Figuur 1: Consumptieve groei bij verschillende u en k
Tot nu toe heeft in deze webportaal het verschijnsel van de economische groei veel aandacht gekregen. Daarbij is gebleken, dat het goed mogelijk is om de groei te modelleren. Dat kan zelfs op het niveau van de afzonderlijke bedrijfstakken, zo liet de econome Eva Müller zien, met behulp van de dynamische vervlechtingsbalans. Als men evenwel enkel geïnteresseerd is in de effectiviteit van de algemene economische ontwikkeling, dan zijn zulke modellen te gedetailleerd. In die situatie zijn dynamische éénsector-modellen beter geschikt, omdat zij gemakkelijker hanteerbaar zijn. Met name kan de technologische vooruitgang redelijk eenvoudig worden gemodelleerd. Daarom worden ze vaak toegepast in het onderzoek naar de lange-termijn effecten van het overheidsbeleid. Daarbij geven de éénsector-modellen een indruk van de verhoudingen tussen het nationale inkomen N, de consumptie K en de investeringen I, in samenhang met de technologische vooruitgang. Door variatie van de diverse parameters kan worden bepaald, wat hun optimale waarden zouden moeten zijn. Dankzij de modelberekeningen kunnen voorspellingen worden gedaan, zij kunnen de voorgestelde maatregelen in een beleidsplan ondersteunen, of zij kunnen bijdragen aan beleidsanalyses. De overheid heeft aldus de mogelijkheid om de nationale economie planmatig enigszins bij te sturen. De Oost-Duitse econome Eva Müller presenteert in haar boek Volkswirtschaftlicher Reproduktionsprozeβ und dynamische Modelle1 een aantal van zulke modellen, waarvan er in deze column twee zullen worden behandeld. Het gaat hier om het nationale inkomens aanwas-model en om het nationale inkomens model, althans de eenvoudige versie daarvan.
Stel het nationale inkomen wordt weergegeven door de functie N(t), waarin t de tijdsvariabele is. De basis van het nationale inkomens aanwas-model is de vergelijking
(1) ΔN(t) = k(t) × I(t-Δt)
In formule 1 is ΔN(t) de aanwas van het nationale inkomen gedurende een periode Δt. Hij heeft de wiskundige vorm ΔN(t) = N(t) − N(t-Δt). De grootheid I(t) stelt de netto investeringen voor, die ten grondslag hebben gelegen aan de economische groei. Aangezien de investeringen uiteraard vooraf moeten gaan aan de aanwas, moet men in formule 1 hun waarde in de voorgaande periode invullen. De grootheid k(t) wordt de investeringseffectiviteit genoemd. Zij weerspiegelt de uitwerking van allerlei factoren, met name die van de arbeidsproductiviteit (ap). Als zodanig is zij een maat voor de technologische vooruitgang.
De investeringen in de productie moeten worden gedaan uit het op dat moment beschikbare nationale inkomen. Datgene van het inkomen wat niet wordt geïnvesteerd, ter grootte van K, komt in handen van de huishoudens voor consumptieve bestedingen. In wiskundige termen wordt deze verdeling weergegeven als N(t) = K(t) + I(t). De verdeling uit zich natuurlijk evenzeer in dat deel van het nationale inkomen, dat er zojuist als aanwas is bijgekomen. Aangezien in de huidige column juist de aanwas centraal staat2, wordt de maatschappelijke verdeling hier geformuleerd door de relatie
(2) ΔN(t) = ΔK(t) + ΔI(t)
Investeringen voegen kapitaalgoederen toe aan het al bestaande bestand aan outillage. Er is sprake van een accumulatieproces. Dankzij de accumulatie staat er meer productieve capaciteit gereed, resulterend in een grotere productie-omvang3. De extra geproduceerde goederen worden verdeeld overeenkomstig de formule 2. De verdeelsleutel, die de toename van de investeringen vastlegt, laat zich schrijven als
(3) ΔI(t) = u(t) × ΔN(t)
In de formule 3 is u(t) de verdelingsgrootheid, die door Müller de accumulatievoet wordt genoemd. Benadrukt moet worden, dat de formule 2 een relatie tussen differenties is. Zij kan meestal niet zodanig worden veralgemeniseerd, dat ook de grootheden zèlf eraan voldoen. Dat wil zeggen, gewoonlijk zal I(t) / N(t) ongelijk zijn aan u(t).
De formules 1, 2 en 3 tezamen vormen het nationale inkomens aanwas-model. Zij zijn voldoende om de veranderingen van N, K en I te berekenen, mits althans k(t), u(t) en I(0) gegeven zijn. Als men geïnteresseerd is in de absolute omvang van N, K en I, dan zal ook N(0) (of K(0)) op het tijdstip t=0 bekend moeten zijn. Dat wil zeggen, in dat geval moeten het volume van N, en zijn verdeling over de huishoudens en de productieve sfeer, bij aanvang vastgelegd zijn4.
Het model leent zich er goed voor om de wisselwerking tussen de accumulatie en de technologische vooruitgang te analyseren. Müller beschrijft op p.263 in haar boek hoe er een systematische studie is uitgevoerd naar de economische ontwikkeling als functie van u(t) en k(t). Het consumptieve inkomen K(t) is daarbij het belangrijkste, omdat die uiteindelijk de voelbare welvaart voor de mensen bepaalt. Weinig verrassend blijkt een grote investeringseffectiviteit gunstig te zijn voor het consumptieve aanbod. Subtieler is de invloed van de accumulatie, omdat die direct inwerkt op het consumptiedeel, en bovendien via de formule 1 de aanwas van het nationale inkomen stuurt. Deze twee effecten werken elkaar tegen.
Het tweesnijdende karakter van u(t) wordt geïllustreerd aan de hand van een rekenvoorbeeld5. De beginvoorwaarden zijn N(0)=1 en I(0)=0.12. Zowel de investeringseffectiviteit als de accumulatievoet worden constant in de tijd genomen. Er worden drie verschillende combinaties van u en k beschouwd, te weten (u, k) = (0.3, 0.4), (0,25, 0.4) en (0.25, 0.42). Figuur 1 toont grafisch hoe het consumptieve inkomen zich in de tijd ontwikkelt voor elk van de drie combinaties. Het blijkt, dat bij aanvang in de situatie met u=0.3 de consumptieve aanwas het laagst is. Immers er wordt een relatief groot deel van het nationale inkomen geïnvesteerd. Maar na 12 tijdstappen van Δt overtreft de consumptieve aanwas in deze situatie de aanwas bij de beide andere combinaties.
Het wekt geen verbazing, dat in figuur 1 de derde combinatie, met een relatief grote investeringseffectiviteit van k=0.42, een grotere consumptieve aanwas kent dan de tweede combinatie. Het is evenwel niet bij voorbaat vanzelfsprekend dat, zoals blijkt uit figuur 1, de derde combinatie tenslotte minder voortbrengt dan de eerste. Kennelijk geeft in deze drie situaties de accumulatievoet tenslotte toch de doorslag. De figuur 1 laat bovendien zien, dat de conclusies afhangen van de tijdhorizon, die wordt gehanteerd. Namelijk, pas in de tiende tijdstap overstijgt de aanwas in de eerste combinatie die van de derde.
In het rekenvoorbeeld heeft het nationale inkomens aanwas model een tamelijk eenvoudige vorm. Dankzij de constante waarden van u en k kan zelfs een exacte oplossing worden gevonden met behulp van differentiaalrekening6. De praktische waarde van het model komt natuurlijk aan het licht, zodra u(t) en k(t) in de tijd variërende functies voorstellen, zoals in werkelijkheid altijd het geval is. Verder moet nogmaals worden opgemerkt, dat het verloop van de curven in figuur 1 uitsluitend betrekking heeft op de aanwas van de consumptie. Het is evenwel duidelijk, dat een grotere aanwas op de langere termijn noodzakelijk ook zal leiden tot een grotere absolute consumptie. De absolute consumptie K(t) wordt gevonden door de aanwas ΔK(t) cumulatief op te tellen. In formule wordt dat
(4) K(T×Δt) = K(0) + Στ=1T ΔK(τ×Δt)
In formule 4 stelt Σ het bekende wiskundige sommatiesymbool voor, in dit geval met sommatie-index τ. Grafisch is de consumptie K(t) in figuur 1 zichtbaar als het oppervlakte tussen de curves en de horizontale as.
Een belangrijke gevolgtrekking uit de rekenresultaten is, dat men vooraf bij de bevolking de voorkeur voor de huidige of toekomstige consumptie-omvang zal moeten peilen. Als het volk per direct meer consumptiegoederen eist, dan zal moeten worden bezuinigd op de investeringen. Als anderzijds het volk bereid is om te sparen voor de toekomst, dan zullen ook de volgende generaties daarvan profiteren.
Het eenvoudige nationale inkomens model onderscheidt zich van het nationale inkomens aanwas-model, doordat niet de veranderingen worden geanalyseerd, maar de gecumuleerde grootheden N en K zelf. Bovendien wordt de economische groei niet gekoppeld aan de netto-investeringen, maar aan de bruto-investeringen. De laatst genoemde registreert ook de afdankingen en de vervangingen van outillage. Dientengevolge is in de formules van het model ook het totale bestand aan outillage een variabele. Deze grootheid G(t) wordt door Müller het grondfonds van de productie genoemd.
Het equivalent van formule 1 in het nationale inkomens aanwas model wordt hier
(5) N(t) = g(t) × G(t)
In de formule 5 is g de grondfondseffectiviteit.
Het grondfonds wordt beschreven door de vergelijking
(6) G(t) = G(t-Δt) + I(t-τ×Δt) + V(t-τ×Δt) − A(t-Δt)
In de formule 6 is Δt een tijdsinterval. Het symbool I stelt de netto-investeringen voor, dat wil zeggen het inzetten van nieuwe, nog niet aanwezige, productiecapaciteit. De investeringen vergroten G(t) met een vertraging τ×Δt, omdat er enige tijd verstrijkt tussen het plaatsen van de orders en de aflevering van de apparatuur bij de gebruiker. Het doen van netto-investeringen vereist, dat er wordt geaccumuleerd uit het nationale inkomen. In analogie met formule 3 wordt dit weergegeven door7
(7) I(t) = a(t) × N(t)
In de formule 7 is a(t) de accumulatievoet. De hoeveelheid consumptie is natuurlijk weer datgene wat er overblijft, te weten K(t) = N(t) − I(t).
De grootheid V in de formule 6 stelt de hoeveelheid vervangingen voor. De som van I en V vormt de bruto investeringen8. Een vervanging voegt geen nieuwe productiecapaciteit toe, maar neemt de plaats in van afgedankte apparatuur. Men mag aannemen, dat zij iets productiever is dan de afgedankte apparatuur, simpelweg omdat zij nieuw is, en dientengevolge nog niet lijdt aan gebreken ten gevolge van slijtage. De vervanging benut evenwel geen nieuwe technologie, want dat valt onder de netto-investeringen. Desondanks zal natuurlijk in de praktijk een vervanging zelden exact gelijk zijn aan het afgedankte apparaat. Ook de vervangingen komen met enige vertraging τ×Δt beschikbaar voor het productieproces, omdat zij na het plaatsen van de order nog moeten worden gefabriceerd.
De grootheid A stelt de hoeveelheid afdankingen voor. Dit betreft outillage, die niet zinvol meer kan worden ingezet in het productieproces. De reden kan zijn, dat het apparaat versleten is, dat wil zeggen zijn defecten kunnen niet meer rendabel door onderhoud worden opgeheven. Het kan ook zijn, dat de vraag naar de eindproducten, die het apparaat maakt, is verdwenen.
Merk op, dat in formule 6 alleen I(t) een op zichzelf staande grootheid is. De andere grootheden V en A behoren direct tot het bestaande grondfonds G(t), omdat zij G(t) in stand houden of juist inkrimpen. Het is zinvol om te schrijven
(8) V(t+(1-τ)×Δt) = v(t) × G(t)
en
(9) A(t) = w(t) × G(t)
In de formules 8 en 9 zijn v(t) en w(t) respectievelijk de amortisatievoet en de afdankingsvoet. Met d(t) = 1 + v(t) − w(t) kan aldus de formule 6 worden herschreven tot
(10) G(t) = G(t-Δt) × d(t-Δt) + a(t-τ×Δt) × N(t-τ×Δt)
Het eenvoudige nationale inkomens model wordt gemakkelijker toepasbaar, wanneer wordt aangenomen dat τ=1. In dat geval reduceert de formule 10 namelijk tot
(11) G(t) = G(t-Δt) × (d(t-Δt) + a(t-Δt) × g(t-Δt))
Het model geeft nu de oplossing in een analytische gedaante. Er geldt
(12) G(M×Δt) = G(0) × Πm=0M−1 (d(m×Δt) + a(m×Δt) × g(m×Δt))
Figuur 2: Consumptieve bestedingen bij verschillende a
In de formule 12 is G(0) de beginvoorwaarde, met andere woorden, de waarde van G op t=0. Het symbool Π heeft de gebruikelijke wiskundige betekenis van vermenigvuldiging van de reeks van alle M termen, van t=0 tot en met t=(M−1)×Δt. Natuurlijk kan N(t) nu simpelweg uit de formule 5 worden berekend. Daarna wordt K(t) gevonden uit
(13) K(t) = (1 − a(t)) × N(t)
Dat voltooit het formalisme van het eenvoudige nationale inkomens model. In essentie is het natuurlijk gelijk aan het nationale inkomens aanwas model. Er zijn evenwel extra mogelijkheden, met name het in de tijd variëren van de vervanging en de afdanking. Het model houdt meer rekening met de dynamiek van het grondfonds van de productie. Bovendien verandert vanwege de formule 5 nu voortdurend de effectiviteit van het hele grondfonds, en niet alleen van de netto-investeringen.
Eva Müller doet op p.269 verslag van een onderzoek naar de invloed van de parameters g, a en M in het model. Daarbij worden zij tijds-onafhankelijk verondersteld. Bovendien wordt v=w genomen, zodat geldt d=1. De formule 12 krijgt dan de zeer simpele gedaante
(12) G(M×Δt) = G(0) × (1 + a × g)M
In deze column zal nu een enkel voorbeeld worden gegeven van dit soort studies9. Stel dat gegeven is N(0)=1, g=0.25 en M=10. Merk op, dat dan geldt G(0) = N(0)/g = 4. Figuur 2 laat zien, hoe dan de consumptie K(10×Δt) varieert als functie van de accumulatievoet a. Klaarblijkelijk is de hoeveelheid consumptie-goederen het grootste bij a=0.55.
Müller beschrijft ook nog het uitgebreide nationale inkomens model10. In deze versie van het model is er niet meer één fondseffectiviteit g, maar kunnen er verschillende effectiviteiten worden toegekend aan de netto-investeringen, de vervangingen en de afdankingen. Bovendien kunnen naast deze drie effectiviteiten ook het aantal arbeiders en hun arbeidsproductiviteit worden gemodelleerd. Dit alles maakt het model nóg flexibeler. Het nadeel is vanzelfsprekend, dat het aantal stuurparameters navenant toeneemt. Volgens Müller ontbreken nog de statistische gegevens, die nodig zijn om realistische waarden te geven aan al die parameters. Daarom laat uw columnist een beschrijving van de uitgebreide versie van het model achterwege.