Figuur 1: (tn, ta) paren voor L en O curves
Één van de meest originele delen van Sam de Wolff's hoofdwerk Het Economisch Getij is de paragraaf, waarin hij de drijvende krachten achter de omvang van het nationale product beschrijft1. Feitelijk is de grootte van de productie niet het hoofdthema van de Wolff's onderzoekingen, die zich immers concentreren op de economische conjunctuur. De Wolff is evenwel van mening, dat de conjunctuur alleen kan worden begrepen in samenhang met de omvang (verder aangeduid als Q) van de maatschappelijke productie onder het kapitalisme. Volgens de Wolff komt die omvang tot stand door een samenspel van twee factoren, te weten de psychische gesteldheid van de arbeiders en het winststreven van de kapitalisten. Tegelijk met de omvang van het nationale product is hij in staat om uit te rekenen, hoe groot de werkgelegenheid en het industriële reserveleger van werklozen zijn. Ook het loonpeil en de lengte van de werkdag komen als resultaten van de theorie te voorschijn.
Kort gezegd komt de redenatie van de Wolff er op neer, dat een dalend loonpeil twee effecten heeft. Ten eerste zullen minder arbeiders bereid zijn om voor het lagere loon te werken, met als gevolg dat het nationale product zal afnemen. Ten tweede leidt volgens de Wolff een dalend loonpeil tot een verlenging van de arbeidsdag. Deze twee effecten werken in verschillende richtingen, met als uitkomst dat het totale product niet evenredig met de werkgelegenheid afneemt, maar langzamer. De loonsom L neemt af ten gevolge van het dalende loonpeil, en bovendien door de krimpende actieve beroepsbevolking. De winst P is simpelweg het verschil tussen het nationale product Q en de loonsom L. Hij zal zijn grootste waarde aannemen ergens in een toestand met enige werkloosheid. Dit is de toestand, waarvoor de kapitalisten zullen kiezen.
Het model van de Wolff doet bovendien een uitspraak over de gevolgen van een toenemende uitbuitingsgraad (u). In een voorgaande column is al uitgelegd, hoe de technologische vooruitgang tot gevolg zal hebben, dat de loongoederen van de arbeiders steeds goedkoper gefabriceerd kunnen worden. Tegelijk met deze prijsdaling kunnen de producenten ook de loonhoogte L verlagen, althans zolang de arbeiders niet de productiviteitsstijging voor zichzelf opeisen. Definieer U=Q/L, dan wordt de uitbuitingsgraad u gegeven door
(1) u = P / L = (Q − L ) / L = U − 1
Men ziet uit deze formule, dat de uitbuitingsgraad u toeneemt bij een dalend loonpeil. Het model blijkt te voorspellen, dat de groeiende uitbuiting gepaard gaat met een geleidelijk herstel van de werkgelegenheid. Al deze bevindingen zullen in het vervolg van deze column worden toegelicht.
In de theorie van Marx ligt het loonpeil vast door de cultureel en historisch bepaalde eisen, die de maatschappij stelt aan de levensstandaard van de arbeiders. Aldus is voor de korte termijn het loonpeil een onveranderlijk warenmandje. Het loonpeil kan worden omgerekend naar de hoeveelheid arbeidstijd, die nodig is om het warenmandje van de arbeider te produceren. Dit wordt de noodzakelijke arbeidstijd tn genoemd. Alle tijd, die de arbeiders langer zullen werken dan tn, voegt extra waarde toe, die door de producenten-kapitalisten wordt geïncasseerd als winst. De producenten kunnen dus binnen zekere grenzen zelf hun winst bepalen door de lengte ta van de arbeidsdag voor te schrijven.
Hoewel de Wolff zich een marxist noemt, kijkt hij toch anders aan tegen dit verdelingsvraagstuk. Hij koppelt namelijk de loonhoogte niet aan cultureel-historische factoren, maar in eerste instantie aan de psychologie van de arbeider, die aanmerkelijk vluchtiger is2. In een eerdere column is beschreven hoe de Wolff die psychologie ten grondslag legt aan zijn eigen arbeidswaardeleer. De arbeider weegt de onlust O van een tijdseenheid arbeid af tegen de lust L van het product, dat hij in die tijdseenheid kan voortbrengen3. In het optimum is de lustintensiteit LI, gedefinieerd als ΔL/Δt, gelijk aan de onlustintensiteit OI (met definitie ΔO/Δt). In de zojuist genoemde column is op basis van deze voorwaarde en aan de hand van een Robinsonade de optimale lengte van de werkdag bepaald. Een aparte column liet zien hoe de lustintensiteit kan worden geconstrueerd voor het geval van een warenmandje.
De situatie in het kapitalisme wijkt af van de Robinsonade, omdat de arbeider wordt "uitgebuit" door de kapitalist. Met andere woorden, de arbeider moet een deel van zijn productie afstaan aan zijn werkgever. De arbeidsdag veroorzaakt een hoeveelheid onlust O(ta). Eerder is al geconstateerd, dat in het kapitalisme het loon van de arbeider slechts een waarde tn heeft. Die belooft een hoeveelheid lust L(tn). De Wolff stelt nu dat de door de psychologie van de arbeider bepaalde looneis neerkomt op de relatie
(2) κ = L(tn) − O(ta)
In formule 2 is κ de hoeveelheid netto-lust, die de arbeider minstens als beloning wil ontvangen. Zij is de absolute ondergrens. Men moet bij deze verrassende formule 2 bedenken, dat het lustgevoel (het nut) in de theorie van de Wolff kardinaal is, dat wil zeggen direct meetbaar. De arbeider kan daadwerkelijk kwantitatief de totale onlust van een arbeidsdag afwegen tegen de lust, die zijn inkomen hem aan goederen zal opleveren. De resultante van die twee is een hoeveelheid lust κ, die hem motiveert om dagelijks voor de fabriekspoort te verschijnen4. Meer dan κ zou natuurlijk ook goed zijn, maar de producent zou dwaas zijn om zo hoog te belonen. Merk op, dat het afwegingsproces van de arbeider nu duidelijk anders verloopt dan in de Robinsonade. Immers daar is, zoals al is opgemerkt, het criterium van de arbeider LI(t) = OI(t).
Figuur 1 laat een grafische voorstelling van de formule 2 zien. Weergegeven worden de L- en de O-curven, alsmede de over een afstand κ omhoog geschoven O-curve. Stel dat de waarde van tn is gegeven, en men zoekt de mogelijke ta-waarden. Uiteraard zal ta groter moeten zijn dan tn. En verder mag volgens formule 2 de curve κ + O(ta) de bovengrens L(tn) niet overschrijden. Het ta-punt, dat in de figuur 1 is ingetekend, voldoet precies aan de formule 2. Alle andere tijden tussen dat punt en tn zijn voor de arbeider eveneens een acceptabele waarde van ta. Daar is namelijk overal de netto-lust van de dienstbetrekking groter dan κ.
De afweging van de producent wordt natuurlijk gedomineerd door het maximaal maken van zijn winst. Die winst is de meerwaarde, die de arbeider voortbrengt in het tijdsinterval ta − tn. Daarom wil de producent, dat dit tijdsinterval maximaal is. Deze eis, in combinatie met de randvoorwaarde van formule 2, wordt een Lagrangiaans probleem genoemd. De oplossing wordt gevonden door het maximum van de zogenaamde Lagrangiaan Λ te bepalen. Hier heeft de Lagrangiaan de gedaante
(3) Λ(ta, tn) = ta − tn + λ × (L(tn) − O(ta) − κ)
Figuur 2: LI en LO en de optimale loon-werktijd relatie
De λ is een nog onbepaalde grootheid, en wordt de Lagrangiaanse multiplicator genoemd. De optimalisatie voor respectievelijk ta en tn vereist dat de partiële afgeleiden van de Lagrangiaan gelijk aan nul zijn. Dat levert twee relaties op, namelijk ∂O/∂ta = 1/λ en ∂L/∂tn = -1/λ. Na samenvoegen van deze twee formules volgt er dat5
(4) ∂L/∂tn = ∂O/∂ta
In analogie met de column over de Robinsonade kan de formule 4 worden uitgedrukt als een identiteit van (on)lustintensiteiten6. De formule krijgt dan de intussen bekende vorm LI(tn) = OI(ta). Dit betekent, dat ta automatisch vast ligt op het moment, dat er wordt gekozen voor een bepaalde tn, en vice versa.
In de zojuist genoemde column over de Robinsonade bleek voorts, dat de lustintensiteit LI een dalende functie is (verzadigingseffect), terwijl de onlustintensiteit OI een stijgende functie is (toenemende weerzin). Dat blijkt overigens ook uit de figuur 1. Figuur 2 toont grafisch de intensiteits-verlopen als functie van de tijd t, voor allebei de intensiteiten LI(t) en OI(t). De figuur maakt ook grafisch duidelijk, wat de betekenis is van de optimalisatie-voorwaarde in formule 4. Men ziet, hoe in de figuur de Robinsonade aanwezig is als een bijzonder geval, met ta = tn. De curven snijden elkaar in dit optimum. In alle overige gevallen, met ta≠tn, vindt men het optimale paar (ta, tn) niet uit het snijpunt van LI en OI, maar uit de snijpunten van de twee curven met een horizontale lijn.
Gemaks halve is in figuur 2 voor twee waarden van tn (genummerd 1 en 2) aangegeven, wat de twee corresponderende waarden van ta zijn. Het resultaat is enigszins verrassend: als tn kleiner wordt, dan wordt ta groter. Een kleinere tn betekent, dat de arbeider korter voor zichzelf werkt, met als consequentie dat zijn loon afneemt. Met andere woorden, hij krijgt minder lustgevoel van zijn loon. Tegelijker tijd betekent de toename van ta, dat zijn arbeidsdag langer wordt7. Aldus komt de Wolff tot de volgende oorzakelijke samenhang: daling van het loon gaat gepaard met verlenging van de arbeidstijd, en omgekeerd. De verlenging van de werkdag komt ten goede aan de producent. Merk op, dat volgens de formule 1 een daling van tn bij een gelijktijdige toename van ta een toename van de uitbuitingsgraad u inhoudt.
De Wolff definieert de tewerkstellingsgraad z als het deel van de arbeiders, dat werk heeft. De mogelijke waarden van z variëren dus van 0 tot 1. In het model van de Wolff is de tewerkstellingsgraad een functie van de loonhoogte w. Naarmate het loon afneemt, zullen steeds meer arbeiders onvoldoende lustgevoelens overhouden aan hun inkomen. Een toenemend aantal van hen zal dan liever thuis blijven. Dat vermindert vanzelfsprekend de tewerkstellingsgraad. In wiskundige notatie wordt dit z=z(w) en ∂z/∂w > 0. Voor de huidige doeleinden is de inverse relatie handiger, dat wil zeggen w=w(z). De Wolff geeft aan w(z) de benaming loonfunctie. De loonsom L(z) neemt uiteraard toe met de tewerkstellingsgraad z, èn met de loonhoogte w(z). Er geldt
(5) L(z) / L(1) = z × w(z) / w(1)
In formule 5 stellen L(1) en w(1) de waarden van deze grootheden bij z=1 voor.
Het doel van deze column is de omvang van het nationale product Q te beschrijven. De omvang van dat product hangt natuurlijk positief af van de tewerkstellingsgraad. Daarnaast zal Q afhangen van de lengte van de werkdag ta. Nu is in de vorige paragraaf gebleken, dat ta een functie is van tn, en dus van de loonhoogte w=w(z). De logische gevolgtrekking is, dat ta zelf een functie is van de tewerkstellingsgraad. De werkdag zou toenemen bij een dalend loon. In wiskundige notatie wordt dit ta = ta(z), met ∂ta/∂w < 0 en ∂ta/∂z < 0. De Wolff geeft aan ta(z) de benaming arbeidstijdfunctie. Aldus is de volgende betrekking gevonden voor de omvang van het nationale product
(6) Q(z) / Q(1) = z × ta(z) / ta(1)
In formule 6 stellen Q(1) en ta(1) de waarden van deze grootheden bij z=1 voor.
De producenten-kapitalisten streven de maximalisatie van hun totale winst P. De optimale omvang Qopt van het nationale product is dus diegene, waarvoor geldt dat ∂P/∂z = 0. De formule 1 laat zien, dat deze voorwaarde hetzelfde is als
(7) ∂Q/∂z = ∂L/∂z.
Deze gelijkheid kan verder worden uitgeschreven door de formules 5 en 6 in te vullen. Het is handig om daarbij ook gebruik te maken van formule 1, en wel van Q(1) = L(1) × U(1). Aldus vindt men
(8) U(1) × ∂(z × ta(z) / ta(1)) / ∂z = ∂(z × w(z) / w(1)) / ∂z
Dit is volgens de Wolff de formule, die bepaalt wat voor de producenten de optimale tewerkstellingsgraad zopt van het economische systeem is. Alle andere grootheden worden gevonden simpelweg door deze zopt in te vullen in de desbetreffende functies.
Ter illustratie sluit de Wolff zijn theorie af met een rekenvoorbeeld. Hij neemt als loonfunctie w(z) = z × w(1), en als arbeidstijdfunctie ta(z) = (2 − z) × ta(1), Als uitbuitingsgraad wordt gekozen voor u(1)=1, waaruit direct volgt dat U(1)=2. Deze functies worden allemaal ingevuld in de formule 8. Enig rekenwerk levert als resultaat, dat geldt zopt = 2/3. Een werkgelegenheid van 67% garandeert klaarblijkelijk een optimale winst aan de kapitalisten. Het loon is dan gedaald naar 2/3 × w(1), terwijl de werkdag is gestegen naar 4/3 × ta(1). Volgens formule 6 is het nationale product nu gelijk aan 8/9 × Q(1), terwijl volgens formule 5 de loonsom gelijk is aan 4/9 × L(1), ofwel 2/9 × Q(1). De optimale winst is het verschil van Q en L, wat neerkomt op 6/9 × Q(1). De uitbuitingsgraad u tenslotte is in het optimum gelijk aan 3 geworden. Deze u is groter dan u(1), omdat het loon is gedaald en de werkdag is verlengd. De oorzaak van de grotere uitbuiting is hier nadrukkelijk geen gevolg van technologische vooruitgang.
Volledigheids halve zijn ∂Q/∂z en ∂L/∂z in figuur 3 ook grafisch weergegeven als functie van de tewerkstellingsgraad. De waarden van Q(1) en w(1) zijn hier in navolging van de Wolff gelijk aan 1 gezet. Het enige effect daarvan is een opschaling en versimpeling van de verticale as. Men kan aan de hand van deze figuur controleren, dat bij het optimalisatiepunt van formule 7 inderdaad geldt, dat zopt = 2/3.
De Wolff is met het zojuist bescheven model precies waar hij wezen wil. Hij is er in geslaagd om aan te tonen, dat in het kapitalisme het optimaal functionerende economische systeem er één is van structurele werkloosheid. Zijn eergeest dwingt hem evenwel om ook nog het effect van de technologische vooruitgang op het systeem te onderzoeken. In de inleiding is aangetoond, hoe de technologische vooruitgang neerkomt op een toenemende uitbuitingsgraad. De loongoederen worden steeds goedkoper. De Wolff onderzoekt nu wat het effect van meer uitbuiting op de optimale tewerkstellingsgraad zopt zal zijn.
De lezer kan aan de hand van het rekenvoorbeeld snel een kwalitatieve indruk krijgen van dat effect. Daar is U(1) de maat voor de technologische vooruitgang. In het rekenvoorbeeld blijkt te gelden dat (zie formule 5)
(9) ∂L(z)/∂z = z × (Q(1) / w(1)) × (2 / U(1))
De formule 9 laat zien, dat de helling van ∂L/∂z kennelijk omgekeerd evenredig aan U(1) is. In de figuur 3 betekent de omgekeerde evenredigheid, dat de lijn ∂L/∂z een kleinere helling krijgt naarmate U(1) toeneemt. Aangezien U(1) geen invloed heeft op de lijn ∂Q/∂z, zal dan het snijpunt van de twee lijnen naar rechts schuiven. Met andere woorden, de toename van U(1) als gevolg van de technologische vooruitgang leidt in dit rekenvoorbeeld tot een stijgende zopt. Aldus komt de Wolff tot de opmerkelijke conclusie, dat dankzij de technologische vooruitgang de tewerkstellingsgraad zal verbeteren. Voorwaar een hoopgevend resultaat!
Het is waarschijnlijk verhelderend om expliciet op te merken, dat U(1) niet afhangt van z, maar wel van zopt. Zowel U(1) als zopt zijn grootheden, die op de korte termijn, in een gegeven maatschappelijke episode, de toestand der techniek karakteriseren. Op de lange termijn zijn zij evenwel allebei variabel, en wederzijds afhankelijk.
De Wolff neemt geen genoegen met de kwalitatieve uitleg van het verband tussen U(1) en zopt, en zoekt naar een formele afleiding. Deze analyse is niet bijster boeiend, maar uw recensent geeft haar toch weer, omdat zij de wiskundige vaardigheid van de Wolff zo goed illustreert. Zijn analyse begint met de observatie, dat men een functie χ(z) kan definiëren door L(z) = χ(z) / U(1) (vergelijk dit met de formule 9). De optimalisatie van de winst P(z), zoals is verwoord door de formule 7, krijgt dan de gedaante Q' = χ' / U(1). Hierin is het accent weer de korte notatie voor de afgeleide naar z. Aldus is een nieuwe uitdrukking gevonden voor U(1), namelijk χ'/Q'. Deze uitdrukking is alleen geldig voor z=zopt, zodat kennelijk geldt dat U(1) = U(1, zopt). De Wolff wil weten hoe U(1, zopt) varieert met zopt, en bestudeert daarom de afgeleide dU(1, zopt)/dzopt. Er volgt door dóórdifferentiëren, dat U' = (χ'' × Q' − χ' × Q'') / (Q')2. Vervolgens merkt de Wolff op, dat de optimalisatie van de winst P(z) leidt tot een bijkomende eis, te weten ∂2P / ∂z2 < 0, ofwel ∂2Q / ∂z2 < ∂2L / ∂z2, ofwel Q'' < L'', ofwel Q'' < χ'' / U(1). De lezer zij gewaarschuwd, dat hier wordt gedifferentieerd naar z, en niet naar zopt, zodat U(1) hier nog als constante geldt. De Wolff vult de bijkomende eis in in de formule van U', met als resultaat dat U' > (U × Q'' × Q' − χ' × Q'') / (Q')2 = (Q'' × (U × Q' − χ') / (Q')2. Tenslotte volgt uit de optimalisatievoorwaarde Q' = χ' / U(1) direct, dat het rechterlid gelijk is aan nul. Aldus heeft de Wolff formeel en analytisch afgeleid, dat dU/dzopt > 0. De optimale tewerkingsgraad neemt toe met de technologische vooruitgang, hetgeen te bewijzen was.