Een lineair systeem van handelen

Plaatsing in Heterodoxe Gazet Sam de Wolff: 21 januari 2016

E.A. Bakkum is beroepsmatig werkzaam bij het Sociaal Consultatiekantoor, waar hij de functie van zaakwaarnemer vervult.

De bekende socioloog J.S. Coleman ontwikkelt in zijn boek Foundations of social theory een model van maatschappelijke ruil. In essentie baseert het model op de neoklassieke theorie van Walras, Jevons en Edgeworth. Coleman laat zien dat zij kan worden toegepast in maatschappelijke situaties, buiten de economie. Dan neemt macht de plaats in van rijkdom. De huidige column behandelt zijn formalisme. Ook worden fascinerende gevallen uitgediept, zoals het optreden van transactie kosten of van onzekerheid. De column wordt afgesloten met illustratieve rekenvoorbeelden.

Kwartetkaart Vrouw en werk
Figuur 1: kwartetkaart Vrouw en werk
   Bron: Volwassenen-educatie (Ov.)

Het boek Foundation of social theory van J.S. Coleman behoort tot de sociologische vakliteratuur, maar is des ondanks uiterst relevant voor de economische wetenschap1. Hoewel het boek grotendeels verhalend is, bestaat het vijfde en laatste blok (de hoofdstukken 25 tot en met 34) uit een wiskundige modellering van het maatschappelijke handelen. Trouwe lezers van de Gazet weten intussen, dat uw columnist een bijzondere voorliefde heeft voor deze analytische aanpak. De huidige column wil samenvatten hoe Coleman er in slaagt om de maatschappelijke wisselwerking te abstraheren tot wiskundige formules. Hij put daarbij uit de grensnut theorie van de micro-economie. Dankzij de grensnut theorie kan worden beschreven hoe individuen hun producten zullen ruilen op de markt. Coleman komt op de originele inval om dit model toe te passen op allerlei vormen van maatschappelijke ruil.

Coleman is geïnteresseerd in maatschappelijke verschijnselen, en die spelen zich per definitie af op het macro-niveau. Echter hij wil de verschijnselen en gebeurtenissen (in de Engelse taal events) verklaren vanuit de gedragingen en het handelen (in de Engelse taal action) van de afzonderlijke individuen. De grensnut theorie is daarvoor geschikt, omdat haar bouwstenen bestaan uit afzonderlijke subjecten, die uitsluitend zijn gericht op het maximaliseren van hun eigen nut, welzijn en tevredenheid. Zij proberen hun nut maximaal te maken door sommige van hun eigendommen te ruilen met andere subjecten. Die eigendommen kunnen private goederen zijn, maar evenzeer een aanspraak op het gebruik van collectieve voorzieningen. Het zijn hulpbronnen of middelen, waarmee de handelaar i macht kan uitoefenen op de anderen. Immers andere handelaren j hebben behoefte aan de eigendommen van i. Zij zijn bereid een concessie te doen om die te verwerven.

Nu ken men zich veel menselijk handelen voorstellen als een vorm van ruil tussen groepen van personen. Natuurlijk is het geweldig wanneer al dat menselijk handelen zou kunnen worden doorgerekend met een wiskundig model. Ten einde teleurstellingen te voorkomen is het eerlijk om direct enkele beperkingen van het model te vermelden. Menselijk gedrag baseert nooit louter op de maximalisatie van het eigen nut. Steeds wordt er ook rekening gehouden met de uitwerking van het eigen gedrag op andere personen. Voorts is bekend uit de gedragseconomie, dat mensen een hekel hebben aan een onbillijke behandeling. Zij proberen die te vermijden, zelfs als daardoor een voordeel moet worden opgegeven. Bovendien veronderstelt het maximaal maken van nut een rationele besluitvorming. Echter het menselijke denkproces is van nature niet toegesneden op rationaliteit. Men neigt tot verkeerde inschattingen.

Enkele van de beperkingen in de micro-economische benadering van Coleman zijn opgesomd door P. Demeulenaere in diens boek Homo oeconomicus, waardoor trouwens uw columnist kennis maakte met Coleman's werk2. Kennelijk kan men de ruiltheorie niet practisch toepassen, en zeker niet in de beschrijving van maatschappelijke gebeurtenissen. Nochtans leidt de ruiltheorie wel tot een beter inzicht in het alledaagse leven, omdat zij de samenhang tussen maatschappelijke fenomenen illustreert. Zolang men maar beseft, dat het model een abstractie is, valt er veel te leren. Daarom is de vakrichting populair geworden, ondanks critici zoals Demeulenaere. Men noemt haar de rationele keuze leer (in het Engels rational choice theory).

Het ruilmodel van Coleman is een lineair systeem van handelen. Uw columnist heeft deze aanpak niet aangetroffen in economische werken. Dat komt omdat Coleman als socioloog het aandurft om een concreet functioneel verband te kiezen voor de individuele nutsfunctie. Economen doen dat liever niet, omdat zij vrezen dat daarmee de theorie zich uitspreekt over de menselijke moraal. Stel er zijn in totaal M verschillende soorten goederen beschikbaar. Volgens Coleman kan de tevredenheid Ui van een handelaar i worden voorgesteld door de formule

(1)     Ui(ci1, ci2, ..., ciM, t) = Σj=1M   xji × ln(cij(t))

In de formule 1 is cij(t) de hoeveelheid van het goed j, dat de handelaar i in eigendom heeft op het tijdstip t. De grootheid xji is een positieve constante, die weergeeft hoe groot de behoefte van de handelaar i aan het goed j is. Dit blijkt duidelijk wanneer ∂Ui/∂cik wordt uitgerekend, in geval cij vast blijft voor j<>k. Immers dat is de verandering van het nut bij een wijziging van de hoeveelheid goed k. De uitkomst is ∂Ui/∂cik = xki / cik. Kortom, naarmate xki groter is, neemt het nut meer toe bij een toename van goed k. Tevens laat de uitkomst zien dat er een afnemend grensnut is. Met andere woorden, naarmate cik groter is, verzadigt de behoefte eraan. In beginsel zou men xji kunnen meten simpelweg door handelaren te vragen naar hun voorkeuren.

Voor trouwe lezers zal de formule 1 niet als een verrassing komen. Immers al in 1931 introduceert de Nederlander Jacob van der Wijk de formule U = κ × ln(x − m) voor het nut van een hoeveelheid geld x. Hier is m een drempelwaarde, en κ is een schaalfactor, die verder irrelevant is, omdat andere behoeften zijn weggelaten. Inderdaad is het gebruikelijk om aan te nemen, dat het nut logaritmisch afhangt van de hoeveelheid eigendom. Zo is in een column over het werk van de Nederlandse econoom B. van Praag verondersteld, dat geldt U = ln(Z). Van Praag noemt de grootheid Z de latente variabele3. Aldus kan de formule 1 worden herschreven tot

(2)     Zi(ci1, ci2, ..., ciM, t) = ci1x1i × c21x2i × ... × cM1xMi

Trouwe lezers zullen ook de formule 2 herkennen uit een column over de Hongaarse econoom M. Toms. Echter die gebruikt haar voor het modelleren van de maatschappelijke doelfunctie Z, dus als een beleidsinstrument. Zij betreft niet de individuele behoeften. Gewoonlijk duidt men een functie zoals in de formule 2 aan als een Cobb-Douglas type, naar de namen van haar ontdekkers. Echter bij Cobb en Douglas betreft het een productiefunctie, en niet een nutsfunctie. Bij Cobb-Douglas functies kiest men vaak voor Σj=1M  xji = 1, zodat het systeem neutraal is ten opzichte van schaling. De functie wordt dan lineair-homogeen genoemd. Coleman maakt evenwel de aanname Σj=1M  xji = ξi, met ξi>0.

Coleman beschouwt nu de meest elementaire situatie, waarin twee handelaren (zeg I en II) gaan proberen hun eigen nut te vergroten door twee goederen j en k te ruilen. Met andere woorden, I en II beschikken over middelen (respectievelijk cI,j en cI,k voor I, en cII,j en cII,k voor II), echter geen van beiden in de ideale verhouding. Dit ruil-probleem kan worden opgelost met de methode van de Edgeworth box. Zij is beschreven in een voorgaande column, zodat uw columnist haar verder bekend veronderstelt. In de Edgeworth box worden de isonuts curven van I en II gecombineerd tot één grafiek. Er kan een ruil plaatsvinden, als de isonuts curven van I en II aan elkaar raken. Bij een gegeven begintoestand (cI,j(0), cI,k(0), cII,j(0), cII,k(0)) kan aldus een contract curve worden geconstrueerd.

De methode van de Edgeworth box legt geen specifieke vorm op aan de nutsfuncties. Dankzij de extra aanname van Coleman, te weten de formule 1, kan de contract curve wiskundig worden uitgerekend. Immers op de contract curve moeten de marginale substitutie verhoudingen MSV = -∂cij / ∂cik van I en II aan elkaar gelijk zijn. Aldus berekent men dat de contract curve moet voldoen aan4

(3)     xk,I × cI,j × xj,II × cII,k = xj,I × cI,k × xk,II × cII,j

Aangezien de voorkeuren xij als constanten gegeven zijn voor de twee handelaren, kan de formule 3 worden ingetekend in de bijbehorende Edgeworth box. Het is niet bij voorbaat bekend op welk punt van de contract curve I en II zullen uitkomen. Dat wordt bepaald door het onderhandelings proces, en eventuele institutionele regels die beperkingen opleggen aan de ruil. Hoewel het ruilproces zelf zich voltrekt op het micro-niveau, behoren institutionele regels tot het macro-niveau. Zij worden bepaald door de maatschappij.


Het perfecte maatschappelijke systeem

Hoewel de formule 3 laat zien hoe de contract curve verloopt, geeft zij toch weinig concrete informatie over de interacties tussen handelaren in een maatschappelijk systeem. Daarom beschouwt Coleman nu een perfect maatschappelijk systeem, dat het sociologische equivalent is van de economische markt met volkomen mededinging. Hierin gedragen alle handelaren zich rationeel, en er zijn geen institutionele beperkingen opgelegd aan hun gedrag. Informatie is volledig beschikbaar, zodat er geen transactie kosten moeten worden gemaakt voor een overeenkomst tussen handelaren. Er is echter één verschil met de economische markt, en wel dat de beschikbare goederen en dus de gebeurtenissen eventueel ondeelbaar kunnen zijn. Dit zijn collectieve goederen, waarop in beginsel iedereen aanspraak kan maken, en die niet op een individuele basis kunnen worden verdeeld.

Het bekendste voorbeeld is het natuurlijke milieu, zoals lucht, water en bodem. Men kan dit ook publieke goederen noemen. Een meer alledaags voorbeeld is de bedrijfsauto, die kan worden benut door het hele personeel. Coleman somt nog meer voorbeelden op, die soms bepaald verrassend zijn (zie p.47 en verder in zijn boek). In al deze gevallen zal tenslotte toch een zodanige afspraak moeten worden gemaakt, dat één persoon of organisatie de ultieme zeggenschap heeft over het goed of over de gebeurtenis. Aldus kan er in het systeem een ruil plaatsvinden van deelrechten om het ondeelbare goed onder controle te brengen van een bepaalde handelaar of groep van handelaren. Als een handelaar beschikt over een deelrecht van gebruik, dan kan hij er een prijs of een ruilwaarde aan toekennen. Vervolgens kan hij besluiten, of hij het deelrecht in eigendom wil houden, dan wel of hij het wil afstaan om er een ander goed voor terug te krijgen.

Uiteraard zorgt juist dit maatschappelijke aspect, dat het perfecte maatschappelijke systeem zo fascinerend en intrigerend is. Het verdient echt een analyse. Echter de situatie van zonet met twee handelaren I en II is een uitzondering. Immers gewoonlijk bestaat de maatschappij uit vele handelaren. In de column over de Edgeworth box is uitgelegd, dat in geval van een groot aantal handelaren N de methode met de Edgeworth box een andere gedaante krijgt. De ruimte om te onderhandelen blijkt razendsnel in omvang af te nemen, naarmate meer handelaren meedoen. Als het aantal handelaren N nadert naar oneindig, dan reduceert die ruimte tot één punt. Met andere woorden, dan is er een uniek concurrerend evenwicht ontstaan. Aangezien in dat systeem de individuele handelaar niet meer kan sjacheren, bestaat er een unieke ruilverhouding voor elk paar goederen.

Deze eindtoestand is geheel stabiel, omdat ieder zich moet verzoenen met de vaste ruilverhouding. De vaste ruilverhouding coördineert het gedrag van de handelaren, als het ware achter hun rug om. Daarom is volgens Coleman de ruilverhouding in het perfecte systeem een grootheid op het macro-niveau. Nochtans is dit maatschappelijke systeem niet per se een economische markt. Vaak kan er niet een prijs in geld worden toegekend aan de private en ondeelbare goederen. Daarom geeft Coleman er de voorkeur aan om te spreken over de waarde van een goed j, die hij weergeeft met het symbool vj (van het Engelse woord value), met j = 1, ..., M. Uiteraard heeft de absolute waarde van vj geen betekenis. Relevant is enkel de verhouding, waarin twee goederen j en k worden geruild. Het aantal eenheden van goed j, dat men krijgt voor een eenheid van goed k, wordt gegeven door de breuk vk/vj.

Men zou één waarde vj kunnen uitkiezen als de zogenaamde numéraire. Dat impliceert dat het goed van de numéraire een absolute waarde van 1 heeft. Echter Coleman legt de absolute waarden van alle goederen op een andere manier vast. Namelijk, beschouw de handelaar i, die op tijdstip t=0 beschikt over goederen cij(0), met j=1, ..., M. Het geheel van deze hulpbronnen heeft een waarde

(4)     ri = Σj=1M   vj × cij(0).

Coleman noemt ri (van de Engelse term resources) ook wel de macht van handelaar i. Immers naarmate i beschikt over meer middelen, is hij beter in staat om anderen te belonen. Aangezien al het handelen wordt opgevat als een vrijwillige ruil, zal i steeds dezelfde waarde aan hulpbronnen en middelen behouden. Dat wil zeggen, ri is onafhankelijk van de tijd.

Kwartetkaart Vrouwenbond FNV
Figuur 2: Kwartetkaart
 Bron: Vrouwenbond FNV

De totale rijkdom van het systeem bedraagt Σi=1N  ri. Definieer Σi=1N  cik(0) = γk. Dit is de totale hoeveelheid van middel k in het systeem, die uiteraard evenmin afhangt van de tijd. Kennelijk geldt er

(5)     Σi=1N  ri   =   Σj=1M  γj × vj

Natuurlijk blijft ook de totale rijkdom in het systeem behouden. Klaarblijkelijk is het linkerlid onafhankelijk van de tijd. Coleman legt nu de absolute grootte van de ruilwaarden vj vast door de totale rijkdom gelijk aan 1 te kiezen. Merk op, dat die totale rijkdom een grootheid is op het macro-niveau.

Aldus staat de individuele handelaar i voor de opgave

(6)     maximaliseer Ui(ci1, ci2, ..., ciM, t) met inacht neming van de begrotingsbeperking ri

De hoeveelheden van de hulpbronnen zijn de variabelen. Een dergelijke opgave kan worden opgelost met behulp van de methode van Lagrange. Zij maakt gebruik van de Lagrangiaan

(7)     L = Ui + λ × (ri − Σj=1M  vj × cij(t))

In de formule 7 is λ de multiplicator van Lagrange. Stel dat de handelaar i zijn optimum heeft bereikt na een tijd t van handel. Kennelijk moet in zijn optimum gelden dat

(8)     Ui × xji / cij(t) = λ × vj

Aangezien de formule 8 geldt voor alle middelen j in het optimum, moet elk paar j en k in deze evenwichts toestand voldoen aan

(9)     xji / (vj × cij(t)) = xki / (vk × cik(t))

Het fascinerende aan de formule 9 is, dat zij in de evenwichtstoestand het verband aangeeft tussen de ruilwaarde vj en de voorkeuren xji van alle handelaren (i=1, ..., N), uitgaande van een gegeven verdeling cij(0). Coleman laat daadwerkelijk zien, hoe in het concurrerende evenwicht een gesloten formule kan worden berekend voor de ruilwaarden vj. Hij start met de normeringen ξi van de voorkeuren bij de handelaren, en met hun begrotingsbeperkingen ri. Deze verschijnen, zodra men de formule 9 iets herordent en aan beide zijden van de gelijkheid sommeert over j: 

(10)     vk × cik(t) × ξi = xki × Σj=1M  vj × cij(t)

Herorden de formule 10, en sommeer aan beide zijden van de gelijkheid over i. Gebruik de definitie van γk, de totale hoeveelheid van middel k in het systeem, dan volgt er:6

(11)     vk = (1/γk) × Σi=1N  (xki / ξi) × Σj=1M  vj × cij(0)

De formule 11 beschrijft een stelsel van M lineaire vergelijkingen in vj. Aangezien zij allemaal vj=0 als oplossing hebben (met j=1, ..., M), levert de formule 10 kennelijk nog geen unieke oplossing. Men krijgt wel een unieke oplossing (ongelijk aan nul), indien men de zonet vermelde normering Σj=1M  γj × vj = 1 toevoegt. Daarmee kan inderdaad vj voor het concurrerend evenwicht worden uitgerekend.

Coleman laat zien dat de formule 11, tezamen met de normering van vj, kernachtiger kan worden weergegeven in matrix notatie. Merk daartoe allereerst op, dat vj een staande vector v voorstelt. Evenzo is cij(0) een N×M matrix C, en xji is een M×N matrix X. Definieer nog twee vierkante diagonaal matrices, waarin alle elementen buiten de diagoneel gelijk zijn aan nul, te weten Γ = δkh × γk, en Ψ = δih / ξh. In deze twee formules is δhk de bekende Kronecker delta, die nul is, behoudens bij h=k, waar zij 1 is. Aldus krijgt de formule 11 de matrix gedaante7

(12)     Γ v = X Ψ C v

De formule 12 is een homogene matrix vergelijking. De particuliere oplossing, die per definitie ongelijk is aan nul, kan ook in de matrix gedaante worden gebracht. Zet daartoe eerst Σj=1M  γj×vj = 1 om in de gedaante Σj=1M  (Γ v)j = 1. Definieer vervolgens de M×M matrix Ε met elementen εjk = 1/M, en de staande vector η met elementen ηj = 1/M. Dankzij deze definities kan de normering worden geschreven in matrix gedaante als Ε Γ v = η 8. Deze matrix formule kan zodanig worden gecombineerd met de formule 12, dat de uitkomst is (Γ − X Ψ C + Ε Γ) v = η. Aldus kan de ruilwaarde vector direct worden berekend uit de matrix vergelijking

(13)     v = (Γ − X Ψ C + Ε Γ)-1 η

In de formule 13 geeft de boven-index (-1) aan, dat de inverse van de matrix tussen haakjes moet worden gebruikt. Daarmee is het model voltooid. Nu v bekend is, kunnen ook de andere belangrijke grootheden worden berekend, zoals de rijkdom r, en de matrix C*(t) in het concurrerende evenwicht. Bijvoorbeeld wordt de formule 4 in matrix notatie gelijk aan r = C v.


De machtsverdeling tussen de handelaren

Sticker NKV
Figuur 3: sticker NKV

In hoofdstuk 27 van zijn boek geeft Coleman een aantal boeiende voorbeelden over de manier, waarop het zonet gepresenteerde perfecte maatschappelijke systeem kan worden toegepast. Zij worden behandeld in de rest van deze column. Allereerst wordt onderzocht wat de machtsverdeling tussen de handelaren is. De rijkdom rI van de concrete handelaar I is de meest algemene indicator van diens macht. Immers daarmee kan hij hulpbronnen en deelrechten van de andere handelaren opkopen. Aangezien dit evenwel een maatschappelijk systeem is, en niet louter een economisch systeem, zal het uitoefenen van macht niet per se verlopen via geld. Soms wordt de macht uitgeoefend, doordat I een hulpbron j direct ruilt voor een hulpbron of deelrecht k van een andere handelaar II 9.

Echter niet altijd zal de handelaar II behoefte hebben aan de hulpbron j van I. Dan stokt de directe ruil. Nochtans kan de handelaar I nog steeds de hulpbron k van II verwerven, namelijk wanneer hij een derde handelaar III inschakelt. Dan moet deze handelaar III wel behoefte hebben aan de hulpbron j van I. En bovendien moet III een hulpbron hebben, die de handelaar II wil ruilen voor diens hulpbron k. In schema wordt dit I(j) → III → II, gevolgd door I ← III ← II(k). De handelaar III vervult de rol van intermediair. Men noemt dit een indirecte ruil van de eerste graad. Aldus zou men de directe ruil een indirecte ruil van de nulde graad kunnen noemen. Dit schema kan naar believen worden uitgebreid, bijvoorbeeld wanneer ook de indirecte ruil van de eerste graad geen uitkomst biedt. Dan kan een vierde handelaar worden ingeschakeld, bijvoorbeeld in het schema I(j) → III → IV → II. Dat is een indirecte ruil van de tweede graad. Enzovoort.

De kern van dit betoog is dat de handelaar I controle kan uitoefenen over de handelaar II, ook wanneer I niet direct toegang heeft tot II. In dat geval moet I gebruikmaken van zijn netwerk. Die controle wordt des te sterker, naarmate de handelaren in het netwerk van I wèl veel macht hebben over II. Coleman werkt dit controle mechanisme zelfs kwantitatief uit. Uw columnist vat zijn analyse samen met enkele opmerkingen in een voetnoot10.


Transactie kosten tussen handelaren

In een onvolkomen systeem (in het Engels imperfect) zullen er gewoonlijk transactie kosten optreden, wanneer twee handelaren een ruil van goederen of middelen overeenkomen. Transactie kosten vormen een noodzakelijk kwaad en dus een verlies, omdat zij geen behoefte van de handelaren bevredigen. Stel dat de totale rijkdom in het systeem bij aanvang t=0 gelijk is aan 1, en dat het bereiken van het maatschappelijke evenwicht een waarde rN+1 aan transactie kosten vereist. Dan zal in het evenwicht op tijdstip t de totale rijkdom zijn gereduceerd tot Σi=1N  ri(t) = 1 − rN+1.

Coleman breidt nu zijn model van het maatschappelijke systeem uit met het verlies van rijkdom door transactie kosten (zie p.732 en verder). Merk op dat de formule 10 in matrix notatie wordt weergegeven door v = Γ-1 X Ψ r(0). Invullen van r = C v leidt tot

(14)     r(t) = C Γ-1 X Ψ r(0)

In het formalisme uit de verhandeling over het perfecte systeem blijft alle rijkdom behouden, zodat er geldt r(t) = r(0). Dat is niet meer zo in het geval, dat er transactie verliezen optreden.

Definieer gemaks halve Z = C Γ-1 X Ψ. Dan beschrijft de formule 14 de relatie ri(t) = Σh=1N  zih × rh(0). Deze formule drukt uit hoe tijdens de vorming van het evenwicht de handelaar i een deel van zijn rijkdom verruilt met de andere N−1 handelaren. Stel dat αih de efficiëntie is van de ruil tussen i en h, met αih waarden in het interval [0, 1]. Dan kunnen de transactie verliezen worden verwerkt in het model door de formule te wijzigen in ri(t) = Σh=1N  zih × αih × rh(0). Gemaks halve maakt Coleman nu de aanname dat de machtsbalansen ri/rh niet veranderen door de transactie verliezen11. De rijkdom van elke handelaar daalt met een fractie 1−rN+1, zodat er geldt ri(t) = (1 − rN+1) × ri(0). Aldus vindt men ri(0) = Σh=1N  zih × αih × rh(0) + rN+1 × ri(0).

Coleman wil ook deze formule in de matrix vorm brengen. De matrix Z wordt vervangen door de matrix Φ, met elementen φih = zih × αih, met i en h in 1, ..., N. Bovendien maakt hij een (N+1) × (N+1) matrix van Φ, door als laatste column toe te voegen φi,N+1 = ri. Voor φN+1,N+1 wordt 0 genomen12. De onderste rij wordt dan φN+1,h = 1 − Σi=1N  zih × αih, voor h < N+1. Zoals de lezer zelf kan nagaan op een kladblaadje, leiden deze definities tot het resultaat

(15)     r(0) = Φ r(0)


Vertrouwen in een lineair systeem van handelen

In hoofdstuk 28 behandelt Coleman een opwindend thema, te weten de rol van vertrouwen in de maatschappelijke ruil. Hij analyseert met name het vertrouwen in de leveringszekerheid bij de handelaren. Het uitgangspunt is dat de ruil niet gelijktijdig plaats vindt. De handelaar i staat enkele van zijn hulpbronnen af aan de handelaar h, waarbij de laatst genoemde de belofte doet om zijn aanwinst op een later tijdstip te compenseren door hulpbronnen te leveren aan de handelaar i. Aangezien de levering van h aan i in de toekomst ligt, is zij niet helemaal zeker. De handelaar i veronderstelt, dat de kans op levering een grootte p heeft. Aldus is er een keten van drie gebeurtenissen: i levert aan h, h zegt de leverantie aan i toe met een kans p, en op het afgesproken moment levert h wel of niet aan i. De handelaar i heeft controle of macht over zijn eigen levering aan h, en over het maken van de afspraak met h. Echter hij heeft geen controle over de uiteindelijke levering.

De formule 1 illustreert welke afweging de handelaar i moet maken. Stel i levert de hulpbron j aan de handelaar h, in de hoop daarvoor de hulpbron k terug te ontvangen. Zijn leverantie aan h veroorzaakt een verlies aan nut ter grootte van L = xji × ln(cij(t) / cij(0)). Merk op, dat geldt cij(t) < cij(0), zodat L inderdaad negatief is. De leverantie van h zou aan i een nut opleveren ter grootte van G = xki × ln(cik(t) / cik(0)). Aangezien deze leverantie onzeker is, heeft zij een verwacht nut van p×G. Kennelijk zal de handelaar i instemmen met de transactie, indien er geldt dat p×G + L > 0. Aangezien p×G kleiner is dan G, zal de handelaar i ter compensatie wat meer van de hulpbron k willen ontvangen dan bij de ruil in een situatie met gegarandeerde leveringszekerheid. Merk op, dat wegens de onzekerheid het lijkt alsof de belangen coëfficiënt xki verandert in xki' = p×xki. Deze wijziging verandert tevens de belangen-som ξi.

Een ruil kent altijd twee handelaren. Ook de handelaar h moet afwegen of de ruil nuttig is voor hem. Daarbij zijn meerdere situaties denkbaar. Het kan zijn dat h zelf overtuigd is dat hij zal leveren aan i. In dat geval zal hij zijn verlies L berekenen onder de aanname, dat de levering zeker doorgaat. Zijn afweging wordt niet beïnvloed door de feitelijke onzekerheid van de ruil. Anderzijds is de situatie denkbaar, dat ook de handelaar h zich bewust is, dat zijn levering onzeker is. Dan mag hij zijn verlies afwaarderen tot p×L. Het lijkt dan alsof de belangen-coëfficiënt gelijk is aan xkh' = p×xkh 13.

De zojuist beschreven transactie is een eenmalige ruil. Coleman beschouwt ook het geval, waarin de handelaar i veronderstelt, dat alle leveringen een kans p hebben om te worden gerealiseerd. Hij analyseert deze situatie met behulp van een marginale analyse. De handelaar i gebruikt de grootheid ∂Ui/∂cij om te beslissen, of hij zijn hulpbron j zal ruilen voor de hulpbron k. Aan de hand van de formule 1 kan men inzien dat er geldt

(16)     ∂Ui / ∂cij = xji × Ui / cij + p × (xki × Ui / cik) × ∂cik / ∂cij

De eerste term in het rechter lid van de formule 16 geeft aan wat de handelaar i verliest door de ruil. Dit is de marginale versie van de term L. De tweede term geeft aan wat de verwachte winst p×G is bij de overeenkomst. Daarin komt de MSV van j en k voor.

Grafiek van bedrijvigheid bij onzekerheid
Figuur 4: bedrijvigheid ν bij onzekerheid p (ξ=1)

Stel dat de vector v van ruilwaarden is gegeven. Immers de handelaar i gaat zijn transacties niet bilateraal aan, maar multilateraal. De vector v wordt daadwerkelijk bepaald op het macro-niveau. Dan moet de MSV gelijk zijn aan vj/vk. Nu zal de handelaar i bereid zijn om de hulpbron j af te staan, zolang een afname van cij gepaard gaat met een stijging van zijn nut Ui. Dat wil zeggen ∂Ui/∂cij < 0. Hij stopt met de ruil zodra er geldt ∂Ui/∂cij = 0. Dat is voor de handelaar i de evenwichts situatie. Vul deze voorwaarde in bij de formule 16, dan is het resultaat

(17)     xji × cik × vk = p × xki × cij × vj

Men herkent hierin de formule 9. Dankzij de formule 17 wordt een beter inzicht gekregen in de uitwerking van onzekerheid op het ruilgedrag. Namelijk, merk op dat er sprake is van een gelijkwaardige ruil, zodat er in het evenwicht op tijd t moet gelden cik(t) = (cij(0) − cij(t)) × vj/vk. Elimineer hieruit met behulp van de formule 17 de grootheid cij(t), dan is het resultaat

(18)     cik(t) = (vj/vk) × cij(0) × xki × p / (xji + xki×p)

Interessant is welke hoeveelheid cik(t) van de hulpbron k de handelaar i wil verwerven, in vergelijking met de situatie van gegarandeerde leverings zekerheid p=1. Noem deze verhouding ν. Definieer gemaks halve nog ξi = xji + xki, dan vindt men voor de verhouding ν:

(19)     ν = ξi × p / (ξi − xki × (1−p))

Het is direct duidelijk, dat ν stijgt naarmate het vertrouwen p toeneemt. Met andere woorden, een maatschappij waarin de handelaren er op kunnen vertrouwen dat afspraken worden nagekomen, bevordert de handel en bedrijvigheid. Naarmate dat vertrouwen inzakt, zijn de handelaren geneigd om vast te houden aan hun eigendom. De formule 19 toont tevens, dat onzekerheid enigszins kan worden overwonnen door begeerte. Immers, naarmate xki toeneemt, zal ook de verhouding ν stijgen. Deze beide ontwikkelingen (p en xki) zijn weergegeven in de figuur 4.


Rekenvoorbeelden

De huidige column wordt afgesloten met enkele rekenvoorbeelden, die zijn ontleend aan het boek van Coleman, in een licht gewijzigde vorm. Het voorbeeld dient enkel om de diverse fenomenen te illustreren, en wordt verder zo simpel mogelijk gehouden. Stel dat er twee handelaren zijn, een boer en een industrieel. De boer produceert per periode 10 balen graan (cg,b = 10), en de industrieel produceert in dezelfde periode 10 machines (cm,i = 10). De boer wil een deel van zijn graan bewaren, onder meer om te kunnen zaaien, en heeft slechts weinig machines nodig. Daarom is zijn kolom van belangen gelijk aan xb = [0.8, 0.2]. De industrieel kan de machines gebruiken voor zichzelf, maar hij heeft ook graan nodig om zijn personeel te betalen. Zijn kolom van belangen is gelijk aan xi = [0.5, 0.5]. De twee kolommen tezamen vormen de matrix X. De boer en de industrieel proberen te voorzien in hun behoeften door onderling balen graan en machines te ruilen.

Allereerst wordt nu dit systeem doorgerekend met het model van het perfecte maatschappelijke systeem. Merk op dat er geldt γb = γi = 10, en ξb = ξi = 1. Men berekent nu met de formule 13, dat de vector van waarden gelijk is aan v = (1/70) × [5, 2]. Kennelijk geldt voor de verhouding van ruilwaarden vg/vm = 5/2. Men berekent nu met r = C v, dat de boer een macht of controle heeft ter grootte van rb = 5/7, en de industrieel heeft een macht ter grootte van ri = 2/7. De machtsverhouding is 2.5. Als men de formule 9 gebruikt, dan vindt men na enig rekenen dat de boer en de industrieel 2 balen graan ruilen voor 5 machines. Aldus heeft in het concurrerende evenwicht de boer c(t)b = [8, 5] en de industrieel heeft c(t)i = [2, 5].

Het volgende rekenvoorbeeld betreft hetzelfde maatschappelijke systeem, echter nu met transactie kosten. Stel dat de boer en de industrieel allebei 5% van hun rijkdom moeten besteden om de overeenkomst mogelijk te maken. Dat betekent in termen van de zonet ontwikkelde notatie dat geldt r3 = 0.05. Deze situatie doet zich voor, indien de boer ruilt met een efficiëntie αb,m = 0.9, en de industrieel ruilt met een efficiëntie αi,g = 0.75. De lezer kan op een kladblaadje nagaan, dat aldus is voldaan aan de formule 15. Voor dit simpele geval is de matrix Z gewoon gelijk aan de matrix X. Dan kan de matrix Φ worden opgevat als een belangen matrix, waarbij de coëfficiënten buiten de diagonaal zijn gereduceerd door de verliezen bij de ruil.

Coleman stelt op p.734 van zijn boek voor om de 2×2 sub-matrix linksboven in Φ te gebruiken als de belangen matrix in het model van het perfecte maatschappelijke systeem. Als hiermee de berekening van de formule 13 wordt uitgevoerd, dan vindt men het resultaat v = (1/100) × [7, 3]. De verhouding van ruilwaarden is vg/vm = 7/3. De boer heeft een macht ter grootte van rb = 7/10, en de industrieel heeft een macht ter grootte van ri = 3/10. Kennelijk is de machtsverhouding nu 2.333, en dus is zij veranderd ten gunste van de industrieel14. Echter als men weer de formule 9 gebruikt, dan blijken slechts 1.837 balen graan te zijn geruild voor 4.286 machines. In dit evenwicht heeft de boer c(t)b = [8.163, 4.286] en de industrieel heeft c(t)i = [1.837, 5.714]. Dus wegens de transactie kosten is de handel en bedrijvigheid minder dan in de situatie met volkomen concurrentie.

Als derde en laatste rekenvoorbeeld wordt hier het maatschappelijke systeem met onzekerheid uitgewerkt. De boer levert balen graan aan de industrieel, maar schat de kans op levering van de machines slechts op p=0.7. De industrieel is bij het afsluiten van de overeenkomst overtuigd, dat hij zelf gewoon zal leveren aan de boer. Aldus verandert de kolom van belangen van de boer in xb = [0.8, 0.14], terwijl die van de industrieel gelijk blijft aan xi = [0.5, 0.5]. De toepassing van de formule 13 leidt tot het resultaat v = (1/20) × [1.541, 0.459]. De verhouding van ruilwaarden is vg/vm = 3.357. De boer heeft een macht ter grootte van rb = 0.77, en de industrieel heeft een macht ter grootte van ri = 0.23.

De machtsverhouding is hier 3.357, en dus staat de boer nu sterker dan in de situatie van totaal vertrouwen (p=1). Dit is een verrassende vondst, die ook wordt gerapporteerd door Coleman (zie p.751). Als men weer de formule 9 gebruikt, dan blijken slechts 1.49 balen graan te zijn geruild voor 5 machines. In dit evenwicht heeft de boer c(t)b = [8.51, 5] en de industrieel heeft c(t)i = [1.49, 5]. Dus wegens het wantrouwen is de handel en bedrijvigheid minder dan in de situatie met volkomen zekerheid.

  1. Zie Foundations of social theory (1990, Harvard University Press) van J.S. Coleman. De modellen in deze column zijn ontleend aan de hoofdstukken 25 tot en met 28. (terug)
  2. Zie Homo oeconomicus (1996, Presses Universitaires de France) van P. Demeulenaere. Dit boek heeft een filosofische inslag, en leest daarom nogal moeilijk. (terug)
  3. Eerlijkheids halve moet worden vermeld, dat Coleman een iets andere terminologie gebruikt. Hij noemt U de tevredenheid, en Z noemt hij het nut. Op zich is dat toegestaan. Immers de transformatie van U naar Z wordt gegeven door Z = eU. Als het nut U een ordinale schaal heeft, dan laat deze transformatie de ordening van voorkeuren intact. Aldus hebben U en Z identieke kenmerken. Nochtans volgt uw columnist Coleman niet in deze definitie van het nut, omdat zij verwarring wekt. Bijvoorbeeld is het "grensnut" van Z gelijk aan ∂Z / ∂cik = xki × Z / cik. En ∂(∂Z / ∂cik) = xki × (xki−1) × Z / cik². Dan is er nog enkel een afnemend grensnut, indien er geldt xki < 1. Inderdaad neemt Coleman dit aan, op p.675. Anderzijds is bij de grootheid U geen beperking van xki nodig om een afnemend grensnut te waarborgen. (terug)
  4. Namelijk op een isonuts curve is Ui constant. Differentieer voor dit geval de formule 1 naar cik. Men vindt 0 = Σj=1M   (xji / cij) × ∂cij / ∂cik. Stel dat slechts één cij afhangt van cik. Met andere woorden, er is een ruil in slechts twee dimensies. Dan vindt men xki / cik = -(xji / cij) × ∂cij / ∂cik. Dus xki × cij / (xji × cik) = -∂cij / ∂cik. Op de contract curve geldt ∂cI,j / ∂cI,k = ∂cII,j / ∂cII,k. Invullen van de zonet gevonden formule in deze identiteit geeft xk,I × cI,j / (xj,I × cI,k) = xk,II × cII,j / (xj,II × cII,k). En dat is juist de formule 3 in een iets andere schrijfwijze. (terug)
  5. Immers de formule 8 kan worden herordend tot vk × cik(t) × xji = vj × cij(t) × xki. (terug)
  6. Herorden eerst de formule 10 in vk × cik(t) = (xki / ξi) × Σj=1M  vj × cij(t). Sommeer over i, dan vk × γk = Σi=1N  (xki / ξi) × Σj=1M  vj × cij(t). Merk nu op, dat Σj=1M  vj × cij(t) juist de rijkdom ri is, en die is onafhankelijk van de tijd. Daarom mag worden gekozen voor t=0. Dit voltooit de afleiding van de formule 11. (terug)
  7. Immers Σh=1M  γk × δkh × vh = γk × vk. En Σi=1N  xki × Σh=1N   (1/ξh) × δih × Σj=1M  chj(0) × vj = Σi=1N  xki × (1/ξi) × Σj=1M  vj × cij(0). (terug)
  8. Dit is een nogal rare maar ook simpele kunstgreep. Immers Σk=1M  (1/M) × (Γ v)k = 1/M is niets anders dan Σk=1M  εjk × (Γ v)k = ηk. (terug)
  9. Het vermelden waard is de manier, waarop Coleman zijn model toepast op de arbeidsmarkt. Zie p.713 en verder in zijn boek. De werkgever heeft macht, omdat hij een betaalde functie kan aanbieden met bepaalde taken en arbeidsvoorwaarden. De macht van de sollicitant bestaat uit zijn talenten en vaardigheden. In het marktevenwicht meet het arbeidsloon enerzijds de waarde van de functie, en anderzijds de waarde van de arbeidskracht. Interessant is ook, dat Tinbergen een soortgelijk model van de arbeidsmarkt heeft ontwikkeld. Men ziet aan dit model, dat op de arbeidsmarkt geen sprake is van product hoeveelheden. Elke eenheid van een hulpbron (functie of arbeidskracht) is uniek en eenmalig. (terug)
  10. Op p.691 berekent Coleman op dezelfde manier als voor v, dat de vector van rijkdommen wordt gegeven door r = (I − C Γ-1 X Ψ + Ε)-1 η. In deze formule is I de eenheidsmatrix. De matrix Ε en de vector η zijn hier gevuld met elementen 1/N. Zie ook het vervolg van de hoofdtekst in de column. Op p.730 expandeert hij de inverse matrix in een machtreeks, te weten r = Σp=0ω  (C Γ-1 X Ψ − Ε)p η. Hier stelt het symbool ω oneindig voor. Coleman betoogt nu dat in deze reeks de term p=0 de directe wisselwerking voorstelt. De term p=1 is de indirecte wisselwerking van de eerste graad. Enzovoort. Definieer Z = C Γ-1 X Ψ, dan bevat de reeks termen met zik − 1/N. Volgens Coleman kan de handelaar i een sterke controle uitoefenen, indien de handelaren k in zijn netwerk zorg dragen dat zik > 1/N. (terug)
  11. Op p.732-733 is dat niet bijster duidelijk vermeld. Maar Coleman verwijst daar wel naar zijn verhandeling over open systemen op p.695 en verder, waar hij die zelfde aanname eveneens maakt. (terug)
  12. Volgens Coleman moet φN+1,N+1 gelijk worden gezet aan rN+1. Echter volgens uw columnist kan dat niet kloppen, want dan ontstaat er een onverklaarbare extra term rN+1². (terug)
  13. Coleman laat zien dat het effect van vertrouwen en onzekerheid ook kan worden geanalyseerd met zijn model van het maatschappelijke systeem. Coleman vindt het voor het huidige thema van vertrouwen handig om in het model een ruil van gebeurtenissen (in de Engelse taal events) te bestuderen, in plaats van een ruil van hulpbronnen (zie p.723). Aldus kunnen gebeurtenissen worden gemodelleerd, die afhangen van andere gebeurtenissen, hoewel zij niet onder de controle van de handelaren vallen. Denk aan de zojuist besproken levering van de handelaar h aan de handelaar i, die mogelijk wordt dankzij de afspraak tussen de beide handelaren, maar die niet met zekerheid zal plaatsvinden. Daartoe definieert Coleman de matrix van afhankelijkheden B, waarvan het element bjk uitdrukt hoeveel de gebeurtenis j bijdraagt aan de realisatie van de gebeurtenis k. Volgens Coleman verandert dan de belangen matrix in B X. Aangezien de uitleg van Coleman hier nogal verwarrend is, doorziet uw columnist deze aanpak niet helemaal, en bewaart daarom de bespreking voor een toekomstige column. (terug)
  14. Strikt genomen is het wonderlijk, dat de positie van de industrieel is verbeterd ten opzichte van de boer. Immers de industrieel heeft hogere transactie kosten (25%) dan de boer (10%). Ook vindt uw columnist het wat merkwaardig, dat Coleman het model van het concurrerend evenwicht toepasbaar acht in een situatie, waarin rijkdom verloren gaat door transactie kosten. Immers zulke kosten suggereren een asymmetrie van informatie, die de maximalisatie van het nut frustreert. Wegens al deze onduidelijkheden houdt uw columnist een slag om de arm, want het zou kunnen dat hij de bedoeling van Coleman niet geheel juist overbrengt. Des al niettemin is de materie dermate fascinerend, dat zij een plaats verdient in de huidige column. (terug)