Schaling van het geldnut bij inkomens

Plaatsing op Heterodox Gezelschap Sam de Wolff: 11 oktober 2013

E.A. Bakkum is eindredacteur van de periodiek Sociaal Vooruit, en een betrokken PvdA lid. Hij is beroepsmatig werkzaam bij het Socialistisch Centrum, waar hij de functie van zaakwaarnemer vervult.

Intussen is er op deze portaal al een groot aantal columns verschenen over de meetbaarheid van het nut, en daarmee samenhangende grootheden zoals preferenties en tevredenheid. Een meting vereist een schaal. De huidige column besteedt aandacht aan de schalings-methoden, die in gebruik zijn bij de sociologische wetenschap. In een algemene beschouwing wordt het denk-kader neergezet, inclusief enkele excursies naar Leninistische werken (met dank aan antiquariaat Helle Panke). Daarna wordt de Probit methode verklaard, zoals Bernard van Praag haar toepast bij de schaling van het geldnut bij inkomens.


Sociologische schalings-methoden

De mens-wetenschappen verschillen van de natuur-wetenschappen door de aard van het object, dat moet worden onderzocht. Bijvoorbeeld doorvorst de sociologie de menselijke houding, dat wil zeggen allerlei gedragingen en meningen, in een maatschappelijke context1. De kennis over dit thema is eveneens vereist in de economische wetenschap, voor zover die terug grijpt op subjectieve keuzen, zoals bij menselijke voorkeuren. Een onderzoeker zal een bepaald aspect van de menselijke houding onder de loep nemen, en een poging doen om de empirische en theoretische kennis daarover te vergroten. Gewoonlijk worden de empirisch verzamelde gegevens zodanig omgewerkt, dat zij kunnen worden gerepresenteerd door één of meer indicator(en). Aldus kan de in de gegevens opgeslagen informatie kern-achtig worden weergegeven. Er wordt vooral gezocht naar causale verbanden.

Een indicator is objectief, wanneer hij is opgebouwd uit feitelijke gegevens (aantallen, hoeveelheden, formele typeringen, materiële observaties en waarnemingen, enzovoort). Een indicator is subjectief, wanneer hij is samengesteld uit persoonlijke meningen. Er zijn geen andere grenzen gesteld aan de gedaante van een indicator, dan dat hij informatie verstrekt over het bestudeerde aspect van de menselijke houding. Een veel voorkomend voorbeeld van de indicator is de index (zelf eventueel samengesteld uit diverse indices, zoals bij de human development index).

De numerieke waarde van de indicator wordt gevonden door allerlei metingen uit te voeren binnen de doelgroep van het onderzoek. Het toekennen van een waarde aan de indicator vereist, dat er een meet-schaal beschikbaar is. In de sociologie wil men vaak ontdekken, welk bewustzijn binnen de groep heerst ten opzicht van een aspect of thema. Een veel voorkomende waarde-meting van een indicator is de vragen-lijst, waarbij elke vraag betrekking heeft op een bepaald item. Elk item heeft zijn eigen schaling. De huidige column betreft de inkomens-tevredenheid, en die wordt vast gesteld in slechts één vraag (item).

Metingen moeten objectief zijn, dat wil zeggen, bij alle onderzoekers een zelfde resultaat opleveren. Voorts moeten ze betrouwbaar zijn, en dus reproduceerbaar in een herhaling. En tenslotte moet de meet-methode geldig zijn, dat wil zeggen, een zinvol resultaat opleveren. Dit laatste kan bijvoorbeeld worden getoetst aan de hand van een theoretisch model (constructie). Stel dat het theoretische model de waarde X oplevert, dan is de meet-waarde Y = X + ε, waarin ε de afwijking weergeeft. De afwijking mag geen systematisch karakter hebben, want dan deugt de meet-methode niet (of het model). Daarom moet de verwachtings-waarde E[ε] van ε over een groot aantal metingen gelijk zijn aan nul2.

De theoretische constructie wordt ook wel de latente dimensie genoemd, omdat zij niet direct waarneembaar is. Soms is het model meer-dimensionaal, en maakt gebruik van bijvoorbeeld n grootheden Xj (j=1, ..., n). In zo een factor-analytisch model voldoet de meet-waarde aan Y = (α·X) + ε. Hierin is X de vector-notatie van Xj en α is een vector van constanten, waarvan de waarden zodanig worden aangepast, dat de identiteit met Y zo goed mogelijk geldig is. Dit aanpassings-proces heet in het Engels een fit. De term tussen haken stelt het algebraïsch inproduct voor.

Op deze portaal is in eerdere columns over het economische nut diverse malen het onderscheid gemaakt tussen een ordinale schaling en een cardinale schaling. Gedurende een lange tijd was in de economische wetenschap de keuze voor één van de beide schalen controversieel. De econoom V. Pareto startte deze controverse, toen hij aantoonde dat men soms in de theorie voldoende heeft aan een ordinale schaal. Dien ten gevolge zou het gebruik van de cardinale schaal overbodig zijn3. Inderdaad is de cardinale schaling van een hoger niveau dan de ordinale. Maar dit betekent tevens, dat zij meer informatie oplevert. Niet zelden is die extra informatie van vitaal belang, zodat toch de cardinale benadering de voorkeur heeft. In de economie groeit de aanhang voor deze benadering met de opkomst van de inter-disciplinaire wetenschap.

De sociologie kent een zeer uitgebreide classificatie van schalings-methoden. Het loont de moeite om ze even langs te lopen, omdat dat bijdraagt aan het inzicht. De simpelste schaling is nominaal. Hierbij is de meet-waarde niets meer dan een indeling in categorieën. Bijvoorbeeld: sporten, tuinieren en lezen zijn categorieën van vrije tijds besteding. Elke schaal-aanduiding is toelaatbaar, zolang zij de klassen maar onderscheidt. Er is een gering aantal zinvolle reken-kundige bewerkingen mogelijk, bijvoorbeeld nagaan welke klasse of verzameling qua aantal elementen de grootste is.

In de ordinale schaling ordent de meting de objecten overeenkomstig een bepaalde eigenschap. De lezer kent al het economische voorbeeld van het individuele nut van een product. Hier zijn alle schalingen bruikbaar, die de objecten ordenen in dezelfde volgorde. Met andere woorden, elke transformatie van de schaal, die de volgorde ongewijzigd laat, is toegestaan. De schaling is eenduidig op dit type transformaties na. Een typische reken-kundige bewerking bij de ordinale schaling is het bepalen van het middelste object in een rij. De economische tegenvoeter is de cardinale schaling, die in de sociologie gewoonlijk de interval schaling wordt genoemd. Deze schaling bevat meer informatie dan de ordinale, en is daarom van een hoger niveau.

Bij de interval schaling wordt naast de volgorde ook de afstand tussen alle objecten gemeten. Het is mogelijk om twee verschil-waarden te vergelijken. Het bekendste voorbeeld uit de economie is het grensnut, dat wordt berekend uit het verschil van twee nuts-waarden. Het kenmerk van deze schaling is, dat de schaal zonder enig verlies aan informatie kan worden veranderd via een lineaire transformatie. Als op de ene schaal de waarde X is afgelezen, dan voldoet ook de schaal met waarden Y = α1×X + α2. Een bekend voorbeeld zijn de temperatuur schalen Celsius en Fahrenheit. Merk op, dat de keuze van het nulpunt geen invloed heeft op de afstanden tussen objecten. Een typische reken-kundige bewerking is hier het berekenen van rekenkundige gemiddelden. Immers dat is in essentie een transformatie-invariante grootheid: de grootste afwijking van het gemiddelde zal dat nog steeds zijn na de lineaire transformatie.

Het vermelden waard is tenslotte de ratio- of verhoudings schaling. Hierbij worden alle verhoudingen van de object-waarden bepaald. Dien ten gevolge meet de schaal feitelijk percentages. Uiteraard is de economie vergeven van dit soort schalen: denk aan de groei-voet, de rente-voet, het werkloosheids-percentage, inflatie enzovoort. Bij de verhoudings schaal is de keuze van het nulpunt essentieel. Dit is natuurlijk zeer in het oog springend bij geld-sommen zoals inkomens en vermogens. Enkel onder evenredige transformaties Y = α×X blijven de eigenschappen nog invariant. Bij deze schaling is ook het meetkundig gemiddelde een relevante (want behouden onder evenredige transformaties) grootheid.

Een aardig kenmerk van al deze schalen is, dat empirisch het type schaling van een meet-methode kan worden geverifieerd. Men moet dan nagaan, of de meet-waarden voldoen aan de axioma's, die behoren bij een bepaald schalings-niveau. Bijvoorbeeld moet in geval van de ordinale schaal zijn voldaan aan het transitiviteits-axioma. Dit axioma stelt, dat alle meet-waarden yj paars gewijze moeten voldoen aan de causaliteit: als (yi > yj) en (yj > yk), dan geldt (yi > yk). Men kan simpelweg empirisch controleren, of inderdaad aan dit axioma is voldaan. Daarbij kunnen kleine afwijkingen worden getolereerd, zolang zij vallen binnen de fouten-marge van de meet-waarden.

Zoals de lezer intussen gewend is, wordt er even in de Leninistische vak-literatuur gekeken of daarin bijkomstige inzichten zijn te vinden. Voor zover uw columnist kan nagaan, valt dat tegen. Kennelijk (en merkwaardiger wijze) is in de Leninistische staten het sociologische onderzoek pas veertig jaren later opgestart dan in het westen4. Daarom kunnen de Leninistische sociologen gewoon de westerse inzichten overnemen. Nu is een kenmerk (en een vloek) van de Leninistische wetenschappers, dat zij verslingerd zijn aan de polemiek jegens alles wat kapitalistisch is. Ook de sociologen kunnen niet nalaten om een was-lijst op te stellen van voor-behouden, waarvan het merendeel hier ongenoemd mag blijven.

Uw columnist vindt de meest markante toevoeging, dat het menselijke bewustzijn wordt opgevat vanuit het Leninistische materialisme. Dat wil zeggen, in laatste instantie is al het maatschappelijke handelen te herleiden tot de productieve verhoudingen. Met name geldt dit voor het bewustzijn, dat wordt gevormd in het proces van materiële productie, en dat omgekeerd zelf inwerkt op die productie. Aldus wordt de sociologie geplaatst in een materialistisch denkraam, dat ontbreekt in het westen. Het onderzoek naar de menselijke houding ten opzichte van de arbeid vormt een speerpunt in de Leninistische sociologie. Het lijkt meer een beperking dan een verrijking.

Men voert als een voordeel aan, dat hierdoor alle sociologen hun aandacht kunnen richten op één thema. Zij hoeven zich niet te vermoeien met bijvoorbeeld de menselijke perceptie van yoghurt toetjes, zoals in het kapitalisme. Bovendien geeft het Leninistische leerstuk van het historische materialisme ongeveer de toekomstige richting aan, waarin de productieve structuur zich zou moeten ontwikkelen. Hierdoor is het in een zekere mate mogelijk om de (on)wenselijkheid van bepaalde menselijke houdingen te beoordelen. Dien ten gevolge zijn de Leninistische sociologen moralistischer dan hun kapitalistische collega's, die dit soort ver-gezichten ontberen. Het onderzoek-object, de gewone mens, wordt "verblijd" met een waarschuwende sociologische vinger5.


De probit methode van schaling

Het thema van de huidige column is de schaling van het geldnut bij inkomens. In de zeventiger jaren zorgde de zogenaamde Leidse school voor een doorbraak in de kennis van dit soort nuts-metingen. Het theoretische kader is onder andere te vinden in hoofdstuk 2 van het fascinerende boek Happiness quantified, van Bernard van Praag en Ada Ferrer-i-Carbonell. Hier zal worden geprobeerd om hun betoog zo helder mogelijk weer te geven. De zogenaamde probit methode neemt hierbij een centrale plaats in. Ten einde meer gevoel te krijgen voor deze methode, heeft uw columnist naast het boek nog diverse teksten op het world wide web geraadpleegd.

In de vorige paragraaf is al opgemerkt, dat bij de meting van het geldnut van inkomen slechts één vraag wordt gesteld aan de individuen in de doelgroep. Dit is dus een voorbeeld van een uiterst eenvoudige indicator. De vraag luidt: "Hoe tevreden bent u vandaag met uw huishouds-inkomen?". De ondervraagde mag kiezen uit zeg vijf alternatieven: totaal niet, matig, voldoende, goed, zeer goed. Dit type vraag noemt men de inkomens tevredenheids vraag (in de Engelse taal income satisfaction question, afgekort tot ISQ).

Het antwoord op de vraag geeft het nut U weer, dat de ondervraagde toekent aan zijn inkomen. De schaling is in ieder geval ordinaal, want de waarden kunnen worden geordend naar de stijgende voorkeur. De waarden kunnen worden getransformeerd, bijvoorbeeld naar een schaling van 1 tot en met 5, waarbij 1 = totaal niet, en 5 = zeer goed. Als men de schaling cardinaal wil maken, dan zou ook nog het verschil in tevredenheid tussen bijvoorbeeld "voldoende" en "goed" moeten worden gekwantificeerd. Merk op, dat de schaling eindig is, dat wil zeggen, zij heeft concrete uiteinden. Dat negeert dus extreme houdingen. Bijvoorbeeld wordt een euforische tevredenheid zoals "verrukkelijk" gewoon ondergebracht in de categorie "zeer goed".

De meet-waarde is subjectief, omdat hij afhankelijk is van de persoonlijke houding ten opzichte van materiële welvaart. Aangezien wetenschappers op zoek zijn naar causale verbanden, zullen zij nog andere informatie verzamelen over de ondervraagden. Uiteraard is het meest voor de hand liggende objectieve item het huishouds-inkomen Y van de ondervraagde. Aldus bouwt men een bestand op van gegevens-paren (Yk, Uk), waarbij de index k het nummer van de ondervraagde is. Gemaks halve wordt voortaan de alternatieve waarden van de nuts-indicator Uk gemeten als n, met n in de verzameling {1, 2, 3, 4, 5}.

Afbeelding van meet-punten
Figuur 1: Meet-waarden van U en ln(Y)

De figuur 1 toont grafisch een typisch bestand aan meet-resultaten van een dergelijke studie. Gemiddeld neemt de tevredenheid toe met het inkomen. En de modale groepen {2, 3, 4} zijn het grootste. Men kan deze empirische resultaten valideren door een theorie te construeren, die causale samenhangen beschrijft, en die een redelijke overeenkomst vertoont met de empirische gegevens. Zo een constructie maakt de meet-waarden plausibel, doordat de achter liggende menselijke houding er meer zichtbaar door wordt. Dien ten gevolge gaan Van Praag en Ferrer-i-Carbonell op zoek naar een latente variabele Z(Y), die afhangt van het inkomen. Immers U is slechts een indicator van het werkelijke individuele nut6, dat hier zal worden gemodelleerd door de zelf niet waarneembare functie Z(Y).

Van Praag en Ferrer-i-Carbonell kiezen voor de probit methode, die door hen de geordende probit methode wordt genoemd (in de Engelse taal ordered probit, afgekort tot OP). Probit is een samentrekking van "probability unit". De methode wordt gekenmerkt door de latente model vergelijking, die hier de vorm heeft:

(1)     ln(Z) = α × ln(Y) + ε

In de formule 1 stelt ln() de natuurlijke logaritme functie voor, en α is een nader te bepalen model-constante. Het gebruik van de logaritme herkent de trouwe lezer uit de column over de geldnut theorie van Van der Wijk. Hieraan ligt de neiging van mensen ten grondslag om geld-sommen relatief ten opzichte van elkaar te vergelijken, en niet absoluut. De term ε beschrijft de afwijking vanwege de persoonlijke houding.

Merk op, dat ln(Z) een continu verloop heeft, in tegenstelling tot de discrete U-waarden, zoals die zijn weergegeven in de figuur 1. Toch is de bedoeling, dat ln(Z) min of meer zal samenvallen met U. De lezer begrijpt: dat zal niet meevallen. Ten einde te zorgen, dat de meet-waarden en de model-vergelijking overeen komen, wordt er een keuze-mechanisme ingebracht in het model. Dat mechanisme maakt gebruik van grenzen νn. Als er geldt dat νn < ln(Z) ≤ νn+1, dan kiest de ondervraagde voor meet-waarde U=n. Dien ten gevolge moeten er zes constanten aan het model worden toegevoegd, te weten {ν1, ν2, ν3, ν4, ν5, ν6}. De waarden van de νn worden zodanig gevarieerd, dat de beste overeenkomst ("fit") wordt verkregen tussen U en ln(Z). Ze zijn gelijk voor alle huishoudens, evenals trouwens de model-constante α

Tenslotte moet in de formule 1 nog de persoonlijke term ε nader worden gedefinieerd. Daarbij wordt gebruik gemaakt van de door de statisticus Adolphe Quetelet bedachte kunstmatige mens (in het Waals de homme moyen)7. In dit model hebben de menselijke eigenschappen een Gaussische of normale waarschijnlijkheids verdeling. Quetelet constateert, dat dit model in tal van opzichten de werkelijkheid accuraat beschrijft. Het ligt nu voor de hand om te veronderstellen, dat ook de materiële gezindheid onder alle mensen van de onderzoek-groep is verspreid volgens een normale verdeling. De probit methode maakt daadwerkelijk deze aanname.

Afbeelding van latente nuts functie
Figuur 2: ln(Z) als functie van ln(Y)
  met omslag-grenzen voor de persoonlijke voorkeur
  en normale spreiding van persoonlijke voorkeuren

Aldus zijn de waarden van ε gespreid volgens de normale waarschijnlijkheids dichtheids functie fμ,σ(ε), ook wel aangeduid door N(μ, σ²) 8. In het probit model wordt verondersteld, dat de gemiddeld verwachte waarde gelijk is aan E[ε] = μ = 0. Voor de variantie van de verdeling neemt men σ² = 1. Dit is toelaatbaar, omdat de schaling invariant is voor een lineaire transformatie. Daarmee is de model vergelijking in de formule 1 helemaal vast gelegd. Men noemt de formule 1 een koppelings (in de Engelse taal link) functie, omdat aan discrete waarden een continu verlopende functie wordt gekoppeld.

De figuur 2 laat schematisch zien, welke waarde het model voorspelt voor de latente variabele ln(Z). Merk op, dat de intervallen tussen de grens-waarden {νn} (de blauwe horizontale lijnen) een variabele lengte hebben. De vier groene verticale lijnen representeren enkele mogelijke waarden van ln(Y), met de bijbehorende normale spreiding in de persoonlijke houding.

De opgave wordt nu om zodanige waarden te kiezen voor α en de verzameling {νn}, dat de overeenkomst tussen U en ln(Z) maximaal is. Voor dit doel gebruikt de probit methode gewoonlijk de maximale waarschijnlijkheids schatting (in de Engelse taal maximum likelihood methode)9. Hierin is het criterium voor de best mogelijke aanpassing, dat de theoretische kans om de empirische verzameling {Uk} te meten maximaal is.

Dat werkt als volgt. Stel de ondervraagde met nummer k heeft gekozen voor Uk=n. Dan eist de model vergelijking van de formule 1, dat ln(Z) ligt in het interval <νn; νn+1]. De latente variabele van de ondervraagde heeft de waarde ln(Z) = α × ln(Yk) + εk. Daarom moet de waarde van de afwijking εk liggen in het interval <νn − α × ln(Yk); νn+1 − α × ln(Yk)].

Aangezien εk normaal is verdeeld, kan men de kans Prk(α, νn, νn+1) hierop berekenen uit de cumulatieve verdelings functie Φμ,σ 10. Om precies te zijn, de kans is gelijk aan Φ0,1n+1 − α × ln(Yk)) − Φ0,1n − α × ln(Yk)). De lezer, die bekend is met de statistische theorie, zal deze aanpak herkennen. De term is gelijk aan het oppervlakte van de waarschijnlijkheids dichtheids functie f0,1 tussen de punten εk = νn − α × ln(Yk) en εk = νn+1 − α × ln(Yk).

Afbeelding van meet- en functie-waarden
Figuur 3: meet-punten en latente functie ln(Z)
  de gele oppervlakken tonen de kansen dat het punt
  op de groene lijnen wordt gemeten

Vervolgens kan de maximale waarschijnlijkheids functie L(α, {νn}) worden gedefinieerd. Stel dat het totale aantal metingen in de figuur 1 gelijk is aan K, dan is de functie gelijk aan L(α, {νn}) = Pr1(α, {νn}) × Pr2(α, {νn}) × ... × PrK(α, {νn}). De maximale waarschijnlijkheids schatter (in de Engelse taal estimator) van L(α, {νn}) is de combinatie van waarden α, ν1, ν2, ν3, ν4, ν5 en ν6, die L maximaal maakt. De schatter kan worden gevonden door die zeven waarden te variëren over het toegelaten bereik, en bij elke combinatie van waarden de bijbehorende waarde van L te berekenen. Dat zijn inderdaad berekeningen, die een enorme omvang kunnen aannemen.

Ter illustratie van de zojuist beschreven probit methode laat de figuur 3 zien hoe de figuren 1 en 2 kunnen worden ineen geschoven. Bovendien zijn in de figuur 3 vier meet-punten geselecteerd door er een groene verticale lijn door te trekken. Theoretisch vereist de keuze voor de nuts-waarde U=n, dat ε tussen de met n corresponderende omslag-grenzen ligt. Bij elk van de meet-punten is het oppervlak van de waarschijnlijkheids dichtheids functie tussen de twee grenzen geel ingekleurd. Naarmate dat oppervlakte groter is, heeft de bijbehorende meet-waarde een grotere kans om op te treden. Men ziet bijvoorbeeld dat het derde meet-punt in de staart van de dichtheids functie ligt.

Hiermee zijn de eerste beginselen van de schaling en meting van het nut (satisfaction) van het inkomen op basis van de probit methode geschetst. Van Praag en Ferrer-i-Carbonell merken op, dat de schaling enkel mogelijk is door gebruik te maken van de kwantitatieve latente nuts functie ln(Z). Hoewel de meting zelf een louter ordinale schaling gebruikt, vereist de validatie met de theoretische constructie feitelijk een cardinalisatie van het nut. Dien ten gevolge wordt de probit methode gekenmerkt door een impliciete cardinalisatie 11.


De probit methode met meerdere variabelen

Hoewel de lengte van de voorgaande paragraaf anders doet vermoeden, is feitelijk het daarin beschreven geval uitermate simpel. Namelijk er zijn behalve het huishouds-inkomen allerlei andere variabelen denkbaar, die eveneens invloed zullen uitoefenen op de latente nuts-functie ln(Z). Voor de hand liggend is de gezins-grootte G. Immers naarmate het gezin groter wordt, zal het huishoudens-inkomen moeten worden verdeeld over meer gezins-leden. Van Praag en Ferrer-i-Carbonell hebben een groot aantal variabelen betrokken in hun studie, onder andere het aantal volwassenen in het huishouden, het aantal kinderen, en de familie structuur.

Afbeelding van meet-punten
Figuur 4: Meet-waarden van U = 1, 2, 3, 4, en 5,
  ln(Y) en ln(G)

Als bijvoorbeeld de gezins-grootte G wordt toegevoegd aan de formule 1, dan verandert zij in

(2)     ln(Z) = α × ln(Y) + β × ln(G) + ε

In de formule 3 verschijnt er een extra constante β, waarvan de waarde eveneens zal moeten worden geschat met de maximale waarschijnlijkheids methode. De figuren 1, 2 en 3 worden drie-dimensionaal, omdat de waarden van ln(G) moeten worden afgebeeld langs een derde as. De figuur 4 is een poging om het drie-dimensionale analogon van de figuur 1 te tonen, met de meet-waarden in een andere kleur voor iedere n. De punten met een bepaalde kleur liggen in het horizontale vlak met dezelfde kleur. Het zwaartepunt van de punten-wolk schuift steeds verder weg van de oorsprong.

Teneinde de column niet te lang te maken, wordt hij hier afgesloten. Natuurlijk begrijpt de lezer, dat het interessantste deel nog moet komen. Allereerst ontwikkelen Van Praag en Ferrer-i-Carbonell in hun boek ook een werkelijk cardinale schaling voor het geldnut van het inkomen. Daar en boven introduceren zij een alternatieve indicator, die zij de inkomens evaluatie vraag noemen (in de Engelse taal income evaluation question, afgekort tot IEQ). Hier worden de model-constanten niet via de probit methode aangepast bij de meet-waarden, maar via een regressie methode, zoals die van de lineaire kleinste kwadraten. Dit alles zal in een volgende column aan de orde komen.

Nóg spannender dan de alternatieve constructies is natuurlijk de toepassing van de methoden op de werkelijk gemeten houding van mensen. De lezer kan hiervan een voorproefje vinden in de column over de cardinaliteit van het grensnut. Uw columnist is voornemens nog vele andere toepassingen uit het boek van Van Praag en Ferrer-i-Carbonell te publiceren op deze webportaal. Minder interessant, maar voor statistici uiterst relevant, zijn de verhandelingen over de wiskundige methoden, waarmee de fouten-marge (betrouwbaarheid) kan worden berekend van de waarden van de model-constanten. Uw columnist zal deze beker aan zich voorbij laten gaan - tenzij een lezer bereid is om diep in zijn beurs te tasten.

  1. De informatie in deze paragraaf is vooral ontleend aan hoofdstuk 6 van Empirische Sozialforschung (2012, Rowohlt Verlag GmbH) van A. Diekmann, en in een mindere mate aan de inleiding en hoofdstuk 4 van Zur Technik und Methodologie soziologischer Forschung (1966, Dietz Verlag) van V. Stoljarow, J. Jauch, H. Jetzschmann, en I. Krasemann. Dit is een boek op Leninistische grondslag, dat afkomstig is uit de collectie van antiquariaat Helle Panke te Berlijn. De neiging tot polemiseren geeft aan de inhoud een eigen zinnigheid, die zeker haar charmes heeft. Maar zij frustreert de zozeer begeerde wetenschappelijke openheid.
  2. Michiel Mulder werkt dit aspect geestig uit in Het ongrijpbare gelijk van John Winkle (p.180): "Dat kan niet", herhaalt John. Hij kijkt Joep aan. "Dat zou betekenen dat er geen enkele morele prikkel te vinden is bij de neocortex bij wie dan ook. En als het niet in de neocortex zit, dan zit het nergens in de mens. Dan blijken alle proef-personen amoreel van karakter". "Het is een representatieve steekproef", probeert Joep, "We hebben alle personen via ... ". "Ja zeg, wijsneus. De empirie moet toch wel op enige manier samenhangen met het theoretisch kader. Het moet wel enigszins aansluiten bij de intuïtie en de reasonable common sense. Het moet wel logisch zijn om te kunnen kloppen. Als er hier en daar iets afwijkt, bij de oudjes bijvoorbeeld, of de zwakke persoonlijkheden, dat kan. Maar het kan niet volkómen haaks staan op het theoretisch kader. Dan is er wat fout gegaan op het operationeel niveau".
  3. Zie de beschouwing op p.3-4 van Happiness quantified (2008, Oxford University Press) van B.M.S. van Praag en A. Ferrer-i-Carbonell.
  4. Zie p.33 in Zur Technik und Methodologie soziologischer Forschung.
  5. Vanzelf sprekend heeft ook de kapitalistische wetenschapper een moraal. Willemijn Dicke zet dat treffend neer in Mea (p.14): Zo'n congres als dit heeft hem weer doordrongen van het "belang van wat wij, als laatste vrijen in de samenleving, dagelijks doen". Mea is geraakt. Niet door zijn boodschap. Stukadoors en dakdekkers zijn heel wat onmisbaarder voor de samenleving dan duur betaalde pennenlikkers. Ze is aangedaan door zijn kwetsbaarheid en ze is jaloers op zijn intrinsieke motivatie voor de wetenschap. Hij werkt niet alleen voor het geld of de status. Hij wil niet anders en hij kan niet anders. Wetenschap is niet zijn naam, maar zijn roeping.
  6. Van Praag en Ferrer-i-Carbonell zijn hierover niet altijd even duidelijk, maar op p.28 van Happiness quantified staat toch: "We remind the reader that satisfaction ln(Z) may be regarded as a utility".
  7. Zie p.96 en verder in Empirische Sozialforschung.
  8. Ter herinnering: de functie fμ,σ(ε) is gelijk aan exp(-½×ε²/σ²) / (σ×√(2×π)), waarin exp() de e-macht functie is.
  9. Deze methode is te vinden in elk fatsoenlijk inleidend boek over statistiek. Uw columnist heeft p.276 en verder van Introduction to the theory of statistics (1974, McGraw-Hill, Inc.) van A.M. Mood, F.A. Graybill, en D.C. Boes even geraadpleegd. Inderdaad, een overblijfsel uit de studie-tijd, toen nieuw gekocht voor €16.
  10. Ter herinnering: de functie Φμ,σ(η) is gelijk aan ∫η fμ,σ(ε) dε, waarin het symbool -ω staat voor negatief oneindig.
  11. Zie p.28-29 van Happiness quantified.