De AWL van de Wolff bij twee producten

Plaatsing op Heterodox Gezelschap Sam de Wolff: 7 mei 2012

In een voorgaande column is de arbeidswaardeleer (afgekort AWL) van Sam de Wolff beschreven. Daarmee probeerde de Wolff de traditionele AWL van Karl Marx verder te brengen en te vernieuwen. In de arbeidswaardetheorie is de (ruil)waarde van een product gelijk aan de hoeveelheid aan dat product bestede arbeidstijd. Het werk van de Wolff wordt gekenmerkt door een combinatie van de AWL en de marginale analyse, zoals die voor het eerst werd voorgesteld door de econoom Hermann H. Gossen, en later werd vervolmaakt door de economen William S. Jevons en Léon Walras. In tegenstelling tot andere economen gebruikt de Wolff de AWL primair om de totale omvang van de productie in een samenleving te bepalen. De ruilwaarde (de prijs) van producten komt voor hem pas op het tweede plan. Het is kenmerkend voor de Wolff, dat hij een eigen terminologie bedenkt voor al de relevante economische grootheden in zijn model. Zo kiest hij er voor om naar het nut ter verwijzen met de term lustgevoel, en naar het grensnut met de term lustintensiteit. In de zojuist genoemde inleidende column over zijn AWL is beschreven, hoe de Wolff er aan de hand van een eenvoudige Robinsonade in slaagt om de meest economische product-omvang te bepalen.

In de eenvoudige Robinsonade produceert de samenleving slechts één product, te weten graan. De Wolff onderneemt in zijn hoofdwerk Het Economisch Getij echter een poging om ook het meer complexe geval van een samenleving met een uitgebreid product-assortiment te beschrijven. Ook hier spelen de nieuwe inzichten uit de grensnut-theorie een belangrijke rol. De huidige column stelt zich ten doel om dit uitgebreide model van de Wolff zo goed mogelijk weer te geven. Hierbij moet direct worden opgemerkt, dat de Wolff af en toe in uitweidingen vervalt, die met de economische kennis van nu een wonderlijke indrk maken¹. Uw auteur kan niet beoordelen, of deze verwarring aan de Wolff zelf is te wijten. Het is eveneens mogelijk, dat het toenmalige kennisniveau simpelweg nog geen duidelijke formulering toeliet.

De Wolff legt zijn uitgebreide model uit aan de hand van een rekenvoorbeeld, en deze column volgt hem in zijn opzet. Aan het eind zal worden geconstateerd, dat een algemenere formulering van het model helaas tegen beperkingen aanloopt. In het rekenvoorbeeld beschikt de éénpersoons samenleving over twee producten, te weten graan (zoals voorheen) en vis. In de voorgaande column is uitgelegd, hoe de kennis over de arbeidsproductiviteit het mogelijk maakt om het lustgevoel L te schrijven als een functie van de totaal bestede arbeidstijd t. De Wolff kiest de volgende lustfuncties voor het verwerven van respectievelijk graan en vis
Figuur 1: Rekenvoorbeeld met twee lustintensiteiten

(1)     L_g(t) = 14×t - ½×t²

(2)     L_v(t) = 20×t - t²

De tijdshorizon voor deze twee lustfuncties is een arbeidsdag, en de eenheid van tijd is een arbeidsuur. De keuze om het lustgevoel te baseren op een gemeenschappelijke tijdsvariabele betekent, dat de productwaarde impliciet is opgenomen in de lustfuncties². Het lustgevoel in deze gedaante onderscheidt zich daardoor van het bekende nutsbegrip, dat onafhankelijk is van de productprijs. Merk op, dat de Wolff het lustgevoel als formules wil schrijven en hij dientengevolge genoodzaakt is om een kardinale lustanalyse toe te passen³. De zogenaamde lustintensiteit LI verkrijgt men door de afgeleide te nemen van het lustgevoel L:

(3)     LI_g(t) = 14 - t

(4)     LI_v(t) = 20 - 2×t

De Wolff bekijkt eerst de situatie, waarin de Robinson persoon heeft besloten om dagelijks negen uren lang te gaan werken. Daarmee is het onlustgevoel O, dat de persoon bereid is dagelijks te ondergaan als gevolg van zijn arbeid, vastgelegd⁴. Het enige wat hem te doen staat is om zijn arbeidstijd zo rationeel mogelijk te verdelen tussen de graanoogst en de visserij. De rationele verdeling vereist, dat de persoon zijn dagelijkse lustgevoel optimaliseert. Elk uur van zijn negen-urige arbeidsdag, dat hij besteedt aan de oogst van graan, is verloren voor de visserij, en vice versa. Er moet een keuze worden gemaakt uit de verzameling van productiemogelijkheden. Daarbij moeten steeds bepaalde baten worden opgeofferd, en dus alternatieve kosten worden gemaakt (in de Engelse taal: opportunity costs). De alternatieve kosten nemen in het model de vorm aan van een opgegeven lustgevoel. Vanuit de marginale analyse is bekend, dat men de optimale productencombinatie heeft bereikt, zodra de grensnutten van elke twee producten zich verhouden als hun respectievelijke prijzen. Dit is de zogenaamde Tweede Wet van Gossen. In het model van de Wolff is een transformatie naar de arbeidstijd uitgevoerd, waardoor de productwaarde al is verwerkt in de LI. Daarom zijn in het rationele optimum de twee lustintensiteiten gewoon gelijk aan elkaar. Dat wil zeggen, de voorwaarde voor optimaliteit is:
Figuur 2: Rekenvoorbeeld met combinatie van lustintensiteiten

(5)     LI_g(τ) = LI_v(9-τ).

In formule 5 is de variabele τ de optimale hoeveelheid arbeidstijd, die aan de graanoogst moet worden besteed. Men kan τ uit formule 5 berekenen door de formules 3 en 4 in te vullen. Het resultaat is τ = 4 arbeidsuren. Met andere woorden, de Robinson persoon kiest voor een graanopbrengst van 4 arbeidsuren, en een visopbrengst van 5 arbeidsuren. Als alternatief kan de formule 5 grafisch worden opgelost. De grafische methode maakt gebruik van het feit, dat τ in het rechterlid van formule 5 voorkomt met een min-teken. De lustintensiteiten LI_g en LI_v worden in één figuur getekend, evenwel met de as voor LI_v lopend in de tegengestelde richting⁵. Het resultaat wordt getoond in figuur 1. Men kan hieruit aflezen, dat in het snijpunt inderdaad geldt τ = 4 arbeidsuren.

Na deze vingeroefening pakt de Wolff de ingewikkeldere opgave aan om de samengestelde lustintensiteit LI(t) bij twee producten te bepalen. In tegenstelling tot de zojuist besproken situatie kan nu de hoeveelheid arbeidstijd t elke denkbare waarde aannemen (althans, binnen de tijdshorizon van de afzonderlijke lustfuncties). Men zal zien, dat de uitwerking van deze opgave tevens een alternatieve manier oplevert om de situatie van zonet (t=9 uren) op te lossen. De Robinson persoon zal bij de samenstelling van zijn optimale productencombinatie allereerst kijken of één van de twee producten een uniek lustgevoel belooft. Bij bestudering van de formules 3 en 4 blijkt dit inderdaad het geval te zijn, want gedurende de eerste drie arbeidsuren is LI_v(t) altijd groter dan LI_g(t). Dit is bijvoorbeeld duidelijk zichtbaar in figuur 1. Daarom worden die arbeidsuren zeker besteed aan de visserij.

Vanaf het punt t=3 is de situatie lastiger, want op dat moment beloven de graanoogst en de visserij allebei een lustintensiteit ter grootte van 14. Dit is schematisch weergegeven in figuur 2 door de oorsprong t=0 van formule 3 te verschuiven naar t=3. Stel dat de Robinson persoon besluit om over te stappen van de visserij naar de graanoogst. Zodra hij een minuut in de graanoogst werkt, zal LI_g tot iets beneden 14 zakken, terwijl LI_v gewoon op 14 blijft staan. Hij is dan genoodzaakt om de visserij weer op te nemen, althans tot het moment, een aantal seconden later, dat LI_v tot iets beneden LI_g is gezakt. Aldus moet hij voortdurend heen en weer springen tussen de vis en het graan. In de realiteit is dit natuurlijk onmogelijk, zodat de Robinsonade hier eigenlijk geen goede modelkeuze is⁶. Hoe dan ook, het resultaat van deze voortdurende wisseling is dat de afname van LI_g(t) en LI_v(t) met de tijd op gelijke wijze zal verlopen.

Figuur 3: Rekenvoorbeeld van samengestelde lustintensiteit

Formeel laat de lustintensiteit vanaf t=3 zich als volgt beschrijven. Op dat moment geldt met t' = t-3 dat LI_v(t') = 14 - 2×t' en (na de verschuiving langs de t-as) LI_g(t') = 14 - t'. Beschouw het daarop volgende tijdsinterval Δt. Een fractie α van dit interval zal worden besteed aan visserij, en een fractie 1-α aan de graanoogst. Aan het einde van het interval Δt moet weer gelden

(6)     LI_g((1-α)×Δt) = LI_v(α×Δt).

Invullen van de zojuist genoemde uitdrukkingen voor LI_v en LI_g levert als resultaat op, dat aan de gelijkheid kan worden voldaan met α=¹/₃. Kortom, een derde van de tijd wordt er gevist, en tweederde van de tijd wordt graan geoogst. Aldus vindt men voor de lustintensiteit van de twee producten en voor hun samengestelde lustintensiteit LI, dat

(7a)     LI_g(t') = 14 - (1-α) × t' = 14 - ²/₃ × t'
(7b)     LI_v(t') = 14 - 2 × α × t' = 14 - ²/₃ × t'
(7c)     LI(t') = 14 - ²/₃ × t'

Invullen van t'= t-3 in 7c leidt tot LI(t) = 16 - ²/₃ × t, althans voor t>3. Volgens verwachting levert de combinatie van twee producten meer lustintensiteit op dan elk van de producten afzonderlijk. Intuïtief is de tijdsverdeling van eenderde voor de visserij en tweederde voor de graanoogst te begrijpen. Volgens de formules 3 en 4 daalt de lustintensiteit voor de vis namelijk twee keer zo snel als voor het graan. De arbeidstijd van de visserij moet als het ware met een factor twee worden vertraagd ten opzichte van de arbeidstijd van de graanoogst. Dit is precies wat is gedaan met de splitsing van elk tijdsinterval in een fractie α en een fractie 1-α.

Figuur 4: Totale LI bij vele producten

Samenvattend: de samengestelde lustintensiteit LI(t) is tot t=3 gelijk aan LI_v(t), en vanaf dat moment gelijk aan formule 7c. Figuur 3 geeft LI(t) grafisch weer. Tot aan t=3 zal de Robinson persoon uitsluitend vissen, en daarna besteedt hij van elke tijdseenheid een derde aan visserij en tweederde aan de graanoogst. Voor t=6 wordt er 4 uren gevist en 2 uren geoogst. Voor t=9 wordt er 5 uren gevist, en 4 uren geoogst (zie ook het voorgaande). Enzovoort. De Wolff merkt nog op, dat de volgorde van de werkzaamheden weinig uitmaakt. Het staat de Robinson persoon vrij om bij een negen-urige werkdag eerst 4 uren te oogsten, en daarna 5 uren te vissen⁷.

Tenslotte wil de Wolff zijn rekenvoorbeeld algemener maken, en vraagt zich af, hoe de lustintensiteit zal verlopen bij een willekeurig groot aantal producten. Hij is van mening, dat de zojuist beschreven procedure voor elk extra product opnieuw kan worden toegepast. In plaats van twee lijnstukken, zoals in figuur 3, zal de lustintensiteit worden samengesteld uit een groter aantal lijnstukken. In plaats van een enkele knik, zoals in figuur 3, zal de intensiteit een aantal knikken vertonen. De lustintensiteit krijgt dan de gedaante, die in figuur 4 is geschetst. Bij een zeer groot aantal producten zou zij zelfs overgaan in een vloeiende kromme. Hier moet echter wel de kanttekening bij worden geplaatst, dat de hele procedure alleen toepasbaar is, zolang het lustgevoel van de producten de gedaante L(t) = c×t + d×t² heeft. Die gedaante is natuurlijk allerminst dwingend noodzakelijk ⁸. Het dalende verloop van de samengestelde lustintensiteit is het equivalent van de Eerste Wet van Gossen, die men tegenwoordig ook wel de wet van het dalende grensnut noemt. Men ziet dat het model van de Wolff uitnodigt tot een vergelijking met de conventionele nutstheorie⁹.

1. Een voorbeeld is al gegeven in de voorgaande column, waar de Wolff een afwijkende interpretatie van het grensnut hanteert. In hetzelfde hoofdstuk citeert hij uit het boek Grundsätze der Volkswirtschaftslehre van R. Liefmann, waarin de zogenaamde Grenzertrag wordt behandeld. In het hedendaagse taalgebruik is dat hetzelfde als het grensproduct. Bij Liefmann zou evenwel de Grenzertrag de verhouding van het grensnut en het grensleed zijn. Dit soort begripsverwarringen maken de tekst van de Wolff soms ondoorzichtig.
2. In de arbeidswaardeleer is de productwaarde w gelijk aan de inverse van de arbeidsproductiviteit ap, dus w = 1/ap. Strikt genomen moet de arbeidsproductiviteit ook de hoeveelheid benodigde kapitaalgoederen in rekening brengen. In het model van de Wolff komen echter geen kapitaalgoederen voor.
3. In een kardinale lustanalyse is de lust meetbaar. Anderzijds kan hij in een ordinale lustanalyse alleen worden geordend (op volgorde van lustgrootte in een rij worden geplaatst).
4. Er wordt niet ge-eist dat het lustgevoel en het onlustgevoel in balans zijn. Met andere woorden, er hoeft in dit rekenvoorbeeld niet voldaan te zijn aan de in de voorgaande column gedefinieerde voorwaarde voor een economisch optimale samenleving, te weten LI=OI. De Wolff noemt een dergelijke situatie rationeel, maar niet persé economisch.
5. Men komt deze truc vaker tegen, bijvoorbeeld ook in de constructie van de Edgeworth Box.
6. Het model zou, om realistisch te zijn, minstens even veel arbeiders moeten omvatten als er producten zijn. De variabele t is dan de arbeidstijd van alle arbeiders tezamen. Men kan een tijdsinterval opsplitsen via de verdeling van de arbeiders over de diverse productiesectoren. Dit maakt de interpretatie van het model wel ingewikkelder, omdat er voor de individuele arbeider geen balans meer is tussen het lustgevoel en het onlustgevoel. Ook verwerft de individuele arbeider niet meer wat hij produceert, maar een evenredig aandeel van het binnenlandse product.
7. De Wolff stelt op p.445 van Het Economisch Getij onomwonden: "We voeren nu in de veronderstelling (overigens zeer plausibel) der verwisselbaarheid der opeenvolgende arbeidssoorten". Deze veronderstelling is inderdaad denkbaar, zolang de persoon zijn eigen lustgevoelen nauwkeurig kent, en bovendien de berekeningen uitvoert. Echter als hij uitsluitend afgaat op zijn intuïtieve gevoel, dan zal hij nooit beginnen met het oogsten van het relatief weinig lustgevoel opleverende graan.
8. Stel bijvoorbeeld het afwijkende geval, dat voor product y geldt dat L_y(t)=t³. Dan geldt voor de lustintensiteit dat LI_y(t) = 3×t². Het is nu niet meer mogelijk om, zoals bij formule 7a-b-c, de arbeidstijd zodanig te verdelen in constante fracties, dat de lustintensiteiten van alle producten gaan samenvallen. Afhankelijk van het tijdstip t zou de arbeid in telkens verschillende verhoudingen aan de voortbrenging van de diverse producten moeten worden besteed.

Figuur 5: Isolust krommen voor graan en vis
9. In de nutstheorie is het nut een ingewikkelde functie van de hoeveelheden producten. In het rekenvoorbeeld van deze column zou het nut u beschreven moeten worden door u(X_g, X_v), waarin X_g en X_v respectievelijk het aantal zakken graan en het aantal tonnen vis is. Men neemt gewoonlijk aan, dat de isonuts krommen (dat zijn krommen met een constante nutswaarde) in het (X_g, X_v) vlak een convex verloop hebben. Dit betekent ten eerste, dat de consument nooit helemaal verzadigd is met een bepaald product. En ten tweede wil de consument nooit totaal afstand doen van een bepaald product. In de Robinsonade van de Wolff is een transformatie naar de arbeidstijd gemaakt. Volgens de formules 1 en 2 is het samengestelde lustgevoel L(t_g, t_v) = 14×t_g - ½×t_g² + 20×t_v - t_v². Dankzij deze uitdrukking kunnen voor het (t_g, t_v) vlak isolust krommen worden uitgerekend, dat wil zeggen krommen waarop het samengestelde lustgevoel constant is. Figuur 5 toont het resultaat van deze onderneming. De figuur laat zien, dat het lustgevoel van de consument niet voldoet aan de zojuist genoemde twee voorwaarden van convexiteit, zoals bij de nutstheorie. In de nutstheorie wordt bij een gegeven budget van de consument zijn optimale productencombinatie gevonden door de isonuts kromme te zoeken, die precies raakt aan de budgetlijn. Deze isonuts kromme heeft het grootste nut, dat de consument kan bereiken met het gegeven budget. Op dezelfde manier kan bij de isolust krommen de optimale productencombinatie worden gevonden. De budgetlijn is in dit geval vastgelegd door de hoeveelheid arbeidstijd T, die de Robinson persoon beschikbaar wil stellen. Met andere woorden, de budgetlijn is t_v = T - t_g. Ter illustratie zijn in figuur 5 twee budgetlijnen getekend, voor respectievelijk T=2 arbeidsuren en T=6 arbeidsuren. Deze grafische voorstelling laat zien, waarom voor T-waarden beneden 3 arbeidsuren de consument alleen maar vis wil verwerven. Er is in dit gebied geen raakpunt tussen de isolust krommen en de budgetlijn. In dit geval wordt dan de optimale waarde gevonden op de veticale as, bij t_g=0 arbeidsuren. Vanaf T=3 arbeidsuren raakt de budgetlijn wel aan de isolust kromme. Vanaf dat moment heeft de consument ook behoefte om graan te verwerven. Volledigheids halve zij nog opgemerkt, dat vanaf t_g=14 arbeidsuren het lustgevoel voor graan gaat afnemen. Hetzelfde is het geval bij de vis vanaf t_v=10 arbeidsuren. Men kan de theorie van het consumentennut naslaan in Micro-economie (1996, Stenfert Kroese), van F.J. Dietz, W.J.M. Heijman, en E.P. Kroese, of elk ander fatsoenlijk boek over algemene economie.