Als men de economische groei wil onderzoeken, dan is vooral de grootheid ψ(t) van belang. Immers daaruit worden de lonen betaald, evenals de winsten en de belastingen. Dit zijn de factoren, die tezamen de maatschappelijke welvaart bepalen. Formule 4 laat dan zien, dat bij een groeiende ψ(t) ook het totale maatschappelijke product x(t) zal moeten toenemen. Een groei van ψ(t) pakt immers een groter deel weg uit x(t), dat dan niet meer beschikbaar is als productiemiddelen. Deze afroming van x(t) moet worden gecompenseerd door groei van x(t). Dit laatste is geen doel op zich, maar enkel het middel om de rijkdom te vergroten. Het is een grootheid, waarvan de omvang in sterke mate wordt vastgelegd door de actueel in zwang zijnde techniek van de productieprocessen. Het deel A · x(t) van x(t) zal bij de fabricage worden verbruikt, hetzij als bestanddeel voor het eindproduct, hetzij als brandstof of hulpmiddel, hetzij als slijtage van machinerie en onroerend goed. Telkens nadat een productiecyclus is doorlopen, moeten deze producthoeveelheden weer klaar staan om in te gaan in de volgende cyclus. Daarom spreekt Müller bij het deel A · x(t) over het materiële fonds, in navolging van Marx. De term fonds drukt uit, dat het een permanent bestand aan goederen betreft³. Dat materiële fonds is overigens ook nodig in de eerder behandelde statische neoricardiaanse theorie, zij het dat het fonds in die situatie niet hoeft te groeien.

Het materiële fonds bestaat uit twee componenten, te weten in de terminologie van Eva Müller het omloopfonds en het grondfonds⁴. Het omloopfonds dekt alle inzet van tussen-producten en grond- en hulp-stoffen, die aanwijsbaar nodig zijn bij de fabricage van het eindproduct, en die er deels in worden opgenomen. Het voornaamste kenmerk bij deze inzet is, dat de des betreffende middelen het productie-proces tamelijk snel weer verlaten, zeg met de voltooiing van het eindproduct. Het grondfonds zorgt er voor, dat er tijdens het productieproces ook steeds duurzame productiemiddelen beschikbaar zijn. Hiermee wordt outillage bedoeld, zoals machines en fabriekspanden, die niet noemenswaardig verslijt. Marx noemt dit het vaste kapitaal. Als er sprake is van economische groei, dan kan uiteraard de productie alleen voortgang vinden, zolang het grondfonds meegroeit. Met andere woorden, niet alleen de circulerende materiaalinzet zal toenemen, maar ook het fonds van vaste kapitaalgoederen. Het grondfonds levert bovendien de middelen om versleten outillage te vervangen. Overigens kan de scheiding tussen de verschillende vormen kapitaal (omloopfonds, grondfonds) vloeiend zijn. Zo is olie als brandstof een circulerende materiaalinzet, terwijl olie als remvloeistof een vast kapitaalgoed is, want in beginsel duurzaam. En metaal kan in het eindproduct worden verwerkt, maar ook duurzaam een onderdeel zijn in het productie-apparaat.

Het materiële fonds moet worden aangevuld door middel van investeringen i(t) ⁵. Die moeten uiteraard komen uit het eindproduct ψ_i(t), net zoals dat het geval is in het reproductieschema van Marx. Kennelijk is de volgende splitsing van ψ_i(t) nuttig:

(5)     ψ(t) = i(t) + y(t)

In de formule 5 is y(t) het netto product, dat beschikbaar is voor de consumptie buiten de investeringen om. Investeringen kunnen worden opgevat als een bijzondere vorm van consumptie, namelijk ten behoeve van het materiële fonds van kapitaalgoederen. Anders gezegd, dankzij de investeringen wordt in de loop van de tijd het fonds opgebouwd. De lonen zullen uit y(t) moeten worden betaald, evenals nog steeds de winsten, en de belastingen⁶. Het netto product y(t) is zuiver consumptief, en gaat verloren voor productieve toepassingen (al is voor mensen de consumptie natuurlijk wel een existentiële noodzaak).

Netto investeringen i(t) geven aanleiding tot een toename van x(t), omdat zij op tijdstip t productiecapaciteit toevoegen aan het materiële fonds. Investeringen hebben altijd betrekking op een bepaald tijdsinterval, bijvoorbeeld Δt. Tijdens dit interval is de uitbreiding van het totale product x(t+Δt) − x(t). Per tijdseenheid wordt dat (x(t+Δt) − x(t)) / Δt. Men herkent hierin de afgeleide naar x(t) in haar differentiële gedaante. Investeringen kunnen schoksgewijze worden toegediend, of continu. Als de investeringen een continu karakter hebben, dan kan men ze voorstellen door de formule

(6)     i(t) = F · ∂x(t)/∂t

In de formule 6 is F een matrix met als elementen de coëfficiënten f_ij van de fondsinzet. De fondsinzet bestaat uit productiemiddelen i, die in het fonds aanwezig zijn ten behoeve van de fabricage van product j ⁷. De elementen f_ij in formule 6 zijn constanten, dat wil zeggen onafhankelijk van de tijd. Feitelijk is formule 6 een linearisatie van de toename van x(t) ten gevolge van de investering i(t). Deze linearisatie is gerechtvaardigd, omdat bij continue investeringen het tijdsinterval Δt willekeurig klein mag worden gekozen. Men ziet aan de formule 6 duidelijk, dat een positieve investering i(t) een bronterm is: hij dwingt x(t) om continu te groeien. Hoewel de formule niets zegt over de oorzaak achter die groei, is in het voorgaande al gewezen op uitbreidingen van het materiële fonds (productiecapaciteit).

Invullen van de formules 5 en 6 in formule 4 geeft als resultaat een stelsel van differentiaalvergelijkingen, die het systeem beschrijven:

(7)     y(t) = (I − A(t)) · x(t) − F · ∂x(t)/∂t

Ten opzichte van de neoricardiaanse formule 4 is er in de formule nu een extra term voor fondsinzet bijgekomen. Overigens behandelt Eva Müller in haar boek naast dit stelsel van differentiaalvergelijkingen ook twee differentievergelijkingen. In die gevallen wordt de investering schoksgewijze toegediend. De huidige column beperkt zich tot het in formule 7 geschetste geval⁸. Met deze formule is de analytische formulering van een economie met een steeds uitbreidende productiecapaciteit en een netto product voltooid. De volgende stap is de oplossing van het stelsel⁹.

Oplossing van het grondmodel

Het expliciet oplossen van een stelsel differentiaalvergelijkingen van de eerste orde vereist allereerst een beginvoorwaarde, te weten de waarde x(0) op het tijdstip t=0. Het is niet voldoende om de formule 7 op te lossen. Immers dit is een stelsel inhomogene vergelijkingen, en bij de oplossing kan altijd een combinatie van oplossingen van het stelsel homogene vergelijkingen worden opgeteld. Het stelsel homogene vergelijkingen behorend bij formule 7 is:

(8)     (I − A(t)) · x(t) − F · ∂x(t)/∂t = 0

Allereerst wordt voor formule 8 de homogene oplossing bepaald. Men ziet direct, dat exponentiële functies voldoen aan formule 8, dat wil zeggen functies van de vorm:

(9)     x(t) = m × e^s×t

In formule 9 is m een nog nader te bepalen tijdsonafhankelijke vector. Invullen van formule 9 in formule 8 leidt tot

(10)     (K − I × s) · m = 0

In formule 10 is de matrix K gedefinieerd als K = F^-1 · (I − A). De index  ^-1 geeft aan, dat de inverse matrix van F moet worden genomen. Men herkent in de formule 10 de eigenwaarde-vergelijking van K. De eigenwaarden s worden gevonden door de karakteristieke vergelijking van het stelsel op te lossen. Bij een N×N matrix zijn dat er N, en bij elke eigenwaarde s_i hoort een eigenvector m_i. De oplossing van de het stelsel homogene vergelijkingen 8 is een lineaire combinatie van de N eigenvectoren, te weten:

(11)     x(t) = Σ_j=1^N c_j × m_j × exp(s_j×t)

Gemaks halve wordt de formule 11 omgewerkt naar een matrixvergelijking. Merk hiertoe op, dat m_j kan worden opgevat als een matrix M met elementen m_i,j. Müller definieert bovendien de matrix S, met elementen δ_ij × exp(s_j×t). Het symbool δ_ij stelt de Kronecker delta voor, zodat S alleen op de diagonaal elementen heeft, die ongelijk zijn aan nul. Met behulp van deze nieuwe matrices M en S laat de formule 11 zich kort en bondig herschrijven tot

(12)     x(t) = M · S · c

Nu resteert alleen nog het vinden van de particuliere oplossing van het stelsel inhomogene vergelijkingen 7. Zojuist is al opgemerkt, dat in deze formule y(t) de meest interessante grootheid is. Het ligt voor de hand om y(t) de volgende gedaante te geven:

(13)     y(t) = p × e^r×t

In formule 13 is p een nader te bepalen vector, die constant is, dat wil zeggen onafhankelijk van de tijd t. De grootheid r is de groeivoet van het netto product, want er geldt dat Δy/Δt = r×y. Een planbureau kan de formule 13 gebruiken om de beleidsmatige wenselijke groeivoet voor te schrijven, en daaruit het benodigde productievolume x(t) af te leiden. Dit is precies de interpretatie, die Eva Müller geeft aan het grondmodel van de dynamische vervlechtingsbalans.

De formule 7 wordt opgelost met behulp van de zogenaamde methode van de variatie van constanten¹⁰. Wegens formule 13 blijkt dan een geschikte probeeroplossing te zijn

(14)     x(t) = q × e^r×t

De vector q is tijdsonafhankelijk en wordt simpel berekend door formule 14 en 13 in te vullen in de formule 7:

(15)     q(t) = H^-1 · p

In de formule 15 is de matrix H gedefinieerd door H = I − A − r×F. Aldus heeft men een particuliere oplossing van de formule 7 gevonden. De algemene oplossing van het inhomogene stelsel vergelijkingen krijgt dan de gedaante

(16)     x(t) = M · S · c + q × e^r×t

Feitelijk stelt de formule 16 een schare aan oplossingen voor, aangezien de constante vector c nog willekeurige waarden kan aannemen. De waarde van c wordt pas vastgelegd door de beginvoorwaarde x(0) op t=0. Formule 16 voltooit het grondmodel van de dynamische vervlechtingsbalans.

De constructie van de oplossing in deze paragraaf is louter wiskundig. De lezer zij gewaarschuwd, dat er vanuit de economische theorie extra eisen moeten worden gesteld aan de oplossingsmethode. In ieder geval zullen x(t) en y(t) voor alle tijden positief moeten zijn, aangezien zij hoeveelheden voorstellen¹¹. Ook zou het onrealistisch zijn, wanneer de groeivoeten s_j van de formules 11 en 12 veel groter zijn dan de groeivoet r van het netto product. De extra eisen perken het aantal acceptabele wiskundige oplossingen aanzienlijk in. Dit betekent met name, dat bij de gegeven productietechniek, die hoort bij de matrix A, er verstandige investeringen moeten worden gedaan. Dat wil zeggen, de keuze van de matrix F van de fondsinzet moet enigszins passen bij A en bij r. Het zou handig zijn, wanneer dat verband tussen A, r en F op een wiskundige wijze kan worden geformuleerd. Helaas weet uw columnist niet hoe dat zou moeten.

Een illustratief rekenvoorbeeld

Figuur 1: De elementen in de matrices A, F, K, S, M en H^-1

Zoals gebruikelijk, en in navolging van Eva Müller, wordt het voorgaande model geïllustreerd aan de hand van een rekenvoorbeeld. Als rekenvoorbeeld wordt weer het economische systeem met twee sectoren gekozen, dat eerder is beschreven in de column over de neoricardiaanse theorie, en dus voor de trouwe lezer geen geheimen meer heeft¹². Het verschil met de situatie van toen is uiteraard, dat de hoeveelheden nu tijdsafhankelijk zijn. De ene sector is de landbouw, die zich toelegt op de productie van graan (gemeten in balen). De andere sector is de industrie, en die produceert metaal (gemeten in tonnen, dat wil zeggen 1000 kg). Beide sectoren gebruiken een deel van het geproduceerde graan en metaal zelf als productiemiddelen (in de vorm van zaaigoed, brandstof, werktuigen, en dergelijke). Uiteraard heeft elk van de beide sectoren arbeiders in dienst. Hun loon wordt uitbetaald in balen graan (voor brood, jenever enz.) en tonnen metaal (voor huishoudelijke apparaten enz.). Concreet gebruikt de graansector jaarlijks χ_gg(t) balen graan, χ_mg(t) tonnen metaal, en l_g(t) arbeiders. Hij produceert jaarlijks x_g(t) balen graan. Evenzo zijn de productiemiddelen van de metaalsector jaarlijks χ_gm(t) balen graan, χ_mm(t) tonnen metaal, en l_m(t) arbeiders, en de productie is x_m(t) tonnen metaal.

In het grondmodel van de dynamische vervlechtingsbalans moeten de twee differentiaalvergelijkingen van formule 7 worden opgelost. Daarvoor moeten een aantal gegevens beschikbaar zijn, en wel allereerst de elementen van de matrices A en F. Als het netto product [y_g(t), y_m(t)] de gedaante van formule 13 heeft, dan moeten bovendien p (dat wil zeggen de waarde [y_g(0), y_m(0)] op t=0) en de groeivoet r gegeven zijn. En tenslotte vereist de oplossing van een eerste orde differentiaal vergelijking, dat de beginvoorwaarde [x_g(0), x_m(0)] op t=0 bekend is.

De matrix A wordt simpelweg overgenomen van het rekenvoorbeeld in de column over de neoricardiaanse theorie. Volledigheids halve is hij nogmaals weergegeven in figuur 1. Volgens de formule 6 bepaalt de matrix F het investeringsvolume. Figuur 1 laat zien, welke waarden voor f_ij in dit rekenvoorbeeld zijn gekozen¹³. Als beginvoorwaarden voor x wordt, in navolging van de column over de neoricardiaanse theorie, [x_g(0), x_m(0)] = [12, 3.1] genomen. Het gedrag van het netto product wordt eenduidig vastgelegd door te kiezen voor [y_g(0), y_m(0)] = [1, 0.3] ¹⁴ en r=0.1. Het netto product, en daarmee de inkomens, groeien dan met ongeveer 10% per tijdseenheid. Aldus staan alle gegevens gereed om de gewenste ontwikkeling van het totale maatschappelijke product x(t) te berekenen.

Figuur 2a: De groeikrommen x_g, (A·x)_g, i_g en y_g in de landbouw

Eerst worden de algemene oplossingen van de twee homogene differentiaalvergelijkingen (formule 8) bepaald. De oplossingen hebben de gedaante van de formule 9. De parameters m en s worden bepaald via de methode van formule 10. Vervolgens kunnen de algemene oplossingen worden beschreven zoal in de formule 12, waarbij de constanten [c_g, c_m] voorlopig nog onbekend blijven. Deze zullen in het vervolg uit de beginvoorwaarde x(0) kunnen worden berekend. Er wordt hier afgezien van een gedetailleerde presentatie van de berekeningen, en volstaan met het tonen van de resultaten. Figuur 1 laat zien wat de elementen van de matrices K, M en S zijn.

Vervolgens worden de particuliere oplossingen van de twee inhomogene differentiaalvergelijkingen 7 bepaald. Deze oplossing heeft de gedaante van de formule 14. Figuur 1 laat zien, wat de elementen van de matrix H^-1 zijn. Daarmee is ook q bekend.

De algemene oplossingen van de inhomogene differentiaalvergelijkingen worden gegeven door de formule 16. De constanten [c_g, c_m] kunnen nu worden berekend uit de beginvoorwaarde voor x(0). Het resultaat voor de oplossingen x_g(t) en x_m(t) blijkt te zijn:

(17a)     x_g(t) = 0.3912 × e^-2.802×t + 2.634 × e^0.1764×t + 8.975 × e^0.1×t
(17b)     x_m(t) = -0.5133 × e^-2.802×t + 0.8892 × e^0.1764×t + 2.724 × e^0.1×t

Belangwekkend aan de formules 17a-b is, dat naarmate de tijd t verstrijkt de e-macht met de grootste exponent steeds meer gaat domineren. Dat blijkt de middelste term in het rechterlid van de formules te zijn. Op de lange duur krijgt het totale maatschappelijke product kennelijk een groeivoet van 17.64%. Dit is groter dan de groeivoet r van het netto product y(t), die door het planbureau is vastgelegd op 10%. Hierbij kunnen twee kanttekeningen worden gemaakt. Ten eerste vindt het planbureau kennelijk de uitbreiding van de productieve capaciteit belangrijker dan de consumptie. Er wordt flink geïnvesteerd in de toename van de productie van productiemiddelen.

En ten tweede krijgen de producties in de twee sectoren (landbouw en industrie) op de lange termijn klaarblijkelijk een zelfde groeivoet (17.64%), ook al wijkt die af bij het netto product. De verhouding van de producties in de twee sectoren wordt dan de verhouding van de twee middelste termen, te weten 2.634 / 0.8892 = 2.962 (balen per ton). Men herinnert zich, dat op t=0 is begonnen met een productie van 12 balen graan en 3.1 tonnen metaal, dus met een verhouding van 3.871. Kennelijk verschuift de productieverhouding ten gunste van de industrie. Met andere woorden, in dit economische systeem is de industrie bezig met een inhaalslag, en groeit sneller dan de landbouw.

Figuur 2b: De groeikrommen x_m, (A·x)_m, i_m en y_m in de industrie

De formules 17a-b zijn niet bruikbaar voor negatieve tijden, dat wil zeggen voor de historische ontwikkeling van x(t). Dan gaat namelijk de eerste term in het rechterlid domineren over de andere termen¹⁵. En zoals men ziet in formule 17b leidt die term tot negatieve hoeveelheden van x_m(t).

Volledigheids halve toont de tabel 1 de tijdsontwikkelingen van het totale maatschappelijke product (x_g(t), x_m(t)), van het materiaalgebruik (A · x(t)), van de investeringen (F · ∂x/∂t), en van het netto product (y_g(t), y_m(t)). Figuur 2a-b laat de tijdsontwikkeling op grafische wijze zien, voor respectievelijk de landbouw en de industrie. Duidelijk zichtbaar is hoe de consumptie (het van investeringen ontdane nettoproduct y(t)) in groei achterblijft bij de productieve groei. Uiteraard kan het planbureau desgewenst te allen tijd besluiten om alsnog een grotere r te kiezen. Er zij nogmaals aan herinnerd, dat in deze voorstellingen de productietechniek onveranderd blijft.

1. Eva Müller was werkzaam voor het Planbureau van de voormalige DDR. In 1988 ging zij met pensioen. Daarna bleef zij echter politiek en wetenschappelijk actief voor de partij PDS, die de opvolger van de bolsjewistische SED was. Zij is vrij recent overleden, in april 2011, op 82-jarige leeftijd.
2. Zie p.277 en verder in Volkswirtschaftlicher Reproduktionsprozeβ und dynamische Modelle (1973, Verlag Die Wirtschaft).
3. Wel stroomt er permanent materiaal uit het fonds, maar dat wordt gelijk weer aangevuld.
4. Strikt genomen behoren ook de inactieve productvoorraden tot het materiaalfonds. De voorraden blijven in deze column buiten beschouwing.
5. Nogmaals, Müller volgt hier de conventie van Marx om ook de uitbreiding van het omloopfonds tot de investeringen te rekenen. Dit wijkt af van de westerse conventie om het begrip investering te beperken tot de uitbreiding van de duurzame kapitaalgoederen (grondfonds).
6. In het reproductie-schema van Marx is dit anders, omdat hij ook de loonvoorschotten opvat als investeringen. De producent moet dan een rendement halen over de loonsom, omdat die wordt gerekend tot de productiekosten. Men kan dit zien in het betoog van Sam de Wolff, omdat die de accumulatie in het loonfonds expliciet berekent. Anderzijds blijkt Eva Müller in haar versie van het schema van Marx een coëfficiënt α in te voeren, die uitsluitend de accumulatie van productiemiddelen weergeeft. Zie de desbetreffende columns.
7. De formule 6 is een speciale vorm van de bekende investeringsvergelijking i(t) = ∂K/∂t. Hier is K een maat voor de hoeveelheid kapitaalgoederen (bij Müller circulerend en vast). Merk op, dat er bij een tijdsonafhankelijke F geldt dat F · ∂x/∂t = ∂(F · x) / ∂t. Kennelijk stelt de vector ∂(F · x) / ∂t de fractie van de productie x_i voor, die wordt toegevoegd aan het bestand van kapitaalgoederen K. Overigens spreekt Müller niet over het noodzakelijke bestand aan kapitaalgoederen K, maar over de inzet van fonds (omloopfonds en grondfonds). Merk op, dat de inzet van het reeds bestaande grondfonds kan verschillen van de inzet van het nieuw toegevoegde grondfonds (de investeringen). Daarom wordt het bestand van bestaand grondfonds Γ(t) uitgedrukt als G(t) · x, waarin G een matrix is, die niet per se gelijk is aan het grondfonds in F (al kan dat wel). De matrix G(t) heeft elementen g_ij(t) (zie p.88 van Müllers boek). De grootheid Γ_i is gedefinieerd door Σ_j=1^N g_ij × x_j, en telt dus alle inzetten van product i als kapitaalgoed (grondfonds) op. Het ligt voor de hand om deze grondfondsinzet te vergelijken met de totale productie x_i. Met andere woorden, definieer ook de grootheid γ_i = Γ_i / x_i. Müller noemt γ_i de grondfondsinzet coëfficiënt in tak i. Elders, op p.55, noemt zij deze maat een intensiteit. Dat is inderdaad wat duidelijker dan het woord coëfficiënt, omdat aldus geen spraakverwarring kan ontstaan met de sectorale coëfficiënten g_ij.
8. De door Müller beschouwde differentievergelijkingen zijn y(t) = (I − A(t)) · x(t) − F · (x(t+Δt)−x(t)) en y(t) = (I − A(t)) · x(t) − F · (x(t)−x(t-Δt)). In het eerste geval vindt de investering pas plaats aan het einde van het interval Δt. In het tweede geval wordt de investering gedaan direct bij aanvang van het tijdsinterval Δt. In het eerste geval zet de groei trager door dan in het tweede geval, omdat de investering later komt.
9. De nu volgende oplossingsmethode is overgenomen van p.313 en verder in Volkswirtschaftlicher Reproduktionsprozeβ und dynamische Modelle. Men kan de methode ook terugvinden in elk fatsoenlijk wiskundeboek over differentiaalvergelijkingen.
10. De geïnteresseerde lezer wordt verwezen naar een fatsoenlijk wiskundeboek over differentiaalvergelijkingen. De columnist heeft wegens een vroegere natuurkundestudie nog het boek Gewöhnliche Differentialgleichungen (1976, Springer Verlag) van W. Walter in zijn boekenkast staan. Daarin wordt de methode uitgelegd op p.23. Mijn toenmalige docent noemde het boek vertederd "Waltertje". Ook uw columnist is dol op diffferentiaalvergelijkingen.
11. In beginsel kunnen x(t) en y(t) tijdelijk negatief zijn, wanneer kan worden geput uit voorraden. Dat soort nuances passen echter niet in deze column, die zo simpel mogelijk een groeimodel wil presenteren.
12. Overigens zou het voor het formalisme van het grondmodel van de dynamische vervlechtingstabel geen enkel probleem zijn om een situatie met een groot aantal sectoren te beschrijven.
13. De keuze van F is arbitrair, maar moet natuurlijk wel aanleiding geven tot economisch zinvolle oplossingen voor x(t). Uw columnist heeft zijn F gevonden door simpelweg uitproberen. Sommige F-matrices moesten worden verworpen, omdat x(t) op de lange termijn negatief zou worden. Bovendien blijken bij bepaalde keuzes de eigenwaarden s_g en s_m complexe getallen te zijn. De algemene oplossing van het stelsel homogene differentiaalvergelijkingen zal dan een oscillerend gedrag vertonen, gedempt of explosief. Zulk conjunctureel gedrag is weliswaar belangwekkend, maar het overstijgt de doelstellingen van de huidige column. Daarom is hier gekozen voor een matrix F, die leidt tot reële getallen (ook in de wiskundige betekenis) voor de exponenten, waarbij (minstens) één daarvan positief is. Dit is het soort groeigedrag, dat een planbureau zal willen bevorderen.
14. Het netto product is hier een derde van dat in het neoricardiaanse rekenvoorbeeld. Immers een deel van het neoricardiaanse netto product ψ wordt nu besteed aan investeringen. De getallen zijn hier zo gekozen, dat zij leiden tot een elegante oplossing als eindresultaat.
15. Het zelfde verschijnsel treedt op in het rekenvoorbeeld, dat Eva Müller presenteert. Zie p.316 van Volkswirtschaftlicher Reproduktionsprozeβ und dynamische Modelle.