Normen in de rationele keuze leer

Plaatsing in Heterodoxe Gazet Sam de Wolff: 15 maart 2016

E.A. Bakkum is beroepsmatig werkzaam bij het Sociaal Consultatiekantoor, waar hij de functie van zaakwaarnemer vervult. Hij denkt graag na over de arbeiders beweging.

Elke maatschappij regelt het menselijke gedrag door een eigen moraal te ontwikkelen. De moraal doordringt ook de economie, en bepaalt daar mede de doelmatigheid en de maatschappelijke welvaart. Nochtans is weinig bekend over de ontstaanswijze van normen. De huidige column verklaart normen met behulp van de rationele keuze leer. Daartoe wordt de waarde rationaliteit geanalyseerd. Er wordt uitgelegd hoe normen kunnen worden gehandhaafd. Het opleggen van sancties ligt voor de hand, maar ook verinnerlijking is denkbaar. Diverse wiskundige modellen worden behandeld.

Sinds ruim een jaar verschijnen er in de Gazet ook regelmatig columns over de politieke economie. Dat is niet te wijten aan een afnemende belangstelling voor de economie, want die blijft uw columnist onverminderd fascineren. De verbreding van de stof komt simpelweg voort uit het onmiskenbare gegeven, dat de politiek meestuurt bij de ontwikkeling van markten. Wie de economie wil begrijpen, moet inzicht hebben in haar maatschappelijke inbedding1. Bovendien is uw columnist opgegroeid met een belangstelling voor staats-interventies, zoals die waartoe de originele sociaal-democratie heeft aangespoord. In dit kader kan worden herinnerd aan het nogal extreme Leninistische experiment, dat zijn stempel heeft gedrukt op de twintigste eeuw, en de economie en de politiek helemaal vermengde. Aldus heeft de Gazet al in een column van 2013 voor het eerst gereflecteerd op de wisselwerking tussen maatschappelijke factoren en de economie.

Deze vroege column van 2013 introduceert twee interessante denkers, te weten de econoom Paul Frijters en de socioloog Heiner Ganßmann, die de toon zetten voor de latere beschouwingen van de Gazet. Frijters en Ganßmann constateren, dat markten niet voldoen aan het ideaalbeeld, dat het liberalisme hen traditioneel toedicht. Integendeel, markten kennen allerlei gebreken, die leiden tot een desintegratie van het systeem, tenzij zij worden beteugeld door een toezichthouder. Intussen is algemeen bekend, dat markten tal van externe effecten veroorzaken, dat wil zeggen, onbedoelde bijwerkingen op allerlei maatschappelijke groepen. Vervolgens moeten die groepen hun eigen belang gaan verdedigen, en dat lukt gewoonlijk niet via marktprocessen. Het uitgangspunt van alle marktregulering blijft de collectieve organisatie. Zij leidt allereerst tot staatsvorming.

De staat verordent wetten, zoals het straf- en privaat-recht, die het handelen van de burgers reguleren. Dankzij zijn monopolie op het geweld kan de staat deze wetten handhaven tegenover allerlei belangengroepen. Aangezien de politiek corrigerend kan ingrijpen dankzij de staatsmacht, krijgt zij hier haar bestaansrecht. Helaas is het uiterst lastig om markten bij te sturen op een doelmatige manier, omdat de werking van markten nog slecht wordt begrepen. Ondanks alle pogingen tot analyse blijven de macro-economie, de maatschappij, de cultuur, en de politiek een zwarte doos. Ook de staat is in essentie een orgaan op het macro-niveau. In de moderne industrielanden heeft men aanvankelijk de sturing willen gieten in de vorm van een centraal plan. Onze landgenoot Jan Tinbergen heeft een baanbrekende rol gespeeld in dit plandenken. Echter de ervaringen tonen aan, dat dit instrument veel te star en primitief is om het marktfalen bevredigend op te lossen.

Daarom zijn economische wetenschappers halverwege de twintigste eeuw gaan zoeken naar een meer verfijnd instrumentarium van economische interventie. Dankzij de wetenschappelijke vooruitgang begint men eindelijk enige grip te krijgen op deze collectieve fenomenen, en wel door de argumentatie daadwerkelijk te beginnen op het micro-niveau van handelaren en ondernemingen. Deze aanpak wordt aangeduid als het methodisch individualisme2. Het uitgangspunt bij dit relatief nieuwe denken blijft het mensbeeld van de homo economicus, die al zozeer domineert in de klassieke economie. De homo economicus is een berekenende handelaar en een egoïst pur sang, enkel gericht op zijn eigen overleven. Echter hij wil zich beschermen tegen de externaliteiten van zijn medemensen, en hij zoekt die tegenmacht in de collectieve organisatie.

De intrigerende vraag is hoe de mens als rabiate individualist in staat is om dit soort collectieve organen te scheppen. Immers de mens als homo economicus is gericht op het maximaal maken van zijn eigen nut of tevredenheid. De huidige column wil de richting schetsen, waar de wetenschap zoekt naar antwoorden3. Een belangrijke wetenschappelijke doorbraak is de zogenaamde rationele keuze leer (afgekort RKL, in de Engelse taal rational choice theory). Volgens de RKL kan de tevredenheid ui van een handelaar i worden voorgesteld door de formule4

(1)     ui(ci1, ci2, ..., ciM, t) = Σj=1M   xji × ln(cij(t))

In de formule 1 is cij(t) de hoeveelheid van het goed j, dat de handelaar i in eigendom heeft op het tijdstip t. De grootheid xji is een positieve constante, die weergeeft hoe groot de behoefte van de handelaar i aan het goed j is. De formule 1 laat zien hoe markten kunnen worden gereguleerd. Organen op het macro niveau moeten wetten en regelgeving realiseren, die zodanig inwerken op de hoeveelheden cij(t), dat de externaliteiten bij het individuele handelen positief gaan uitpakken voor de maatschappij als geheel. De veronderstelling van de individuele nuts-optimalisatie impliceert, dat de handelaren zich rationeel gedragen, waardoor de regulering een voorspelbare uitwerking heeft. Dit wordt de instrumentele rationaliteit genoemd, of ook wel het consequentialisme. Dit model van de RKL blijkt wetenschappelijk vruchtbaar te zijn, en heeft geleid tot vele nieuwe inzichten.

Stroomschema van pluralisme
Figuur 1: Communicatiestromen in het
                pluralisme
   U(k) = doelfunctie; L(k) = leider k;
   W = keuzefunctie van kiezers

Nochtans kan de RKL niet het laatste woord zijn. Immers de formule 1 suggereert, dat de voorkeuren en behoeften van de individu onveranderlijk zijn. Zijn motieven zijn verankerd in de constanten xji. Echter in werkelijkheid doorloopt elke individu i tijdens zijn leven een voortdurende ontwikkeling, waarin zijn natuur xji zich aanpast bij zijn omgeving. De ervaring leert dat ook deze aanpassing nuttig kan zijn voor de individu, en als zodanig rationeel kan zijn. Echter de aanpassing is niet meer te herleiden tot de instrumentele rationaliteit. Daarom wordt zij ter onderscheiding de waarde rationaliteit genoemd, of ook wel axiologische rationaliteit5. Dit soort gedrag grijpt in bij de persoonlijke normen en waarden van de individu. Het is ingrijpend, en soms ronduit pijnlijk, omdat de individualiteit deels wordt prijs gegeven. Het collectieve belang dringt door in het eigen nut. Frijters gebruikt hiervoor de term toewijding.

Ter illustratie van de waarde rationaliteit is het aardig om terug te blikken naar een voorgaande column over de ideologie van de sociaal-democratie. Daarin wordt een model gepresenteerd van communicatie stromen in een maatschappij met een pluralistische politiek. Het model wordt grafisch afgebeeld, en gemaks halve hier herhaald in de figuur 1. Men ziet hoe in de staat de individuen zich organiseren tot allerlei belangen groeperingen (vandaar pluralisme). In de organisatie van type k worden de individuele nutsfuncties van de formule 1 omgezet in een collectieve doelfunctie U(k). Er wordt een leider L(k) benoemd, die de doelfunctie moet uitdragen, bijvoorbeeld in een politieke coalitie. Als er sprake is van een evenredige democratie, dan zullen de burgers tezamen in een verkiezing bepalen welke samenstelling de coalitie heeft. Dankzij de verkiezing worden ook de individuele nutsfuncties W van de ongeorganiseerde burgers gehoord.

Zowel de organisatie van individuen als de verkiezing zijn processen, die vanuit het micro niveau controle uitoefenen op het macro niveau. Voor de huidige column over de waarde rationaliteit is nu de dikke zwarte pijl in de figuur 1 relevant. Immers die stelt precies de omgekeerde communicatie stroom voor: de controle van het macro niveau op het micro niveau. Juist deze stroom maakt het mogelijk om het gedrag van de individuen te reguleren, onder andere op de economische markt. De leiders L(k) formuleren tezamen een regerings beleid. Daarbij kunnen de beleids maatregelen zich zowel richten op de instrumentele rationaliteit als op de waarde rationaliteit. In het eerste geval past de individu zijn handelen aan bij het beleid, omdat daardoor zijn nut toeneemt. Hierdoor wijzigen zijn hoeveelheden cij(t). In het tweede geval past de individu zijn normen aan bij het beleid, waarbij dus de voorkeuren xji(t) wijzigen. Aldus wijzigt de individu i de structuur van zijn eigen nutsfunctie ui.

De instrumentele rationaliteit kan vrij eenvoudig worden gemodelleerd met als uitgangspunt de individu, die zijn nut maximaal maakt. Voorgaande columns in de Gazet hebben hiervan al voorbeelden gegeven. Echter de waarde rationaliteit is complexer van karakter. Daarom wordt zij behandeld in een aparte paragraaf.


Waarde rationaliteit

De huidige paragraaf handelt over drie visies op waarde rationaliteit, van de sociologen R. Boudon en J.S. Coleman, en van de econoom P. Frijters. Boudon geeft een voorstelling, die nogal filosofisch is, en weinig practische betekenis heeft. Nochtans schept zij een aardig denkkader. Boudon klaagt over de "zwarte doos" benadering, die vrij gangbaar is in de mens wetenschappen. Zij stelt dat het menselijke handelen wordt voorgeschreven door de feitelijke randvoorwaarden (de doos), zoals de menselijke natuur, de cultuur, of allerlei historisch gegroeide instituties. Aldus wordt weliswaar de werkelijkheid beschreven, maar een verklaring van de doos zelf blijft uit. Boudon werpt tegen, dat er altijd logische oorzaken zijn aan te wijzen voor de ontwikkelingen. Hij stelt dat beroemde sociologen zoals Alexis de Tocqueville, Max Weber en Emile Durkheim allen hun analyses funderen op de menselijke rationaliteit. Boudon is dan ook een warm voorstander van de RKL.

Echter hij erkent dat de RKL lastig toepasbaar is op handelingen, waar de waarde rationaliteit domineert. Zulke situaties wil hij analyseren met het concept van de objectieve waarnemer, dat oorspronkelijk afkomstig is van de beroemde Engelse moraal filosoof Adam Smith. Dit betekent eenvoudig, dat individuen de realiteit onpartijdig kunnen inschatten. Aldus is er voor elk probleem slechts één oplossing de beste. En de mens zal die oplossing kiezen. Men kan ook in navolging van Emile Rousseau zeggen, dat er een universele wil bestaat. Dien ten gevolge kan men logische oorzaken aanwijzen voor alle menselijke normen, waarden, en wet- en regel-geving. Het is de taak van de wetenschap om deze rationaliteit in de maatschappelijke ontwikkeling te ontsluieren. Boudon noemt deze wetenschappelijke aanpak enigszins pretentieus de algemene rationaliteits theorie. De RKL is hiervan een bijzonder geval, namelijk wanneer de rationaliteit instrumenteel is.

Boudon houdt vast aan het principe van de RKL, dat de fenomenen op het macro niveau moeten worden verklaard vanuit het individuele handelen op het micro niveau. Rationaliteit is voor hem het "gezonde verstand", in het gewone leven net zo goed als in de wetenschap6. Dien ten gevolge wordt een besluit soms gefundeerd op billijkheid, en niet op een optimalisatie van nut. Hoewel het denkkader van Boudon interessant is, ziet uw columnist ook bezwaren. Allereerst kunnen de diverse alternatieve verklaringen van een fenomeen allemaal even logisch klinken. Er kan dan geen beste worden gekozen. Bijvoorbeeld prijst Boudon het liberalisme aan, hoewel toch velen een andere politieke voorkeur hebben7. Een gangbaar bezwaar tegen de algemene rationaliteits theorie is, dat zij nauwelijks empirisch kan worden getoetst. Daarom zal nu worden gekeken, of de theorie van Frijters wellicht vruchtbaarder is.

Normen en waarden zijn niet per se een fenomeen op het macro niveau, maar ligt het voor de hand dat ze collectief zijn. Ze krijgen betekenis, doordat zij worden gedeeld met anderen. De vraag is nu hoe individuen er toe komen om normen en waarden te verinnerlijken. Frijters stelt ter verklaring, dat de individuen van nature geneigd zijn tot toewijding (in de Engelse taal love) aan groepen. Deels is dit zelfs een onbewust proces. Bij toewijding worden de belangen van anderen opgenomen in de eigen nutsfunctie. Toewijding is een vorm van socialisatie, waarbij soms enige groepsdwang nodig is. Dan begint de opname van de individu in de groep met een inwijdings fase, waarin de oude nutsfunctie wordt "afgebroken". Vervolgens wordt de nutsfunctie herbouwd door de verinnerlijking van de groepsnormen8. De individu gokt er op dat zijn toewijding een beloning zal opleveren. Zij is een investering.

Deelname aan een groep heeft een aantal voordelen. Anders gezegd, zij is een maatschappelijk kapitaal. Volgens Frijters kan gewoonlijk enkel een groep macht uitoefenen (al is ook individuele rijkdom een machtsfactor)9. En de groep strijdt voor de belangen van haar leden. De groep kan straffen, maar ook belonen. Dankzij de omvang van de groep kunnen de individuele risico's worden gespreid. De groep versnelt leerprocessen, en zorgt dat het meest effectieve gedrag gemeengoed wordt. Omgekeerd maakt zij arbeidsdeling mogelijk. In het algemeen gedragen groepen zich rationeler dan individuen. Aldus zou men zich kunnen voorstellen, dat de neiging tot toewijding is ontstaan door een evolutionair proces. Wellicht is de mens als soort hiervoor bij uitstek geschikt, omdat hij cognitief sterk is.

Overigens is elke individu lid van diverse groepen. De groepen zelf zijn weer een onderdeel van een grotere groep. Groepen staan voortdurend met elkaar in wisselwerking en in onderhandeling, net zoals individuen. Aldus kunnen handelaren van buiten de groep druk uitoefenen, en zo de groep dwingen om haar normen en waarden te veranderen. Dit is een proces van het micro niveau naar het macro niveau, want de groep past zich aldus aan bij de maatschappij. Dankzij dit proces is er maatschappelijke vooruitgang10. Frijters is van mening dat de natie staat opkomt in een lang proces van groepsvorming11. Aldus presenteert Frijters een model, dat concreter is dan de aanpak van Boudon, omdat elke besluitvorming bestaat uit de maximalisatie van nut. Frijters hoeft zich niet te beroepen op schimmige begrippen zoals de billijkheid of het gezonde verstand. Echter het kan nòg beter, want het model van Coleman heeft zelfs de toewijding niet expliciet nodig.

Kwartetkaart FNV Vrouwenbond
Figuur 2: Kwartetkaart
     FNV Vrouwenbond

Coleman constateert dat groeps-structuren nuttig zijn voor allen. Zij maken allerlei voordelige uitruilen mogelijk. Dankzij de onderlinge communicatie kunnen er afspraken worden gemaakt, eventueel in de gedaante van normen. Volgens Coleman zijn er twee fasen nodig voor het ontstaan van normen12. Uiteraard moet er behoefte groeien aan de norm, bijvoorbeeld wegens een negatief extern effect. Daarnaast moet de norm ook handhaafbaar zijn. Dankzij een geaccepteerde norm wordt de aansturing van het individuele handelen gelegd bij anderen dan de individu zelf. Voorts wijst Coleman er op, dat de handhavers van de norm niet noodzakelijk dezelfde zijn als degenen, die zijn onderworpen aan de norm. In dat geval noemt hij de norm los (in de Engelse taal disjoint). De handhavers zijn gewoonlijk degenen, die profiteren van de norm. Als de handhavers tevens de onderworpenen zijn, dan heet de norm verenigd (conjoint).

Coleman onderscheidt drie manieren om de normen te handhaven, waarbij de eerste twee gebruik maken van de instrumentele rationaliteit, en de laatste van de waarde rationaliteit. Allereerst kan de norm worden gehandhaafd, simpelweg omdat zij maatschappelijk het meeste oplevert. De handhavers hechten zoveel waarde aan hun norm, dat zij het eigendom van de onwenselijke handeling kunnen opkopen13. Bij de tweede manier kunnen de handhavers een boete opleggen aan de handelaar, waardoor de onwenselijke handeling niet meer zal lonen. Echter het opleggen van de boete brengt kosten mee voor de handhavers, waardoor het voordeel van de norm kan worden teniet gedaan. Anderzijds kunnen de kosten worden omgeslagen over de hele groep handhavers. Als dat lukt, dan besturen de handhavers als groep voortaan de des betreffende handeling van de onderworpene. De besturing is hun eigendom geworden.

Tenslotte is de derde manier om de handelaar zodanig te manipuleren, dat hij zelf de norm gaat verinnerlijken. Daardoor zal de handelaar het nut van de anderen integreren in zijn eigen nutsfunctie. Typische vormen van manipulatie zijn onderwijs, propaganda, of groepstrots. Weliswaar kunnen de kosten van de manipulatie hoog zijn voor de handhavers, maar zij zijn eenmalig, en vervolgens zal de handhaving kunnen worden overgelaten aan de onderworpene. Bovendien kunnen ook deze kosten hoofdelijk worden omgeslagen over de groep handhavers. Deze manier zou men socialisatie kunnen noemen, en vertoont veel gelijkenis met het proces van toewijding, zoals Frijters introduceert14. Voorts bedenkt Coleman een aardige abstractie om het proces voor te stellen, waarbij hij handig terug grijpt op de bestaande psychologische inzichten.

Namelijk, de handelaar weegt steeds zijn nut af met behulp van zijn objectieve Zelf15. Het objectieve Zelf wordt gevormd door de omgang met zijn naaste verwanten. Aldus integreren op natuurlijke wijze delen van belangrijke anderen, zoals de ouders, leraren, klasgenoten, collega's, politieke leiders enzovoort. Dit gaat gepaard met een verinnerlijking van hun belangen. De individu past zijn eigen doelen en belangen aan bij de rest. Het Zelf spiegelt de wereld. Dat is met name handig, indien de individu hoge kosten zou moeten maken om zijn naasten te veranderen. Iedereen strijdt met een innerlijke en een externe wereld. Deze zienswijze spreekt uw columnist wat meer aan dan de toewijding bij Frijters. Wegens haar hoge abstractie niveau en rationaliteit lijkt zij meer vatbaar voor analytische modellen, al heeft Coleman zelf er geen kunnen bedenken. Een lastig probleem is, dat het modelleren van de verinnerlijking een dynamische nutsfunctie vereist.

Coleman verwijst ook naar de balans theorie uit de sociale psychologie16. Die theorie stelt dat individuen de natuurlijke neiging hebben om innerlijke conflicten en spanningen in hun eigen denkwereld te verminderen. Dus als een innerlijke norm leidt tot externe afkeuring, dan is het voordelig om het eigen normenstelsel zodanig aan te passen, dat de afkeuring zal verzwakken. Uw columnist vindt het opwindend, dat er hier een interdisciplinaire brug wordt geslagen tussen de economie en de psychologie. Maar helaas is er geen manier bekend om dit model operationeel te maken voor situaties van economische handelingen, die maatschappelijke consequenties genereren. Dit moet tevens de conclusie zijn voor deze paragraaf. Boudon leert ons niet zoveel. Frijters en Coleman reiken waardevolle inzichten aan voor de inwerking van het macro niveau op het micro niveau. Maar spijtig genoeg komen ook zij niet tot een operationeel model.

Kortom, nog steeds ontbreekt een helder concept voor de beteugeling van markten. Maar op zijn minst maakt de huidige paragraaf duidelijk, dat zelfs de menselijke ethiek en moraal kunnen worden uitgelegd als een rationeel verschijnsel op het individuele niveau. Tevens blijkt dat rationaliteit geen bescherming is tegen groepsdwang. Wie beschikt over veel macht, kan anderen disciplineren. Dit is een relativering van de moraal, omdat kennelijk de individuen bereid zijn om zo nodig hun ethische principes opportunistisch aan te passen. Uw columnist ziet hierin een begin naar een dieper inzicht17. De rest van deze column illustreert het voorgaande betoog aan de hand van enkele wiskundige modellen, voor de ware fijnproevers. Eerst wordt een wiskundig model van Frijters gepresenteerd, en daarna enkele modellen van Coleman.


Een model van groepsnormen

Frijters heeft zijn visie over groeps processen samengevat in een wiskundig model18. Dit model sluit aardig aan bij de visie van Coleman. De huidige paragraaf behandelt enkele belangrijke aspecten van het formalisme. Het uitgangspunt is een systeem van N individuele handelaren, die zijn georganiseerd in K groepen. Frijters neemt aan dat men slechts lid kan zijn van één groep. Er is dus exclusiviteit, zoals in de figuur 1. Een groep k heeft Nk leden, met k=1, ..., K. Elke groep verordent haar eigen normen, en de groepsleden zijn bereid om die normen te handhaven. Zodra een handelaar i (met i=1, ..., N) een groepsnorm overtreedt, zal hij een boete krijgen, die voor hem een kostenpost betekent. Beschouw een bepaalde tijdsperiode. In die periode kan elke handelaar j (met j=1, ..., N) een boete ter grootte van vji opleggen aan de handelaar i. Omgekeerd kan de handelaar i zelf boetes vij uitdelen aan de andere handelaren j.

Kennelijk verbindt de handelaar i zich concreet tot een groep met een verzameling handelaren, die symbolisch wordt voorgesteld als Si. Frijters poneert nu dat het nut van de handelaar i wordt gegeven door

(2)     νi = ui(yi) − β1 × Σj→N vij − β2 × Σj←Si vji − β3 × Σj→Si vji

De formule 2 vergt enige uitleg. De term ui(yi) is het statische nut, dat is gedefinieerd in de formule 1. Hierin worden gemaks halve de eigendommen cim vervangen door het geaggregeerde inkomen yi. Het Σ symbool is de bekende mathematische weergave van een sommatie. In de formule 2 wordt er steeds gesommeerd over alle elementen van een bepaalde verzameling. Daarbij staat → voor "is een element van" en ← voor "is géén element van" 19.

Verjaarskaart RK vakbond KBBH
Figuur 3: Verjaarskaart
     RK vakbond KBBH

Beschouw de tweede term in de formule 2. Dit zijn de boetes, die handelaar i zelf uitdeelt aan de N-1 andere handelaren. Het uitdelen van de boete is een last voor i, zodat zijn nut νi kleiner wordt. De grootheid β1 is een schaalfactor, die bepaalt hoe erg het uitdelen van de boete vij is voor i zelf. De derde en de vierde term zijn boetes vji, die de N-1 andere handelaren opleggen aan de handelaar i. De derde term beschrijft de boetes door handelaren j, die niet lid zijn van de groep Si. De vierde term beschrijft de boetes door handelaren j, die wèl lid zijn van de eigen groep Si van handelaar i. Merk op, dat elke handelaar dezelfde schaalfactoren β1, β2 en β3 heeft. Frijters veronderstelt, dat 0 < β1 < β2 < β3. Met andere woorden, een boete krijgen is erger dan een boete geven. En een boete uit een eigen groep is erger dan een boete van buiten. De laatste drie termen in de formule 2 introduceren de groeps dynamiek in de nutsfunctie.

Men zou haast concluderen uit de formule 2, dat de groeps dynamiek negatief uitwerkt op het individuele nut νi. Het lijkt alsof zij νi verkleint. Echter de groeps vorming is wel degelijk rationeel, omdat zij het inkomen yi van elke handelaar i vergroot, en daarmee ui(yi). Bovendien is er een herverdeling, wat kan worden opgevat als belastingen en uitkeringen. Elke handelaar bepaalt hoeveel belasting hij betaalt, en aan wie hij haar uitkeert. Frijters vindt inkomens zo belangrijk, dat hij zich beperkt tot uitsluitend normen, die betrekking hebben op de herverdeling. Dien ten gevolge is het toekennen van een boete steeds een poging om de belasting afdracht van de handelaren te corrigeren en bij te sturen. Frijters neemt aan dat de herverdeling wordt gekenmerkt door de belastingvoet, dat wil zeggen, de fractie van yi die als belasting wordt afgedragen.

Stel dat de handelaar j een uitkering betaalt aan i, die overeen komt met een belastingvoet τij. Gewoonlijk zal de handelaar i een andere verdeling willen. Hij zal zelf eigenlijk een belastingvoet σi,Sj billijk vinden, voor alle handelaren in de groep Sj. Hij eist die uitkering allereerst op voor zichzelf, en tevens zal hij uit solidariteit dezelfde uitkering verlangen voor de andere leden van zijn groep Si. Zo ontstaat de groepsmacht. Als zijn norm wordt overtreden door de handelaar j, dan zal de handelaar i zijn boosheid tonen met een boete vij. Merkwaardiger wijze is er volgens Frijters geen sprake van een overtreding, indien de handelaar j méér uitkeert dan i wil. In formule wordt nu de boete gegeven door

(3)     vij = αi × (f(σi,Sj − τij) + γi × Σh→Si/i f(σi,Sj − τhj))

In de formule 3 is f(t) een functie, die stijgt bij een toenemende t. Als t≤0, dan is f(t)=0, zodat de boete uitblijft. En Si/i stelt de groep Si voor zonder de handelaar i zelf. Dankzij deze splitsing komt de solidariteit of toewijding van i ten opzichte van zijn groep tot uiting. Een egoïstische i heeft γi<1, terwijl een heldhaftige i juist γi>1 verkiest. Overigens verwacht Frijters, dat heldendom niet optreedt. De grootheid αi drukt uit, hoe verontwaardigd i is door de vermeende onbillijkheid. Stel dat ζi de verdeling van inkomens is, vooraf gaand aan de belasting heffing. Dan is de verdeling na belastingen gelijk aan

(4)     yi = ζi − ζi × Σj τji + Σj ζj × τij

De handelaren kiezen nu een maatschappelijk systeem door ieder voor zich het eigen nut νi maximaal te maken. De formule 2 laat zien, dat dit een complex probleem is. Immers de handelaar i kan zowel yi als vij varieren, terwijl tevens rekening moet worden gehouden met de reacties vji van anderen. De formules 3 en 4 tonen, dat op een iets dieper niveau de handelaar i moet beslissen welke normen αi, γi, en σi,Sj hij aanhangt (de objectieve Zelf), en welke belasting τji hij wil betalen (de handelende Zelf). De gezamenlijke keuzen van de N handelaren leiden tot een maatschappelijk evenwicht. Daarmee is het model voltooid. Zijn verdienste is dat een lang betoog is gecondenseerd in enkele formules. Des al niettemin is tevens duidelijk, dat het model uiterst abstract is. En hoewel Frijters de methode verder uitwerkt voor enkele speciale gevallen, lijkt een lange weg te gaan om haar practisch toepasbaar te maken.


Een rekenvoorbeeld van een norm met boetes

Coleman illustreert zijn theoretische betoog over normen met enkele verhelderende voorbeelden. Zij zullen worden herhaald in deze paragraaf. Beschouw een maatschappelijk systeem met drie handelaren, zeg A1, A2, en A3. Ieder van hen krijgt het verzoek om een project te ondersteunen met een gift ter waarde van 9. Het project belooft een rendement van 1/3. Echter de opbrengst van het project zal gelijk worden verdeeld over alle drie handelaren. Kennelijk is het een publiek goed, waarvan niemand kan worden uitgesloten. Zij Gj de gift van handelaar Aj. Dan wordt zijn winst gegeven door Wj = -Gj + Σk=13 (Gk + Gk/3) / 3. Elk van de handelaren moet nu in isolement besluiten of hij gaat geven aan het project. De tabel 1 laat de winsten zien, die elk van de handelaren incasseert in afhankelijkheid van hun genomen besluiten. Deze manier om ruilprocessen te analyseren noemt men de speltheorie.

Tabel 1: Opbrengst matrix voor een project van drie handelaren
 A3 geeftA3 geeft niet
 A2 geeftA2 geeft nietA2 geeftA2 geeft niet
A1 geeft3, 3, 3-1, 8, -1-1, -1, 8-5, 4, 4
A1 geeft niet8, -1, -14, 4, -54, -5, 40, 0, 0

Men ziet dat elke handelaar een problematische keuze moet maken. Maatschappelijk gezien is het wenselijk dat alle handelaren geven, want dan is de totale winst Σk=13 Wk maximaal, te weten 9. Dan krijgt elke handelaar een winst Wj=3. Echter als de individuele handelaar niet geeft, dan heeft hij een reële kans op een winst van 4 of zelfs van 8. In deze situatie is het rationeel voor elk van de handelaren om niet te geven. Aldus wordt de totale winst Σk=13 Wk = 0, wat een sub-optimaal resultaat is. Klaarblijkelijk is er de maatschappelijke behoefte aan de norm, die iedereen verplicht om te geven.

Stel dat de handelaren A1 en A2 gewoon geven, maar de handelaar A3 niet. Stel verder dat het project regelmatig wordt herhaald. Dan zal het zwart rijden van A3 zichtbaar worden aan A1 en A2. Zolang een afdwingbare norm ontbreekt, kunnen A1 en A2 het handelen van A3 enkel afstraffen door zelf evenmin te geven. Zij kunnen met deze dreiging A3 stimuleren tot alsnog geven. Merk op, dat het niet volstaat, wanneer enkel A1 dreigt. Immers dan zou weliswaar de winst van A3 verminderen van 8 naar 4, maar dat is nog steeds meer dan 3 (bij geven). Kennelijk is noodzakelijk dat A1 en A2 hun dreiging coördineren.

Coleman zoekt naar een meer aantrekkelijke manier om de norm te handhaven. Hij laat de mogelijkheid van verinnerlijking buiten beschouwing. Het ligt voor de hand om de norm zodanig in te richten, dat men direct na een overtreding wordt bestraft met een boete. De boete moet een waarde hebben van 5, want daardoor wordt zelfs de hoogste winst van 8 verminderd tot 3. Bij die boete wordt het voor de overtreder nuttig om voortaan toch maar te gaan geven. Echter er zijn kosten verbonden aan de invoering van een strafrechtelijk orgaan, dat boetes kan opleggen. In de formule 2 van Frijters leidt slechts het werkelijk uitdelen van een boete aan j tot kosten vij. Echter Coleman neemt aan, dat de kosten "vast" zijn. Dat wil zeggen, de invoering van het orgaan zelf heeft kosten ter waarde van 5, die moeten worden gedragen zelfs als de handelaar j gehoorzaamt aan de norm. Het is toeval, dat die vaste kosten hier even hoog zijn als de uitgedeelde boete20.

Helaas kent deze manier van handhaven een probleem. Namelijk, stel dat A1 de oprichting van het orgaan betaalt. Dat kost hem 5, terwijl het afdwingen van de norm hem slechts (3 − (-1) =) 4 oplevert. A1 zou verlies lijden. Kennelijk kan het orgaan er alleen komen, wanneer A1 en A2 de kosten delen. Met andere woorden, A2 moet een beloning (positieve sanctie) geven aan A1, opdat die het orgaan opricht. Bijvoorbeeld zou A2 de helft van de kosten kunnen subsidiëren, te weten 2.50. Het grappige is dat zo opnieuw een probleem uit de speltheorie ontstaat, zij het met slechts twee spelers. De diverse keuze-alternatieven zijn weergegeven in de tabel 2. De opbrengsten in de tabel 2 zijn de som van de opbrengsten uit de tabel 1 en de kosten van het orgaan. De handhaving van de norm door het orgaan is een publiek goed. Daarom noemt Coleman dit spel een publiek goed probleem van de tweede orde.

Tabel 2: Opbrengst matrix voor een strafrechtelijk orgaan met twee handelaren21
 A2 subsidieertA2 subsidieert niet
A1 subsidieert0.50, 0.50-2, 3
A1 subsidieert niet3, -2-1, -1

Men ziet uit de tabel 2, dat het handhaven van de norm levensvatbaar is, want de opbrengst is groter dan zonder norm. Nochtans is er de verleiding om de kosten van het orgaan af te schuiven op de mede-speler. Coleman spreekt zich niet helder uit over dit dilemma22. Kennelijk moet bijvoorbeeld handelaar A1 dreigen, dat hij enkel het orgaan subsidieert, als ook A2 dat doet. Of vanuit een wat ander perspectief: handelaar A2 begrijpt dat hij A1 moet aanmoedigen met een beloning (positieve sanctie) om het orgaan te bekostigen. Merk voorts op, dat de risico's in een spel van de tweede orde kleiner zijn dan bij het spel van de eerste orde. Als een speler de norm in het tweede orde spel overtreedt, dan kost dat de ander (0.50 − (-2) =)2.50, terwijl de overtreding in het eerste orde spel (3 − (-1) =)4 kost aan de ander(en).


Een model van een verenigde verbodsnorm

Coleman heeft een model ontwikkeld, waarin voor een gegeven systeem kan worden berekend of er voldoende maatschappelijk draagvlak is voor een verbodsnorm23. Concreet betreft het een situatie waarin handelaar 1 een project wil uitvoeren, dat hem winst belooft. Echter het project heeft een negatieve externaliteit, zodar de andere N-1 handelaren er hinder van zullen ondervinden. Daarom hebben zij behoefte aan een norm, die het project verbiedt aan alle handelaren. Dien ten gevolge is de norm verenigd (conjoint). Kennelijk kan het systeem zich bevinden in twee verschillende toestanden. In toestand A mist de norm voldoende draagvlak, zodat handelaar 1 vrij is om het project uit te voeren. En in toestand B krijgt de norm zoveel steun, dat het project wordt verboden.

Wervingskaart Abvakabo FNV
Figuur 4: Wervingskaart
     Abvakabo FNV

In feite is hier sprake van een belangenstrijd. Zowel de handelaar 1 als de andere N-1 handelaren proberen de zeggenschap over het project te verwerven. Wie de zeggenschap heeft, bepaalt wat de toestand van het systeem wordt: A of B. Dat wil zeggen, er is een conflict over het eigendom van het project, en degene die er het meest voor wil betalen krijgt het. De uitkomst van het conflict volgt uit de waarde van het project voor handelaar 1, en uit de waarde voor de overige N-1 handelaren. Stel voor de handelaar 1 heeft het project p in toestand A een waarde vpA, en voor de N-1 handelaren heeft het project in toestand B een waarde vpB. Alleen als er geldt vpB > vpA, heeft de norm voldoende draagvlak. Immers dan zijn de N-1 handelaren in staat om de handelaar 1 te compenseren voor het verlies, dat die lijdt door de norm. Dankzij de compensatie zal de handelaar 1 afzien van het project.

Coleman maakt voor de berekening van vpA en vpB gebruik van de formule 1. De hoeveelheden cij vormen tezamen een N×M matrix, en de belangen xji vormen een M×N matrix. Gemaks halve kiest Coleman er voor om C en X zodanig te normeren, dat er geldt Σi=1N cij = 1 en Σj=1M xji = 1. In een voorgaande column is uitgelegd hoe voor een dergelijk lineair systeem van handelingen de waarde vj van het goed j kan worden berekend. Merk op dat dit een kolom-vector is. Er blijkt te gelden24

(5)     v = (I − X C + E)-1 η

In de formule 5 is I de M×M eenheids matrix, E is een M×M matrix met elementen ejk = 1/M, en de kolom-vector η heeft elementen ηk = 1/M. Het eigendom van het project p bij aanvang (tijd t=0) wordt uitgedrukt door de kolom cip in de matrix C. De belangen matrix X verschilt voor de toestanden A en B. Immers in de toestand A voert de handelaar 1 het project uit, en enkel hijzelf heeft daarbij een belang. Dus xpiA = 0 voor i ongelijk aan 1. En in de toestand B is het project verboden, en daarbij heeft de handelaar 1 geen belang. Dus xp1B = 0. De twee belangen matrices worden voorgesteld door respectievelijk XA en XB. Ter illustratie van dit model rekent Coleman enkele voorbeelden door, die uw columnist hier herhaalt. Er zijn drie handelaren (N=3), en vier goederen (M=4). Het project p geldt als het vierde goed (p=4). De tabel 3 geeft de getalswaarden, die Coleman kiest.

     
Tabel 3: C, XA +, XB +, en vA en vB voor drie handelaren
 CXA +XB +
j=123412341234
i=110010.510.2550.0850.150.60.30.10
i=201000.30.40.300.270.360.270.1
i=300100.30.20.500.270.180.450.1
v                    0.3980.2820.2490.070.4290.290.230.052

Merk op, dat de tabel 3 de gespiegelde matrices van XA en XB bevat. Dit wordt aangeduid met de index +. Zij hebben als elementen xij. Dit heeft enkel het doel om de indeling van de tabel te vereenvoudigen. Coleman heeft de matrix C zeer eenvoudig gehouden. Hij plaatst het project p (j=4) bij aanvang in eigendom van de handelaar 1. Het lijkt alsof de matrices XA en XB zeer verschillen. Echter in werkelijkheid zijn de belangen in de twee X matrices gelijk, met uitzondering van de belangen voor het project. De verschillen ontstaan louter door de normering Σj=1M xji = 1. De lezer kan dit desgewenst zelf nagaan. In de onderste rij van de tabel is het waarden systeem uitgerekend met de formule 5, voor de toestanden A en B. Er blijkt dat v4A = 0.07 groter is dan v4B = 0.052. Dus de handelaren 2 en 3 kunnen het project niet kopen van de handelaar 1. De verbods norm is onhoudbaar.

Men kan dit als volgt uitleggen. Er blijkt te gelden dat v = X r 25. Dat wil zeggen, de waarde van een goed neemt toe naarmate zijn belangen toenemen, of als de rijkdom achter de belangen groter wordt. Dien ten gevolge is denkbaar dat onder gewijzigde omstandigheden de norm wèl voldoende wordt gedragen. Bijvoorbeeld rekent Coleman uit, dat bij een verminderde belangstelling van handelaar 1 (te weten x41 = 0.1) de waarde v4A daalt naar 0.046. Daardoor wordt de invoering van de norm doelmatig. Ook laat Coleman zien dat het uitmaakt wie bij aanvang het eigendom van het project heeft. Stel dat het eigendom toevalt aan de handelaren 2 en 3 (c14=0, c24 = c34 = 0.5). Dan wordt v4A = 0.057, en v4B = 0.060. Dus opnieuw is de norm houdbaar. Dat komt doordat het eigendom over het project meer macht rj geeft aan 2 en 3.

  1. Tegenwoordig is dit een trivialiteit. Maar gedurende eeuwen heeft men gemeend, dat de staat zich afzijdig moet houden van de economie (het zogenaamde laissez faire, laissez aller). De economisch actieve staat werd pas in de negentiende eeuw weer populair, dankzij de Historische School. (terug)
  2. De bespreking van het methodisch individualisme kan men vinden op p.132 in Economics, ethics and the market (2007, Routledge) van J.J. Graafland, en op p.126 in Het politiek belang (1994, Boom) van H. van Erp. Uw columnist las dit laatste boek al ruim twintig jaren terug voor het eerst. Zijn belangstelling komt niet van gisteren. (terug)
  3. De inhoud van deze column baseert met name op An economic theory of greed, love, groups and networks (2013, Cambridge University Press) van P. Frijters en G. Foster, Foundations of social theory (1990, Harvard University Press) van J.S. Coleman, en Essais sur la théorie générale de la rationalité (2007, Presses Universitaires de France) van R. Boudon. Overigens treft men dezelfde informatie in beknopte vorm aan bij Economics, ethics and the market, of bij Het politiek belang. (terug)
  4. Zie p.674 van Foundations of social theory. (terug)
  5. De termen doelrationaliteit en waarderationaliteit zijn voor het eerst gebruikt door de bekende socioloog Max Weber. Boudon geeft de voorkeur aan de term axiologische rationaliteit. Bovendien is er volgens Weber een emotioneel handelen, en een traditioneel handelen. Zie p.104 in Essais sur la théorie générale de la rationalité. (terug)
  6. Zie bijvoorbeeld p.18 in Essais sur la théorie générale de la rationalité, of p.50. Aangezien de naamgever Sam De Wolff van de Gazet een marxist is, mag niet onvermeld blijven dat Boudon het marxisme afwijst. Op p.31 concludeert hij, dat volgens het marxisme (of eigenlijk het historisch materialisme) de maatschappelijke ontwikkeling deterministisch is. Volgens het marxisme kunnen groepen lijden aan een vals bewustzijn. Boudon beweert juist het omgekeerde, namelijk dat de ontwikkeling wordt gestuurd door het bewuste handelen van individuen. Er is een dualisme van het verstand en de maatschappelijke status quo (p.55). Dit noemt men wel volontarisme. Op p.45 geeft Boudon als grappig voorbeeld de traditionele regendans. Primitieve volken handelen rationeel, wanneer zij proberen om de natuurkrachten te verleiden tot een regenbui. Er is zelfs enige empirische rechtvaardiging, want regenbuien komen vaak voor juist in de oogsttijd, wanneer de dansen plaats vinden. (terug)
  7. Zie hoofdstuk 7 van Essais sur la théorie générale de la rationalité. Dien ten gevolge maant Coleman op p.511 van Foundations of social theory tot voorzichtigheid met de objectieve waarnemer. De idee van een universele wil miskent het pluralisme in de maatschappij. De zogenaamde volkswil is daadwerkelijk soms misbruikt om dictaturen te vestigen. Coleman noemt het marxisme, dat het proletariaat aanwijst als de drager van de objectieve wil. Alle andere maatschappelijke groepen zouden lijden aan een vals bewustzijn, dat geen plaats biedt voor de objectieve wil. Dus pluralisme is een groot goed. Maar in vele gevallen zal het belemmeren, dat er een algemene wil of een algemeen belang aanwijsbaar is. In zulke situaties moeten compromissen worden gesloten. Coleman erkent dat in andere situaties wel een objectieve waarnemer zal bestaan. Denk bijvoorbeeld aan het ontmoedigen van roken, dat weliswaar een kwelling is voor de rokers, maar tenslotte toch hun eigen belang dient. Of denk aan het staatspensioen, dat feitelijk gedwongen sparen inhoudt (p.512). (terug)
  8. Volgens p.80 van An economic theory of greed, love, groups and networks versterken de pijn van de bevalling en het gebrek aan nachtrust in de periode erna de band tussen de moeder en haar kind. Het afbreken van de nutsfunctie gaat het makkelijkst, als de individu fysiek is verzwakt. (terug)
  9. Zie p.66 van An economic theory of greed, love, groups and networks. Zie voorts p.113 en verder. (terug)
  10. Zie p.187 van An economic theory of greed, love, groups and networks. (terug)
  11. Hij deelt deze visie met onder andere D. Acemoglu en J. Robinson in hun boek Waarom sommige landen rijk zijn en andere arm (2012, Nieuw Amsterdam Uitgevers). (terug)
  12. Zie hoofdstuk 10 in Foundations of social theory. De aantrekkelijke kanten van groepen worden opgesomd op p.277. (terug)
  13. Een practische toepassing van deze norm is de verhandeling van emissie rechten in het milieubeleid. Deze idee is afkomstig van de bekende econoom Ronald Coase. (terug)
  14. Men vindt ook op p.131 van Het politiek belang een behandeling van het handhaven van normen via boetes en sancties. Op p.137 bespreekt Van Erp de verinnerlijking van normen. (terug)
  15. Dit deel van het model van Coleman vindt men in hoofdstuk 19 van Foundations of social theory. De vondst van de objectieve Zelf kan worden herleid tot de bekende moraal filosoof Adam Smith. Hij omvat wat de psycholoog Sigmund Freud het Ich, het Es, en het Über-Ich noemt. Bijvoorbeeld correspondeert een afgedwongen norm met het Über-Ich (p.294). Elke individu beschikt naast zijn objectieve Zelf over een handelende Zelf, die probeert om zijn objectieve Zelf gelukkiger te maken door middel van bezigheden. Coleman wijst er op, dat dit model van de individu ook toepasbaar is op een onderneming, waarbij de beslisser aan de top overeenkomt met het objectieve Zelf, en de uitvoerder op de werkvloer met de handelende Zelf (p.509). Op p.94 van Economics, ethics and the market stelt ook Graafland de onpartijdige waarnemer bij Smith gelijk aan het Super Ego bij Freud. Bovendien wijst Graafland op de overeenkomst met het universaliteits beginsel in de ethiek bij de filosoof Immanuel Kant. (terug)
  16. Zie p.520 in Foundations of social theory. (terug)
  17. Uw columnist is enthousiast over de theorieën van Frijters en Coleman, omdat zij het egoïsme van de homo economicus nuanceren, zonder het helemaal te ontkennen. Filosofen nemen nogal eens aanstoot aan de rationele keuze leer, omdat zij houden van een moraal met een absolute geldigheid. Zie Graafland op p.169 in Economics, ethics and the market. Op p.173 verwijst hij naar Kant, die meer waarde hecht aan de intentie van het gedrag dan aan het resultaat van dat gedrag. Kant noemt dat de Gesinnungs Ethik. Zij staat haaks op het consequentialisme. Op p.180 voegt Graafland nog toe, dat de individuele Wil niet kan worden verhandeld. Uw columnist vindt dat de waarde rationaliteit een aardige oplossing biedt uit dit dilemma. Enerzijds zijn individuen gehecht aan hun nutsfunctie, maar anderzijds zijn zij bereid om haar te veranderen als dat ècht beter is. Nochtans stelt bijvoorbeeld Van Erp op p.97 van Het politiek belang, dat de waarde rationaliteit van Weber uitgaat van onveranderlijke principes. Hij vindt de algemene geldigheid van de moraal nodig om te voorkomen, dat een zeer machtige groep of individu (bijvoorbeeld een extreem rijke) zijn eigen wil kan doorzetten tegen de volkswil in. Van Erp accepteert wel dat elke groep haar eigen principes heeft, zodat de maatschappij pluralistisch is (p.90). Maar op p.164 houdt hij vol: "Het is onwaarschijnlijk dat vanuit een louter egoïstisch motief sociale [maatschappelijke EB] normen kunnen ontstaan, die ook bij nadere kritische reflectie door de burgers zelf echt als normen zouden worden gerespecteerd". Wellicht denkt Van Erp hierbij aan de negentiende eeuw, toen er verschillende normen golden voor arm en rijk. Maar als dit werkelijk waar is, dan zou deze column niet deugen. Uw columnist vindt het juist aannemelijk, dat egocentrisme leidt tot een moraal van normen en waarden. De moraal blijkt simpelweg doelmatig te zijn. Vermeldens waard is dat volgens Coleman op p.286 en verder in Foundations of social theory de zeer machtige (en rijke) individuen daadwerkelijk de normen ongestraft kunnen overtreden. Kennelijk zijn principes nooit absoluut, en wellicht is dat zelfs niet wenselijk. Ook behandelt Coleman op p.278 het heldhaftige handelen, waarin de handelaar zijn norm verdedigt, ook al ondervindt hij daarvan een materieel nadeel. Klaarblijkelijk biedt de RKL toch enige ruimte voor de Gesinnungs Ethik. (terug)
  18. Zie het tweede model in het aanhangsel van An economic theory of greed, love, groups and networks, op p.357 en verder. (terug)
  19. Eigenlijk gebruikt de wiskunde een ander symbool voor "is een element van", dat enigszins lijkt op ε Helaas herkennen lang niet alle browsers de HTML code voor dat symbool, zodat uw columnist noodgedwongen het symbool → gebruikt, en het omgekeerde ← voor de ontkenning. (terug)
  20. Coleman is op dit punt wat onduidelijk. In een voetnoot op p.272 van Foundations of social theory stelt hij dat de kosten en de boete gelijk moeten zijn. Dat zou kunnen betekenen dat de boete een subsidie (positieve sanctie) aan de overtreder is, opdat die alsnog kiest voor geven. Maar in dat geval zou A3 zijn opbrengst van 8 behouden, en dan wordt het overtreden niet ontmoedigd. Waarschijnlijker is dat Coleman hier uitgaat van symmetrische relaties tussen de handelaren. Dan is de boete een aantasting van de relatie, die allebei de handelaren even zwaar treft. Uw columnist neemt aan dat de kosten van het strafrechtelijk orgaan vast zijn op grond van zinnen zoals: "The sanctioner must pay the full costs of inducing A3 to contribute, that is, something worth 5 to A3" (p.279). Ook dit is wat vaag. Het zou ook kunnen betekenen, dat het orgaan eenmalig wordt opgericht na elke overtreding. Dan zou het orgaan repressief zijn en niet preventief, en zijn kosten zijn incidenteel. Merk voorts op, dat eigenlijk de handelaren niet hun opbrengsten afwegen, maar het nut ervan. Dus men kan de besluiten van de handelaren enkel voorspellen door telkens uit te rekenen, hoe de betreffende opbrengsten doorwerken in hun nut. In de formule 2 gebeurt dat via de schaalfactoren βk. (terug)
  21. Wellicht is een uitleg verhelderend. Allereerst zij opgemerkt, dat in de tabel 2 de reële opbrengsten staan, en niet de winst ten opzichte van de situatie (-1, -1, 8), waarbij A1 en A2 geven, maar A3 niet. Men kan deze winst berekenen door 1 op te tellen bij de getallen in de tabel 2. Als noch A1 noch A2 het strafrechtelijk orgaan subsidieert, terwijl zij wel geven aan het project, dan behouden zij een opbrengst van -1, omdat A3 de norm blijft overtreden. Als A1 en A2 het orgaan subsidiëren, dan zal A3 gehoorzamen aan de norm, zodat het project aan iedereen 3 uitbetaalt. Wegens de subsidie-kosten houden A1 en A2 hiervan ieder 0.50 over. Echter als A2 weigert om de het orgaan te subsidiëren, dan zal A1 de volle kosten van 5 alleen moeten dragen. Iedereen gehoorzaamt aan de norm, en ontvangt 3 uit het project. Maar per saldo is de opbrengst voor A1 negatief, te weten 3 − 5 = -2. Als A1 niet subsidieert, en A2 wel, dan verwisselen natuurlijk deze opbrengsten. (terug)
  22. Op p.273 in Foundations of social theory lijkt Coleman te suggereren, dat het subsidiëren van het orgaan ook moet worden afgedwongen met een boete. Dat is dan een boete van de tweede orde. Die komen niet zo vaak voor, omdat zij enkel kunnen optreden nadat een boete van de eerste orde moet worden uitgedeeld. (terug)
  23. Zie hoofdstuk 30 in Foundations of social theory. (terug)
  24. Zie p.688 in Foundations of social theory. In de column over het lineaire systeem van handelen is afgeleid dat geldt v = (Γ − X Ψ C + E Γ)-1 η. Wegens de normering is nu Γ=I en Ψ=I. Aldus vindt men de formule 5. Merk op dat voor de totale rijkdom in het systeem geldt Σi=1N ri = Σi=1N Σj=1M cij × vj = Σj=1M vj. In de zonet genoemde column is de totale rijkdom genormeerd op 1. Voor het huidige geval is dan kennelijk ook vj genormeerd, te weten Σj=1M vj = 1. (terug)
  25. In de al genoemde column is aangetoond dat geldt vk × cik(t) × ξi = xki × Σj=1M  vj × cij(t). In het huidige geval is ξi=1. Sommatie over i en gebruik making van de normering van C geeft het resultaat vk = Σi=1N xki × Σj=1M  vj × cij(t) = Σi=1N xki × ri. In matrix notatie wordt dat v = X r, hetgeen is te bewijzen. (terug)