Modellen van onderwijsbeleid

Plaatsing in Heterodoxe Gazet Sam de Wolff: 2 juli 2018

E.A. Bakkum is blogger voor het Sociaal Consultatiekantoor. Hij denkt graag na over de arbeiders beweging.

In een voorgaande column is het maatschappelijke nut van onderwijs geanalyseerd. De vakliteratuur over dat thema maakt vaak gebruik van modellen. Enkele van deze modellen worden gepresenteerd in de huidige column. Het betreft twee modellen van menselijk kapitaal, waaronder een vondst van Mincer. Ook wordt het vraag-aanbod model van Tinbergen in vogelvlucht uitgelegd. Al deze modellen maken gebruik van de econometrie ten einde ze inzetbaar te maken voor de beleids-advisering.

In een voorgaande column is het effect van onderwijs op het macro niveau van de economie bestudeerd. De tekst is sterk beschrijvend en verhalend van aard. In de afgelopen decennia is het steeds gewoner geworden om economische theorieën te vertalen in wiskundige modellen. Dat is waardevol, omdat daardoor de causale samenhang tussen de maatschappelijke fenomenen op een beknopte manier wordt weergegeven. Bovendien dwingen modellen tot het helder formuleren van de versimpelingen en aannames. En ten slotte maken wiskundige formules het mogelijk om de maatschappelijke verbanden numeriek uit te rekenen, althans in beginsel. Er is dus voldoende aanleiding om enkele modellen van onderwijsbeleid te presenteren. Dit gaat gepaard met een waarschuwing: wie een model begrijpt, begrijpt niet vanzelf ook de werkelijkheid. Een model is niets meer dan een abstracte gedachtenconstructie.


Een model van investeren in menselijk kapitaal

Deze paragraaf put inhoudelijk vooral uit het boek Labor economics (afgekort LE)1. De theoretische school van het menselijk kapitaal (human capital) domineert tegenwoordig in de economische analyse van het institutionele onderwijs. Het volgen van onderwijs wordt opgevat als een besluit om te investeren. De potentiële leerling weegt de kosten O en baten L van het onderwijs tegen elkaar af. De materiële kosten zijn de studie-uitgaven, en de studietijd, die verloren gaat voor het verwerven van een inkomen. Maar er zijn ook immateriële kosten, te weten de inspanning van het leren. De baten van het onderwijs zijn pas merkbaar op de langere termijn, namelijk beter betaald werk, in een uitdagende en zelfstandige functie. De kans op arbeidsvreugde (job satisfaction) tijdens de loopbaan neemt toe (p.92 in LE). De humanistische theorie van onderwijs ontwaart ook direct baten, dankzij het plezier in de studie.

Neem gemakshalve aan dat de kosten O worden gemaakt in de periode t=0 tot t=τ. De jaarlijkse baten L(t) zijn onzeker, en worden pas ontvangen in de loop van het werkzame leven. Baten worden minder gewaardeerd, naarmate zij verder in de toekomst liggen. Voor elk jaar uitstel van zekere baten waardeert de individu ze af met een disconto factor δ. Uiteraard geldt δ<1, zodat men kan schrijven δ = 1/(1+d), waarin d>0 het individuele rendement is. Zij T de duur (in jaren) van de loopbaan. Dan is het nut van de investering in onderwijs gelijk aan2

(1)     u = -O + Σt=τT  δt × L(t)

In de formule 1 worden de baten van jaar tot jaar geëvalueerd. Dit is een discreet proces. Theoretisch kan men ook de baten continu evalueren. Dit verandert de waarde van het rendement, omdat er over het hele jaar een accumulatie van rendement ontstaat. Dat wil zeggen, men behaalt rendement op rendement. Het jaarlijkse rendement d, dat wordt behaald bij de continue evaluatie, is d = er − 1, waarbij r het rendement bij een jaarlijkse evaluatie is3. Er geldt dus dat d≥r. De continue evaluatie kan theoretisch handig zijn, omdat nu de som van de formule 1 verandert in een integraal

(2)     u = -O + ∫τT  e-r×t × L(t) dt

Kwartetkaart Katholiek jongerenwerk
Figuur 1: Kwartetkaart
    katholiek jongerenwerk

(Goed) onderwijs vergroot daarbij de voorraad aan menselijk kapitaal k(t). Het ligt voor de hand, dat het leervermogen toeneemt, naarmate men meer k(t) heeft opgespaard. Dan wordt de verandering van menselijk kapitaal gegeven door (p.72 in LE)

(3)     ∂k/∂t = κ × s(t) × k(t)

In de formule 3 is κ de intrinsieke vaardigheid van de individu om te leren. Zij is constant gedurende zijn leven. De functie s(t) geeft de fractie van de dag aan, waarin de individu onderwijs volgt of leert. Neem gemaks halve aan, dat de individu kiest tussen uitsluitend werken of uitsluitend leren. Dan is s(t) een stapfunctie, met een waarde van respectievelijk 0 of 1. Wegens deze aanname komt s(t) verder niet meer voor in het model. Natuurlijk is s(t) wel nuttig, wanneer men bijvoorbeeld deeltijdstudies wil evalueren, of bedrijfstrainingen, of het opdoen van ervaring tijdens het werken (learning by doing). Stel, dat op t=ξ de individu begint aan een scholing met een studieduur τ. Er geldt s=1 voor t in het interval [ξ, ξ+τ]. Dankzij de formule 3 kan men eenvoudig uitrekenen, dat de individu daardoor zijn voorraad aan menselijk kapitaal vergroot van k(ξ) naar k(ξ) × eκ×τ.

Stel dat het loon van de werker wordt gegeven door w(t) = λ × k(t), waarbij λ een constante is (p.72 in LE). De hoeveelheid menselijk kapitaal bepaalt de productiviteit van de individu, en daarmee zijn loon. Neem voorts aan, dat de kosten O van onderwijs uitsluitend worden bepaald door het misgelopen inkomen w. De baten L van onderwijs resulteren uit de toename van het loon, te weten Δw(τ) = λ × k(ξ) × (eκ×τ − 1) = w(ξ) × (eκ×τ − 1). Vul deze formules in bij de formule 2, dan is het resultaat (p.72 in LE)

(4)     u = - ∫ξξ+τ  e-r×t × w(ξ) dt + ∫ξ+τT  e-r×t × Δw(τ) dt

Het uitvoeren van de integraties leidt tot

(5)     u = (e-r×τ − 1) × w(ξ) × e-r×ξ / r + (e-r×(ξ+τ) − e-r×T) × Δw(τ) / r

De individu zal de studieduur τ kiezen, die zijn nut optimaliseert. Dat wil zeggen, hij zoekt de oplossing van

(6)     ∂u/∂τ = -e-r×(ξ+τ) × w(ξ) − e-r×(ξ+τ) × Δw(τ) + (e-r×(ξ+τ) − e-r×T) × (∂Δw/∂τ) / r = 0

Na enig simpel omschrijven komt men op

(7)     r/κ = 1 − e-r×(T-ξ-τ)

De formule 7 impliceert, dat moet gelden r<κ (p.73 in LE). Kennelijk loont onderwijs enkel, wanneer de intrinsieke leervaardigheid groter is dan het rendement van onderwijs. En de investering in menselijk kapitaal zal een hoger rendement opleveren, naarmate het einde T van de loopbaan verder weg is. Voorts geeft de formule 7 de optimale studieduur, te weten (p.73 in LE)

(8)     τ(κ) = T − ξ + (1/r) × ln(1 − r/κ)

Echter dit resultaat kan nog preciezer worden geformuleerd. Namelijk, ∂u/∂τ in de formule 6 is het marginale nut van leren op tijdstip τ. Differentieer dit marginale nut naar ξ, dan vindt men4

(9)     ∂(∂u/∂τ)/∂ξ = w(ξ) × eκ×τ-r×(ξ+τ) × (κ² / r) × (e-r×(T-ξ-τ) − 1).

Alle termen in het rechterlid van de gelijkheid zijn positief, behalve de laatste, die negatief is. Kennelijk geldt er ∂(∂u/∂τ)/∂ξ < 0. Het marginale nut van leren neemt af, naarmate men de studie verder uitstelt. Dien ten gevolge bereikt de individu zijn optimum door te kiezen voor ξ=0. De opleiding moet vooraf gaan aan de loopbaan. Men moet ξ=0 ook invullen in de formule 8, ten einde de optimale studieduur τ te verkrijgen.

Het zojuist beschreven model illustreert goed de voordelen van wiskundige formules. Men kan de studie-beslissing uitdrukken in enkele simpele variabelen, zoals κ, r, en T. Vervolgens kunnen de afhankelijke variabelen ξ en τ worden afgeleid. Anderzijds moet worden toegegeven, dat de resultaten tamelijk voor de hand liggen, vooral ξ=0. Des al niettemin, het huidige model kan verder worden uitgebreid met aannames, zodat ook meer complexe situaties kunnen worden onderzocht. Beschouw bijvoorbeeld het volgende alternatief voor de formule 3 (p.75 in LE):

(10)     ∂k/∂t = κ × (s(t) × k(t))α − β × k(t)

Figuur van optimale onderwijs-ontwikkeling
Figuur 2: Optimale onderwijs-
    ontwikkeling

In de formule 10 mag s(t) nu alle waarden aannemen tussen 0 en 1. De individu kan leren, naast zijn werkzaamheden. Het loon is dan w(t) = λ × (1 − s(t)) × k(t) (p.76 in LE). De macht α ligt tussen 0 en 1, en zorgt daarom, dat weliswaar het leervermogen toeneemt met k, maar in een afnemende mate. De constante β ligt eveneens tussen 0 en 1, en representeert de veroudering van de aangeleerde kennis. Daardoor neemt de voorraad aan menselijk kapitaal af, tenzij men investeert in nieuwe kennis.

De individu moet nu een keuze maken voor het verloop van zijn leergedrag s(t). Hij zal s(t) zodanig kiezen, dat het nut u over zijn hele loopbaan maximaal wordt. De wiskundige oplossing van dit probleem kan worden gevonden met een standaard techniek, te weten het opstellen van de zogenaamde Hamiltoniaan H(s(t), k(t)). De Hamiltoniaan vervangt de bekende Lagrangiaan L, wanneer het optimalisatie-probleem dynamisch is (afhankelijk van de tijd t). Uw columnist zal de lezer niet vervelen met de uitwerking van dit optimalisatie probleem5. Op p.76 en verder in LE wordt het verloop van s(t) weergegeven voor twee gevallen met specifieke waarden van α, β, λ, r, k(0), T en κ. Bijvoorbeeld: het rendement is 5%. De veronderstelling is, dat de individu begint met leren op zijn vijfde jaar, en dat geldt als het tijdstip t=0. Hij heeft dan al een menselijk kapitaal van k(0)=5. Het pensioen is gepland op 65 jaar (5+60; T=60).

In het eerste geval is de uitkomst, dat de individu continu studeert (s=1) tot aan zijn drie-en-twintigste (5+18) jaar. Daarna neemt s af, eerst snel, en geleidelijk langzamer. Zie de figuur 2. Het punt s=½ wordt bereikt bij 37 (5+32) jaar, en bij 63 (5+58) jaar wordt s=0. Kennelijk is het mogelijk om door een geschikte keuze van de constanten het leven van een hoger opgeleide te modelleren. Aangezien het model leidt tot de berekening van s(t), kunnen vervolgens ook k(t) en w(t) worden uitgerekend. Bovendien slaagt dit model er in om het leven van iemand met een middelbare opleiding te modelleren, door simpelweg een lagere waarde te kiezen voor κ (κ=0.4 in plaats van 0.5) (p.78 in LE). Deze individu zal sneller zijn studie-inspanning verminderen. Het continu leren eindigt op 17 (5+12) jaar. Het punt s=½ wordt bereikt bij 33 (5+28) jaar. De overeenkomst met de realiteit is indrukwekkend. Natuurlijk wil dit niet zeggen, dat al de gemaakte aannames deugen.


Een alternatief model van investeren in menselijk kapitaal

De grondleggers van de school van het menselijk kapitaal zijn J. Mincer, Th. Schultz en G.S. Becker. De paragraaf 2.4.1 in Labor economics behandelt de modellen, die Mincer heeft voorgesteld. Zij zullen hier worden uitgelegd. Stel de individu heeft op het tijdstip ξ een loon w(ξ). Stel dat hij nu onderwijs gaat volgen, en als onkosten O enkel het verloren inkomen w rekent. Dankzij het onderwijs zal zijn loon nadien stijgen met Δw. De individu zal indifferent zijn voor leren of werken, indien geldt dat het leren een extra nut u=0 oplevert. In deze situatie kan opnieuw de formule 2 worden toegepast. Het rendement voor u=0 wordt het interne rendement van het onderwijs genoemd (internal rate of return). Echter begint de individu op het tijdstip ξ met de evaluatie van de baten, en niet op het tijdstip 0. De studieduur τ blijft nog even onbepaald. Dien ten gevolge verandert de formule 2 in (p.86 in LE)

(11)     u = 0 = -w(ξ) + ∫ξT  e-r×(t-ξ) × Δw dt

Uitvoeren van de integratie in de formule 11 geeft

(12)     Δw / w(ξ) = r / (1 − e-r×(T-ξ))

Als het pensioen T nog ver weg is, dan is T veel groter dan ξ. Tijdens het volgen van onderwijs is bij benadering Δw / w(ξ) = r. Integreer dit over de studieduur τ, dan vindt men w(τ) = w(0) × er×τ. Deze formule drukt de stijging van het inkomen uit dankzij het onderwijs. Mincer probeert met de formule om de Amerikaanse inkomens in het jaar 1959 te verklaren, en vindt de empirische waarde r=7% (p.87 in LE). Echter de correlatie-coëfficiënt is teleurstellend laag. Dat is ook wel logisch, omdat in werkelijkheid de lonen blijven stijgen gedurende de hele loopbaan. Daarom ontwikkelt Mincer een alternatief model, dat rekening houdt met de ervaring, die wordt opgedaan op de werkplek. De individu doorloopt eerst een studieperiode τ, en accumuleert daarin een menselijk kapitaal k(τ). Net zoals bij de redenatie van zonet direct na de formule 12 komt men tot de formule k(τ) = k(0) × er×τ.

Zij nu ξ de tijd, die is verstreken, sinds hij is gaan werken. Als de studie begon op het tijdstip 0, dan is dus t=τ+ξ. Gedurende de tijd ξ op het werk doet de individu leer-ervaringen op, en verwerft vaardigheden. Een deel van de werkzaamheden is routine-matig, zodat slechts een fractie s(ξ) bijdraagt aan de vergroting van het menselijk kapitaal k. Zij μ het leervermogen van de individu tijdens zijn werkzaamheden, dan resulteert een analogie van de formule 3 (p.87 in LE):

(13)     ∂k(t)/∂t = μ × s(ξ) × k(t)

De formule 13 is niet exact oplosbaar. Daarom veronderstelt Mincer, dat geldt s(ξ) = σ × (1 − ξ/T). Hierin is σ een constante tussen 0 en 1. Deel het linker- en rechter-lid van de formule 13 door k, en integreer ξ van 0 tot x. Het resultaat is

(14)     k(τ+x) = k(τ) × eμ×σ×(x − ½×x²/T)

Men kan nog de expressie voor de ontwikkeling van k(τ) invullen in de formule 12. In analogie met het model uit de voorgaande paragraaf wordt het loon op t=τ+x berekend als w(τ+x) = λ × (1 − s(x)) × k(τ+x). De term 1-s(x) is toegevoegd, omdat is verondersteld, dat de individu wordt gekort op zijn loon vanwege het ervaringsleren. Aldus leidt men tenslotte de volgende formule af

(15)     w(τ+x) = λ × (1 − s(x)) × k(0) × er×τ × eμ×σ×(x − ½×x²/T)

Zo men wil, kan λ × k(0) nog worden gedefineerd als het loon w(0), dat een ongeschoolde individu zou ontvangen. Mincer heeft ook deze formule toegepast op de gegevens over de Amerikaanse inkomens in het jaar 1959. Hij vindt dan de empirische waarden r=11% en μ×σ=8%. Aangezien σ<1, moet gelden μ>8%. De schatting met de formule 15 blijkt een veel betere correlatie coëfficiënt te geven dan de formule 12 (p.87 in LE). Het moet worden toegegeven, dat het model van Mincer wat minder elegant is dan het model uit de voorgaande paragraaf. Maar het blinkt uit door eenvoud.


Het vraag-aanbod model van Tinbergen

Een voorgaande column besprak al kort het vraag-aanbod model van Tinbergen. In deze paragraaf zal het model nader worden uitgelegd. Geraadpleegd is het boek Income distribution (afgekort ID). Bovendien zijn her en der commentaren opgenomen uit het boek De prijs van gelijkheid (afgekort PG)6.

Tinbergen meent, dat de spreiding in het gevolgde onderwijs een essentiële oorzaak is van de ongelijkheid in de inkomens. Aldus beschikt de staat met het onderwijs over een instrument om de maatschappij gelijker te maken (p.151 in ID). Met name moet het welzijn (welfare) van de diverse categorieën werkers gelijk zijn7. Tinbergen meet dat welzijn met een cardinale nutsfunctie, die al is behandeld in een eerdere column8. Het individuele nut wordt bepaald door de eigenschappen tk van de individu k, en door de eisen sk van zijn werk. Op deze manier heeft Tinbergen een model van de arbeidsmarkt ontwikkeld. De huidige paragraaf past dit model enigszins aan om een theorie van onderwijs-beleid af te leiden. Dan is tk de opleiding van de individu k, en sk is de opleidings-eis van zijn positie op het werk. Stel dat k een loon yk ontvangt. De nutsfunctie van de individu is nu (p.60 en 62 in ID)9

(16)     u(t, s) = ln(y − c0×s − c1×t − c2 × (s − t)²)

Kwartetkaart Unicef
Figuur 3: Kwartetkaart
        Unicef

In de formule 16 zijn c0, c1 en c2 constanten, die empirisch moeten worden bepaald. De formule 16 heeft een duidelijke verwantschap met de theorie van het menselijk kapitaal. Immers, naarmate de individu k langer doorleert, wordt t groter, en dat moet worden gecompenseerd met een hoger loon y 10. Het model van Tinbergen kent drie soorten onderwijs: primair (t=1), secundair (t=2), en tertiair (t=3). Karakteristiek voor de formule 16 is, dat het werk (s) van de individuen lang niet altijd samenvalt met hun opleiding t. Deze gebrekkige koppeling leidt tot een onvrede of spanning bij k, die wordt uitgedrukt door de kwadratische term. Toen Tinbergen zijn model ontwierp, in de vroege jaren 70, was de spanning vooral een gevolg van de schaarste aan hoger opgeleiden. Daardoor moesten lager opgeleide werkers functies accepteren, waarvoor zij eigenlijk onvoldoende waren geschoold.

Men kan de formule 16 zo interpreteren, dat zij het nut beschrijft van een representatieve werker met opleiding t. In de simpelste situatie is deze werker indifferent tussen de posities s=t en s=t-1. Hij is bereid om een positie boven zijn kunnen te accepteren, want het loon compenseert steeds geheel voor de spanning. Men vindt hiervoor uit de formule 16 bij een gegeven t de voorwaarde Δy = ys+1 − ys = c0 + c2 × (1 + 2×(s − t)) (p.62 in ID). De vele persoonlijke eigenschappen van de werker zijn irrelevant. Wel verdeelt het model de werkers nog in categorieën volgens hun mate van persoonlijke zelfstandigheid z (p.63). Een individu heeft een z van 0, 1 of 2. De meest zelfstandige karakters (z=2) vinden vanzelf werk in het management of in de vrije beroepen. De zelfstandigheid heeft geen invloed op het nut uk, behalve natuurlijk via de loonhoogte. Zij is enkel nodig (en onmisbaar!) voor de ordening van de empirische gegevens.

De formule 16 en de theorie van het menselijke kapitaal beschrijven in beginsel de aanbodzijde van de arbeidsmarkt. Echter de termen met s in de formule 16 laten zien, dat de vraagzijde evenzeer belangrijk is. Juist de onzekere vraag maakt het volgen van onderwijs enigszins riskant, waardoor het een speculatieve investering is. Daarom ontwikkelt Tinbergen een vraag-aanbod model, dat de beiden zijden van de markt beschrijft (p.151 in ID). Er zijn drie beroeps-posities s=1, 2 en 3, waarbij de waarde van s tevens de vereiste scholing aangeeft. Tinbergen veronderstelt, dat hogere opleidingen dermate schaars zijn, dat altijd is voldaan aan t≤s. Bovendien is er een ondergrens t≥s-1. Definieer nst als de fractie van de beroepsbevolking, die werkt in de positie s en een scholing t heeft. Dan moet gelden n11 + n21 + n22 + n32 + n33 = 1. De verdeling van scholing wordt gegeven door ν1 = n11 + n21, ν2 = n22 + n32, en ν3 = n33.

Tinbergen schrijft nu de vraagzijde als een productie-functie van het Cobb-Douglas type met de gedaante (p.82 in ID)11

(17)     Y = C × (n11 + π21 × n21)ρ1 × (n22 + π32 ×n 32)ρ2 × n33ρ3 × Kρ4

Hier is Y een productie-functie op het macro-niveau. Zij definieert de economische structuur, inclusief de gangbare productie-technieken. Er zijn vier productie-factoren, te weten werkers met een scholing t=1, 2 en 3, alsmede de factor kapitaal K. De factor kapitaal speelt geen rol in dit model, omdat K en de macht ρ4 constant worden gehouden (p.83). De eerste en tweede term in de formule 17 sommeren elk de werkers met t=s en t=s-1. De werkers met scholing t, die werken in de sector s=t+1, bevinden zich in een relatief hoge positie (voor hun opleiding). De factor πs,s-1 drukt uit, dat de werkers met scholing t en een positie s=t+1 productiever zijn dan dezelfde werkers met een positie s=t. Met andere woorden, er geldt πs,s-1 > 1. De hogere positie werkt als het ware arbeids-versterkend.

Tinbergen veronderstelt, dat de productie-functie lineair-homogeen is, zodat er geldt ρ1 + ρ2 + ρ3 + ρ4 = 1. Het is algemeen bekend, dat voor zo een geval de waarde ρj het aandeel van de productie-factor j in de opbrengst Y weergeeft. Daarom legt de formule 17 de primaire inkomens van de drie typen werkers (t=1, 2 en 3) vast. Zij worden voor t=1 (s=1 en 2) en 2 (s=2 en 3) gegeven door (p.87)

(18a)     yt,t = ρt × Y / (nt,t + πt+1,t × nt+1,t)
(18b)     yt+1,t = ρt × πt+1,t × Y / (nt,t + πt+1,t × nt+1,t)

Voor t=3 vindt men y33 = ρ3 × Y / n33. De vraag- en aanbod-zijde van de arbeidsmarkt zijn in evenwicht, wanneer geldt Δyt = yt+1,t − yt,t = c0 + c2. Veronderstel nog, dat πt+1,t alleen afhangt van nt+1,t (p.86)12. Bij een gegeven verdeling νk van de scholing kan men nu berekenen, hoe groot de fracties van werkers n21 en n32 zijn, die boven hun kunnen willen werken. Dit voltooit het onderwijs-model van Tinbergen. Men kan nivelleren door via het onderwijs-beleid te zorgen, dat νk nadert tot het verdeelde inkomen ρk, dat wordt bepaald door de economische structuur. Immers, daarmee wordt de schaarste van productie-factoren verminderd (p.114 in ID). Dit lukt alleen, wanneer inderdaad de bevolking beschikt over voldoende intrinsiek leervermogen (p.114). Ook laat Tinbergen zien, wat de effecten zijn van een progressieve loonbelasting (p.110). Dan wordt het secundaire inkomen ηst bepalend voor de beslissing om boven het eigen kunnen te werken.

Het vraag-aanbod model van Tinbergen heeft het voordeel, dat er een maatschappelijke welvaartsfunctie W kan worden geformuleerd. Tinbergen kiest voor de utilitaristische welvaartsfunctie, met gelijke gewichten voor alle individuen. Dan krijgt zij de vorm (p.117 en verder in ID)

(19)     W(u) = Σt=13  Σs=t3  nst × u(t, s)

In de formule 19 is n31 = 0 wegens t≥s-1. Stel er wordt een belasting τst geheven, zodanig dat het secundaire inkomen gelijk is aan ηst = yst − τst. Dan wordt het maatschappelijke optimum van W gevonden door nst, ηst en Y te variëren. Tinbergen rekent dit uit met de empirische gegevens van Nederland in 1962. Gewoonlijk leidt de optimalisatie van een utilitaristische W niet tot gelijke individuele nutten (hoewel Tinbergen dat nodig vindt omwille van de billijkheid). Echter in het vraag-aanbod model van Tinbergen is u(s, t) wèl gelijk voor alle groepen (s, t) (p.119 en 132 in ID)13. Voor de optimale W blijkt, dat bij een gegeven t de belasting τst niet meer afhangt van s. Dit betekent, dat de belasting louter wordt bepaald door het individuele leervermogen. Een dergelijke belasting noemt men een som ineens (in het Engels lump sum), omdat zij binnen een t-groep onafhankelijk is van het inkomen.

Kwartetkaart Vrouwenbond FNV
Figuur 1: Kwartetkaart
    Vrouwenbond FNV

Tinbergen merkt op, dat men een dergelijke optimalisatie van W kan doorvoeren met twee verschillende aannames. De eerste manier veronderstelt, dat het doorleren structureel wordt ingeperkt door het individuele leervermogen, en houdt daarom de νk constant. Dan blijkt τst sterk progressief te worden naarmate t stijgt, met zelfs een negatieve belasting (dat wil zeggen, een subsidie) voor de laagste groep t=1 (p.120). Dit nivelleert de secundaire inkomens aanzienlijk. Tinbergen merkt op, dat de zo berekende cijfers redelijk overeenkomen met de realiteit in Nederland. De tweede manier laat de individuen doorleren totdat geldt s=t, en alle spanning uit de arbeidsmarkt is verwijderd. Met andere woorden, er geldt n21 = n32 = 0. Op deze manier kan ηtt nog verder worden genivelleerd (p.121). Uiteraard stijgt tevens het opleidings-niveau van de bevolking. Een dergelijk beleid komt overeen met de verlaging van het individuele rendement van onderwijs-investeringen (p.177 in PG).

Tinbergen benadrukt, dat in zijn model de economische structuur (de productie-functie Y) niet verandert. In werkelijkheid schept de technische vooruitgang een groeiende vraag naar hoger opgeleiden. Daardoor zal de ρ3 in de formule 17 groter worden. Het rendement op hoger onderwijs stijgt. Aldus raken het onderwijs-beleid en de technische vooruitgang verwikkeld in een race, waarbij het effect op de maatschappelijke ongelijkheid niet bij voorbaat duidelijk is (p.156 in ID). Tinbergen, die rotsvast gelooft in centrale planning, pleit er voor om de technische ontwikkeling zodanig bij te sturen, dat er geen selectieve schaarste ontstaat op de arbeidsmarkt (p.156 en verder in ID)! Hier toont Tinbergen zich een traditionele sociaal-democraat. Tegenwoordig vindt deze visie weinig bijval meer. De tegenwoordige standaardwerken over de volkshuishouding pleiten allemaal voor marktwerking in het hoger onderwijs en in het onderzoek14.

Voorts acht Tinbergen denkbaar, dat de verdeling νt wordt bepaald door het aangeboren leervermogen in de bevolking (p.121, 148 in ID). Hij veronderstelt, dat men wellicht belasting kan heffen op zulke aangeboren talenten! Zelfs uw columnist, die toch een warm aanhanger is van psychologisch onderzoek, vindt dit een irreëel voorstel. Er bestaan geen betrouwbare metingen van talent. En de scheiding tussen aangeboren en aangeleerd talent is diffuus. Het aanleren van talent moet niet worden ontmoedigd (p.195 in PG)15. Jacobs waarschuwt op p.199 in PG, dat hoge subsidies voor universiteiten zullen leiden tot over-investeringen in onderwijs en tot welvaartsverliezen. Bovendien zijn zij regressief, en dat vergroot juist de ongelijkheid (p.199 in PG). Op p.200 in PG geeft hij de voorkeur aan het nivelleren door middel van progressieve belastingen. In het algemeen is de utopische hang naar gelijkheid (van inkomens) verdwenen uit de wetenschap.

Samenvattend: het vraag-aanbod model plaatst de theorie van het menselijk kapitaal en van screening in een veel breder macro-economisch kader. Dankzij de productie-functie kan het model het rendement van onderwijs-investeringen berekenen. Immers, dat rendement hangt mede af van de schaarste van hoger opgeleiden. Dit alles maakt het model theoretisch waardevol. Men raakt onder de indruk van de vindingrijkheid. Maar het model heeft ook de ambitie om practisch toepasbaar te zijn. Het behoort tot de econometrie, net zoals het model van Mincer. Dat verdient een commentaar.

Het model geeft een redelijke beschrijving van de Nederlandse arbeidsmarkt. Des al niettemijn zijn de vereenvoudigingen en veronderstellingen in het model nogal gedurfd, en staan zij soms op een gespannen voet met de algemeen heersende theoretische opvattingen. De waarde van een dergelijk empirisch model zetelt vooral in de mogelijkheid om accurate numerieke voorspellingen te kunnen doen. Helaas faalt het vraag-aanbod model soms. Op p.74 in ID constateert Tinbergen, dat de nutsfunctie (formule 16) wel bruikbaar is voor de Amerikaanse staat Illinois, maar niet voor Texas en South-Carolina. In die laatste twee staten vindt het model een negatieve waarde van de spannings-constante c2, zodat de spanning zou leiden tot een positief individueel nut (p.74 in ID)! Voorts is een slecht teken, dat het model weinig wetenschappelijke bijval heeft gekregen. Het model is evenmin gangbaar geworden in de beleidsplanning als instrument voor numerieke berekeningen.

  1. Zie hoofdstuk 2 in Labor economics (2004, The MIT Press) van P. Cahuc en A. Zylberberg. Dit boek is geavanceerd, en beschrijft allerlei wiskundige modellen. Uw columnist kocht het van een Duitse wetenschapper, via Amazon. (terug)
  2. Als O en L geldsommen zijn, dan wordt u de de netto huidige waarde (nett present value) genoemd. Zie p.43 in A concise introduction to engineering economics (1988, Unwin Hyman) van P. Cassimatis. Uw columnist las dit boek 21 jaren terug, toen hij nog een loopbaan in het waterbeheer nastreefde. Nu komt deze kennis toch van pas - al kan een berekening van het rendement beter achterwege blijven. (terug)
  3. Zie p.10 in A concise introduction to engineering economics. Deze relatie is ongetwijfeld eenvoudig af te leiden, maar uw columnist besteedt er nu even geen tijd aan. (terug)
  4. Namelijk, de formule 6 kan worden herschreven tot ∂u/∂τ = w(ξ) × eκ×τ-r×(ξ+τ) × ((1 − e-r×(T-ξ-τ)) × k/r − 1). Wanneer deze expressie wordt gedifferentieerd naar ξ, en er gebruik wordt gemaakt van de formule 7, en die van w(ξ) en k(ξ), dan vindt men na enig schrijfwerk de formule 9. (terug)
  5. En om eerlijk te zijn: het is alweer veertig jaren terug, dat uw columnist kennis maakte met de vergelijkingen van Hamilton, als onderdeel van een natuurkunde studie. Kennelijk is er inderdaad een afname van menselijk kapitaal, wanneer dat niet wordt vernieuwd. (terug)
  6. Zie Income distribution (1975, North-Holland Publishing Company) van J. Tinbergen, en De prijs van gelijkheid (2015, Prometheus - Bert Bakker) van B. Jacobs. (terug)
  7. De maatschappelijke gelijkheid is niet het thema van deze column. Toch loont het de moeite om kort de argumenten van Tinbergen voor gelijkheid op te sommen. Volgens p.129 en verder in Income distribution zijn individuen principieel gelijkwaardig. Daarom hebben zij recht op een gelijk nut of welzijn, dat wil zeggen, op een gelijk maatschappelijk bepaald geluk. Met name maakt elke beroepsgroep aanspraak op hetzelfde welzijn. De individu blijft zelf verantwoordelijk voor zijn private geluk. Overigens geeft Tinbergen op p.130 toe, dat in de practijk het private en maatschappelijke geluk moeilijk zijn te scheiden. Het criterium van billijkheid blijft abstract. Voorts is nu al de practijk, dat politici in hun beleid rekening houden met het nut van elke groep in de bevolking (p.130). Kennelijk is er een aangeboren aversie tegen maatschappelijke ongelijkheid. (terug)
  8. Income distribution verwijst met instemming naar de nutsmetingen van de Nederlandse econoom B.M.S. van Praag. Uw columnist tekent hier bij aan, dat zulke metingen uiterst moeilijk zijn, omdat men daarvoor de dominante invloeden op het nut moet opsporen. Vaak zijn er tal van invloeden, die bovendien worden bepaald door de specifieke omstandigheden van plaats en tijd. (terug)
  9. Het is belangrijk om te beseffen, dat de formule 16 is bedoeld voor empirische studies. Zij is niet het resultaat van een rigoureuze theoretische redenatie. Aldus vermeldt Tinbergen op p.73 van Income distribution, dat hij ook berekeningen heeft uitgevoerd met een nutsfunctie, waarin (s − t)² is vervangen door |s − t|. Hij heeft die variant verworpen, omdat die berekeningen geen zinvolle resultaten opleverden. En in zijn eerdere poging om de arbeidsmarkt te modelleren is u = ln(y) − c × (s − t)², zodat de kwadratische term buiten de logaritme blijft. Daarom vindt G. Blümle in Theorie der Einkommensverteilung (1975, Springer Verlag) het model theoretisch van twijfelachtige waarde. In feite is de formule 16 louter empirisch, gebaseerd op vallen en opstaan (trial-and-error). (terug)
  10. Op p.61 in Income distribution wordt dit kenmerk verwijderd uit het model, omdat wordt gekozen voor c1=0. (terug)
  11. Het model wordt ook beschreven in de paragrafen II.6 en II.7 van Naar een rechtvaardiger inkomensverdeling (1975, Uitgeversmaatschappij Agon Elsevier) van J. Pen en J. Tinbergen. (terug)
  12. Tinbergen neemt aan, dat er geldt πs,s-1 = 1 + μ×ns,s-1, met μ>1. De achterliggende idee is, dat de werkers met t=s-1 allereerst worden geplaatst in de minst productieve posities s. Naarmate meer werkers t=s-1 boven hun kunnen werken, worden zij vanzelf geplaatst in de meer productieve posities s. De gekozen vorm van πs,s-1 is louter empirisch. (terug)
  13. De optimale W heeft een gelijk nut u voor alle (s, t) dankzij de keuze voor de formule 16 (p.132 in Income distribution). De maximalisatie van W verloopt via de methode van Lagrange (p.118). Dan blijken alle ∂u(t, s)/∂ηst gelijk aan elkaar te worden (p.119). Juist in dit model leidt dat tot een constant nut. (terug)
  14. Uw columnist heeft zich met name verdiept in The economics of the welfare state (2004, Oxford University Press) van N. Barr, Économie et finances publiques (2017, Economica) van L. Weber, M. Zarin-Nejadan, en A. Schönenberger, Economics of the public sector (2000, W.W. Norton & Company, Inc.) van J.E. Stiglitz, en natuurlijk De prijs van gelijkheid. Barr, die gewoonlijk een genuanceerd betoog houdt, heeft ronduit een afkeer van centrale planning. Op p.336 in Economics of the welfare state stelt hij, dat de centrale planning de kwaliteit van het hoger onderwijs schaadt. Zij belemmert het functioneren van het prijs-mechanisme. Op p.342 verlangt hij, dat de staat zich niet meer bemoeit met de hoogte van het universitaire lesgeld. Hij noemt dat "the end of communism"! (terug)
  15. De prijs van gelijkheid is een moeilijk boek. Als uw columnist het goed begrijpt, dan acht Jacobs een lump-sum belasting onhaalbaar. Belastingen zijn altijd enigszins inkomens-afhankelijk. Maar zodra dit het geval is, ontmoedigen hogere belastingen zowel het werken als het doorleren. (terug)