De neoricardiaanse theorie van Piero Sraffa

Plaatsing op Heterodox Gezelschap Sam de Wolff: 13 juni 2012

In 1960 publiceerde de econoom Piero Sraffa het boek Production of commodities by means of commodities¹, dat het denken over macro-economische ontwikkelingen ingrijpend zou veranderen. Met name betekende de inhoud een effectieve weerlegging van de marginalistische analyse van de macro-economie, die op dat moment nog toonaangevend was. De schok onder de neoklassieke economen was enorm. Zelfs nu, een halve eeuw later, lijden nog steeds veel neoklassieke economen aan een psychologische verdringing, en geven er de voorkeur aan om het werk van Sraffa simpelweg te negeren. Vooral de Noord-Amerikaanse economen kunnen de moderne inzichten maar moeilijk onder ogen zien. Zo zal men in het populaire leerboek Macro economics van N. Gregory Mankiw tevergeefs zoeken naar een vermelding van de theorie van Sraffa. Aangezien dit boek bij sommige Nederlandse universiteiten wordt gebruikt als leerstof, worden aldus hele generaties studenten opgevoed in zalige onwetendheid. Deze misstand is de belangrijkste drijfveer om in de huidige column nogmaals de inzichten van Sraffa uiteen te zetten². Uw columnist doet dit met enige gevoelens van plaatsvervangende schaamte.

Naast de vernietigende uitwerking op de neoklassieke theorie van de macro-economie heeft de theorie van Sraffa ook de marxistische arbeidswaardeleer ondermijnd. Dit was in de zestiger jaren van de vorige eeuw een belangrijk wapenfeit, omdat toen de theorie van Marx nog de staatsleer was van het bolsjewistische machtsblok in Oost-Europa en Azië. De marxistische economen verkozen dezelfde handelswijze als heden de Amerikaanse economen, en zwegen de ontdekkingen van Sraffa gemakshalve dood.

De theorie van Sraffa knoopt aan bij de werken van de klassieke economen, in het bijzonder David Ricardo, en wordt daarom soms aangeduid als de neoricardiaanse theorie. Sraffa vat de winst namelijk op als het inkomen, dat resteert nadat de lonen zijn uitbetaald. Hij neemt daarmee afstand van de neoklassieke gedachte, dat de winst voorkomt uit de grensproductiviteit van de factor kapitaal. Concreet heeft de theorie van Sraffa een aantal belangrijke consequenties:

• Er wordt op het macro-economische niveau een loon-winst kromme afgeleid. Dat geeft een aanschouwelijk beeld van de belangentegenstelling tussen de productiefactoren arbeid en kapitaal, die zozeer in de belangstelling staat bij klassieke economen zoals Adam Smith, David Ricardo en Karl Marx.
• Er wordt aangetoond, dat de productiefactor kapitaal een fictie is. Zijn berekening vereist namelijk de sommatie van de waarden van al de aanwezige kapitaalgoederen. En deze waarde is op zijn beurt weer afhankelijk van de gekozen verdeling, dat wil zeggen van de hoogte van het loonpeil en de algemene winstvoet. Dientengevolge is het onmogelijk om, zoals de neoklassieke theorie probeert, de lonen en de winsten te berekenen uit de grensproducten van de productiefactoren. Anders gezegd, men kan de kapitaalgoederen niet op een zinvolle wijze aggregeren.
• Het aggregatie-probleem ondermijnt eveneens de marxistische theorie, althans de gelijktijdige variant ervan. Ook Marx veronderstelt, dat het totale maatschappelijke kapitaal simpelweg de som is van de waarden van de afzonderlijke kapitaalgoederen. Hij gebruikt daarbij de arbeidswaardeleer om zijn veronderstelling te rechtvaardigen. Sraffa laat zien, dat de arbeidswaardeleer leidt tot een verkeerde berekening van de prijzen, en dus van het kapitaal³.

De theorie van Sraffa maakt (zoals elke andere) een aantal aannamen vooraf. Genoemd moeten worden:

• De beschrijving is statisch, zodat geen plaats is voor de natuurlijke economische dynamiek. De producenten kunnen alleen kiezen uit de al bestaande productie-technieken. De technische vooruitgang, en dus de innovatie, wordt genegeerd. De groei dankzij de stijgende arbeidsproductiviteit blijft aldus buiten beschouwing. Daarom is de theorie niet geschikt voor beschrijvingen van de lange termijn⁴.
• Er zijn geen positieve schaaleffecten. Een schaalvergroting laat alle productieverhoudingen onveranderd. De Engelse uitdrukking voor deze neutraliteit is constant returns to scale. Overigens treft men deze onrealistische aanname vaker aan, bijvoorbeeld ook in de neoklassieke theorie⁵.
• De prijsvorming verloopt via een opslag op de productiekosten. De producenten berekenen de prijs aan de hand van de algemeen heersende winstvoet. Verder produceert men gewoon zoveel, als men kan afzetten op de markten. De prijsvorming op basis van schaarste valt aldus buiten het bestek van de theorie.

In deze column wordt de theorie van Sraffa uitgelegd aan de hand van een simpel rekenvoorbeeld, dat is overgenomen uit de ringband Vooruitgang der economische wetenschap, in 2011 gepubliceerd door uitgeverij E. de Bibelude⁶. Het rekenvoorbeeld is een economisch systeem met twee productiesectoren. De ene is de landbouw, die zich toelegt op de productie van graan (gemeten in balen). De andere sector is de industrie, en die produceert metaal (gemeten in tonnen, dat wil zeggen 1000 kg). Beide sectoren gebruiken een deel van het geproduceerde graan en metaal zelf als productiemiddelen (in de vorm van zaaigoed, brandstof, werktuigen, en dergelijke). Uiteraard heeft elk van de beide sectoren arbeiders in dienst. Hun loon wordt uitbetaald in balen graan (voor brood, jenever enz.) en tonnen metaal (voor huishoudelijke apparaten enz.). Concreet gebruikt de graansector jaarlijks q_gg balen graan, q_mg tonnen metaal, en l_g arbeiders. Hij produceert jaarlijks Q_g balen graan. Evenzo zijn de productiemiddelen van de metaalsector jaarlijks q_gm balen graan, q_mm tonnen metaal, en l_m arbeiders, en de productie is Q_m tonnen metaal. Een analyse zoals deze, die beperkt is tot hoeveelheden, noemt men een (open) Leontief-systeem.

De afwezigheid van groei betekent, dat het economische systeem zichzelf in stand houdt. Indien zou worden overgestapt op een andere techniek, dan zouden de waarden van q_gg, q_mg, l_g, q_gm, q_mm, en l_m waarschijnlijk veranderen. Datgene wat overblijft na aftrek van de hoeveelheden productiemiddelen noemt men het netto-product van de economie. Voor de landbouw respectievelijk de industrie is dit Q_g,N en Q_m,N. Zij worden gegeven door

(1a)     Q_g,N = Q_g - q_gg - q_gm
(1b)     Q_m,N = Q_m - q_mg - q_mm

De lonen en de winsten worden betaald uit het nettoproduct. Tabel 1 geeft de waarden weer, die in het huidige rekenvoorbeeld zullen worden gebruikt.

Het is handig om de formules 1a-b te herschrijven tot

(2a)     Q_g,N = Q_g × (1 − a_gg) − Q_m × a_gm
(2b)     Q_m,N = - Q_g × a_mg + Q_m × (1 − a_mm)

Hierin zijn de a's gedefinieerd volgens a_gm = q_gm/Q_m enzovoort. De a's zijn simpelweg de evenredigheidsconstanten, die de proportionele groei van de productiemiddelen bij een stijgende productie weergeven. Hun grootte hangt alleen af van de productietechniek, en daarom worden zij de productie-coëfficiënten genoemd. Net zo definieert men a_g = l_g/Q_g en a_m = l_m/Q_m, en noemt hen de arbeids-coëfficiënten. Het geheel noemt men de technische coëfficiënten van het systeem. Tabel 2 geeft de waarden van de coëfficiënten, zoals die volgen uit tabel 1.

Dit soort tabellen zijn prima geschikt voor een planmatige besturing van de productie. Maar in het economische marktsysteem voltrekt de verdeling van de goederen zich gewoonlijk op de markt, in een proces van loven en bieden. Deze manier van verdeling is gebaseerd op de ruilverhoudingen van de producten en de productiefactoren. In ons tweesectoren model worden de ruilverhoudingen vastgelegd door de prijs p_g van een baal graan, de prijs p_m van een ton metaal, en de nominale loonhoogte w van de arbeiders. Bovendien willen de producenten winst maken bij de verkoop van hun producten. In het bijzonder zijn de producenten geïnteresseerd in de winstvoet r (het rendement). De producenten in de landbouw schieten een bedrag p_g×q_gg+p_m×q_mg voor. Dit bedrag is voor hen een investering, die zij willen terugverdienen, met daar bovenop de winst, die voldoet aan het rendement r. Ook moeten zij de loonsom w×l_g betalen. Sraffa veronderstelt, dat de lonen niet worden voorgeschoten, maar achteraf worden betaald uit de opbrengst. De verkoop van het graan brengt p_g×Q_g op⁷. De prijsformule van Sraffa wordt in dit geval gegeven door

(3a)     p_g×Q_g = (p_g×q_gg+p_m×q_mg) × (1+r) + w×l_g

Geheel analoog vindt men voor de industrie de formule

(3b)     p_m×Q_m = (p_m×q_gm+p_m×q_mm) × (1+r) + w×l_m

Ook hier is het handig om over te stappen naar formules, waarin alleen de technische coëfficiënten voorkomen. Men vindt

(4a)     p_g = (p_g×a_gg+p_m×a_mg) × (1+r) + w×a_g
(4b)     p_m = (p_g×a_gm+p_m×a_mm) × (1+r) + w×a_m

Merk op, dat in elke vergelijking van het stelsel 4 de indices van de coëfficiënten zijn verwisseld ten opzichte van die in het stelsel 2. De twee vergelijkingen 4a-b bevatten drie onbekenden, namelijk p_g, p_m, en w. De oplossing van dit stelstel vereist een derde vergelijking. Sraffa stelt als derde vergelijking voor, om één van de producten te gebruiken als een eenheidswaar. Deze eenheidswaar speelt dan verder de rol van geld, waarin de prijzen van de andere producten worden uitgedrukt. Neem bijvoorbeeld p_g=1. Men vindt dan de waarden van p_m en w, uitgedrukt in balen graan. Feitelijk betekent de aanname p_g=1 niets anders dan de formules 4a-b links en rechts van de gelijkheid delen door p_g. Anders gezegd, men lost dan eigenlijk p_m/p_g en w/p_g op uit de formules 4a-b. De grootheid p_g wordt hier gebruikt als de zogenaamde numéraire van het stelsel.

Het stelsel 4a-b kan worden opgelost door substitutie van variabelen. Bij wat grotere economische systemen wordt dat al gauw een complexe aangelegenheid. In die gevallen is de matrixrekening een handiger instrument. Daarom verkiest uw columnist ook in het huidige geval de matrixnotatie⁸. Het stelsel formules 4a-b krijgt dan de gedaante

(5)     p = (p · A) × (1+r) + w×a

In formule 5 stelt p de liggende vector [p_g,p_m] voor, a is de liggende vector [a_g,a_m], en A is de 2×2 matrix met als rijen (van boven naar beneden) [a_gg,a_gm] en [a_mg,a_mm]. De oplossing van formule 5 is

(6)     p = a · (I - A×(1+r))^-1 × w


Figuur 1: Matrix A
    (zie tabel 2) In formule 6 is I de eenheidsmatrix, en de bovenindex  ^-1 geeft aan dat de inverse matrix van I - A×(1+r) moet worden genomen. Voor de coëfficiënten uit tabel 2 heeft de matrix A de gedaante van figuur 1. Daaruit berekent men de inverse matrix (I - A×(1+r))^-1 met als rijen
[0.3548 − 0.6542×r,   1.290 × (1+r)]/Δ en
[0.01667 × (1+r),   0.5833 − 0.4167×r]/Δ,
waarin Δ = 0.2474 × (r-1.146)² − 0.1396.
Hier is Δ de determinant van I - A×(1+r). De determinant blijkt positief te zijn van r=0 tot aan r=0.395. De vectorformule 6 kan weer worden omgezet naar een stelsel van vergelijkingen:

(7a)     p_g × Δ = (0.6425 − 1.022×r) × w
(7b)     p_m × Δ = (4.032 + 0.8062×r) × w

Figuur 2: Loonkromme w/p_g behorend bij formule 8

De formules 7a-b bevatten alle relevante informatie over het gedrag van het economische systeem. Bijvoorbeeld vindt men uit formule 7a dat

(8)     w/p_g = Δ / (0.6425 − 1.022×r)

Dit is juist de loonkromme van het systeem. Zij toont hoe het nominale loon (uitgedrukt in de prijs van een eenheid graan) varieert als functie van het rendement r. In het punt r=0.395 is het loonpeil gedaald tot nul, zodat het hele netto product opgaat aan de winst. Als anderzijds de arbeiders er in slagen om het hele netto product op te eisen, dan zal de winstvoet r gelijk aan nul zijn. Het loon is dan w=0.287×p_g. Men kan simpel nagaan, dat w/p_g continu daalt bij een stijgende r. Dit bewijst de belangentegenstelling tussen de arbeiders en de producenten (dan wel de kapitaaleigenaren). Men kan eveneens uit formule 8 afleiden, dat de daling van het loonpeil versneld doorzet, naarmate r toeneemt. Met andere woorden, de tweede afgeleide van w/p_g naar r is (eveneens) negatief. Het verloop van de loonkromme is grafisch weergegeven in figuur 2. Men ziet hoe de kromme als het ware zijn bolle kant van de coördinatenassen afwendt. Een dergelijk verloop van een kromme wordt concaaf genoemd.

De theorie van Sraffa heeft de interessante eigenschap, dat zij toont hoe de productprijzen veranderen, wanneer de verdeling van het netto product tussen de arbeiders (loon) en de producenten (winst) wordt gewijzigd. Bij het gebruikte rekenvoorbeeld ziet men duidelijk aan de hand van de formules 7a-b, dat de verhouding p_m/p_g alleen afhankelijk is van de grootheid r. Bij r=0 vindt men p_m/p_g=6.251. En bij r=r_max=0.395 is de prijsverhouding 18.03 geworden⁹. Bij een stijgende winstvoet r wordt het metaal kennelijk relatief steeds duurder ten opzichte van het graan. Dit illustreert tevens de relatieve betekenis van het nominale loon w, omdat dit niet alles zegt over de echte koopkracht. Immers een stijgende metaalprijs betekent, dat de arbeiders reëel minder metaal kunnen kopen met hun loon w.

Een andere belangrijke economische grootheid is de zogenaamde kapitaal-intensiteit κ, dat wil zeggen de kosten van de gebruikte productiemiddelen per ingehuurde arbeider¹⁰. De totale kosten van de productiemiddelen in de hele economie bestaan uit de som van de kosten in de afzonderlijke sectoren, dus uit (p_g×q_gg + p_m×q_mg) + (p_g×q_gm + p_m×q_mm). Het totale aantal ingehuurde arbeiders is l_g+l_m. Uiteraard moet κ, die ook gewoon een prijssom is, worden genormeerd op de numéraire p_g. Het resultaat is

(9)     κ/p_g = ((q_gg + p_m×q_mg/p_g) + (q_gm + p_m×q_mm/p_g)) / (l_g+l_m) =
                 ((a_gg + p_m×a_mg/p_g) × l_g/a_g + (a_gm + p_m×a_mm/p_g) × l_m/a_m) / (l_g+l_m) =
                 ((a_gg + a_mg×(p_m/p_g)) × l_g/a_g + (a_gm + a_mm×(p_m/p_g)) × l_m/a_m) / (l_g+l_m)

In de voorgaande alinea is geconstateerd, dat de grootte van de term p_m/p_g uitsluitend afhankelijk is van het rendement r. Blijkens de formule 9 geldt dit eveneens voor de kapitaal-intensiteit κ/p_g, althans zolang de productietechniek is voorgeschreven en dus de technische coëfficiënten vastliggen. Uw columnist ziet ervan af om formule 9 helemaal te herschrijven als een functie van r. Wel laat figuur 3 grafisch zien, hoe κ/p_g varieert met r.

Figuur 3: Kapitaal-intensiteit κ/p_g als functie van de winstvoet r
      (berekend met formule 9)

De figuur 3 laat een verrassend verband zien tussen de kapitaal-intensiteit en het rendement r. Het blijkt namelijk, dat de kapitaal-intensiteit stijgt, naarmate het rendement van het kapitaal toeneemt. Dit betekent, dat de producent voor elke arbeider meer investeert in kapitaalgoederen, naarmate datzelfde kapitaal een groter rendement moet afwerpen. In een wereld met volledige concurrentie zou men juist het omgekeerde verwachten. Immers daar is de ondernemingswinst op het macro-economische niveau gelijk aan nul. Het rendement is dan de prijs, die de producent moet betalen voor het gebruiken van de kapitaalgoederen. Je zou verwachten, dat de producent bij een stijgende kapitaalprijs juist zijn investeringen in kapitaalgoederen per arbeider zou verminderen. Het wordt immers aantrekkelijker om de factor kapitaal te vervangen door de factor arbeid. Dit laatstgenoemde gedrag is ook precies de functionele samenhang, die wordt verwacht vanuit de neoklassieke theorie. In de neoklassieke theorie worden dure productiefactoren vervangen door andere, goedkopere. Figuur 3, en dus de theorie van Sraffa, bewijst dat die idee van de neoklassieke theorie te oppervlakkig en onjuist is. Daarmee wordt de hele macro-economische interpretatie van de neoklassieke theorie onderuit gehaald.

Overigens laat de theorie van Sraffa zien, dat het verloop van de kapitaal-intensiteit κ/p_g als functie van r afhankelijk is van de productie-techniek, die de producenten hebben gekozen. Er bestaan ook technieken, waarbij wèl het door de neoklassieke theorie verwachte gedrag optreedt, en de kapitaal-intensiteit dus afneemt bij een stijgend rendement. Kenmerkend voor dit soort technieken is, dat de loonkromme w/p_g een convexe gedaante heeft, dat wil zeggen, haar bolle kant is naar de coördinaten-assen toe gewend¹¹. Voor de producenten is bij de keuze van de productietechnieken niet het verband tussen κ/p_g en r doorslaggevend, maar het behalen van de maximale winstvoet bij een gegeven loonpeil w ¹².

Tenslotte zij er nogmaals aan herinnerd, dat in het zojuist behandelde rekenvoorbeeld de verandering van de kapitaal-intensiteit niet een gevolg is van fysieke veranderingen. Immers bij de aanvang is als uitgangspunt genomen, dat het materiële systeem gewoon zichzelf in stand houdt (reproduceert). De hoeveelheden q_gg, q_gm, q_mg, en q_mm wijzigen niet. Het enige, dat verandert, is hun waarde, althans zodra de verdeling van het netto product wijzigt. En voor de producenten telt alleen de waarde (en niet de fysieke hoeveelheden), want het is over de waarde van het kapitaal, dat zij hun rendement moeten voortbrengen. Bij meer geïnvesteerd kapitaal (opgevat als prijssom) worden zij gedwongen om meer winst te produceren.

1. Production of commodities by means of commodities, (1960, Cambridge University Press)
2. De columnist heeft zijn wijsheid te danken aan twee boeken, te weten Grundzüge der neoricardianischen Preis- und Verteilungstheorie (2000, Metropolis Verlag) van E. Feess-Dörr, en Lectures on the theory of production (1977, Macmillan) van L.L. Pasinetti. Beide werken blinken uit door helderheid en volledigheid. Maar uiteraard zijn er vele andere goede boeken over het thema verschenen.
3. Sraffa neemt hierbij aan, dat de prijzen onveranderlijk zijn. De producenten rekenen in hun boekhouding met prijzen van de inkoop en de verkoop van hun goederen, alsof die prijzen gelijktijdig worden vastgesteld. Prijsveranderingen blijven in dit model buiten beschouwing. Het is de verdienste van de econoom Andrew Kliman, dat hij de aandacht heeft gevestigd op dit bijzondere aspect in Sraffa's benadering.
4. De marxistische econoom A. Müller (overigens een West-Duitser) vindt deze aanname van Srafa niet realistisch. In een statische situatie ontbreken de economische signalen, die de producenten kunnen motiveren tot investeren. Dit argument tegen de theorie van Sraffa werd indertijd ook gebruikt door de bolsjewistische economen uit het Oost-blok. Maar geen van hen kon uitleggen, hoe die drang tot innovatie theoretisch zou moeten worden gemodelleerd.
5. Ook dit punt werd aangegrepen door de marxistische economen, ten einde de theorie van Sraffa te discrediteren. In de theorie van Marx worden de producenten juist gedwongen om voortdurend te accumuleren, omdat zij steeds hun concurrenten willen overtreffen in efficiëntie. Dankzij de accumulatie zwepen zij de arbeidsproductiviteit op.
6. Zie hoofdstuk 6 van Vooruitgang der economische wetenschap (2011, E. de Bibelude), van E.A. Bakkum. Uitgeverij E. de Bibelude is een onderdeel van het Socialistisch Centrum.
7. Zoals al is opgemerkt, blijkt hier het gelijktijdige karakter van de theorie van Sraffa.
8. Lezers, die onbekend zijn met de matrixnotatie, kunnen de formules 4a-b zelf oplossen via substitutie. Maar als zij deze materie boeiend vinden, dan loont het wellicht de moeite om een leerboekje te kopen over lineaire algebra, en daaruit kennis op te doen over de matrixrekening. Ook het stelsel 2 wordt simpeler in matrix-notatie, namelijk Q_N = (I − A) · Q. Hierin is I de eenheidsmatrix. Merk op, dat de vector Q hier ter rechterzijde van de matrix A staat. Om dezelfde vorm als de prijs-vergelijking te krijgen moet de getransponeerde (met symbool †) van de hoeveelheden-vergelijking worden genomen: Q^†_N = Q^† · (I − A^†). Hierbij veranderen de staande (kolom) vectoren in liggende (rij) vectoren. De gelijkvormigheid van de stelsels van hoeveelheden en prijzen wordt dualiteit genoemd.
9. De verhouding p_m/p_g vindt men door formule 7a te delen door formule 7b. Aan de rechterkant van de gelijkheid valt dan het loon w weg, zodat de resulterende uitdrukking enkel afhangt van r.
10. Feitelijk moet men bij de berekening van de kapitaal-intensiteit een onderscheid maken tussen enerzijds het circulerende productiemateriaal, zoals grondstoffen, en anderZijds de vaste kapitaalgoederen, zoals machines. De kapitaal-intensiteit relateert dan alleen aan het vaste kapitaal. Eenvoudigheids halve wordt hier afgezien van dit onderscheid.
11. Het systeem in tabel 3 blijkt een dergelijke productie-techniek te zijn. Zie voor de uitwerking van het rekenvoorbeeld uit tabel 3 paragraaf 6.5 van Vooruitgang der economische wetenschap.
12. Producenten proberen in beginsel altijd om hun winst te maximaliseren, zeker in een systeem van concurrerende bedrijven. De theorie van Sraffa kent geen eenduidige interpretatie van de winstvoet r (dat wil zeggen, het rendement). Het is gewoon de opslag op de productieprijs, waaruit naast de ondernemerswinst bepaalde productiekosten zoals de kapitaalrente, de grondpacht en belastingen moeten worden betaald. In de neoklassieke theorie met volkomen concurrentie is de maatschappelijke ondernemerswinst gelijk aan nul. In veel leerboeken wordt dan verondersteld, dat het rendement helemaal toevalt aan de kapitaaleigenaren, zodat r zou overeenkomen met de rentevoet.