opgelegde beperkingen.
Het LP probleem krijgt voor de eerste periode (t=1) de gedaante
(13a) -0.0833×xg + 2.29×xm − IMg ≤ 10.5
(13b) 0.5167×xg − 0.1048×xm + EXm ≤ 12.37
(13c) IMg − 7 × EXm ≤ 0
(13d) EXm − xm ≤ 0
(13e) IMg ≤ 12
(13f) EXm ≤ 2
(13g) IMg ≥ 8
(13h) EXm ≥ 1
(13i) xg + 7 × xm → max
Voor de optimalisatie moet gebruik worden gemaakt van de simplex methode, omdat er vier variabelen moeten worden bepaald. Het resultaat blijkt te zijn [xg, xm, IMg, EXm] = [22.81, 10.65, 12.00, 1.714]. Als dit wordt vergeleken met de situatie zonder buitenlandse handel, [xg, xm] = [25.1, 5.50] (zie figuur 1), dan valt op hoezeer er wordt geprofiteerd van de buitenlandse handel. Er wordt maximaal graan ingevoerd (zie formule 13e), en precies zoveel metaal geëxporteerd dat er voldoende valuta binnenkomen en het saldo van de goederenbalans als geldsom in evenwicht is.
Het in deze column beschreven model veronderstelt, dat alle productiemiddelen gedurende de hele looptijd Δt van het tijdsinterval t in gebruik zijn. Knop vestigt er de aandacht op, dat dit lang niet altijd het geval is12. Namelijk:
Dit probleem kan worden ondervangen door overal in de formule 8 de variabele xi(t) te vervangen door
(14) xi(t) = ui(t) × ξi(t)
In de formule 14 is ξi(t) de beschikbare productiecapaciteit in de tak i, en ui(t) is het deel daarvan dat daadwerkelijk productief bezet is (u van utilize). De waarde van deze bezettingsgraad ui(t) van de tak i ligt uiteraard tussen 0 en 1. Desgewenst kan deze worden voorgesteld door een diagonaalmatrix U met diagonaal-elementen ui × δij. Dan krijgt de formule 14 de gedaante x(t) = U(t) · ξ(t). Als er in tijdsinterval t nieuwe productiecapaciteit G · Δξ(t) is toegevoegd, dan zal de nieuw toegevoegde capaciteit in de volgende perioden niet meer veranderen (afgezien van de afdankingen). De bezettingsgraad U(t) ervan kan echter wèl in elke periode een andere waarde aannemen13. Het model wordt dankzij de mogelijkheid van onbenutte productiecapaciteit meer waarheidsgetrouw. Natuurlijk moet de desbetreffende informatie wel worden verzameld, en er moet veel meer rekenwerk worden verzet.
In de echte wereld zal er altijd enige tijd τi verstrijken tussen het plaatsen van de order voor nieuwe outillage van type i en het moment, waarop deze daadwerkelijk productief wordt in het bedrijf. Immers de outillage i moet worden gefabriceerd, en vervolgens getransporteerd en geïnstalleerd bij de opdrachtgever en eindgebruiker. Met andere woorden, in alle tijdsintervallen t, t+1, t+2, ... vallend binnen de tijdsspanne τi wordt er netto ii geïnvesteerd, zonder dat daardoor het bestand (G · x(t))i = Σj=1N gij × xj(t) aan (actieve) grondfonds in de takken j aangroeit. De netto investeringen onttrekken goederen aan het totale product, zonder direct nieuwe productiecapaciteit toe te voegen. Men noemt τ de vertraging (in de Engelse taal: time lag) van de investeringen. Eva Müller duidt de outillage in wording aan als onvoltooide investeringen.
In de voorgaande columns is gewoonlijk verondersteld, dat τ gelijk is aan de lengte Δt van een tijdsinterval t. Hans Knop werpt terecht tegen, dat dit niet overeenkomt met de praktijk. Afhankelijk van de verschillende typen outillage is er een grote spreiding in de waarden van τ. Als G · Δx(t) de netto investeringen zijn, die gedurende het interval t worden onttrokken aan het nationale inkomen, dan zal een deel productief beschikbaar komen aan het einde van interval t, een deel op t + Δt, een deel op t + 2×Δt enzovoort. Dientengevolge is de netto investering
(15) ii(t) = Σh=0H gij(t, h×Δt) × Δxj(t + h×Δt)
In de formule 15 is H de tijdshorizon van de planperiode. Alle investeringen worden uitgesmeerd over een aantal perioden. De toerekening en opdeling over de afzonderlijke perioden van de totale investeringssom voor een zekere outillage hangt uiteraard af van het type investering.
In de formule 15 zijn de gij(t, h×Δt) nu de tijdstructuurcoëfficiënten van de investeringen14. Zij beschrijven hoe outillage van type i op een toekomstig tijdstip t + h×Δt productief zal worden in de tak j. Als men een meerperioden optimalisatie wil uitvoeren, dan koppelen de netto investeringen ii(t) de verschillende perioden sequentieel aan elkaar. Ongetwijfeld heeft Knop hier gelijk, en zal een model voor de praktijk hiermee rekening dienen te houden. Maar het rekenwerk neemt dermate toe, dat de toepassing ervan buiten het kader van deze columns zou vallen. Bovendien maken dit soort verfijningen het onmogelijk om nog de situaties elegant aan te pakken met analytische vergelijkingen. Men zal zijn toevlucht moeten nemen tot numerieke simulaties.