Fundamenten van de welvaartseconomie

Plaatsing in Heterodoxe Gazet Sam de Wolff: 2 augustus 2018

E.A. Bakkum is blogger voor het Sociaal Consultatiekantoor. Hij denkt graag na over de arbeiders beweging.

De huidige column beschrijft enkele essentiële concepten en modellen van de welvaartseconomie. Allereerst worden de gecompenseerde vraagkromme, het consumenten surplus, de ondernemers-rente, en het dood-gewicht verlies uitgelegd. Vervolgens worden maten van maatschappelijke ongelijkheid behandeld. Zij zijn handig om een aversie tegen ongelijkheid aan te brengen in de maatschappelijke welvaartsfunctie. De econoom Binmore laat zien, dat dit laatste ook kan worden bereikt door het zuivere utilitarisme en het maximin beginsel van Rawls te combineren.


De individuele vraagkromme

Gewoonlijk wordt het consumentengedrag van de individu k bepaald door twee factoren: zijn voorkeuren en zijn inkomen yk. Voorkeuren kunnen worden gemodelleerd als een nutsfunctie uk. De individu maakt zijn keuzen uit het assortiment van producten, dat verkrijgbaar is op de markten. Stel dat de markt N verschillende consumptie-goederen aanbiedt, met een marktprijs pn voor product n. Als wordt afgezien van spaargedrag, dan wordt de consumptie van k beperkt door de zogenaamde budgetlijn

(1)     yk = Σn=1N   pn × qn

Daarbij is qn de hoeveelheid van het product n, die de individu k consumeert. In feite zijn pn en qn vectoren met ieder N elementen, zodat de formule 1 gemakshalve kan worden voorgesteld als het inproduct (p·q). De vector q zet het inkomen yk om in een warenmand. Het gezonde verstand vertelt, dat q afhangt van p. Immers, dure producten zijn minder in trek. De functie qn,k(p) wordt wel de individuele vraagkromme van het product n genoemd, volgens de voorkeur van k. De vorm van de vraagkromme kan analytisch worden afgeleid. Namelijk, de individu k probeert natuurlijk om het nut van zijn warenmand optimaal te maken, binnen de beperking van zijn inkomen. De optimale samenstelling wordt weergegeven als qk*. Voor de huidige discussie is het overigens inzichtelijker om het nut te interpreteren als de welvaart van k. De consequentie is, dat qk* wordt bepaald door de nutsfunctie uk(q) van k. Gemakshalve zal verder de index k worden weggelaten in de notatie.

Figuren van isonuts veld en vraagkromme
Figuur 1: (a) indifferentie krommen en budget lijnen
    (b) normale vraagkromme ψ, behorend bij figuur a

Omwille van de duidelijkheid wordt de analyse van de vraagfunctie gewoonlijk gepresenteerd in twee dimensies. Op die manier kan het probleem grafisch worden weergegeven. Aldus toont de figuur 1a het nutsveld u(q1, q2) van een economie met twee producten (N=2). Elke rode kromme is een indifferentie kromme van constant nut, met een stijgende welvaart in de volgorde ua, ub, en uc. Stel nu, dat de productprijs p1 van het product 1 stapsgewijze wordt verlaagd, met p1,a > p1,b > p1,c. De prijs p2 blijft constant. Dit is eigenlijk een deflatie, omdat de koopkracht per geldeenheid stijgt. Aangezien het individuele inkomen y een nominale waarde heeft, neemt in die situatie de individuele welvaart toe. Dit verschijnsel is weergegeven in de figuur 1a. De groene lijnen zijn de budgetlijnen voor dezelfde y, maar bij de drie verschillende prijzen p1. Naarmate p1 daalt, verschuift het optimum q*: de individu geeft eenheden product 2 op ten bate van meer eenheden product 1.

Men kan het proces van optimalisatie een nuts-maximalisatie probleem noemen, of een bestedings-minimalisatie probleem1. Kennnelijk spelen zich twee mechanismen af. Enerzijds is er substitutie van het product 2 ten gunste van het product 1. De Gazet heeft vele malen aandacht geschonken aan de substitutie van productie-factoren, en dit zelfde proces doet zich hier voor bij consumptie-beslissingen. Anderzijds kan de individu meer kopen van beide producten, omdat zijn reële koopkracht is gestegen. Dankzij de extra koopkracht ter grootte van q1 × Δp1 neemt uiteraard de individuele welvaart toe, van ua naar ub en uc. Dit tweede verschijnsel wordt het inkomens-effect genoemd. Een handig concept is in dit kader de bestedings-functie (expenditure function), die is gedefinieerd als e(p, u) = y(q*). Hoewel y constant blijft, veranderen zowel p als u.

De figuur 1a is vooral interessant, omdat voor elke waarde van p1 de bijbehorende optimale q1* kan worden afgelezen. De resulterende kromme is weergegeven in de figuur 1b. Dit wordt de normale vraagkromme ψ1(p1,y) genoemd, of ook wel de vraagkromme van Walras of Marshall2. Merk op, dat in grafieken de vraagkromme vaak verwarrend wordt weergegeven met q* langs de horizontale as en p langs de verticale! Dat miskent de causaliteit. Aangezien ψn kan worden bepaald voor alle n producten, is zij feitelijk een vector ψ. De functie ψ speelt een belangrijke rol bij de bestudering van marktprocessen. Echter zij is ongeschikt om de ontwikkeling van de welvaart te beschrijven. Immers, bij wijzigingen in p1 varieert het individuele nut u op een complexe manier.

Figuren van isonuts veld en vraagkromme
Figuur 2: (a) indifferentie kromme en budget lijnen
    (b) gecompenseerde vraagkromme φ, behorend bij figuur a

Dien ten gevolge hebben economen een alternatieve vraagkromme bedacht, die weinig practische relevantie heeft, maar die onmisbaar is in de welvaarts-theorie. Beschouw hiertoe de figuur 2a, die de indifferentie kromme ua weergeeft. Zonet is gebleken, dat het inkomen y in combinatie met de productprijs p1,a leidt tot de optimale consumptie qa* op de kromme u=ua. Deze budgetlijn is getekend in de figuur 2a. Ook alle andere punten op de kromme stellen een optimum q* voor, met hetzelfde nut ua, maar bij een andere prijs p. Ter illustratie zijn er twee ingetekend, voor p1,b en p1,c, met ongewijzigde p2. De drie groene lijnen zijn opnieuw budget-lijnen, waarbij echter alleen qa* nog e(p,u) = y heeft. Immers, de dalende p1 vergroot de koopkracht, zodat het nut ua enkel constant blijft bij een dalend inkomen e(p,ua). De punten op u=ua definiëren de gecompenseerde vraagkromme q1* = φ1(p,u). Deze functie wordt ook wel de vraagkromme van Hicks genoemd3.

Het inkomen y komt niet meer voor in φ, omdat het zich vanzelf aanpast bij p1 en ua. Bijvoorbeeld daalt het inkomen tussen qa* en qb* met e(pa,ua) − e(pb,ua) 4. Dit is een abstractie, omdat feitelijk huishoudens en bedrijven altijd een budget-beperking hebben. Het inkomens-effect wordt kunstmatig geëlimineerd uit de theorie. Daarom kan de prijs p hier niet worden toegeschreven aan het marktproces. Bij de gecompenseerde vraagkromme optimaliseert de individu niet zijn warenmand, maar drukt met pn zijn persoonlijke waardering uit voor het product n. Men noemt pn dan de marginale evaluatie, of de bereidheid tot betalen (willingness to pay)5. Men gebruikt simpelweg de tweede wet van Gossen, die stelt dat de stukprijs overeen komt met het marginale nut. In formule: ∂u/∂qn = λ×pn, waarbij het zogenaamde grensnut van de besteding λ een constante is voor alle producten n.

Met andere woorden, de aankoop van het product n is indifferent. De prijs en het individuele (grens)nut zijn in balans. Een buitenstaander kan de gecompenseerde vraagfunctie φ enkel meten door de individu ernaar te vragen. De functie φ kan worden geconstrueerd uit het nutsveld, met dezelfde methode, die is toegepast in de figuur 1 voor de normale vraagfunctie ψ. Men vindt dan de gecompenseerde vraagkromme in zijn gangbare gedaante. Het resultaat is weergegeven in de figuur 2b. Merk op, dat φ1(p1,ua) minder stijl neerwaarts gaat dan ψ1(p1,y) 6. Stel nu, dat het product n wordt aangeboden voor een stukprijs πn. Dan blijft de individu eenheden product kopen, zolang geldt πn ≤ pn. Met andere woorden, hij krijgt de eenheden qn = φnn,u) tegen een lagere prijs dan zijn eigen evaluatie of bereidheid tot betaling. Dit levert hem een extra nut of welvaart op, dat het individuele consumenten surplus wordt genoemd.


Het totale maatschappelijke surplus

Het consumenten surplus

Het consumenten surplus bevordert de individuele welvaart, maar de huidige column is vooral gericht op de maatschappelijke welvaart. Men moet dan het maatschappelijke consumenten surplus CS berekenen. Daartoe moet de maatschappelijke vraag worden bepaald, aan de hand van φ, omdat immers alleen deze vraagfunctie uitgaat van een concrete nutswaarde. Stel dat de maatschappij bestaat uit K individuen. Introduceer weer de index k voor de individu. Dan wordt de maatschappelijke vraagfunctie berekend als

(2)     Φn(p,W) = Σk=1K   φn,k(p,uk)

Figuren van vraag en aanbod
Figuur 3: Vraag en aanbod:
    (a) consumenten surplus en producenten-rente
    (b) idem, bij belasting, met een dood-gewicht verlies

In de formule 2 is W de maatschappelijke welvaart, die een functie W(u) is van de nutsvector uk. De functie Φn komt overeen met de maatschappelijke vraag Qn. Men stapelt als het ware alle individuele vraagkrommen qn,k op elkaar. Soms is het overigens handig om uit te gaan van een representatieve individu, zodat alle individuele vraagkrommen identiek zijn. Dankzij de functie Φn(p,W) kan men nagaan in hoeverre het beleid van de staat verlagend werkt op de welvaart W. Beschouw allereerst de gewone marktsituatie. Zij is weergegeven in de figuur 3a, waarbij volgens de gangbare conventie de productprijs wordt uitgezet langs de verticale as. In feite is deze kromme dus pn = Φn-1(Qn), waarbij Φ-1 de inverse is van de vraagfunctie. De welvaart W is constant op Φn.

Beschouw vervolgens de producenten. Noem de functie Qn = Θn(pn) hun totale aanbod-kromme. De marginale productiekosten cn zijn uiteraard een beperkende factor voor de omvang van het aanbod. De cn worden bepaald door de aanwezige outillage (de voorraad aan kapitaalgoederen), die slechts beperkt is. Als de aanwezige productie-capaciteit te veel wordt belast, dan zal cn(Qn) bovenmatig stijgen. Ook moet er dan duur overwerk worden gedaan, enzovoort7. Vaak wordt verondersteld, dat geldt pn=cn, omdat dankzij de marktconcurrentie de winsten verwaarloosbaar zouden zijn. De functie Θn stijgt dan bij een toenemende pn, omdat de productiekosten kunnen meestijgen met pn. Met andere woorden, de maatschappelijke winst is constant op de kromme Θn. In de figuur 3a is de inverse functie Θn-1 afgebeeld. De vraag en het aanbod vinden elkaar bij de evenwichtsprijs πn*. In het evenwicht Qn* ruimen de markten.

Het totale consumenten surplus CS kan nu worden afgelezen uit de figuur 3a. Het wordt voorgesteld door het groen gekleurde gebied. Het kan worden berekend als

(3)     CS(Qn*) = ∫0Q*  (Φn-1(Q) − πn*) dQn

De marktwerking schept het consumenten surplus, dat bijdraagt aan de welvaart W. Dit voltooit de welvaarts-analyse voor de consumptieve sfeer8.

Het totale surplus

Beschouw vervolgens de situatie van de producenten. Zij maken onkosten cn = Θn-1(Q), en die liggen beneden de productprijs πn*. Aangezien de producenten πn* kunnen vragen op de markt, ontvangen zij dus een producenten-rente PR. De rente wordt voorgesteld door het rood gekleurde gebied in de figuur 3a. Zij kan worden uitgerekend via een integratie, net zoals de CS in de formule 3. Ook de PR draagt bij aan de maatschappelijke welvaart W 9. Dankzij de marktwerking is er een totaal maatschappelijk surplus MS, dat de som is van het CS en de PR. Met andere woorden, het MS is het geheel van het groene en rode gebied in de figuur 3a. Het kan worden berekend als

(4)     MS(Qn*) = ∫0Q*  (Φn-1(Q) − Θn-1(Q)) dQn


Het effect van staats-interventie op de welvaart

De staat is onmisbaar, omdat er kaders moeten worden gesteld, waarbinnen de marktwerking zich kan ontplooien. Maar kaders zijn ook dwingend, en daardoor scheppen zij onvrede en reduceren zij het welzijn (welfare). Een staats-interventie noodzaakt de individuen om hun gedrag te veranderen, en die wijziging ondermijnt nogal eens de doelmatigheid. Een bekend voorbeeld is de heffing van belastingen. Zij zijn onvermijdelijk, omdat de staat moet worden betaald, maar zij veroorzaken veel ergernis. Dankzij de theorie van het maatschappelijk surplus kan het verlies aan welvaart ten gevolge van belastingen aanschouwelijk worden gemaakt. Stel dat de staat een verbruiksbelasting τn heft op de aankoop van het product n (BTW, accijns, invoertarief). Dat verhoogt de stukprijs naar πnn. De vraagfunctie Φn(pn) toont aan, dat dan de geconsumeerde hoeveelheid afneemt tot Ωn. Dit is grafisch weergegeven in de figuur 3b.

Dankzij de belasting ontvangt de staat een bedrag τn×Ωn. Zie het blauwe gebied in de figuur 3b. Deze baten gaan ten koste van de consumenten, die daardoor een deel van hun consumenten surplus CS moeten afstaan. De belasting tast de inkomsten πn van de producenten niet aan10. Aldus lijkt het, alsof de belasting maatschappelijk neutraal is voor de welvaart W. Echter daarnaast nemen zowel het CS als de PR af, omdat wegens het staatsingrijpen een hoeveelheid Qn* − Ωn van het product n niet meer wordt verhandeld. De prikkel tot consumptie is veranderd. Deze opgegeven maatschappelijke welvaart wordt het dood-gewicht verlies genoemd (DWL, dead-weight loss)11. Het is weergegeven door het gele gebied in de figuur 3b. Het kan worden berekend met de formule12

(5)     DWL(τn) = ∫ΩQ*  (Φn-1(Q) − Θn-1(Q)) dQn

Het is dus belangrijk om de eventuele voordelen van het staats-ingrijpen af te wegen tegen de daarmee verloren welvaart. In dit geval is het probleem fiscaal. Soortgelijke problemen treden op bij de inkomsten-belasting, omdat die feitelijk de inkomens verlaagt13. Daardoor verzwakken de prikkels om te werken of om te sparen. In beginsel kan belasting worden geheven zonder het economische gedrag van de individuen te verstoren, namelijk wanneer τ een geld-afdracht ineens is, die gelijk is voor alle individuen. Dit wordt een lump-sum genoemd, of een poll tax. Dat wil zeggen, zij is onafhankelijk van economisch gedrag, zoals consumeren of produceren. Echter de afdracht van dezelfde geldsom ineens door iedereen is onverenigbaar met de gevoelens van recht en billijkheid. Immers, zo een belasting zou de relatieve inkomens-verschillen vergroten. De secundaire verdeling zou ongelijker worden14.


Ongelijkheid in de maatschappelijke welvaarts-functie

Zonet is de maatschappelijke welvaarts-functie (social welfare function, afgekort SWF) geïntroduceerd in het betoog. Een recente column heeft al de eerste beginselen van deze SWF behandeld. Volgens de geestelijke vaders van dit concept, A. Bergson en P.A. Samuelson, is de SWF simpelweg de nutsfunctie van het centrale planorgaan. De SWF kan doelen representeren, maar ook normen en waarden. Vaak modelleert men de SWF als een algemeen utilitaristische functie, van de gedaante

(6)     W(u) = Σk=1K  gk(uk)

In de formule 6 is er een maatschappij van K leden. De variabele uk is de opbrengst van het lid k (k=1, ..., K). Strikt genomen is deze opbrengst het individuele nut of de welvaart van k. De lezer zij echter gewaarschuwd, dat sommige modellen uk ook opvatten als louter materiële baten. De functie gk is het gewicht, dat het centrale planorgaan toekent aan het belang van k. Zij is nog nader te definiëren, maar in ieder geval voldoet zij aan ∂gk/∂uk > 0. Deze voorwaarde spreekt voor zich. Zij garandeert, dat is voldaan aan het beginsel van algemene inkomens-groei. Dat wil zeggen, als elke individu k een constante opbrengst Δu extra ontvangt, dan moet de maatschappelijke welvaart W stijgen. Bovendien garandeert zij, dat het beginsel van monotonie is gewaarborgd. Dat wil zeggen, als een individu k meer opbrengst Δuk ontvangt, terwijl de andere opbrengsten ongewijzigd blijven, dan moet W eveneens stijgen15.

Bovendien voldoet de functie W van de formule 6 aan het beginsel van strikte onafhankelijkheid binnen de maatschappij. Dat wil zeggen, als in een deelgroep s van de maatschappij geldt W(us) > W(vs) (waarbij de twee verschillende nutsvectoren van de deelgroep s worden vergeleken: usvs), dan blijft deze ordening behouden, ook wanneer elders in de maatschappij de opbrengsten veranderen16. Dankzij het gewicht gk kan de SWF bijvoorbeeld een beleid voor doelgroepen modelleren. Vaak neemt men echter gemakshalve vaak aan, dat geldt gk = g. Dan heerst er het beginsel van anonimiteit, zodat geen enkele individu k een voorrecht geniet. Allen zijn onderling verwisselbaar. Met andere woorden, een permutatie van de leden k verandert de waarde van W niet17.

Maten van maatschappelijke ongelijkheid

De maatschappelijke ongelijkheid is eveneens belangrijk, naast de welvaart W. Eerder in de Gazet is betoogd, dat de keuze van de maat μI voor ongelijkheid subjectief is. Er is toen al gesuggereerd, dat deze maat kan worden gekoppeld aan de SWF. Men kan als volgt redeneren. Veronderstel, dat er inderdaad anonimiteit is. Dan kan de representatieve opbrengst ω worden gedefinieerd via de vergelijking g(ω) = W/K. Dien ten gevolge kan ω worden berekend uit g-1(W/K), waarin g-1 de inverse functie van g is. Defineer nog de gemiddelde opbrengst als ν = Σk=1K  uk/K. Nu zijn twee plausibele maten van ongelijkheid18

(7a)     μIa = g(ν) − g(ω)
(7b)     μIb = 1 − ω/ν

Deze maten van ongelijkheid verschillen, doordat μIa afhangt van de totale opbrengst K×ν. Anderzijds baseert μIb op de verhouding van ν en ω, waardoor het schaal-effect van een toenemende opbrengst wegvalt. Het is wenselijk, dat de maat van ongelijkheid is genormeerd19. Dat wil zeggen, er moet gelden dat μI=0, wanneer geldt dat uk=ν voor alle k. Bovendien geldt dat μI(α×u) = μI(u) voor een willekeurige scalar α. Deze invariantie voor schaling gaat dus niet op voor μIa 20. En tenslotte blijft μI ongewijzigd, wanneer de maatschappij wordt vermeerderd met kopieën van zichzelf. Met andere woorden, men kan elke individu k opvatten als een groep met n leden.

De maten μIa en μIb krijgen vooral betekenis, wanneer er geldt ∂²g/∂uk² < 0. Men noemt een dergelijke functie g concaaf21. Dan neemt het nut van een extra opbrengst Δuk af, althans voor de maatschappij, naarmate uk groter is. Onder deze voorwaarde drukt de SWF W(u) een aversie tegen ongelijkheid uit22. De hang naar nivellering wordt aldus ingebouwd in het model. Deze stap maakt gebruik van het psychologische inzicht, dat onbillijke ongelijkheden inderdaad onvrede veroorzaken bij de benadeelden. Als de ongelijkheid wordt meegewogen in de SWF, dan kan zij worden voorgesteld door W = W(ν, μI, K) 23. Deze functie houdt dus rekening met ongelijkheid en met K×ν, de totale ongewogen ("materiële") opbrengst. Van belang is nu de gedaante van g(uk). Merk alvast op, dat het zuiver utilitaristische gewicht g(uk) = uk niet voldoet aan ongelijkheids-aversie. Dit type W blijft gelijk bij een herverdeling van arm naar rijk.

De theorie van maten μI levert de inzichten om een geschikte g(uk) te vinden. Definieer daartoe nog twee extra beginselen24. Het beginsel van de overdrachten stelt: als er opbrengst wordt overgedragen van een individu naar een rijker individu, dan moet de maat μI aangeven, dat de verdeling van opbrengsten minder gelijk wordt. Zo een overdracht verandert het gemiddelde ν niet, maar hij verkleint wel de representatieve opbrengst ω. Daarom zal bijvoorbeeld de waarde van de maat μIb toenemen, want ω/ν daalt. Introduceer bovendien een tweede beginsel van onafhankelijkheid. Namelijk, in een deelgroep s van de maatschappij moet de maat μi(us) altijd dezelfde ordening aanbrengen onder de diverse nuts-verdelingen us, ongeacht de opbrengsten in de rest van de maatschappij. Nu leiden de vier beginselen van ongelijkheid (anonimiteit, irrelevantie van schaal, overdrachten en onafhankelijkheid) tot een unieke functie van gelijkheid25:

(8)     f(u, θ) = Σk=1K  ukθ

Bij de afleiding van de formule 8 is de uitgegaan van een constante totale opbrengst K×ν. De scalar θ is een parameter, die niet θ=0 of 1 mag zijn26. De functie f heeft de eigenschap, dat zij de extreme waarde (K×νθ) aanneemt bij volkomen gelijkheid uk=ν voor alle k. Klaarblijkelijk is zij niet genormeerd. Als geldt θ<1, dan worden andere nutsverdelingen lager gewaardeerd, in overeenstemming met de vier genoemde beginselen. Dan is volkomen gelijkheid het maximum van f. Als geldt θ>1, dan worden andere nutsverdelingen hoger gewaardeerd. Nu is volkomen gelijkheid het minimum van f.

Voorts bepaalt de keuze van θ de specifieke gevoeligheid van de functie f. Bijvoorbeeld, wanneer geldt θ→-∞, dan wordt de waarde van f helemaal bepaald door de kleinste uk. Algemener, bij lage waarden van θ weegt f de laagste opbrengsten uk het zwaarst in haar evaluatie van ongelijkheid. Omgekeerd, bij hoge waarden van θ (veel groter dan 1) worden vooral de hoogste opbrengsten uk meegewogen in de evaluatie van ongelijkheid. De invloed van θ is natuurlijk een probleem, want aldus ontstaan er oneindig veel maten μI van ongelijkheid. De keuze van een bepaalde maat is in essentie subjectief. Iedereen zou de maat kunnen uitzoeken, die hem of haar het best bevalt. Sommigen gaan vooral de ongelijkheid van de armsten wegen, terwijl anderen meer belangstelling hebben voor de ongelijkheid in de middenklasse. Met andere woorden, de keuze van θ bepaalt welke deelgroep men analyseert. Met een dermate flexibele maat is natuurlijk geen wetenschap te bedrijven!

Synthese van maat en welvaartsfunctie

De functie f is eigenlijk bedoeld om een maat μI van ongelijkheid af te leiden. Een slimme vondst is echter om de SWF zelf te baseren op deze functie f van gelijkheid. Voor de hand liggend is de keuze g(uk) = β×ukθ, waarin β een scalar is. De SWF wordt dan gelijk aan β×f! Het beginsel van monotonie vereist, dat β afhangt van θ. In de literatuur vindt men β=θ of β=1/θ 27. Als W een aversie tegen ongelijkheid moet uitdrukken, dan moet zij concaaf zijn. Bij de keuze g(uk) = β×ukθ komt dat neer op θ<1. Dan stijgt de welvaart inderdaad bij nivellering. Bovendien wordt daarmee de positie van de armen benadrukt. In het extreme geval θ→-∞ vertegenwoordigt W zelfs het maximin beginsel van Rawls. Kennelijk karakteriseert θ de aversie tegen ongelijkheid. Merk voorts op, dat de maatschappelijke welvaart stijgt met αθ, wanneer de opbrengsten groeien met een factor α. De groei valt duidelijk onder het beginsel van de algemene inkomens-groei.

Kies de nutsschaling β=θ. Men kan de SWF eveneens karakteriseren door de elasticiteit εuk van haar grensnut ∂W/∂uk te berekenen28. Zij wordt gegeven door

(9)     εuk = ∂²W/∂uk² / (∂W/∂uk / uk)

Gewoonlijk zal deze elasticiteit variëren met uk. Maar voor de nu gekozen W blijkt te gelden ∂W/∂uk = ∂g/∂uk = θ×g / uk, en ∂²W/∂uk² = ∂²g/∂uk² = θ×(θ-1) × g/uk². Kennelijk heeft de elasticiteit van het grensnut ∂W/∂uk de constante waarde εuk = θ-1. Zij is negatief voor θ<1. Bij een toename van het nut (of de opbrengst in de terminologie van de huidige column) uk met 1% ondervindt het grensnut van W (de groei van de maatschappelijke welvaart) een afname van (θ-1)%, ongeacht de waarde van uk. Functies met deze eigenschap hebben een constante elasticiteit van substitutie, en worden daarom CES functies genoemd.

Een complicatie van de gekozen g functie is, dat voor θ<0 de SWF negatief is. Volkomen nivellering uk=ν leidt dan tot de kleinst mogelijke negatieve waarde van W, voor de betreffende totale opbrengst. Het is inzichtelijker om een positieve SWF te hanteren. Een goede keuze is de representatieve opbrengst ω, die immers wordt gevonden door een eenduidige transformatie van W 29. Men heeft g(ω) = θ×ωθ = W/K, en daaruit volgt

(10)     ω = (Σk=1K  ukθ / K)1/θ

Merk op, dat bij volkomen gelijkheid geldt uk=ν voor alle k, zodat ω in dat punt de waarde ν aanneemt. Zolang θ>0, is ω positief voor alle u0. Wanneer θ<0, dan is ω=0 zodra enige uk=0. De aversie tegen ongelijkheid accepteert dan niet, dat enig individu zonder opbrengst is30. Voorts is het interessant om de welvaart of de representatieve opbrengst te analyseren voor diverse nutsverdelingen, wanneer de totale opbrengst gegeven is. Men kan vooral het geval met K=3 aanschouwelijk weergeven31. Immers dan heeft de verdeling u drie dimensies, en dat kan worden getekend. Neem gemakshalve aan, dat geldt K×ν=1. Het budgetvlak van de maatschappij heeft de vorm u1 + u2 + u3 = 1. Dit is rood weergegeven in de figuur 4a. Er is volkomen gelijkheid langs de "straal" door de oorsprong met richtingsvector (1, 1, 1). Deze snijdt het budgetvlak in uk = ν = 1/3.

Figuren van isonuts velden
Figuur 4: (a) budgetvlak;
    (b) indifferentie krommen voor θ=0.9,   (c) voor θ=-1,   en (d) voor θ=-10

Aangezien de opbrengsten niet negatief zijn, blijft het budgetvlak beperkt tot het positieve kwadrant. Daar heeft het budgetvlak de vorm van een gelijkbenige driehoek. In dat vlak kunnen de indifferentie krommen van de representatieve opbrengst ω worden getekend. De figuren 4b, c en d tonen de indifferentie krommen voor respectievelijk θ=0.9, θ=-1, en θ=-10 32. In de figuur 4b (θ=0.9) is er nauwelijks aversie tegen ongelijkheid. Hier varieert ω tussen 0.295 (in de hoekpunten) en 0.333. In de figuren 4c-d is θ negatief. Op de randen van de driehoek is altijd minstens één uk=0, zodat daar geldt ω=0. Ook de positieve indifferentie krommen hebben een driehoeks-gedaante, zij het met afgeronde hoekpunten. In de figuur 4d daalt ω relatief snel, naarmate de afstand tot de straal van gelijkheid toeneemt. De indifferentie krommen worden hier grotendeels bepaald door de waarde van de laagste uk. Daarom zijn zij parallel aan de randen van de driehoek.

Hoewel de figuren 4b-c-d de situatie weergeven voor de totale opbrengst 1, geven zij ook een indruk van de uitruil tussen de gelijkheid en de totale welvaart. Beschouw bijvoorbeeld in de figuur 4c (θ=-1) de indifferentie kromme ω=0.18. Op de kromme heeft de laagste uk een waarde rond 1/12 (0.0833), zodat de beide andere individuen de rest ter grootte van 11/12 (0.917) delen. Dezelfde representatieve opbrengst kan eveneens worden bereikt in een volkomen gelijke maatschappij (gelegen op de straal) met ν = ω = 0.18. De totale opbrengst is daar slechts 0.54, maar de armste individu verdubbelt ruim zijn opbrengst. Kennelijk kan men ongestraft de totale opbrengst in de maatschappij van de figuur 4c (met θ=-1) halveren, mits men maar de opbrengsten totaal nivelleert! De lezer mag zelf uitmaken in hoeverre deze uitkomst realistisch is33.

Tenslotte wordt nogmaals teruggekomen op de maat voor ongelijkheid. De econoom A.B. Atkinson heeft de formules 7b en 10 gecombineerd om een eigen maat μA af te leiden. Hij definieert η = 1-θ. Dan luidt zijn maat

(11)     μA = 1 − (Σk=1K ( uk/ν)1-η / K)1/(1-η)

De lezer ziet, dat deze maat van Atkinson is gebaseerd op een elegante theorie. Hij is gegrondvest op een reeks goed gedefinieerde beginselen. Men raakt onder indruk van de diepzinnige analyse. Dat heeft de maat voor op empirische concurrenten, zoals de coëfficiënt G van Gini. Helaas lijdt μA onder de onbepaaldheid van de parameter θ (en dus van η). Bovendien is de theorie weliswaar elegant, maar de beginselen zijn bepaald omstreden (hoewel toch alleszins redelijk). Beleidsvormers weten, dat zij zich niet moeten laten verblinden door de intellectuele excellentie van modellen. Dit alles verklaart vermoedelijk, waarom in empirische studies de traditionele intuïtieve maten zoals G of de verhoudingen van quantielen nog steeds gangbaar zijn, en μA niet34.


Interpersoonlijke vergelijking volgens Binmore

De formule 10 voor de maatschappelijke welvaart gebruikt een interpersoonlijke vergelijking, waarbij dankzij de parameter θ het belang van de lagere opbrengsten zwaarder worden gewogen bij de keuze van het beleid. De econoom K. Binmore presenteert in diens boek Playing fair (afgekort PF) een andere benadering voor groepsgericht beleid35. Hij stelt dat de maatschappelijke welvaartsfunctie wordt gegeven door (p.48, 294 in PF)36

(12)     W(u) = Σk=1K  αk × uk

De parameters αk zijn constanten. De welvaartsfunctie W in de formule 12 is zuiver utilitaristisch. Er is duidelijk geen anonimiteit. Binmore veronderstelt, dat elke individu k zijn opbrengst uk meet aan de hand van een eigen nutsschaal, en noemt de eenheid een util (p.54 in PF). De utils van verschillende individuen k zijn niet vanzelf gelijk. De politiek moet nu de gewichten bepalen, die worden verbonden aan de belangen van verschillende individuen k. Dat gebeurt via de verhouding αmn, die de util van m uitdrukt in utils van n. Met andere woorden, αmn is een conversie-factor of ruilvoet van utils. De ruilvoet drukt uit, dat een interpersoonlijke vergelijking wordt gemaakt tussen de belangen van m en n 37.

De Gazet heeft regelmatig geconstateerd, dat economen terughoudend zijn in het analyseren van interpersoonlijke verschillen. Immers, zo een analyse vereist een moraal, zodat de theorie niet meer waardevrij is. Binmore maakt evenwel aannemelijk, dat de interpersoonlijke vergelijking een alledaags maatschappelijk fenomeen is. Namelijk, het leven in een groep vereist, dat het individuele gedrag onderling wordt afgestemd. Aangezien de groep duurzaam en evenwichtig moet zijn, proberen de leden om conflicten te vermijden (p.57, 289 in PF). Dien ten gevolge zijn zij geneigd om zich in te leven in de gedachtenwereld en het welzijn van de anderen (p.56, 288). Zij maken gebruik van hun vermogen tot empathie. Empathie bevordert de samenwerking, en daarom veronderstelt Binmore, dat zij een evolutionair voordeel biedt (p.58, 297). Het vermogen tot empathie krijgt genetisch de overhand.

Dankzij de empathie wordt het mogelijk om gedeelde voorkeuren te formuleren (p.290). Er vormen zich maatschappelijke instituties en een collectieve moraal38. De moraal wordt overgedragen via imitatie en scholing (p.65). Natuurlijk past op de langere termijn de moraal zich aan bij de maatschappelijke veranderingen. Het systeem doorloopt een pad van opeenvolgende maatschappelijke evenwichten (pad afhankelijkheid). Maar op de korte termijn is de collectieve moraal onveranderlijk. Aldus meent Binmore, dat er een maatschappelijke consensus ontstaat over de waarde van de ruilvoeten αmn. Deze consensus is onmisbaar om uit alle denkbare maatschappelijke ordeningen de beste te kiezen. Dit wordt geïllustreerd met de figuur 5.

Figuur van nutsmogelijkheden en welvaartsfuncties
Figuur 5: verzameling van nuts-
    mogelijkheden en welvaarts-
    functies van Harsanyi en Rawls

De figuur 5 beperkt zich gemakshalve tot het 2-dimensionale geval. De rode kromme bakent het gebied (u1, u2) van mogelijk nut af. De buitengrens van het gebied is Pareto optimaal. Men moet het maatschappelijke optimum ergens op de Pareto grens selecteren. Gewoonlijk kiest men het punt, waar de welvaartslijn W(u) van de formule 12 raakt aan de verzameling van mogelijk nut. Figuur 5 geeft de welvaartslijn weer in het groen. Binmore schrijft deze welvaartsfunctie WH toe aan de econoom Harsanyi. Echter deze W is neutraal jegens ongelijkheid. Daarom zullen de burgers eveneens willen, dat is voldaan aan het maximin beginsel van de filosoof Rawls.

Gewoonlijk heeft dat beginsel een ander optimum dan het zuivere utilitarisme. Namelijk, stel dat de minimaal toelaatbare opbrengst van de individuen k=1 en 2 wordt gegeven door ξ = (ξ1, ξ2) (p.48). Dit punt definieert de oorsprong van hun nutsschaal, en is weergegeven in de figuur 5. Aangezien ook hier de utils van de individuen verschillen, en moeten worden geconverteerd, is de welvaartsfunctie WR volgens Rawls gelijk aan

(13)     W(u) = minimim van (α1 × (u1 − ξ1), α2 × (u2 − ξ2))

Vervolgens moet het maximum van die minimale welvaart WR worden geselecteerd. Met andere woorden, geen van deze twee waarden mag kleiner zijn dan de andere. Het maximum moet dus liggen op de lijn α1 × (u1−ξ1) = α2 × (u2−ξ2). Deze lijn is blauw weergegeven in de figuur 5. De vondst van Binmore is nu, dat dankzij de empathie van de burgers de waarden α1 en α2 zodanig worden gekozen, dat de optima van WH en WR precies samenvallen op de Pareto grens, in het punt σ (p.88)39. Aldus presenteert Binmore een alternatieve manier om de aversie tegen ongelijkheid te modelleren. Hij veronderstelt, dat de burgers tezamen onderscheid maken tussen aanwijsbare maatschappelijke groepen en hun belangen. Anderzijds veronderstelt de aanpak met de parameter θ van ongelijkheid, dat lage opbrengsten automatisch meer gewicht krijgen. Het mechanisme van de empathie, dat leidt tot gedeelde voorkeuren, blijft dan buiten beeld40.

  1. Veel opmerkingen uit het nu volgende betoog zijn ontleend aan hoofdstuk 3 uit het befaamde naslagwerk Microeconomic theory (1995, Oxford University Press) van A. Mas-Colell, M.D. Whinston en J.R. Green. De uitleg daar is nauwkeuriger en vollediger dan die in de huidige column, en warm aanbevolen in de aandacht van de lezer. Echter zoveel detail is momenteel overbodig. (terug)
  2. Zie p.51 en verder in Microeconomic theory, of p.49 in Économie et finances publiques (2017, Economica) van L. Weber, M. Zarin-Nejadan, en A. Schönenberger (of tal van andere boeken). (terug)
  3. Zie p.62 en verder in Microeconomic theory. Het is opmerkens waard, dat de naamgever van de Gazet, Sam de Wolff, zijn model baseert op een Robinsonade, waarin de markt geheel ontbreekt. Daarom maakt zijn theorie van de arbeidswaardeleer gebruik van een gecompenseerde vraagkromme. Er is geen inkomen, maar slechts lust tot consumeren, en onlust door arbeid. (terug)
  4. Uw columnist bedacht nog de volgende redenatie. Er geldt y = (p·q). Dan is in de eerste-orde benadering dy = p1×dq1 + p2×dq2 + q1×dp1 (p2 is constant). Op de kromme u=ua geldt de tweede wet van Gossen, te weten ∂u/∂qn = λ×pn met n=1 of 2. De parameter λ is constant voor alle producten n, en wordt het grensnut van de besteding genoemd. Invullen leidt tot dy = du/λ + q1×dp1 = q1×dp1. Dit laatste geldt wegens du=0 bij een constante ua. Een dalende p1 impliceert een negatieve dp1 en dus een negatieve dy. Stiglitz laat op p.524 in Economics of the public sector (2000, W.W. Norton & Company, Inc.) zien, dat de staat dit prijs-effect kan gebruiken om de belasting-opbrengst te vergroten. Concreet: een belasting ineens (lump-sum, poll-tax) kan meer opleveren dan een verbruiks-belasting, zonder de welvaart van de consument extra te belasten!
    Terzijde zij vermeld, dat volgens p.81 in Microeconomic theory e(p,u) zelf een nutsfunctie is. Immers, neem p constant. Dan meet e de reële koopkracht, en zijn e en u onderling eenduidig gekoppeld. (terug)
  5. Zie respectievelijk p.46-47 in Économie et finances publiques, alsmede p.105 in Economics of the public sector. In de eerst genoemde referentie spreekt men ook van een monetair equivalent van het nut. (terug)
  6. Volgens p.71 in Microeconomic theory geldt de vergelijking van Slutsky: ∂φn/∂pm = ∂ψn/∂pm + qm × ∂ψn/∂y, met n≠m. Zowel ∂φn/∂pm als ∂ψn/∂pm zijn negatief, en ∂ψn/∂y is positief. Dit laatste is het inkomens-effect. Dus de helling van φn is minder vallend dan die van ψn. Hoewel de functie φ zelf niet direct waarneembaar is, toont de Slutsky vergelijking aan, dat althans haar afgeleide kan worden berekend uit de wel waarneembare ψ. Op p.108 in Economics of the public sector wordt gesteld, dat voor de gangbare consumptie-goederen ψ en φ bijna gelijk zijn, omdat de productprijs veel lager is dan het inkomen. Uw columnist heeft hier zijn twijfels. Allereerst is het vrij besteedbare inkomen kleiner dan het beschikbare (secundaire) inkomen, omdat vele uitgaven onvermijdelijk zijn (huur, diverse verzekeringen, nutsvoorzieningen). Bovendien zijn volgens de gedragseconomie individuen geneigd om hun totale inkomen te verdelen in een reeks gescheiden categorieën ("potjes"). En reclame aanbiedingen, zoals bundeling ("twee voor de prijs van één"), leiden er toe dat het extra inkomen geheel wordt besteed aan het goedkoper geworden product.
    Op p.68 wordt nog geconstateerd, dat de gecompenseerde vraag en de bestedings-functie zijn gerelateerd door φn = ∂e/∂pn.
    Aangezien hier pn is gerelateerd aan ∂u/∂qn, beeldt de figuur 2b feitelijk de eerste wet van Gossen uit, die een dalend grensnut voorspelt. (terug)
  7. De Gazet heeft tot nu toe weinig aandacht besteed aan de kosten van de maatschappelijke productie. Er worden enkele woorden aan gewijd in de column over planprijzen. De column over werkgelegenheid beschrijft de kosten op het niveau van de onderneming. De column over het AS-AD model laat zien, dat de totale aanbod-kromme p(Y) stijgt bij een toenemende bezetting van de productie-capaciteit. De Gazet heeft natuurlijk ook een grote hoeveelheid modellen van maatschappelijke groei behandeld, maar die zijn bedoeld voor de lange termijn, waarin de voorraad K aan kapitaalgoederen eenvoudig kan worden vergroot. Zulke modellen zijn juist ontwikkeld om de voorraad K te plannen. (terug)
  8. Het is een nogal complex betoog, met name wegens de introductie van de gecompenseerde vraagkromme. De theorie vereist een gedegen inzicht in het nutsconcept. Daarom heeft het lang geduurd, voordat het consumenten surplus is geïntroduceerd op de Gazet, in de column over privatiseringen. Zeven jaren terug, toen uw columnist de experimentele ringband Vooruitgang der economische wetenschap publiceerde, noemde hij de idee van het consumenten surplus nog onlogisch (in een voetnoot van paragraaf 7.2). Deze kwalificatie is te wijten aan het feit, dat uw columnist indertijd ten onrechte dacht, dat de normale vraagkromme moet worden gebruikt. Zelfs nu kan hij zich nauwelijks een evenwichtige markt voorstellen, die is ontdaan van inkomenseffecten. De verwarring komt ook door de gebrekkige uitleg in inleidende boeken. Een greep: Volkswirtschaftslehre (2003, R. Oldenburg Verlag) van M. Heine en H. Herr zwijgt over de gecompenseerde vraag en over het surplus. Op p.451-453 van Handboek economie (1978, Het Spectrum B.V.) van P.A. Samuelson en p.73-74 van Grundzüge der Volkswirtschaftslehre (2011, Pearson Studium) van P. Bofinger wordt wel het surplus genoemd, maar niet de gecompenseerde vraag. Op p.69-71 in Microéconomie (1991, Presses Universitaires de France) van F. Etner en p.78-79 en 100 van Inleiding tot de economische wetenschap (1969, N.V. Uitgeversmaatschappij v/h G. Delwel) van G.Th.J. Delfgaauw worden zowel het surplus als de gecompenseerde vraag uitgelegd. Delfgaauw spreekt overigens van een premie in plaats van een surplus. Het boek Microeconomie (1996, Stenfert Kroese) van F.J. Dietz, W.J.M. Heijman en E.P.Kroese behandelt de welvaartseconomie slechts terloops. Toch blinkt het uit, met een uitleg van het inkomenseffect op p.185, van de willingness to pay op p.620, en van het consumentensurplus op p.622. (terug)
  9. Zie p.529 en verder in Economics of the public sector, of p.50 en verder in Économie et finances publiques. Hoofdstuk 3 in De prijs van gelijkheid (2015, Prometheus - Bert Bakker) van B. Jacobs behandelt hetzelfde thema, maar met een toepassing op de arbeidsmarkt. Dan vormen de ondernemingen de vraagzijde. (terug)
  10. Op p.52 in De prijs van gelijkheid merkt Jacobs op, dat een slimme staat ook een deel van de producenten-rente RP zal opeisen. Immers bij een productie-omvang van Ωn zijn de marginale productiekosten cn lager dan πn. Dus de staat kan de producenten belasten met (πn − cnn)) × Ωn. (terug)
  11. Men spreekt ook wel van de driehoek van Harberger, de uitvinder van het DWL. Een andere aanduiding is de excess burden. Op p.54 in Économie et finances publiques wordt het DWL een perte sèche genoemd. Op p.214 in Öffentliche Finanzen in der Demokratie (2011, Verlag Franz Vahlen GmbH) van C.B. Blankart wordt gesproken van een Überschussbelastung. Daar wordt de surplus een Rente genoemd. Dit boek noemt het inkomens-effect slechts terloops in een voetnoot, op p.214, hoewel dat toch essentieel is om het DWL te begrijpen! (terug)
  12. Op p.84 in Microeconomic theory wordt (eigenlijk terecht) de voorkeur gegeven aan de berekening van het DWL via een integratie over pn. Dit is een uitzondering op de gangbare literatuur, die de voorkeur geeft aan de methode van de formule 5. Neem gemakshalve aan, dat de marginale kosten cn constant zijn, en gelijk aan πn. Dan zullen de producenten elke gewenste hoeveelheid Qn leveren. Ze ontvangen daarvoor geen producenten-rente. In de figuur 3a is Θn-1 nu een horizontale lijn bij pnn. Het resultaat is DWL(τn) = ∫ππ+τ  Φn(p) dpn − τn×Ωn = ∫ππ+τ  (∂e/∂pn) dpn − τn×Ωn = e(πn + τn, W) − e(πn, W) − τn×Ωn. De term e(πn, W) − e(πn + τn, W) wordt wel de equivalente variatie genoemd (p.84). Deze formule toont expliciet, dat het DWL wordt gemeten in eenheden van geld. Op p.81 wordt inderdaad gesteld, dat e(p, W) een monetaire maatstaf (money metric) is. Eigenlijk is de gevonden gedaante van DWL vanzelfsprekend. Immers, de welvaart W blijft enkel behouden, zolang het verlies DWL en de geheven belastingen worden gecompenseerd met een extra inkomen. De auteurs van Microeconomic theory noemen het consumenten surplus CS slechts terloops. Op p.89 rekenen zij ook CS uit via een integratie over pn. (terug)
  13. Dit thema staat centraal in het interessante Nederlandse boek De prijs van gelijkheid. Jacobs analyseert vooral de inkomsten-belasting als een instrument voor de herverdeling van inkomens. Uw columnist zal zeker nog terugkomen op dit politiek omstreden thema. (terug)
  14. Het is vreemd, dat de welvaarts-economie zo een controversieel instrument als de poll-tax aanprijst. Immers het marginale nut van inkomen is groter voor arme mensen. Uw columnist vraagt zich af, of die uitkomst wordt veroorzaakt door het elimineren van de inkomens-effecten uit het model. (terug)
  15. Zie voor deze twee beginselen p.103 in Economic inequality and income distribution (1998, Cambridge University Press) van D.G. Champernowne en F.A. Cowell. Uw columnist heeft de indruk, dat het beginsel van monotonie gelijk is aan het Pareto criterium. Zie p.825 in Microeconomic theory. (terug)
  16. Zie p.103 in Economic inequality and income distribution. Helaas geven Champernowne en Cowell niet de redenatie, die ten grondslag ligt aan de afleiding van de formule 6. (terug)
  17. Dit wordt wel de symmetrie eigenschap genoemd. Zie p.826 in Microeconomic theory. Zie voorts p.94 in Economic inequality and income distribution. (terug)
  18. Zie p.106 in Economic inequality and income distribution. (terug)
  19. Zie p.99 in Economic inequality and income distribution. (terug)
  20. Op p.106 in Economic inequality and income distribution wordt het schaal-effect in μIa erkend. Toch wordt deze maat geaccepteerd. Wellicht is de reden, dat variaties van de totale opbrengst weliswaar invloed hebben op de waarde van μIa(u), maar niet op diens ordening van diverse verdelingen van u overeenkomstig hun ongelijkheid. Met andere woorden, wanneer geldt μIa(u) > μIa(v) voor twee nutsverdelingen u en v, dan is eveneens μIa(α×u) > μIa(α×v) voor enigerlei scalar α. Op p.97 wordt het beginsel van de irrelevantie van schaling ook nog apart genoemd, naast de wenselijkheid van normering. (terug)
  21. Zie p.826 in Microeconomic theory, en p.104 in Economic inequality and income distribution. (terug)
  22. Op p.826 in Microeconomic theory wordt de gedaante van g(uk) vergeleken met de gedaante van de nutsfunctie U van een risico mijdend individu. De analyse richt zich dan op de verwachte materiële opbrengst y = E(x). De verwachting y weegt de diverse mogelijke uitkomsten xn met hun kans van optreden. De verwachte opbrengst y is het analogon van uk, en de nutsfunctie U is het analogon van g. Met andere woorden, bij risico aversie is U(y) > E(U(x)). Hier speelt U(y) de rol van g(ν), en de zekerheids-equivalentie E(U(x)) speelt de rol van g(ω). Op p.82-83 in Economic inequality and income distribution vindt men een soortgelijke argumentatie. (terug)
  23. Zie p.89 in Economic inequality and income distribution. Bij de gehanteerde SWF doet zich het al genoemde probleem met de interpretatie van uk voor. Namelijk, volgens aanname geeft de SWF de voorkeur aan een genivelleerde verdeling van uk. Echter in een democratie wordt de SWF bepaald door het electoraat, althans in grote lijnen. Daarom zou men denken, dat de nivellering al is opgenomen in uk zelf. Dat wil zeggen, een individu k met een grote opbrengst uk zou daarover zelf onvrede voelen. Maar die onvrede zou zijn uk weer verlagen. (terug)
  24. Zie p.94-95 in Economic inequality and income distribution voor het beginsel van de overdrachten, en p.97 voor het tweede beginsel van onafhankelijkheid. (terug)
  25. Zie p.98 in Economic inequality and income distribution. (terug)
  26. Volgens p.98 in Economic inequality and income distribution moet men dan andere functies nemen, te weten f(u, 0) = Πk=1K  uk en f(u, 1) = Πk=1K  ukuk. De eis van een constante totale opbrengst is nodig, omdat f zelf duidelijk niet invariant is onder schaling. Stel echter, dat men opschaalt volgens α×u. Blijkens de formule 8 verandert dan f in αθ×f. Met andere woorden, die opschaling verandert de waarde van f, maar niet naar ordening van de diverse nutsverdelingen u. (terug)
  27. Volgens het beginsel van monotonie moet het grensnut van W positief zijn. Nu is ∂W/∂uk = ∂g/∂uk = α×θ × ukθ-1. Dus α×θ moet positief zijn. Op p.829 in Microeconomic theory wordt gekozen voor α=θ. Het rapport Distributionally Weighted Cost-Benefit Analysis van het Centraal Planbureau kiest voor α=1/θ. In geen van deze bronnen wordt de gemaakte keuze toegelicht. (terug)
  28. Deze benadering wordt gepresenteerd op p.828-829 in Microeconomic theory. (terug)
  29. Deze suggestie wordt gedaan op p.829 in Microeconomic theory. Als uw columnist juist rekent, dan is ω geen CES functie. De elasticiteit εuk van het grensnut ∂ω/∂uk is gelijk aan (ukθ / Σk=1K  ukθ) − 1. Deze elasticiteit varieert duidelijk wel met uk. (terug)
  30. Zij um=0. Dan is ω = um × (Σk=1K  (uk/um)θ / K)1/θ = um × (1/K + Σk=1,k≠mK  (um/uk) / K)1/θ. Merk op, dat -θ nu positief is. Dus ω=0. (terug)
  31. Zie hoofdstuk 5 in Economic inequality and income distribution. (terug)
  32. De krommen worden berekend met de formule 10. De krommen zijn symmetrisch in de loodlijnen vanuit de drie punten van de driehoek. Aangezien de loodlijnen de driehoek verdelen in zes kleinere driehoeken, hoeven de indifferentie krommen slechts te worden berekend in één zo een kleine driehoek (bijvoorbeeld die met u1 > u2 > u3). (terug)
  33. Nivellering verlaagt de hogere arbeidslonen, en maakt daarom werken minder aantrekkelijk. Dat veroorzaakt een dood-gewicht verlies DWL. Echter bij θ=-1 is de aversie tegen ongelijkheid dermate groot, dat het DWL vermoedelijk irrelevant wordt. (terug)
  34. Misschien lukt het ooit om de parameter θ empirisch te bepalen via grootschalige opiniepeilingen onder de bevolking. Het is interessant om de kenmerken van de Gini coëfficiënt G te analyseren. De coëfficiënt wordt berekend uit G = 1 + 1/K − 2 × (K² × ν)-1 × Σk=1K (K − k + 1) × uk voor u1 ≤ u2 ≤ ... ≤ uN. Zie p.142 in Economics of the welfare state (2004, Oxford University Press) van N. Barr. De weegfactor K-k+1 is het grootst voor de laagste opbrengsten uk, en daalt lineair voor de hogere opbrengsten. Merk op, dat de weegfactor wordt bepaald door de ordening van alle opbrengsten uk, maar niet door hun grootte. Dat is een nogal grove manier om vorm te geven aan de aversie tegen ongelijkheid. De waarde van G correspondeert met de omvang van het oppervlak boven de Lorenz kromme. Echter zeer verschillende krommen kunnen leiden tot hetzelfde oppervlak, en dien ten gevolge tot dezelfde G. Het is vermeldens waard, dat volgens p.113 in Economic inequality and income distribution G niet zou voldoen aan het (tweede) beginsel van onafhankelijkheid, voor ongelijkheids-maten μI. Uw columnist heeft gedurende een middag geprobeerd om deze stelling te onderbouwen met een getallenvoorbeeld. Dat is evenwel niet gelukt, althans zolang de gemiddelde opbrengst ν constant wordt gehouden. (terug)
  35. Zie Playing fair (1994, The MIT Press) van K. Binmore. (terug)
  36. Misschien lijkt deze formule abstract. Echter zij wordt bijvoorbeeld ook gepresenteerd op p.129 in het boek Planning and design of engineering systems (1989, Unwin Hyman Ltd) van G.C. Dandy en R.F. Warner, dat een practische handleiding is voor ingenieurs. Denk aan de realisatie van infrastructurele werken. Uw columnist las dat boek 21 jaren terug, toen hij nog een loopbaan in het waterbeheer ambieerde. (terug)
  37. Op p.832 en 834 in Microeconomic theory wordt geconstateerd, dat de functie W(u) overeen komt met een maatschappelijke voorkeur. Op p.836-837 wordt aangetoond, dat een welvaartsfunctie met de gedaante van de formule 12 correspondeert met een voorkeur, die invariant is voor een wijziging van de oorsprong ξk van de individuele nutsfuncties uk. Uw columnist vindt dit intuïtief duidelijk, omdat de verandering van de individuele oorsprong ξk enkel een constante toevoegt aan de formule 12. Binmore constateert op p.48 in Playing fair, dat het maximin beginsel van Rawls niet invariant is onder wijzigingen van de oorsprong ξ. Op p.837 in Microeconomic theory wordt opgemerkt, dat een interpersoonlijke vergelijking onmogelijk wordt, zodra de bij W behorende voorkeur ook nog invariant is onder wijzigingen van de parameters αk. In dat geval zou er slechts één individu k een αk≠0 kunnen hebben. Met andere woorden, W(u) = αk×uk, zodat k feitelijk een dictator is. Enkel diens belang telt. Dit is een complexe materie, die uw columnist nog niet totaal doorziet (pagina 837 is wel erg ver weg van pagina 1). (terug)
  38. Op p.283 in Playing fair stelt Binmore, dat het vakgebied van de rationele ethica ondenkbaar zou zijn zonder de interpersoonlijke vergelijking. (terug)
  39. Op p.88 in Playing fair noemt Binmore de selectie via WR de proportionele oplossing. Hij gebruikt het aanschouwelijke beeld van een maatschappelijk beraad, dat bijeen komt om het maatschappelijke contract op te stellen. Het contract regelt de empathische voorkeuren. Het beraad is een onderhandeling, zodat het optimale punt σ op de Pareto grens ook nog de oplossing van het Nash probleem moet zijn. Uw columnist is voornemens om binnenkort een aparte column te wijden aan het onderhandelingsprobleem van Nash. In het Nash probleem is het punt ξ in de figuur 5 de status quo (p.84). De status quo definieert de opbrengsten van de individuen, in geval hun onderhandeling mislukt. Het samenvallen van de oplossingen van het utilitarisme, het maximin beginsel en de Nash oplossing vormt de kern van het model van Binmore - als uw columnist hem goed begrijpt. Binmore verdiept zich zozeer in allerlei bijkomende details, dat deze kern enigszins ondergesneeuwd raakt. Intuïtief ligt het inderdaad voor de hand, dat de interpersoonlijke vergelijking αmn afhangt van de absolute minima ξm en ξn, en van de totale welvaart WH. De verzameling van bereikbare opbrengsten wordt bepaald door de nationale rijkdom, door de techniek, en door eventuele staats-ingrepen. (terug)
  40. Men zou de indifferentie krommen volgens de formule 10 kunnen weergeven in de figuur 5, met K=2. Stel bijvoorbeeld dat geldt θ=-1. Beschouw een indifferentie kromme, bijvoorbeeld ω=1. Dan dicteert die de relatie u2 = u1 / (2×u2−1). Deze kromme is convex in het gebied ingeperkt door u1>1/2 en u2>1/2. (terug)