Figuur 1: De elementen in de matrices A, G, W en C-1
Voorlopig gaan de meeste columns op dit internetportaal over economische groei. Groeicijfers bepalen in hoeverre een gegeven maatschappelijk systeem een reëel toekomstperspectief heeft. Dat verklaart mede, waarom uw columnist regelmatig aandacht besteedt aan theorieën uit de vroeger met het westen concurrerende Oostbloklanden. Antiquariaat Helle Panke in Berlijn is een goudmijn voor het opbouwen van een kleine collectie DDR boeken over de plan-economie1. Uit zijn voorraad komt onder andere het uitstekende boek Volkswirtschaftlicher Reproduktionsprozeβ und dynamische Modelle2, geschreven door de econome Eva Müller. Zij zet daarin op een heldere wijze uiteen hoe de materiaalstroom in een volkshuishouding of een systeem van bedrijfstakken kan worden doorgerekend.
Zodra men werkelijk rekening wil houden met de economische structuur, op sectoraal niveau, zal men zijn toevlucht moeten nemen tot een model op basis van de vervlechtingsmatrix. De centrale opgave is dan om uitgaande van een gegeven productietechniek te zorgen, dat de productieverhoudingen tussen de bedrijfstakken in balans blijven, en er geen productiecapaciteit overtollig is. Dat is noodzakelijk, omdat de takken gewoonlijk verschillende groeivoeten zullen hebben. Het prijssysteem kan in zulke analyses vooralsnog buiten beschouwing blijven. In een eerdere column is beschreven, hoe Müller in haar boek de vervlechtingsbalans uitwerkt op basis van de vector-vergelijking
(1) y(t) = (I − A(t)) · x(t) − i(t)
In de formule 1 stelt de (staande) vector x(t) de productievolumina in de diverse bedrijfstakken voor, en de vector y(t) is het netto-product, dat beschikbaar is voor consumptieve toepassingen. De netto investeringen i(t) zijn afgesplitst uit y(t), en worden weergegeven door de term F · ∂x(t)/∂t. Deze expressie maakt van de formule 1 een partiële differentiaal-vergelijking van de eerste orde. De term A(t) · x(t) representeert het materiaalgebruik tijdens het productieproces. Müller noemt dit het materiële fonds, in navolging van Marx. De term fonds drukt uit, dat het een permanent bestand aan goederen betreft. Het model van formule 1 wordt het grondmodel van de dynamische vervlechtingsbalans genoemd.
In de zojuist genoemde column is al het probleem aangeduid, dat de formule 1 met i = F · ∂x(t)/∂t het bestaande grondfonds (in de terminologie van Eva Müller) zelf buiten beschouwing laat. Alleen de toevoegingen aan dat materiële fonds als geheel (omloop- en grondfonds tezamen) zijn gemodelleerd. Het grondfonds bestaat uit de duurzame productiemiddelen, die tijdens het productieproces worden ingezet. Hiermee wordt outillage bedoeld, zoals machines en fabriekspanden, die relatief langzaam verslijt. Marx noemt haar het vaste kapitaal, en zij wordt ook wel aangeduid als de voorraad kapitaalgoederen. Kenmerkend is, dat het niet binnen één productie-omslag hoeft te worden terugverdiend, maar geleidelijk kan worden afgeschreven (ook wel amortisatie genoemd). De afgedankte outillage kan dan worden vervangen door nieuwe outillage van hetzelfde type.
Als er sprake is van economische groei, dan kan uiteraard de productie alleen voortgang vinden, zolang het grondfonds meegroeit. Met andere woorden, niet alleen de directe materiaalinzet zal toenemen, maar ook het fonds van vaste kapitaalgoederen. Bovendien zal het grondfonds in elke tak weer een andere groeivoet hebben. Naast de aanvulling van het bestaande grondfonds moet er voor worden gewaakt, dat er zo min mogelijk ergens outillage onbezet blijft. Indien er wel outillage wordt stilgelegd, dan is er sprake van een overcapaciteit. Dat heeft minstens twee nadelen. Ten eerste wordt er minder geproduceerd dan qua capaciteit zou kunnen. De maatschappelijke rijkdom is in die situatie niet optimaal. Ten tweede veroudert de stilgelegde outillage wèl, en lijdt daardoor een verlies aan waarde, terwijl dat niet wordt terugverdiend door productverkoop.
Met andere woorden, het economische groeipad moet zodanig worden gekozen (gepland), dat alle beschikbare capaciteit optimaal wordt ingezet. Dit is een belangrijke voorwaarde, naast de optimalisatie van het consumptieve aanbod3. Het zou daarom prettig zijn, wanneer een theoretisch model van de dynamische vervlechtingsbalans expliciet rekening houdt met de bestanden aan outillage (het grondfonds). Eva Müller zet in haar boek uiteen, hoe zo een model wordt opgebouwd, en op welke wijze het wordt opgelost4.
Het kenmerk van dit nieuwe model (volgens Müller ontwikkeld door F.N. Klozwog, in de Sovjetunie) is, dat er gebruik wordt gemaakt van een uitgebreide investeringsvergelijking. Zowel de vervanging van outillage als de netto-investeringen worden apart gemodelleerd. Tezamen vormen zij de bruto investeringen. In wiskundige termen is de splitsing
(2) i(t) = iV(t) + iN(t)
Uiteraard moeten de investeringen iV(t) voor vervanging meegroeien met de productie-omvang. Bij elke afdanking moet er een vervangende machine klaar staan. De netto-investeringen iN(t) dienen voor de uitbreiding van de productie-capaciteit om die groei in gang te zetten. In beginsel kan de uitbreiding de gedaante aannemen van werkelijk nieuwe machines.
In tegenstelling tot het model in de eerdere column wordt nu de uitbreiding van het omloopfonds niet tot de investeringen i(t) gerekend5. Hiermee volgt Müller de definitie van investeringen, zoals die gebruikelijk is in de westerse economie. Uiteraard moet een groeiende economie wèl bij elke productie-omslag het omloopfonds laten meegroeien. In het model wordt het noodzakelijke materiaal onttrokken aan het netto product y(t). Met andere woorden, y(t) is in dit geval niet louter consumptief. Natuurlijk is de onttrekking enkel mogelijk, zolang y(t) zelf voldoende meegroeit met de economie.
De voorgaande column vat in een voetnoot de grootheden samen, die Müller definieert om het grondfonds te beschrijven. Die samenvatting wordt hier herhaald, en nader uitgewerkt. De inzet van het noodzakelijke grondfonds wordt beschreven door de vector
(3) Γ(t) = G(t) · x(t)
In de formule 3 laat de matrix gij(t) voor elke bedrijfstak j zien, hoeveel van product i die als grondfonds nodig heeft. Merk op, dat voor het geval, dat de netto investeringen leiden tot de toevoegingen van nieuwe outillage aan het grondfonds, de samenstelling van het grondfonds in een bedrijfstak kan veranderen. De nieuw toegevoegde outillage wordt als het ware gekarakteriseerd door de matrix van dat moment. Daarom wordt G(t) in de formule 3 weergegeven als een tijdsafhankelijke grootheid. Het ligt voor de hand om de grondfondsinzet Γi te vergelijken met de totale productie xi. Met andere woorden, definieer ook de grootheid γi = Γi / xi. Müller noemt de maat γi de intensiteit van de grondfondsinzet6. Deze grondfondsintensiteit is overigens niet per se nodig voor het huidige model.
Het is nu mogelijk om de vervangingen iV(t) in de uitgebreide investeringsvergelijking te modelleren. Het model met uitgebreide investeringsvergelijking maakt gebruik van discrete tijdstappen. Merk op, dat het daarin verschilt van het eerder beschreven grondmodel van de dynamische vervlechtingsbalans, dat continue oplossingsfuncties oplevert7. In een discreet model stelt t strikt genomen het nummer voor van de periode, die men wil analyseren. Elke periode heeft een tijdsduur Δt, zodat periode t verwijst naar het tijdsinterval tussen (t-1) × Δt en t × Δt. Het discrete model levert als oplossing voor periode t grootheden zoals x(t). Aangezien periode t een duur Δt heeft, is de implicatie van het model dat x(t) gedurende dit interval niet verandert. Dit is uiteraard slechts een benadering van de realiteit (en van de continue oplossing). De benadering hoeft niet tot grote afwijkingen in de oplossing te leiden, zolang men althans voldoend kleine stappen Δt neemt.
Uiteraard moet al bij aanvang van elke productie-periode het bestand aan grondfonds beschikbaar zijn. Het wordt gereed gezet in de er aan voorafgaande periode. Dat wil zeggen: Γ(t-1) is het bestand, dat zal worden gebruikt gedurende de periode t. Bij aanvang van de periode t is bekend, dat in elke tak i een deel van de outillage zal worden afgedankt wegens slijtage. De desbetreffende afdankingsvoet wordt weergegeven door het symbool wi(t). In het model wordt verondersteld, dat alle afdankingen worden vervangen. De afdankingsvoet en de vervangingsvoet zijn dan hetzelfde. De vervanging geschiedt natuurlijk op het tijdstip t, volgend op t-1. Klaarblijkelijk zijn de vervangingsinvesteringen gelijk aan iV,i(t) = wi(t) × Γi(t-1). Zoals gebruikelijk is bij Müller, wordt zo een vergelijking omgezet naar een matrixvergelijking. Dat kan door een diagonaalmatrix W zodanig te definiëren, dat zij de vervangingsvoeten wi op de diagonaal heeft, en nullen elders. In wiskundige notatie is dat wi × δij, waarbij δij de Kronecker delta is. Het resultaat is
(4) iV(t) = W(t) · Γ(t-1)
De enige opgave is nu nog het bepalen van de netto investeringen iN(t), die de groei moeten bewerkstelligen. De netto investeringen zijn simpelweg de kapitaalgoederen, die op tijdstip t worden toegevoegd aan de kapitaalgoederenvoorraad (het grondfonds). De discretisatie in het model heeft tot gevolg, dat iN(t) constant blijft gedurende het tijdsinterval Δt van de periode t. Haar grootte wordt op de volgende manier benaderd:
(5) iN(t) = (Γ(t) − Γ(t-1) ) / Δt
Gemakshalve wordt Δt gelijk gezet aan één eenheid (uur, dag, week, maand, jaar). Met andere woorden, er wordt gekozen voor Δt = 1. In een iteratieve (dynamische) berekening is Γ(t-1) bekend uit de voorgaande rekenstap op tijdstip t-1. De grootte van Γ(t) is op tijdstip t evenwel nog onbekend. Zij wordt gegeven door de formule 3, waardoor de formule 5 verandert in
(6) iN(t) = G(t) · x(t) − Γ(t-1)
Nu kan de modelvergelijking voor x(t) worden geformuleerd. De formules 1, 2, 4 en 6 gecombineerd tot
(7) y(t) = (I − A(t)) · x(t) − W(t) · Γ(t-1) − (G(t) · x(t) − Γ(t-1))
Herordening van de termen in de formule 7 geeft als resultaat
(8) y(t) = (I − A(t) − G(t)) · x(t) + (I − W(t)) · Γ(t-1)
Het symbool I stelt de eenheidsmatrix voor. Dit is de formule voor x(t) in het model met uitgebreide investeringsvergelijking8.
De oplossingsmethode is bij dit model vrij eenvoudig. Schrijf de formule 8 als
(9) y(t) = C(t) · x(t) + D(t) · Γ(t-1)
In de formule 9 geldt dat
(10a) C(t) = I − A(t) − G(t)
(10b) D(t) = I − W(t)
De oplossing van de formule 10 is
(11) x(t) = C-1(t) · y(t) − C-1(t) · D(t) · Γ(t-1)
De matrix C-1(t) is de inverse van de matrix C(t). In dit model wordt de ontwikkeling van de consumptie y(t) voorgeschreven door het planbureau. Gewoonlijk zal het uiteraard kiezen voor consumptieve groei. Bovendien is in het begin al opgemerkt, dat de "consumptie" y(t) ook wordt gebruikt voor de groei van het omloopfonds. Voorts is in de inleiding geconstateerd, dat het groeipad in overeenstemming moet zijn te brengen met het bij aanvang aanwezige bestand aan grondfonds. Het bestand aan grondfonds Γ(t-1) is bekend uit de voorgaande periode, waar het is berekend met de formule 3.
Het rekenvoorbeeld volgt zoveel mogelijk de getallen, die zijn gebruikt ter illustratie van het grondmodel van de dynamische vervlechtingsbalans. Als rekenvoorbeeld wordt dus weer het economische systeem met twee sectoren gekozen. De ene sector is de landbouw, die zich toelegt op de productie van graan (gemeten in balen). De andere sector is de industrie, en die produceert metaal (gemeten in tonnen, dat wil zeggen 1000 kg). Beide sectoren gebruiken een deel van het geproduceerde graan en metaal zelf als productiemiddelen (in de vorm van zaaigoed, brandstof, werktuigen, en dergelijke). Uiteraard heeft elk van de beide sectoren arbeiders in dienst. Hun loon wordt uitbetaald in balen graan (voor brood, jenever enz.) en tonnen metaal (voor huishoudelijke apparaten enz.).
In het model met uitgebreide investeringsvergelijking moeten de twee vergelijkingen van de formule 8 opgelost worden. De oplossing is gegeven door de formule 10. Hiervoor moeten de benodigde fondsen A en G bekend zijn, die de stand der techniek beschrijven. Bovendien moeten de vervangingsvoeten in W bekend zijn. Als beginvoorwaarde moet het bestand aan grondfonds Γ(0) op tijdstip t=0 gegeven zijn. En uiteraard moet het planbureau voor elke periode vastleggen, welk consumptief aanbod y(t) het wil bereiken. Het zal duidelijk zijn, dat het planbureau daarin niet vrij kan fantaseren, want het beschikbare grondfonds en de techniek leggen natuurlijk bepaalde grenzen op aan de mogelijkheden voor y(t).
In het rekenvoorbeeld worden alle matrices constant in de tijd genomen. De matrix A wordt simpelweg overgenomen van het rekenvoorbeeld in de column over het grondmodel. Volledigheids halve is hij nogmaals weergegeven in figuur 1. Een tijdsonafhankelijke matrix G betekent, dat de structuur van het grondfondsbestand niet verandert door de netto investeringen. De netto investeringen worden dus gekenmerkt door dezelfde structuur als het bestaande grondfonds. Gemaks halve wordt voor G dezelfde matrix F genomen, die al bekend is uit het rekenvoorbeeld bij het grondmodel9. De vervangingsvoeten w1 en w2 in de matrix W worden allebei op 0.02 (2%) gezet. Ook G en W zijn weergegeven in figuur 1, evenals voor alle volledigheid C-1.
Als beginvoorwaarden voor Γ wordt [Γg(0), Γm(0)] = [11.6, 12.7] genomen. Het gedrag van het netto product wordt voor alle tijden eenduidig vastgelegd door te kiezen voor [yg(0), ym(0)] = [1, 0.3], en daarbij een tijdsonafhankelijke groeifactor van 1.1 te nemen.Dat wil zeggen, het planbureau streeft naar
(12) y(t) = 1.1t × y(0)
Figuur 2b: De groeikrommen xm, ym (×30) en Γm voor metaal
Het netto product, en daarmee de inkomens, groeien dan met 10% per tijdseenheid. Aldus staan alle gegevens gereed om de gewenste ontwikkeling van het totale maatschappelijke product x(t) te berekenen.
Het voorbeeld is doorgerekend voor zes perioden t. De grootheden x(t), y(t) en Γ(t) zijn bepaald met behulp van respectievelijk de formules 11, 12 en 3. Figuur 2a-b toont de resultaten, waarbij voor alle duidelijkheid y(t) is opgeschaald met een factor 30.
Het valt direct op, dat het bestand aan grondfonds sneller groeit dan het consumptieve aanbod. In de eerste perioden zijn de investeringen vooral gericht op de uitbreiding van het grondfonds in de landbouw. Daarna groeien zowel de landbouw als de industrie met ruwweg 15.5% per tijdsstap. Wegens de formule 3 volgt het bestand aan grondfonds ongeveer dezelfde groeivoet. Een deel van de productie wordt besteed aan de vervanging van versleten outillage. De investeringen voor de vervanging gaan ten koste van de netto investeringen, zodat de groei in dit model wat trager verloopt dan men zou vinden bij een simulatie met het grondmodel. Dit effect is hier evenwel niet zeer dominant, omdat de vervangingsvoet van 2% zo klein is genomen.
De snelle groei van het totale product x(t) en van het grondfonds heeft tot gevolg, dat een steeds groter deel van y(t) zal moeten worden besteed aan de uitbreiding van het omloopfonds10.
Het resterende deel van deze column behandelt een verbetering van het numerieke algorithme in het model. Het verbetert de nauwkeurigheid van het model, maar draagt verder weinig bij aan het economische inzicht. Lezers, die alleen belangstelling hebben voor het economische aspect van het model, kunnen de rest dus gerust overslaan. Het numerieke probleem treedt op bij de formule 5, waar de netto investeringen iN(t) worden benaderd door een constante waard over het hele tijdsinterval Δt. Met die veronderstelling volgt de formule 5 logisch uit de algemene definitie van het bestand aan grondfonds:
Figuur 3: iN in model
en in werkelijkheid
(13) Γ(t) = Γ(t-1) + ∫0Δt iN((t-1)×Δt + τ) dτ
Maar in werkelijkheid groeit de economie continu, waardoor de producenten in het algemeen ook de netto investeringen zullen ophogen. Figuur 3 toont de werkelijke en gemodelleerde ontwikkeling van iN tussen (t-1)×Δt en t×Δt. Overeenkomstig de integraalformule 13 is het oppervlak onder allebei de krommen gelijk, namelijk Γ(t) − Γ(t-1). Het is daarbij duidelijk, dat op het tijdstip t de werkelijke netto investeringen groter zijn dan de gemodelleerde. In het model zijn de investeringen deels verschoven naar een vroeger tijdstip, dichter bij t-1.
Men kan de numerieke resultaten verbeteren door de gemodelleerd netto investeringen provisorisch te corrigeren voor de discretisatie. Eva Müller stelt voor om de te kleine benadering (Γi(t) − Γi(t-1)) / Δt een beetje op te schalen11, door het te vermenigvuldigen met een factor ηi. Uiteraard is ηi > 1 voor alle takken i. De grootte van η wordt bepaald op basis van gevoel en ervaring. Het is ideaal, als men beschikt over een exacte analytische oplossing voor x. De factor η wordt dan gevonden door de numerieke oplossing te laten samenvallen met de exacte. Net zoals is gedaan bij wi en de matrix W kunnen ook de schaalfactoren ηi worden voorgesteld door een diagonaalmatrix, die hier J wordt genoemd. Eva Müller betitelt haar als de matrix van omrekeningscoëfficiënten. De formule 5 krijgt dan de gedaante
(14) iN(t) = J(t) · (Γ(t) − Γ(t-1))
De matrix J werkt natuurlijk ook door in de overige formules. De formule 8 voor x(t) in het model met uitgebreide investeringsvergelijking verandert in
Figuur 4: De elementen in de matrices C-1 en D
(15) y(t) = (I − A(t)) · x(t) − W(t) · Γ(t-1) − J(t) · (G(t) · x(t) − Γ(t-1))
Volgens Müller moet in het model met omrekeningscoëfficiënten het bestand aan grondfonds worden berekend met de volgende recursieformule
(16) Γ(t) = Γ(t-1) + J(t) · (G · x(t) − Γ(t-1))
Uw columnist begrijpt de reden voor deze formule niet. Daarom blijft hij ook in het model met omrekeningscoëfficiënten gewoon gebruik maken van de formule 3.
De formules 10a-b veranderen nu in
(17a) C(t) = I − A(t) − J(t) · G(t)
(17b) D(t) = J(t) − W(t)
Figuur 5: yg (×30), xg, Γg, en gecorrigeerd xg,c en Γg,c
Als men gebruik wil maken van Müllers formule 16 voor Γ(t), dan kan die iteratief worden ingevuld, zodat Γ(t-1) wordt uitgedrukt als een functie van Γ(t-2), Γ(t-3), ... , Γ(0).
Het zojuist beschreven rekenvoorbeeld wordt herhaald, maar nu met gebruik making van de omrekeningscoëfficiënten η en de formules 3, 11, 12 en 16a-b. In navolging van Müller wordt η = 1.333 genomen voor allebei de bedrijfstakken en voor alle tijden12. De figuur 4 geeft de elementen van de matrices C-1 en D weer. Figuur 5 toont voor de landbouw de resultaten van de verbeterde rekenmethode, tezamen met de oorspronkelijke resultaten. De resultaten in de industrie geven een gelijksoortig beeld.
Uiteraard is het verloop van het netto product y(t) exact hetzelfde als in figuur 2a-b. De groei is er nog steeds 10%. Maar de groei van de bestanden aan grondfonds zet zich nu in figuur 5 langzamer door dan in de figuur 2a-b. De groeivoet van de bestanden aan grondfonds is in de latere perioden namelijk slechts 8.3%, dus zelfs kleiner dan die van het consumptieve aanbod. Het meest opvallende is, dat ten gevolge van de correctie voor de netto investeringen het totale maatschappelijke product x(t) duidelijk kleiner is geworden.
De reden van de verandering ligt voor de hand. Dankzij de omrekeningscoëfficiënten hebben op het tijdstip t de netto investeringen i(t) in de formule 1 nu hun werkelijke grootte. De groei van het bestand aan grondfonds vlak voor t is vergroot (en dus vlak na t-1 verkleind, zie figuur 3). Op die manier kan het vereiste investeringsniveau worden bereikt met een kleiner maatschappelijk product. Müller vindt hetzelfde resultaat in háár berekeningen.