Het geldnut bij riskante beleggingen

Plaatsing op Heterodox Gezelschap Sam de Wolff: 14 augustus 2013

E.A. Bakkum is eindredacteur van de periodiek Sociaal Vooruit, en een betrokken PvdA lid. Hij is beroepsmatig werkzaam bij het Socialistisch Centrum, waar hij de functie van zaakwaarnemer vervult.

Een belangrijke economische grootheid is de portfolio van individuen. De portfolio-theorie bestudeert de vorm, waarin individuen hun vermogen aanhouden. De theorie maakt gewoonlijk gebruik van de hypothese van het verwachte nut van zo een portfolio. Het blijkt, dat vermogende individuen neigen tot een risico-mijdend gedrag (in de Engelse taal: risc aversion). Deze column grijpt terug op de geldnut-theorie van Van der Wijk om de diverse economische implicaties van de portfolio-theorie te illustreren. Bovendien wordt met de geldnut-theorie van Van Praag getoond, dat individuen risico-fiel handelen, indien de situatie daartoe uitnodigt.


De theorie van het verwachte nut

Diverse columns op dit web-portaal geven beschouwingen over het menselijke gedrag, dat tot uiting komt in allerlei economische besluiten van het individu. Dat individu maakt zijn afwegingen aan de hand van het subjectieve nut (of in de klassieke terminologie, die uitgaat van objectieve voorkeuren: de maatschappelijke gebruiks-waarde), dat hij toekent aan de verwachte gevolgen. Aangezien de gevolgen in de toekomst liggen, is het nut altijd ietwat onzeker. Besluiten zijn noodzakelijker wijze riskant. Soms zijn de onzekerheden minimaal, bijvoorbeeld bij de wekelijkse koop van een patatje oorlog bij de snackbar om de hoek. Maar in het algemeen loont het de moeite om tevoren bij het nemen van beslissingen alle risico's in te schatten.

In de economische wetenschap is veel theorie ontwikkeld over de mogelijk door een besluit veroorzaakte gevolgen, met name voor het geval dat die gevolgen elkaar wederzijds uitsluiten. Slechts één kan er werkelijkheid worden. Men noemt dit wel besluiten of keuzes onder onzekerheid, en het geheel aan gevolgen van de betreffende keuze wordt met enig gevoel voor dramatiek een loterij genoemd1. Soms is er een aftelbaar (eindig) aantal uitkomsten N van de loterij F, bijvoorbeeld wel of geen regen (N=2). Dan heeft elke uitkomst een kans pn, en een nut un (bijvoorbeeld, regen is goed voor de oogst). In andere gevallen is er een continue kans-verdeling, een kans-dichtheid f(x), waarbij elke uitkomst x van de loterij een nut u(x) heeft. De huidige column beschouwt uitsluitend loterijen met zo een continu scala aan uitkomsten.

De hypothese (of het theorema) van het verwachte nut stelt dat dat nut kan worden berekend uit de formule

(1)     U(f) = ∫ u(χ) × f(χ) dχ

Er wordt ge-ïntegreerd over alle mogelijke uitkomsten χ. Dat is een optelling, zodat het nuts-concept hier cardinaal is. De uitkomsten χ liggen ergens tussen -ω en ω, waarbij het symbool ω staat voor oneindig. U wordt ook wel de von Neumann-Morgenstern verwachte nuts-functie genoemd.

Merk op, dat de geaggregeerde waarschijnlijkheids-verdeling F(x) wordt berekend uit F(x) = ∫x f(χ) dχ. Voor een waarschijnlijkheids-verdeling geldt dat F(ω) = 1. Immers dan is gesommeerd over alle mogelijke uitkomsten. Evenzo is F(-ω) = 0. De integraal wordt verkort weergegeven als F(x) = ∫0F(x) dF. Met andere woorden, de dichtheids-functie f(x) is de afgeleide van F(x). Daarom kan het verwachte nut ook worden aangeduid als U(F).

Figuur van nuts-functie
Figuur 1: Geldnut volgens v.d. Wijk

De theorie van het verwachte nut kan bijzonder aardig worden uitgelegd aan de hand van de theorie van de inkomens-verdeling, die Jacob van der Wijk heeft ontwikkeld, en die is beschreven in een voorgaande column. De "loterij" is hier die van een individu, die overweegt om te emigreren naar een ander land. De migratie veroorzaakt bepaalde kosten voor het individu, en dus wil hij weten wat zijn toekomstige geldnut in het nieuwe vaderland zal zijn. Neem aan, dat hij niet weet hoe zijn vaardigheden daar zullen worden gewaardeerd. Dat wil zeggen, zijn nieuwe situatie zal die van de gemiddelde inwoner zijn.

Volgens Van der Wijk wordt het individuele geldnut van een inkomen x gegeven door

(2)     u(x) = ln((x − m) / c)

Hierin is m het bestaans-minimum in het betreffende land, en c is een empirisch te bepalen inkomens-modulus. Voorts veronderstelt Van der Wijk, dat u in de bevolking is verspreid volgens een normale waarschijnlijkheids-verdeling, met een gemiddelde van nul en een standaard-afwijking van σ². Dien ten gevolge zal het inkomen x zelf log-normaal zijn verdeeld.

De figuur 1 geeft het verloop van de nuts-functie u(x) grafisch weer. Wiskundig gezien voldoet zij aan ∂u/∂x >0 en ∂²u/∂x² < 0. Kennelijk is haar gedrag concaaf2. De intuïtieve verklaring is, dat de absolute stijging van het nut wordt bepaald door de relatieve stijging van het inkomen. Anders gezegd, het grensnut van het inkomen neemt af bij een groeiende x. Interessanter nog is dat het verloop van u(x) kenmerkend is voor een individu, dat geneigd is tot het mijden van risico's (risc aversion).


Risico mijdende besluiten

Definieer allereerst E(ψ(x)) als de verwachting van de waarde van één of andere functie ψ voor een gegeven geaggregeerde waarschijnlijkheids-verdeling F. Bijvoorbeeld zal dan blijkens de formule 1 gelden U(f) = E(u). Een andere interessante verwachtings-waarde is die van het gemiddelde inkomen:

(3)     E(x) = ∫ χ × f(χ) dχ

Een individu is neutraal ten opzichte van risico, wanneer zijn nuts-functie voldoet aan E(u(x)) = u(E(x)). De redenatie die dit aantoont luidt als volgt. Hij verwacht van de loterij een opbrengst E(x), en dat geeft aan hem een subjectief nut u(E(x)). Natuurlijk is het bij een loterij onwaarschijnlijk, dat je precies de verwachte opbrengst krijgt. Het werkelijk ontvangen bedrag kan minder zijn dan E(x), maar ook meer. Dien ten gevolge kan u(x) minder zijn dan u(E(x)), maar ook meer. Voorts is blijkens de formule 1 E(u(x)) zijn subjectief verwachte nut van de loterij. Als die twee nutten u(E(x)) en E(u(x)) aan elkaar gelijk zijn, dan staat klaarblijkelijk het individu onverschillig jegens de spreiding in de werkelijk ontvangen x. Hij neemt de onzekerheid voor lief. Als anderzijds U(f) = E(u) < u(E(x)), dan is het individu risico-foob. En als U(f) = E(u) > u(E(x)), dan is hij risico-fiel3.

Figuur van zekerheids equivalent
Figuur 2: E(x) en γ bij risico-mijding

De redenatie maakt aannemelijk, dat een risico-neutraal individu wordt getypeerd door u(x) = α × x + β, waarin α en β constanten zijn. Het geldnut is lineair in x. Daar en tegen geeft de figuur 2 het nut weer voor een risico-mijdend individu, zoals bijvoorbeeld Van der Wijk het zich voorstelt. Het argument in de gangbare theorie gaat als volgt. Neem omwille van de eenvoud even aan, dat de waarschijnlijkheids-verdeling F slechts twee uitkomsten kent, namelijk x1 met een kans p1, en x2 met een kans p2 = 1 − p1. Dan geldt4

(4)     (E(u(x)) − u(x1)) / (E(x) − x1) = (u(x2) − u(x1)) / (x2 − x1)

Blijkens de formule 4 ligt het punt (E(x), E(u(x))) precies op het verbindings-lijnstuk tussen (x1, u(x1)) en (x2, u(x2)). De figuur 2 laat duidelijk zien, dat bij een individu volgens Van der Wijk, met een concave nuts-functie, de waarde u(E(x)) hoger is dan het verwachte nut U(f) = E(u(x)). Het individu is risico-mijdend, omdat hij meer nut toekent aan het geld-bedrag E(x) dan aan een loterij, die dat bedrag als de verwachte uitkomst heeft. Daarom is in de figuur 2 zichtbaar, dat het nut van de loterij overeen komt met een geldbedrag γ, dat kleiner is dan E(x). Het bedrag γ wordt het zekerheids-equivalent van F genoemd, en voldoet aan u(γ) = U(f). Het individu is bereid om aan de loterij mee te doen, wanneer hij daarvoor γ moet betalen.

Beschouw nu weer het geval van het individu, dat een immigratie in een ander land overweegt. In dit geval blijkt E(u) = U(f) = 0 te gelden5. De formule 2 laat zien, dat hieraan is voldaan bij een zekerheids-equivalent van γ = m + c. Ook kan E(x) worden berekend6, en het resultaat is E(x) = m + c × exp(½ × σ4). De e-macht exp(½ × σ4) is groter dan 1, zodat inderdaad blijkt te gelden γ < E(x), overeenkomstig de conclusie in de voorgaande alinea's. Een concreet getallen-voorbeeld bij Van der Wijk7 voor de Nederlandse inkomens in het belasting-jaar 1915-1916: hij berekent empirische waarden van m = 568 gulden, c = 49.84 gulden, en σ² = 0.8024. Er volgt dat γ = 618 gulden en E(x) = 637 gulden.

Een grotere waarde van de variantie σ² betekent, dat de spreiding van nutten in de bevolking groter is. Dat introduceert een extra onzekerheid voor het toekomstige nut van de immigrant. Daarom maakt een grotere spreiding ook het verschil tussen E(x) en de zekerheids-equivalentie γ groter8. De migrant zal een grotere gemiddelde opbrengst eisen voor het bedrag γ dat hij investeert in de loterij.

In de economische theorie worden twee meetlatten gebruikt om het risico-mijdende gedrag te meten. De Arrow-Pratt coëfficiënt van absolute risico aversie is gedefinieerd als r(x) = − ∂²u/∂x² / ∂u/∂x. Een hoge waarde van r(x) betekent, dat het individu buitengewoon risico mijdend is. Voor de nuts-functie van de formule 2 is zij gelijk aan r(x) = 1 / (x − m). Deze functie daalt bij een toenemende x. Klaarblijkelijk zijn individuen bereid om wat meer risico's te nemen, naarmate zij rijker worden.

De tweede meetlat is de coëfficiënt van relatieve risico aversie. Zij is gedefinieerd als ρ(x) = x × r(x). In het model van Van der Wijk, dat een bestaans-minimum m kent, is wellicht een logischere definitie ρ = (x − m) × r. Aldus krijgt de coëfficiënt ρ in dat geval de waarde van 1. Met andere woorden, de coëfficiënt ρ is critischer dan de coëfficiënt r. Immers een afnemende absolute risico aversie impliceert nog niet een afnemende relatieve risico aversie.


Risico zoekende besluiten

Figuur van geldnut
Figuur 3: Geldnut volgens Van Praag

De veronderstelling van risico mijdend gedrag lijkt niet zo gek, maar kan in sommige situaties natuurlijk toch onjuist zijn. Soms zal het individu namelijk risico-zoekend zijn. In de voorgaande column over de cardinaliteit van het grensnut is al de geldnut-theorie van Bernard van Praag uitgelegd. Daar blijkt dat individuen weinig nut zien in een zeer laag inkomen x, omdat dat simpelweg onbruikbaar is. Bijvoorbeeld, je kunt jezelf niet in leven houden met één aardappel per dag. En je hebt niets aan enkel de linker-schoen. Het inkomen x krijgt pas echt nut, wanneer het een zekere minimale grens overschrijdt. In feite trekt Van der Wijk dezelfde conclusie, omdat hij het bestaans-minimum m introduceert.

In de zonet genoemde column is uiteen gezet, dat volgens Van Praag het grensnut van het inkomen x wordt gegeven door de normale dichtheids-functie fN(y), met y = ln(x). Dien ten gevolge is het nut u(x) van het inkomen gelijk aan de geaggregeerde log-normale waarschijnlijkheids-verdeling. Deze verdeling, die loopt van 0 naar 1, is grafisch afgebeeld in de figuur 3. Gemaks halve is σ² hier gelijk genomen aan 1. De figuur toont duidelijk, dat de nuts-functie voor lage waarden van het inkomen x convex is in plaats van concaaf. Dat komt overeen met een risico zoekend gedrag. Het individu is bereid om riskante loterijen aan te gaan, waarin de inleg groter is dan de verwachte uitkomst. In dit bereik van inkomens zijn de coëfficiënten van risico aversie negatief.


De portfolio theorie

De portfolio theorie beschrijft hoe de individuen (of huishoudens) hun vermogen onderbrengen in verschillende vermogens-soorten, die tezamen de portfolio (of beleggings-portefeuille) vormen9. Dit lijkt een ander studie-thema dan dat in de voorgaande paragrafen, die de inkomens behandelen. Maar bijvoorbeeld Van der Wijk gebruikt de formule 2 van het nut ook gewoon voor vermogens, zij het met andere waarden voor de constanten m en c. Elke vermogens-soort in de beleggings-portfolio heeft een eigen waarschijnlijkheids-verdeling van opbrengsten. Daarom kan de vermogens-soort worden opgevat als een loterij. Dan is vanzelf sprekend de portfolio eveneens een loterij. In deze situatie moet het individu beslissen welke portfolio aan hem het meeste nut oplevert.

Het geaggregeerde vermogen van het individu wordt voorgesteld door de formule

(5)     V = K + D + G + M

De rechterzijde van de gelijkheid in de formule 5 geeft de vier vermogens-soorten weer. Hier representeert K de kredieten aan ondernemingen, inclusief aandelen, D representeert de deposito's (spaar-tegoeden) bij banken, en M representeert geld in contanten (baar-geld). De soort G representeert kapitaal-goederen, die dus zuiver materieel zijn10. Denk aan grondstukken, onroerend goed, kunst, sieraden, enzovoort, kortom, relatief schaarse goederen.

Figuur van psychische waarderings-voet
Figuur 4: Waarderings-voet voor geld

Elke vermogens-soort heeft haar eigen kwaliteiten. Het geld M is liquide en is niet onderhevig aan waarde-schommelingen, afgezien van de inflatie. Daarom biedt het aanhouden van geld veel zekerheid. Dit wordt uitgedrukt in de psychische waarderings-voet IM (in de Duitse taal: nichtpekuniäre Verwertungs-rate), die relatief groot is voor de vermogens-soort baar-geld. Dit voordeel van geld wordt ook wel aangeduid als de liquiditeits-premie. De veronderstelling is, dat de psychische waarderings-voet enigszins daalt naarmate er meer van de betreffende vermogens-soort wordt aangehouden. De dalende tendens wordt grafisch geïllustreerd in de figuur 4.

Het gedrag in figuur 4 herinnert natuurlijk aan het dalende grensnut, maar IG moet niet worden opgevat als een (grens-)nut. Zij is een psychisch vermogens-rendement. Merk op, dat het aanhouden van geld in contanten geen enkel financieel rendement oplevert. Dit laatste geldt eveneens voor de vermogens-soort G, met uitzondering wellicht van grondstukken en onroerend goed, die soms een pacht krijgen. Bovendien is G minder liquide dan M, en altijd wat speculatief in waarde. Deze onzekerheden vinden hun weerslag in de hoogte van de psychische waarderings-voet IG van de kapitaal-goederen. De soort G heeft evenwel ten opzichte van M het voordeel, dat zij ongevoelig is voor inflatie.

Daar en tegen levert het aanhouden van een spaar-tegoed bij een bank wel een financieel vermogens-rendement op, zeg ter grootte van iD. Daardoor wordt de totale waarderings-voet van deposito's gelijk aan ID+iD, waarbij ID de psychische component voorstelt (de mate van zekerheid). Ook de kredieten aan ondernemingen leveren een financieel rendement op, zeg iK. De waarderings-voet voor de vermogens-soort K bedraagt dan IK+iK. Aangezien kredieten aan ondernemingen minder zeker zijn dan bank-tegoeden, zal bij dezelfde ingelegde geldsom gewoonlijk IK lager zijn dan ID. In beginsel zijn allebei de soorten K en D gevoelig voor inflatie, echter niet de waarde van aandelen.

Net zoals de consument probeert om het grensnut van al zijn consumptie-goederen in evenwicht te brengen, zal de belegger proberen om de waarderings-voeten van de verschillende vermogens-soorten te balanceren. De evenwichts-relatie is

(6)     iV = IK + iK = ID + iD = IG = IM

In de formule 6 is de inflatie buiten beschouwing gehouden. Merk op, dat IG, ID en IK a priori waarderings-voeten zijn. Zij weerspiegelen het gevoel van het individu, en niet de uiteindelijke (a posteriori), werkelijke uitkomst van de betreffende vermogens-soort.

De psychische waarderings-voeten IG, ID en IK hebben een dalend verloop bij een toenemend vermogen, net zoals in de figuur 4 is weergegeven voor IM. De reden is dat de belegger zich minder zeker zal voelen, naarmate een groter deel van zijn totale vermogen V is vast gelegd in één vermogens-soort. Met andere woorden, een gediversifeerde portfolio biedt meer zekerheid dan een eenzijdige. Een tegenvaller in het rendement van de ene vermogens-soort kan worden gecompenseerd door een meevaller in de andere.

Bovendien is al uitgelegd, dat elke vermogens-soort specifieke eigen kwaliteiten heeft, zodat ook daarom het wenselijk is om te kunnen schuiven met de samenstelling van de portfolio. Dankzij enig geschuif kan de aantrekkelijkheid van de portfolio als loterij worden vergroot. De formule 6 laat zien, dat de ondernemingen de beslissingen van de beleggers kunnen beïnvloeden door hun rentevoet iK te verhogen. Immers dan mag IK een wat lagere waarde aannemen, zodar er meer K kan worden aangehouden. Evenzo kunnen de banken de beslissingen van de beleggers beïnvloeden door hun rentevoet iD te verhogen.


Risico mijdende portfolio's

Beschouw nu het risico mijdende gedrag bij het samenstellen van een portfolio11. Stel dat het individu alleen kan kiezen tussen de vermogens-soorten K en M. Indien weer wordt afgezien van inflatie, behoudt baar-geld simpelweg zijn waarde. De verwachting E(M) is gelijk aan M. De verwachting E(K) is wat moeilijker te bepalen. Zelfs indien iK vooraf bekend wordt verondersteld, en positief is, kan de waarde van de belegging onverwacht dalen, bijvoorbeeld in het geval van aandelen. Bovendien zou de onderneming failliet kunnen gaan. Aldus is het werkelijke rendement ι van K onzeker12. De opbrengst κ = ι×K wordt bepaald door de geaggregeerde waarschijnlijkheids-verdeling F(ι). Dien ten gevolge is E(K) gelijk aan K × E(ι) = K × ∫ ι dF(ι). Uiteraard moet gelden E(ι) = E(K) / K > E(M) / M = 1, omdat alleen dan het risico mijdende individu zal willen beleggen in de onzekere soort K.

Tezamen zal het vermogen V van het individu een toekomstige opbrengst κ + M voortbrengen. Het nuts-maximalisatie probleem van het individu heeft de gedaante

(7a)     maxK,M ∫ u(ι×K + M) dF(ι)
(7b)     onder de voorwaarde V = K + M

Merk op, dat bij een gegeven vermogen V hier eigenlijk één grootheid moet worden gemaximaliseerd, namelijk K/V, de fractie die de kredieten aan ondernemingen uitmaken van het totale vermogen V. Immers M/V = 1 − K/V. Er kan wiskundig worden aangetoond, dat de oplossing K=0 nooit de optimale kan zijn13. Dit illustreert het algemene principe, dat zolang het risico van K maar rendeert (dat wil zeggen, E(ι) > 1) een risico mijdend individu altijd enig vermogen in K zal beleggen. Hij zal nooit al zijn vermogen aanhouden in baar-geld!

Merk tenslotte op, dat ook de formule 6 het resultaat is van een persoonlijk optimalisatie-proces. Dien ten gevolge moet er een verband bestaan tussen enerzijds de waarderings-voeten IM en iK+IK, en anderzijds de verdelings-functie F(ι) en de nuts-functie u. Helaas is uw columnist op dit moment niet bij machte dat verband te omschrijven14.

  1. De inhoud van deze column is vooral ontleend aan hoofdstuk 6 van Micro-economic theory (1995, Oxford University Press, Inc.) van Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston en Jerry R. Green, en aan hoofdstuk 16 van Microéconomie (2006, Presses Universitaires de France) van François Etner.
  2. Etner geeft in zijn boek nog twee andere voorbeelden van concave nuts-functies. De ene is u(x) = 1 + x − x² met x<½. De ander is u(x) = 1 − e-x. Zie p.394 aldaar.
  3. Achilles Mussche zet de risico-foben en -fielen sprekend neer in zijn roman Gedenksteen voor Rosa, wanneer hij het politiek-economische debat tussen de sociaal-democraten Eduard Bernstein en Rosa Luxemburg beschrijft (p.60): Twee richtingen, voor de zoveelste keer, botsten hier tegen elkaar. Twee soorten van mensen vertrekken samen als broers in de vroege morgen en gaan na korte tijd als vijanden onherroepelijk uiteen. Er is het type dat recht vóór zich uit in de verte naar het einddoel moet kijken, en er is het type dat telkens naar de slingerende weg vóór zijn voeten ziet. Er zijn de plooibaren en de steilen; er zijn de mensen die telkens moeten wikken en wegen, en de mensen die altijd moeten wagen; de wegers en de wagers tegenover het lot.
  4. Immers is E(u) = u(x1) + p2 × (u(x2) − u(x1)). En E(x) = x1 + p2 × (x2 − x1). Elimineer p2 uit deze twee formules, dan volgt na enig omschrijven de formule 4.
  5. Immers de formule 2 kan worden gebruikt om de integratie over χ in de formule 1 te vervangen door een integratie over u. Dan verandert de formule 1 in U(f) = ∫ u × dF, waarbij F een normale verdeling van u is, met een gemiddelde waarde van nul. Dus U(f) = E(u) = 0.
  6. Nu is E(x) = ∫ χ × f(u) du, met f(u) = 1 / (σ²×√2×π) × exp(-½ × u²/σ²). Wegens de formule 2 is χ = m + c×eu, en dit kan worden ingevuld in de integraal. Wegens ∫ f(u) du = 1 blijft de eerste term simpelweg m. De tweede term is c × ∫ eu × f(u) du. Na enig omschrijven van de te integreren grootheid vindt men als uitkomst van de integraal de waarde c × exp(½ × σ4). Tezamen leiden de termen tot E(x) = m + c × exp(½ × σ4), zoals was te bewijzen.
  7. Zie p.253 en verder in Inkomens- en vermogens-verdeling (1939, De Erven F. Bohn N.V.) van J. van der Wijk.
  8. Zie ook p.394 in Microéconomie.
  9. De informatie over de portfolio theorie is vooral afkomstig uit Volkswirtschaftslehre (2003, Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH) van Michael Heine en Hansjörg Herr.
  10. De vermogens-soorten hebben enigszins diffuse afbakeningen. Immers ook aandelen zijn per saldo een materieel vermogen, namelijk de outillage van de onderneming. Des ondanks zijn die ingedeeld bij de soort K.
  11. Deze paragraaf is overgenomen uit p.188 van Micro-economic theory.
  12. Met het rendement ι wordt hier bedoeld de totale opbrengst per belegde euro, inclusief de inleg K zelf. Dat wil zeggen, ι is niet het winst-percentage φ, maar 1+φ
  13. Zie p.189 van Micro-economic theory. In dit boek wordt de onmogelijkheid van K=0 aangetoond door te laten zien, dat deze optie onverenigbaar is met de zogenaamde Kuhn-Tucker voorwaarden voor maximalisatie. Dat is voer voor gevorderden, dat in deze inleidende column niet thuis hoort.
  14. Er moet worden volstaan met een paar voorzichtige en voorlopige aantekeningen. Ten eerste, de nuts-functie u heeft hier betrekking op het baar-geld, het geld in contanten. Ten tweede, voor een willekeurige geldsom v zullen de psychische waarderings-voeten voldoen aan IM(v) > IK(v). Het is verleidelijk om ι gelijk te stellen aan iK + IK(K) − IM(V-K). Echter ι is in het model van nuts-maximalisatie geen functie van het bestede vermogen K. Wel wordt via het rendement ι het geldnut omgezet in een gewogen nut u(ι, V, K) × f(ι).
    Vanzelf sprekend ligt aan de beide theorieën over de nuts-maximalisatie en de portfolio het mensbeeld van de homo economicus ten grondslag. Cornelie Huygens zet deze visie treffend neer in haar roman Barthold Meryan (p.157): "Gelukkig," besloot de spreker, "dat overal waar de vrijheid zich eenmaal heeft baan gebroken, geen teruggang meer mogelijk is. Elke schrede door de beschaving afgelegd, brengt ons nader tot de finale triomf van het individualistisch beginsel, dat, in oorsprong en wezen, de volkomen negatie is van de onwetenschappelijke gelijkheids-theorieën van de collectivistische schrijvers en sociale utopisten."