Figuur 1: consumptie x3 voor diverse λ en T
Eigenlijk is de titel van deze column misleidend, want het hier besproken dynamische drie-sectoren model is afkomstig van J. Robinson en J. Eatwell1. Zij vermelden evenwel uitdrukkelijk, dat hun modelvorming is geïnspireerd door de werken van Feldman. Vandaar dat uw columnist de laatstgenoemde met de eer laat gaan strijken.
G.A. Feldman is een Russische econoom, die daar een belangrijke bijdrage heeft geleverd aan de onwikkeling van de moderne plantheorie. In het westen is zijn werk nauwelijks bekend, waarschijnlijk om ideologische redenen. De informatie in deze paragraaf is dan ook afkomstig uit een boek van een Russische econoom, namelijk I.M. Ossadtschaja2. In wezen borduurt Feldman voort op de theorie van de twee-sectoren modellen, die in de negentiende eeuw is voorgesteld door K.H. Marx. In 1928 publiceert Feldman zijn belangrijkste artikel, Zur Theorie der Raten des Volkseinkommens, in het tijdschrift Planowoje chosjaistwo.
In navolging van Marx wil Feldman de structuur van het economische systeem beschrijven. Weliswaar is voor de samenleving in eerste instantie enkel de groei van het nationale inkomen (het netto product) van belang, maar dit hangt nauw samen met de ontwikkeling van de bestanden aan materiële fondsen. Daarom zet Feldman een theorie op, waarin zowel de afdeling II voor de productie van consumptiemiddelen figureert, als de afdeling I voor de productie van productiemiddelen. De afdeling I vergroot dus het productiefonds (grondfonds, de voorraad aan kapitaalgoederen). Stel dat de bestanden aan grondfonds in de afdelingen I en II gelijk zijn aan respectievelijk gI en gII. Dan wordt de structuur van het economische systeem bepaald door de coëffiënt ιk = gI/gII. Dit is het primaire kengetal.
De waarde van het kengetal ιk heeft een directe invloed op de groei van het consumptieve aanbod. Feldman pleitte ervoor, om de afdelingen I en II te laten groeien met dezelfde groeivoet, dat wil zeggen, proportioneel. Hij wees evenwel ook op de mogelijkheid om de structuur van de economie te veranderen door tijdelijk één van de afdelingen met extra investeringen te begunstigen. Je kunt planmatig de economie naar haar optimale toestand sturen.
Volgens Ossadtschaja bestudeert Feldman naast de invloed van de factor kapitaal tevens de inbreng van de factor arbeid. Jammer genoeg diept Ossadtschaja dit punt niet verder uit. In het algemeen veronderstellen dit soort modellen, dat de factor arbeid zich vanzelf aanpast aan de voorraad kapitaalgoederen. Als het totale product x bedraagt, en er zijn l arbeiders, dan worden zij geacht om een arbeidsproductiviteit ap van x/l te hebben.
Ossadtschaja constateert, dat Feldman als eerste wijst op de noodzaak van een hoge fondseffectiviteit. Hij definieert deze effectiviteit als k = x/g. Enkele decennia later zou deze gedachte ook in het westen ingang vinden, met name door het werk van de economen R.F. Harrod en E. Domar. Zoals dat gaat in de wedijver tussen machtsblokken en economen, gaven zij een andere naam aan de fondseffectiviteit. Domar introduceert de inverse ervan, en noemt dat de capital-output ratio3. Ossadtschaja vermeldt, dat althans Domar kennis had genomen van de publicaties van Feldman, en door hem was geïnspireerd. Merk overigens op, dat de theorieën van Harrod en Domar allebei één-sectoren modellen zijn.
Het hier behandelde dynamische drie-sectoren mode vertoont op het eerste gezicht een grote gelijkenis met het model van Biersack, dat is besproken in een eerdere column. De verdeling over de drie takken volgt echter enigszins andere criteria, namelijk:
Dit model heeft ten opzichte van dat van Biersack natuurlijk het nadeel, dat hier de materiaalstromen niet worden gemodelleerd. Er wordt enkel gekeken naar de productie van de consumptie- en investeringsgoederen. De structuur van het totale economische systeem blijft deels buiten beeld, namelijk voor zover het de productie van ruwe materialen betreft.
In de marxistische reproductieschema's zijn alleen de takken 2 en 3 aanwezig. Wellicht is daarom het verrassend, dat Robinson en Eatwell de tak 1 toevoegen. In hun optiek stelt die de zware industrie voor. De zware industrie maakt apparaten zoals grote freesmachines en walsen. En de tak 2 gebruikt die om bijvoorbeeld ploegen en dorsmachines te fabriceren en te verkopen aan de tak 3. De tak 1 maakt het aldus primair aan de tak 2 mogelijk om zijn afgedankte outillage te vervangen door nieuwe. Zonder de tak 1 zou de productiecapaciteit van de tak 2 langzaam teruglopen. Als de tak 1 voldoende aanlevert, dan kan de tak 2 zelfs investeren en in omvang te groeien. De vraag dringt zich op hoe vervolgens de tak 1 zelf kan investeren. Dit wordt in het model opgelost door de tak 1 zijn eigen investeringen te laten fabriceren.
Dit model van Feldman heeft de verdienste, dat het meer nog dan het dynamische drie-sectoren model van Biersack duidelijk maakt hoe belangrijk de investeringsbeslissingen zijn. De tak 1 moet namelijk voortdurend afwegen of hij produceert voor de verkoop aan tak 2, dan wel voor zichzelf. In het eerste geval kunnen de aandeelhouders in de tak 1 genieten van veel rendement. En in het tweede geval kan de tak 1 in zichzelf investeren en in omvang groeien. De tak 1 zou voortdurend zoveel in zichzelf kunnen investeren, dat de tak 2 alleen zijn afgedankte machines kan vervangen, of zelfs dat niet. In die situatie zal de productie in de tak 2 en dientengevolge eveneens van de tak 3 stagneren, terwijl de tak 1 maar blijft groeien. Klaarblijkelijk is er een totale economische groei mogelijk, terwijl toch het consumptieve aanbod onveranderd blijft. Her en der verrijzen nieuwe fabrieken, terwijl voor de mensen de geleefde welvaart onveranderd lijkt4.
Het formalisme in het model van Feldman is analoog aan dat bij Biersack. De coëfficiënt van de grondfondseffectiviteit is gedefinieerd als
(1) ki(t) = xi(t) / gi(t)
In de formule 1 is xi de productie van de tak i, en de grootheid gi stelt het bestand aan grondfonds in tak i voor.
Robinson en Eatwell vereenvoudigen hun versie van het model van Feldman, door de afdankingen weg te laten. Er zijn dan geen vervangingen nodig, de vervangingsvoet w is gelijk aan 0, en de investeringen komen geheel ten goede aan de economische groei. Deze vereenvoudiging heeft het voordeel, dat het model wat transparanter wordt. Het nadeel is natuurlijk, dat die afdankingen de bron kunnen zijn van economische stagnatie. Bij het negeren van de afdankingen belandt men in een rooskleurig scenario, waarin de economie onvermijdelijk altijd moet groeien.
De takken 1 en 2 voegen allebei outillage toe aan het bestand aan grondfonds. Definieer Δgi(t) = gi(t) − gi(t-Δt), waarin t de tijdsvariabele is en Δt een tijdsinterval. Dan geldt
(2) x1(t-Δt) + x2(t-Δt) = Σj=13 Δgj(t)
In de voorgaande alinea's is al beschreven hoe de grootheden Δgi(t) afzonderlijk samenhangen met de productie xi. De wiskundige expressie van dat betoog is
(3a) x1(t-Δt) = Δg1(t) + Δg2(t)
(3b) x2(t-Δt) = Δg3(t)
De huidige versie van het model van Feldman wordt gekenmerkt door de beslissingsvrijheid van de producenten in de eerste tak (of van het planbureau, dat hen aanstuurt). Het staat hen vrij om de omvang van hun investeringen naar eigen behoefte te kiezen:
(4) Δg1(t) = λ(t) × x1(t-Δt)
In de formule 4 kan λ(t) alle waarden van 0 tot 1 aannemen. Er volgt nu direct uit de formule 2, dat geldt
(5) Δg2(t) = (1−λ(t)) × x1(t-Δt)
In de dynamische drie-sectoren modellen zoals dat van Biersack is het gebruikelijk om drie zogenaamde stuurparameters in te voeren, die uitdrukken hoe de investeringen i(t) = Σj=13 Δgj(t) worden verdeeld over de drie takken. Deze zogenaamde investeringsaandeelcoëfficiënten worden gedefinieerd door
(6) ui(t) = Δgi(t) / i(t)
Uiteraard moet gelden, dat u1 + u2 + u3 = 1, zodat één van de stuurparameters is vastgelegd door de andere twee. De formules 1, 2, en 5 kunnen dan worden gebundeld in de vergelijking
(7) Δgi(t) = ui(t) × (k1(t-Δt) × g1(t-Δt) + k2(t-Δt) × g2(t-Δt))
Echter deze methode is bij het drie-sectoren model van Feldman minder zinvol, omdat daarin de investeringen onderling zo direct gekoppeld zijn. Er is maar één stuurparameter, namelijk λ(t). Deze ene parameter is voldoende om de prestaties van het economische systeem te optimaliseren. Men stelt een doelfunctie op, en zoekt waarden voor λ(t), die de grootst mogelijke waarde geven aan de doelfunctie. Het functioneren van een economie wordt altijd getoetst aan het consumptieve aanbod. Daarom is een logische doelfunctie
(8) ZI(T) = x3(T)
In de formule 8 verwijst T naar het tijdstip, waarop de doelfunctie wordt getoetst.
Het is waarschijnlijk nuttig om er op te wijzen, dat een constante stuurparameter λ niet vanzelf leidt tot constante stuurparameters u. Uit de formules 3b, 4, 5 en 7 blijkt, dat u afhankelijk is van (k1(t) / k2(t)) × (g1(t) / g2(t)). Deze factor is gewoonlijk tijdsafhankelijk, zelfs indien men de coëfficiënten k van de grondfonds-effectiviteiten constant zou nemen.
Constante waarden van u treden kennelijk alleen op, indien de bestanden aan grondfonds in de takken 1 en 2 proportioneel zijn en blijven. Dat gebeurt bij een constante k onder de voorwaarde λ = g1(0) /(g1(0) + g2(0)). Dit is weliswaar een belangrijk geval, maar in het model van Feldman niet het meest boeiende. De fascinatie in het model van Feldman is, dat economische groeipaden kunnen worden veranderd door de economische structuur te verbeteren. Men wil enkel proportionele groei, indien men meent de optimale structuur en het optimale groeipad te hebben bereikt.
De formules 3b, 4 en 5 kunnen exact worden opgelost, indien het tijdsinterval Δt infinitesimaal klein wordt genomen. In wiskundige termen is dat Δt → 0. Dan geldt dat Δgi(t) = ∂gi(t)/∂t × Δt, zodat de formules 3b, 4 en 5 veranderen in
(9a) ∂g1(t)/∂t = λ(t) × k1(t) × g1(t)
(9b) ∂g2(t)/∂t = (1−λ(t)) × k1(t) × g1(t)
(9c) ∂g3(t)/∂t = k2(t) × g2(t)
Het model wordt hanteerbaarder, wanneer de grootheden k en λ constant in de tijd worden genomen. Dan heeft het stelsel vergelijkingen 9a-c een eenvoudige oplossing:
(10a) g1(t) = eλ×k1×t × g1(0)
(10b) g2(t) = (1/λ − 1) ×(eλ×k1×t − 1) × g1(0) + g2(0)
(10c) g3(t) = (1/λ − 1) × k2 × ((eλ×k1×t − 1) / (λ × k1) − t) × g1(0) + k2 × g2(0) × t + g3(0)
De formule 10c illustreert duidelijk, hoe de bestanden aan grondfonds zich ontwikkelen. De derde tak start op t=0 met een bestand ter grootte van g3(0). De tak 2 begint met een bestand ter grootte van g2(0), en dat voorziet de derde tak in elke tijdseenheid van x2(0) nieuwe machines. Tegelijker tijd voegt de eerste tak voortdurend machines toe aan het bestand van de tweede tak. En ook die aan de tak 2 toegevoegde machines produceren weer ten behoeve van tak 3.
Op de lange termijn nadert de verhouding g2(t) / g1(t) aan 1/λ − 1, en g3(t) / g2(t) nadert aan (1/λ) × k2 / k1. Men bedenke tenslotte nog, dat de analytische oplossing, die is gevonden in de column over het drie-sectoren model van Biersack, in de huidige situatie niet van toepassing is. Immers u is tijdsafhankelijk.
Voor wie gevoel wil ontwikkelen voor een theorie, kan een rekenvoorbeeld verhelderend werken. In dit voorbeeld worden de beginvoorwaarden gelijk gezet aan de getallen van het economische systeem in een eerdere column over het drie-sectoren model van Biersack. Als die getallen worden omgezet naar het huidige model, dan is het resultaat x1(0) + x2(0) = 6.232, x3(0) = 1.1, g1(0) + g2(0) = 4.289, en g3(0) = 0.88. Veronderstel nog, dat het bestand aan grondfonds in de tweede tak dubbel zoveel is als in de eerste tak. Die aanname heeft tot gevolg dat g1(0) = 1.430 en g2(0) = 2.859.
Het is uiteraard handig om de analytische oplossing uit de formule 10a-c te kunnen gebruiken. Daarom wordt aangenomen, dat de effectiviteit van het grondfonds k onafhankelijk is van de tijd. Bovendien wordt verondersteld, dat de effectiviteiten in de takken 1 en 2 gelijk zijn (k1 = k2). De formule 1 levert dan als resultaat op, dat k = (1.453, 1.453, 1.25). Verder wordt λ constant genomen voor alle tijden.
Het optimalisatieprobleem wordt nu uitgewerkt met behulp van de continue oplossing, die in de formules 10a-c is gegeven. De aandacht gaat vooral uit naar het consumptie-aanbod x3(t) = 1.25 × g3(t), omdat die de welvaart in de samenleving bepaalt. Als te maximaliseren doelfunctie wordt de ZI van formule 8 gekozen, omdat de evaluatie van deze doelfunctie relatief weinig rekenwerk vergt. Er zal een keuze moeten worden gemaakt voor de tijdsperiode T, waarvoor de maximalisatie opgaat. Klaarblijkelijk is T zelf een onderdeel van het optimalisatieprobleem.
Het interval van toegestane waarden voor λ is [0, 1]. De tijdshorizon T wordt in dit rekenvoorbeeld gevarieerd met T=2, 4, 6 en 10. De resultaten van de variatierekening zijn weergegeven in de figuur 1, met uitgezet langs de verticale as de doelfunctie ZI en dus ook het consumptieve aanbod x3(T). Merk op, dat x3 bij T=2, 6 en 10 is geschaald, zodat alle krommen goed uitkomen in dezelfde figuur5. De vorm van deze krommen herinnert aan de kromme, die is gevonden met het model van Biersack. Voor een verklaring ervan raadplege men die column. De figuur 1 laat duidelijk zien, dat het optimum voor de doelfunctie opschuift naar hogere waarden van λ, naarmate de tijdshorizon T verder weg wordt gelegd. Volledigheids halve is dit verband grafisch weergegeven in de figuur 2.
De figuren 1 en 2 laten weliswaar zien, welke waarden van de stuurparameter λ leiden tot de grootst mogelijke consumptie, maar niet waarom. Het is verhelderend om ook te illustreren hoe de groei van x3 zich in de tijd ontwikkelt. Daarom zijn in de figuur 3 de krommen x3(t) afgebeeld voor λ=0.5, 0.7 en 0.9. Aangezien het verloop bij aanvang niet goed zichtbaar is wegens de verticale schaal, zijn voor alle duidelijkheid de krommen in het interval [0, 3] ook uitvergroot met een factor 10. In het uitvergrote tijdsinterval presteert het economische systeem met λ=0.5 het beste. De systemen met λ=0.7 en 0.9 hebben als het ware een trage start. Voor t=4 en 5 heeft λ=0.7 de voorkeur, en daarna is λ=0.9 beter. Overigens geeft uw columnist de figuur 3 bovendien weer, omdat dit soort aardige groeikrommen in een column als deze eenvoudig niet mogen ontbreken.
In dit rekenvoorbeeld treedt de proportionele groei op voor λ = 1/3. Als de optimale λopt daarboven ligt, dan moet men kennelijk toe naar een economische structuur met relatief meer outillage in de eerste tak. Het gewicht van de tak 1 in de economie moet toenemen, tot dat de nieuwe verhoudingen, behorend bij λopt, zijn bereikt. Tevens neemt het gewicht van de tak 2 ten opzichte van de tak 3 toe. In die overgangssituatie veranderen de stuurparameters u voortdurend, om tenslotte op de langere termijn te stabiliseren rond hun nieuwe evenwicht. Dit verschijnsel wordt geïllustreerd in de figuur 4, waar op het tijdstip t=0 wordt overgegaan van λ = 1/3 naar λ=0.7. De stuurparameter u1 maakt een discontinue sprong omhoog, en nadert vervolgens naar zijn nieuwe evenwichtswaarde6. De stuurparameters u2 en u3 vertonen een vergelijkbaar gedrag, in het huidige rekenvoorbeeld evenwel met een sprong en aanpassing naar beneden7.
De vraag moet nog worden beantwoord, waarom λopt in de figuur 2 toeneemt bij een verder weg gelegen tijdshorizon T. Beschouw de volgende twee min of meer uiterste situaties van optimalisatie:
Het is waarschijnlijk goed om nogmaals te benadrukken, dat het drie-sectoren model van Biersack geen enkele informatie kan verschaffen over dit soort aspecten. In het model van Biersack zijn alle producenten van productiemiddelen verenigd in één en dezelfde tak, zowel de zware industrie als de lichte industrie. Het is in dat model onmogelijk om bijvoorbeeld specifiek de investeringen in de zware industrie te verhogen. Dat wil zeggen, het model van Biersack brengt geen industriële structuur aan binnen de productie van productiemiddelen. Het is één homogene groep.
Een ander vermeldenswaardig punt betreft de doelfunctie Z. Deze definieert wat optimaal is en wat niet. Dientengevolge zal men totaal andere optima vinden, wanneer de doelfunctie wordt gewijzigd. Bijvoorbeeld is strikt genomen de doelfunctie ZII(T) = Σt=1T x3(t) logischer. Deze is de som van al het consumptieve aanbod gedurende de tijdspanne T. Daardoor worden ook de belangen van de mensen in het heden meegewogen. Uiteindelijk is de keuze van de doelfunctie een politieke beslissing. En daarmee blijft ook het optimum een politieke beslissing.
Het loont de moeite om te reflecteren op het nut van dit soort exercities. De bedoeling van het model is natuurlijk om de productieve verhoudingen in het economische systeem aan te passen aan de behoeften, en te optimaliseren. In een centraal geleide planeconomie moet deze ontwikkeling beleidsmatig gebeuren, via politieke beslissingen. In een markteconomie met concurrentie zal de behoefte aan winst enige ordening moeten bewerkstelligen. Maar ook dan beschikt de overheid over de middelen om desgewenst rigoreus in te grijpen, bijvoorbeeld door via subsidies of overheidsbedrijven snel een bepaalde nieuwe bedrijvigheid (metaalproductie, informatica enzovoort) van de grond te tillen.
De zojuist beschreven aanpak verandert de structuur van de industrie ingrijpend. Men dient te beseffen, dat deze omwenteling grote gevolgen heeft voor de werknemers in de desbetreffende takken en sectoren. Sommige sectoren mogen structureel sneller groeien, en anderen worden in hun groei afgeremd. Het zal duidelijk zijn, dat de planmakers moeten rekenen met grote weerstand vanuit de benadeelde economische takken. De werknemers en de bedrijven daar merken immers, dat zij geen deelgenoot zijn van de groei, die zij rondom zich in de economie ontwaren. Dat zal zeker leiden tot pessimisme en een negatieve opstelling. Het is dus maar de vraag of dit soort herstructureringen politiek haalbaar zijn.