Figuur 1: Indeling van nijverheid over 3 takken
Het boek Volkswirtschaftlicher Reproduktionsprozeβ und dynamische Modelle1 van de Oost-Duitse econome Eva Müller is een bron van inspiratie voor iedereen, die is geïnteresseerd in dynamische groei. In een eerdere column is beschreven op welke wijze zij twee versies van het bekende nationale inkomens model formuleert. In deze modellen wordt de nationale economie opgevat als één grote, homogene sector. In twee andere columns is uiteen gezet hoe zij met de economische groei doorrekent op het niveau van al de afzonderlijke sectoren. De modellen van het laatst genoemde type werken op basis van een input-output analyse en een vervlechtingsbalans. Dat vereist een gedetailleerde kennis van de in gebruik zijnde productietechnieken. In de laatst genoemde twee columns onderscheidt Müller weer twee varianten van input-output analyse. De ene variant geeft een exacte oplossing. De andere variant bezit het vermogen om naast het totale product ook het bestand aan kapitaalgoederen te berekenen. Deze extra informatie wordt betaald door de noodzaak om terug te vallen op een numerieke oplossingswijze.
De zogenaamde dynamische drie-sectoren modellen zijn varianten van de één-sector modellen. Zij hebben als extra verdienste ten opzichte van hun simpelere voorouders, dat zij het totale product kunnen berekenen. Dit betekent, dat de ontwikkeling van het bestand aan kapitaalgoederen (het grondfonds) althans op het macro-economische niveau zichtbaar kan worden gemaakt. De materiaalstroom in het systeem wordt blootgelegd. Zoals de naam al zegt, wordt dit type model gekenmerkt door drie (groepen van geaggregeerde) sectoren.
In het model van Biersack wordt de nationale bedrijvigheid onderverdeeld in de volgende drie groepen of takken2:
De figuur 1 toont hoe die onderverdeling te werk gaat. Elke soort bedrijvigheid (bijvoorbeeld de landbouw, en de metaalindustrie) wordt ingedeeld in hetzij de tak 1, 2 of 3. Bepaalde soorten bedrijvigheid brengen een product voort, dat meerdere toepassingen kent (voorbeeld: voedsel als consumptiegoed, dat ook als biobrandstof een materiaal kan zijn). Zulke bedrijvigheid moet dus worden opgedeeld over meerdere takken. Er is ook bedrijvigheid, waarvan het product duidelijk valt onder maar één tak (voorbeeld: freesmachines). Nadat de verdeling voor alle bedrijvigheid is voltooid, worden in elke tak i de productievolumina gesommeerd (geaggregeerd) tot één product xi (M, G of K)3.
De coëfficiënt van de grondfondseffectiviteit is gedefinieerd als
(1) ki(t) = xi(t) / gi(t)
In de formule 1 is xi de productie van de tak i. Dat wil zeggen, xi is gelijk aan M, G en K voor respectievelijk i = 1, 2 en 3. De grootheid gi stelt het bestand aan grondfonds in tak i voor.
De materiaalstromen worden vastgelegd door de matrix A, met als elementen de coëfficiënten van de materiaalinzet in de drie takken. Aangezien al de materiaalproductie is geaggregeerd (samengevoegd) in de eerste tak, krijgt de matrix A de gedaante van de vector a(t) = (ai(t)). Hij voldoet aan de relatie
(2) x1(t) = Σj=13 aj(t) × xj(t)
In de formule 2 is, zoals steeds in dit webportaal, Σ het wiskundige symbool voor sommatie.
Investeringen veranderen de aanwezige bestanden aan grondfonds. Zij representeren een verandering in de tijd, die zich voltrekt gedurende een interval Δt. Enerzijds zijn dat de vervangingen, die in de plaats komen van de hoeveelheid afgedankte outillage in de voorgaande periode. De vervangingen in de tak 1 bedragen wi(t) × gi(t-Δt), waarin wi(t) de vervangingsvoet wordt genoemd. Anderzijds zijn dat de netto investeringen iN(t), die nieuwe productiecapaciteit toevoegen aan de bestaande voorraad. Deze worden voor de i-de tak simpelweg gedefinieerd door Δgi(t) = gi(t) − gi(t-Δt). Tezamen vormen de vervangingen en de netto investeringen de bruto investeringen. De bruto investeringen i(t) op tijdstip t moeten al in de voorgaande periode zijn gefabriceerd. Aangezien al de productie van grondfonds is geaggregeerd in de tweede tak, geldt er dat i(t) = x2(t-Δt). Aldus kan worden geconcludeerd, dat er moet gelden:
(3) x2(t-Δt) = Σj=13 (wj(t) × gj(t-Δt) + Δgj(t))
In de dynamische drie-sectoren modellen is het gebruikelijk om zogenaamde stuurparameters in te voeren, die uitdrukken hoe de investeringen i(t) worden verdeeld over de drie takken. Deze zogenaamde investeringsaandeelcoëfficiënten worden gedefinieerd door
(4) ui(t) = Δgi(t) / iN(t)
Uiteraard moet gelden, dat u1 + u2 + u3 = 1, zodat één van de stuurparameters is vastgelegd door de andere twee.
De stuurparameters u(t) dienen om de prestaties van het economische systeem te optimaliseren. Men stelt een doelfunctie op, en zoekt waarden voor u(t), die de grootst mogelijke waarde geven aan de doelfunctie. Het functioneren van een economie wordt altijd getoetst aan het consumptieve aanbod. Daarom is een logische doelfunctie
(5) ZI(T) = x3(T) = K(T)
In de formule 5 verwijst T naar het tijdstip, waarop de doelfunctie wordt getoetst. Het nadeel van de formule 5 is, dat het maximaal maken van het consumptieve aanbod op tijdstip T geen garanties biedt voor het consumptieve aanbod op andere tijdstippen. Daarom bekijkt men vaak de ontwikkeling over een langere tijd T×Δt, en zoekt het maximum van de doelfunctie ZII(T), gedefinieerd door
(6) ZII(T) = Σt=1T x3(t)
De formules 1, 2, 3 en 4 kunnen nu worden gebundeld in de vergelijking (gewoon koppig uitschrijven)
(7) Δgi(t) = ui(t) × (c1(t-Δt) × g1(t-Δt) + c2(t-Δt) × g2(t-Δt))
Dit is de basisformule voor het dynamische drie-sectorenmodel. In de formule 7 zijn de grootheden c1 en c2 gedefinieerd door
(8a) c1(t) = -w1(t+Δt) − w3(t+Δt) × (1−a1(t))×k1(t) / (a3(t)×k3(t))
(8b) c2(t) = k2(t) − w2(t+Δt) + w3(t+Δt) × a2(t)×k2(t) / (a3(t)×k3(t))
Stel dat men de doelfuncties ZI(T) of ZII(T) of nog een andere wil evalueren. Dan is het handig om tevoren te onderzoeken, welke waarden de stuurparameters in formule 4 kunnen aannemen. Hun waardebereik is namelijk beperkt. Dit kan snel inzichtelijk worden gemaakt voor het geval, dat k en a onafhankelijk zijn van de tijd. Men vindt dan door eliminatie van x uit formule 2 met behulp van formule 1, en invullen van het resultaat in Δg(t) = g(t) − g(t-Δt), dat
De grootheden Δgj(t) kunnen vanwege formule 4 worden vervangen door uj(t). Domweg uitschrijven van de resulterende expressien leidt tot:
(10) u1(t) = (a3×k3 + u2(t) × (a2×k2 − a3×k3) ) / ((1−a1)×k1 + a3×k3)
Wegens u3(t) = 1 − u1(t) − u2(t) is nu
(11) u3(t) = ((1−a1)×k1 − u2(t) × ((1−a1)×k1 + a2×k2) ) / ((1−a1)×k1 + a3×k3)
Aangezien de investeringsaandeelcoëfficiënten ui(t) alle drie moeten voldoen aan 0 ≤ ui(t) ≤ 1, leggen de formules 10 en 11 beperkingen op aan het bereik ervan. Dit zal zo dadelijk worden geïllustreerd aan de hand van een rekenvoorbeeld.
De formule 7 kan exact worden opgelost, indien het tijdsinterval Δt infinitesimaal klein wordt genomen. In wiskundige termen is dat Δt → 0. Dan geldt dat Δgi(t) = ∂gi(t)/∂t × Δt, zodat de formule 7 verandert in
(12) ∂gi(t)/∂t = ui(t) × (c1(t) × g1(t) + c2(t) × g2(t))
In het voorgaande is gebleken, dat het model hanteerbaarder wordt, wanneer de grootheden a, k en w constant in de tijd worden genomen. Wegens de formule 8a-b zijn dan ook c1 en c2 constant. Neem daarbij ook nog aan, dat u onafhankelijk van de tijd t is. Dan heeft de vergelijking 12 een eenvoudige oplossing:
(13a) g1(t) = eα×t × u1 × γ / α + c2 × β / α
(13b) g2(t) = eα×t × u2 × γ / α − c1 × β / α
(13c) g3(t) = (eα×t − 1) × u3 × γ / α + g3(0)
De constanten in de formules 13a-c zijn gedefinieerd door
(14a) α = u1 × c1 + u2 × c2
(14b) β = u2 × g1(0) − u1 × g2(0)
(14c) γ = c1 × g1(0) + c2 × g2(0)
Voor wie gevoel wil ontwikkelen voor een theorie, kan een rekenvoorbeeld verhelderend werken. In dit voorbeeld worden de getallen gebruikt uit het economische systeem in een eerdere column over de vervlechtingsbalans. Rekentechnisch is deze keuze natuurlijk totaal willekeurig. Maar het is gemakkelijker om verbanden tussen modellen te zien, wanneer de overeenkomstige grootheden in de diverse modellen steeds weer terugkeren met dezelfde waarde.
In de desbetreffende column produceert het economische systeem balen graan in de landbouw en tonnen metaal in de industrie. Allebei de producten kunnen worden toegepast in de drie takken, te weten materiaal, outillage en consumptie. Nu treedt het probleem op, dat binnen een tak i de balen graan en de tonnen metaal zouden moeten worden geaggregeerd tot één productievolume xi. Zie figuur 1. Bovendien moeten in formule 4 de investeringen Δgi kunnen worden samengevoegd tot één geheel in de netto investeringen iN. Maar balen graan en tonnen metaal zijn natuurlijk onmogelijk onder één noemer te brengen. Daarom zal in dit rekenvoorbeeld alleen de productie van de landbouw (graan) worden beschouwd. Er is dan maar één noemer of maatstaf, te weten het graan. De lezer merkt hoe de kruisbestuiving van de diverse columns en modellen al direct haar vruchten afwerpt, en stimuleert tot nadenken.
In de genoemde column blijkt op het tijdstip t=Δt dat xg = 24.47 (balen graan), (A x)g = 17.14, ig = 6.232, yg = 1.1 en Γg = 17.62. Deze getallen worden hier als startpunt op t=0 genomen. Men moet zich aldus een enigszins wonderlijk economisch systeem voorstellen, waarin het graan zowel het enige materiaal is, als het enige productiemiddel, als het enige consumptief goed. Hoe dan ook, de getallen worden daar niet minder om. Omgezet naar het huidige model leiden de genoemde getallen tot xg(0) = (17.14, 6.232, 1.1). Met deze verdeling kan ook Γg worden uitgesplitst, met als resultaat dat gg(0) = (12.45, 4.289, 0.88). De volgende grootheden worden constant genomen voor alle takken en tijden:
Figuur 2: consumptie x3 versus parameter u2
De formule 8a-b toont, dat nu ook c1 en c2 constant zijn. Men vindt daarvoor respectievelijk de waarden -0.03347 en 1.456. In het infinitesimale geval van Δt → 0 wordt de oplossing voor g overigens gegeven door de formules 13a-c. Alvorens de oplossingen te berekenen, moet eerst nog de verzameling {u} van toegestane stuurparameters worden berekend, aan de hand van de twee lineaire relaties 10 en 11. Invullen van de getallen in deze formules leidt tot u1 = 0.5975 + 0.09703 × u2 en u3 = 0.4025 − 1.097 × u2. Dientengevolge liggen de toegestane waarden van u2 in het interval [0, 0.4025] en die van u2 in het interval [0, 0.3669]. De stuurparameter u1 ligt derhalve in het interval [0.5975, 0.6332]4.
Het optimalisatieprobleem wordt nu uitgewerkt met behulp van de continue oplossing, die in de formules 13a-c is gegeven. Zij wordt uitgerekend door de stuurparameter u2 systematisch te variëren. De aandacht gaat vooral uit naar het consumptie-aanbod x3(t) = 1.25 × g3(t), omdat die de welvaart in de samenleving bepaalt. Als te maximaliseren doelfunctie wordt de ZI van formule 5 gekozen, teneinde de hoeveelheid rekenwerk enigszins te beperken. De tijdsperiode T, waarvoor de maximalisatie opgaat, wordt op T=10 gezet.
De resultaten van de variatierekening zijn weergegeven in de figuur 2. De doelfunctie ZI en dus ook het consumptieve aanbod x3(10) zijn maximaal voor u2=0.28. Dan is u1=0.62 en u3=0.10. De vorm van deze kromme herinnert aan een soortgelijke kromme in de column over één-sector modellen. Daar wordt eveneens het consumptieve aanbod onderzocht, evenwel in samenhang met de variatie van de accumulatievoet. Er wordt geconcludeerd, dat in principe bij een hogere accumulatie de toekomstverwachtingen voor het consumptieve aanbod stijgen. Deze positieve ontwikkeling wordt echter afgeremd, wanneer er te veel wordt geaccumuleerd. Immers dan leggen de investeringen beslag op bijna het totale nationale inkomen. Een soortgelijke ontwikkeling is hier zichtbaar in de figuur 2.
De figuur 2 bevat weliswaar alle noodzakelijke informatie, maar zij maakt niet in een oogopslag duidelijk, waarom u2=0.28 een groter productief aanbod geeft dan bijvoorbeeld u2=0.20.Volledigheids halve toont de figuur 3 voor de tijdspanne tot T=10 het tijdsverloop van x3(t), zowel voor u2=0.20 als 0.28 5. De figuur illustreert, dat de parameter u2=0.28 beslist niet voor alle tijden superieur is aan u2=0.20. Pas op het tijdstip t=9 overstijgt de kromme behorend bij u2=0.28 die van u2=0.20. Als de doelfunctie zou zijn geëvalueerd voor een kleinere T, bijvoorbeeld T=5, dan zou u2=0.20 verkieselijk zijn boven u2=0.28.
Aan het begin van deze column is opgemerkt, dat de werkelijke kracht van de driesectoren modellen zit in hun vermogen om de ontwikkeling in de tijd van de voorraden aan kapitaalgoederen (het bestand aan grondfonds) te berekenen. Een voorbeeld van zulke simulaties is weergegeven in de figuur 4. De formules 13a-c zijn met dezelfde getallen als voorheen gebruikt om x1(t), x2(t) en x3(t) te vinden, voor zes tijdstappen. Daarbij is het investeringsvolume verdeeld met de stuurparameter u2 = 0.28, dus in het zojuist ontdekte optimum. De productie in de derde tak is opgeschaald met een factor 10, om alle curves duidelijk in één figuur te kunnen afbeelden. De factor α van de formule 14a heeft hier een waarde van 0.387. Kennelijk is de groeivoet van het economische systeem gelijk aan 38.7%.
Helaas zal in de meeste gevallen de differentiaalvergelijking 12 niet analytisch oplosbaar zijn. Dan moet voor de oplossing worden teruggevallen op een numerieke rekenmethode, bijvoorbeeld met de formule 7. Het is daarom interessant om te onderzoeken, in hoeverre de numeriek verkregen oplossing wordt vertekend door numerieke fouten. Dat kan door de numeriek verkregen oplossing te vergelijken met de analytisch bepaalde (exacte) oplossing, althans voor zover dat mogelijk is. Een dergelijke vergelijking wordt getoond in de figuur 4, waar ook de met de formule 7 gevonden discrete oplossing x3 is afgebeeld (x3,d, opgeschaald met een factor 10).
De figuur illustreert hoe aanvankelijk de resultaten van de twee oplossingsmethoden voor x3 bijna samenvallen. Maar na de derde tijdstap beginnen ze steeds meer uiteen te lopen, en bij T=10 (niet getoond) is de analytische oplossing al ruim 80% groter dan de numerieke. De oorzaak van dit soort afwijkingen is al besproken in een eerdere column. Namelijk, in de numerieke benadering met de formule 7 wordt op tijdstip t in één keer de hoeveelheid kapitaalgoederen van Δgi toegevoegd, die in de voorgaande periode [t-Δt, t] is gefabriceerd. In werkelijkheid echter groeien de bestanden gi continu aan. Zij worden dus te laag ingeschat door de termen gi(t-Δt) in de formule 7.
Eva Müller wijst er in haar boek op, dat de formule 7 wèl de werkelijkheid juist weergeeft voor de situatie, waarin de nieuw gefabriceerde kapitaalgoederen (outillage) met enige vertraging (Δt) aan het werk worden gezet6.