De verzadiging bij indifferentie-curven

Plaatsing op Heterodox Gezelschap Sam de Wolff: 11 juli 2013

E.A. Bakkum is eindredacteur van de periodiek Sociaal Vooruit, en een betrokken PvdA lid. Hij is beroepsmatig werkzaam bij het Socialistisch Centrum, waar hij de functie van zaakwaarnemer vervult.

De gangbare neoklassieke leer beperkt zich noodgedwongen tot een specifiek consumenten-gedrag. Door de meetbaarheid en verzadiging van nut te accepteren wordt het mogelijk om de bevrediging van behoeften in algemenere zin te bestuderen. Deze column start met de beschrijving van de nuts-berg. Vervolgens wordt uitgelegd, hoe de Russische econoom K.K. Val'tuch een model van indifferentie-curven ontwikkelt. Zijn formule is praktisch toegepast als doel-functie bij plan-berekeningen met een meer-perioden optimalisatie op basis van een vervlechtingsbalans.


Verschillende soorten nuts-functies

Je hebt nuts-verdelingen in allerlei soorten en maten. In de voorgaande columns is al een drietal soorten van nuts-verdelingen ten tonele gevoerd:


Nogmaals cardinaliteit bij nuts-functies

In een eerdere column is uitgelegd, hoe oorspronkelijk de leer van het grensnut is gebouwd op de aanname, dat nut meetbaar is. Wanneer wordt afgezien van meetbaarheid, en wordt gekozen voor een ordinaal nut, of wanneer zelfs het nuts-begrip helemaal wordt omzeild, dan verdwijnt ook de intuïtieve plausibiliteit van deze consumenten-leer. Bovendien wordt haar toepasbaarheid dan beperkt tot bepaalde speciale situaties. Er is dus veel voor te zeggen om te accepteren, dat nut meetbaar is (cardinaliteit).

Figuur van nuts-functie
Figuur 1: Nuts-functie met verzadiging

Vermeldens waard is in dit kader, dat de aanname van meetbaarheid essentieel is voor de bestudering van consumenten-voorkeuren in situaties met onzekerheid. Uw columnist is geattendeerd op dit fenomeen door de uitstekende economische weblog van Robert Vienneau. Een simpel voorbeeld illustreert waarover deze studies gaan3. Stel het verwerven van een eenheid product heeft een nut u1, en het verwerven van twee eenheden heeft een nut u2. Vraag nu aan het individu wat hij verkiest: (a) met zekerheid één eenheid product krijgen, dan wel (b) twee eenheden product krijgen met een kans p, waarbij er dus een kans 1 − p is dat hij helemaal niets krijgt.

Het is nu intuïtief duidelijk, en kan worden aangetoond, dat beide opties voor hem gelijkwaardig zullen zijn voor de situatie, waarin geldt dat p = u1/u2. Het rationeel denkende individu moet in staat worden geacht om zijn eigen p te kunnen inschatten, en kan kennelijk dankzij de afweging tevens de twee nutten onderling schalen. Dan kent hij ook hun relatieve verschil Δu/u2 = 1 − p. Net zoals in de al genoemde voorgaande column over cardinaliteit kan nut worden gemeten simpelweg door het individu te ondervragen!

Dankzij de aanname van cardinaliteit kan men vrij eenvoudig een model opstellen, waarin het verwerven van een product een last is geworden. De figuur 1 illustreert hoe aanvankelijk het nut u(x) toeneemt met de hoeveelheid x van het product. Op het punt x=χ treedt er verzadiging op, waarna nog meer ervan weer iets zal wegnemen van dat nut. De tegenwoordig algemeen gangbare neoklassieke leer van het grensnut kan dit geval eigenlijk niet aan, en dat heeft verrassende consequenties.

Figuur van isonuts-curven
Figuur 2: Indifferentie-map zonder verzadiging (a) en met (b)

Beschouw namelijk allereerst het verloop van de nuts-functie volgens de gangbare neoklassieke opvattingen. In zijn meest simpele vorm beeldt deze leer het nut af via de welbekende isonuts- of indifferentie-curven. Zij zijn zuiver persoonlijk. Elke curve verbindt product-combinaties met een gelijk nuts-niveau. Naarmate de hoeveelheid x aan producten toeneemt, en de afstand tot de oorsprong groter wordt, stijgt uiteraard het nut. De figuur 2a geeft een illustratie van zo een curven-veld of -map. Het individu zal net zolang de producten (of eigenlijk hun nuttige eigenschappen) uitruilen met andere individuen, totdat hij de voor zijn situatie maximaal bereikbare indifferentie-curve heeft bereikt. De indifferentie-map vormt als het ware een wal, die wordt beklommen.

Problematisch aan de figuur 2a is, dat het nut onophoudelijk blijft groeien. Want het klopt gewoon niet, dat iemand beter af is met bijvoorbeeld 100 pols-horloges in plaats van 99 (mits hij geen verzamelaar is). Ze worden een kwelling en een last4. Een last heeft een negatief (grens-)nut, en zal het totale nut van het individu verlagen. Figuur 1 laat dat zien voor het één-dimensionale geval. Aldus verandert in het twee-dimensionale geval de nuts-wal in een nuts-piek. Dit wordt afgebeeld in de figuur 2b. In de standaard leerboeken wordt dit aspect vaak genegeerd, maar niet altijd, zie bijvoorbeeld in Micro-economie van Dietz, Heijman en Kroese5. Uiteraard krijgt het hele nuts-begrip een ander perspectief, zodra rekening wordt gehouden met het dalende nut6.

In de eerdere column over cardinaliteit is geconstateerd, dat een individu nooit kennis kan hebben van het totale nuts-veld, zoals dat is afgebeeld in de figuur 2. Dat is mens-onmogelijk. Er is uiteen gezet hoe volgens de Russische plan-econoom K.K. Val'tuch en de Nederlandse econoom Bernard van Praag het individu beschikt over een beperkte en veranderlijke verzameling van voorkeuren en preferenties. Stel dat op een zeker tijdstip t het bezit in zijn situatie bestaat uit x(t), dan zijn enkel de indifferentie-curven in de directe omgeving van dat punt nauwkeurig aan hem bekend. Naarmate men verder weg beweegt van dat punt, worden zijn indifferenties vager. Hij heeft ze simpelweg nooit doordacht. Daarnaast worden de curven voortdurend aangetast, doordat er nieuwe producten op de markt verschijnen, waarmee hij nog geen ervaringen heeft opgedaan.


Een practische toepassing van indifferentie-curven

Er zijn een aantal redenen om aandacht te besteden aan de leninistische visie op de nuts-functie. Dankzij de ideologische richtingen-stijd tussen de kapitalistische en de plan-economieën lijden de economen uit het voormalige Oost-blok niet onder de verstikkende inkapseling van de neoklassieke grensnuts leer7. En hun werken zijn meer dan hier gericht op de praktische toepasbaarheid. Het waarde-vrije en fundamentele onderzoek bleef er voorbehouden aan politiek-ideologische studies en kritiek op het kapitalistische systeem. Het concentreerde zich op de internationale "methoden-strijd". Een nadeel van deze ideologische stelling-name is dat de grensnut leer met wantrouwen werd bekeken. Sowieso lijkt de leninistische wetenschap meer te voelen voor de sociaal-politieke discours dan voor de formeel-analytische redenatie.

Hoewel de leninistische plan-economen zich dus gewoonlijk verre hielden van "subjectieve" nuts-beschouwingen, was dit soort onderzoek niet verboden. Uw columnist beschikt over het werk Entwicklungs-proportionen und Befriedigung der Bedürfnisse van de Russische econoom K.K. Val'tuch, dat tal van originele ideeën bevat8. Deze paragraaf doorloopt er een aantal in vogelvlucht. Zijn model van indifferentie-curven heeft het unieke kenmerk, wellicht nood-gedwongen om over fondsen te kunnen beschikken, dat het daadwerkelijk is gebruikt bij praktische berekeningen.

Val'tuch ontwikkelt een theorie voor een maatschappelijke welvaarts-functie U(x1, ... , xN), zoals deze column beschrijft in het derde punt van de eerste paragraaf. De nuts-functie U heeft indifferentie-curven, net als ieder ander, maar zij behoren in dit geval toe aan het centrale plan-orgaan. Dit orgaan wordt gevoed met de meningen van de regering, de ministeries, de bedrijfs- en handels-combinaties, de wetenschap, enzovoort. Val'tuch stelt zich een nuts-verloop voor, zoals dat is weergegeven in de figuur 1. Daarbij benadrukt hij, dat je feitelijk niet van nut kunt spreken bij een enkel product, maar enkel in de situatie met een totaal pakket aan waren. De afzonderlijke producten krijgen hun nut in de historische en technologische context van de collectieve rijkdom en welstand.

Het nuts-begrip staat bij Val'tuch helemaal in dienst van het plan-proces, zijn broodheer. Op een zeker tijdstip t=0 bevindt de plan-productie zich op een bepaald niveau, dat door Val'tuch het normale niveau wordt genoemd. Dankzij het plan-proces is er een duurzame productieve groei, zodat het normale niveau nooit meer zal worden onderschreden. Voor het plan-proces heeft enkel de toekomstige groei bovenop het normale niveau een betekenis. Daarom is, wanneer er voortaan in deze paragraaf hoeveelheden x worden genoemd, hierbij uitsluitend de aangroei boven op het normale niveau bedoeld. De aangroei kan worden gepland, en dat wordt vastgelegd in het zogenaamde perspectief-plan. De perspectivische tijds-horizon bedraagt een periode van vijf of meer jaren.

Het plan-orgaan heeft als missie om binnen het perspectief-plan de behoeften van alle burgers zo goed mogelijk te bevredigen. Val'tuch verstaat onder de bevrediging van behoeften simpelweg het verschaffen van bepaalde diensten, waarover de burgers in de visie van het plan-orgaan willen beschikken. Behoeften zijn redelijk en hun vervulling is noodzakelijk in de gegeven historisch bepaalde situatie. Het niveau van de perspectivische behoeften wordt ontleend aan de toestand, waarin de vraag juist helemaal is verzadigd. Met andere woorden, het perspectivische niveau is x=χ. Een hoger niveau kan niet optreden, omdat dat onwenselijk is, en daarom het plan dat belet.

Aldus moet het plan-orgaan een behoeften-niveau zoeken, dat voldoet aan de voorwaarde 0 ≤ xn ≤ χn voor alle n. In het zoek-proces worden de hoeveelheden xn net zolang gevarieerd tot U(x) maximaal is. Merk verder op, dat op een indifferentie-curve U = constant de ruilvoet of marginale substitutie-verhouding ∂xj/∂xk negatief moet zijn. Als je een eenheid k opgeeft, dan moet het verlies aan nut worden gecompenseerd met extra eenheden j. Dien ten gevolge is de bolle kant van de indifferentie-curve gericht naar de assen van het veld.

In een indifferentie-veld (x1, x2) kan de stijging van xj (j=1,2) boven χj enkel worden voorkomen door eisen op te leggen aan de ruilvoet ∂xj/∂xk. Zodra er verzadiging optreedt bij het ene product, kan op de curve een verdere afname van de hoeveelheid van het andere product worden belet door ter compensatie een oneindige hoeveelheid van het verzadigde product te eisen. Natuurlijk kan daaraan onmogelijk worden voldaan. Om precies te zijn: als x11, dan moet de ruilvoet ∂x2/∂x1 nul zijn. De indifferentie-curve is er horizontaal. En als x22, dan moet de ruilvoet ∂x2/∂x1 negatief oneindig zijn. De indifferentie-curve is er verticaal.

Evenzo mag de curve nergens de coördinaten-assen x1=0 en x2=0 onderschrijden. Immers dat zou het normale niveau afbreken. Daar waar de indifferentie-curve de xj-as snijdt, mag de toename van xj niet worden gecompenseerd door een verdere afname (naar negatieve waarden) van xk. Dat wil zeggen, als xk=0, dan moet de ruilvoet voldoen aan ∂xj/∂xk=0. Aldus kan xj enkel toenemen met een eenheid, wanneer ter compensatie xk afneemt met een oneindige hoeveelheid eenheden, wat natuurlijk onmogelijk is. Feitelijk betekent dit, dat een indifferentie-curve eindigt, zodra zij de as snijdt.

Figuur van isonuts-curven
Figuur 3: Isonuts-curven volgens Val'tuch
met verzadiging en drie groei-paden

De figuur 3 geeft het indifferentie-veld van het plan-orgaan weer, zoals Val'tuch zich het voorstelt. Uiteindelijk wil het plan-orgaan het punt x=χ bereiken, dat de top vormt van de nuts-berg, net zoals dat is weergegeven in de figuur 2b. Het plan-orgaan moet een groei-pad kiezen naar de top toe, waarvan in de figuur 3 drie alternatieven zijn ingetekend. Aangezien de nuts-functie U op elk groei-pad een ander verloop zal hebben, moet de meest optimale worden uitgekozen. Uiteraard is het groei-pad een functie van de tijd t.

Merk op, dat de bepaling van het groei-pad essentieel verschilt met de bepaling van het "groei-pad" bij individuen, zoals de neoklassieke grensnut leer die kent. Immers het groei-pad van een individu verloopt uitsluitend via het eigen inkomen. Maar het plan-orgaan heeft de macht om ook het aanbod van producten aan te sturen. Daarbij moet het rekening houden met de beschikbare productie-capaciteiten, waarover het op het tijdstip t=0 kan beschikken! De sturing van het aanbod (in casu de productie) betekent, dat het plan-orgaan de waarde (de kost-prijs) van producten kan variëren.

Voor de praktische toepassing van het indifferentie-veld is het handig om het te schrijven in een wiskundige vorm. Daarom gaat Val'tuch op zoek naar een formule voor de ruilvoet ∂x2/∂x1. In ieder geval moet die formule voldoen aan de rand-voorwaarde ∂x2/∂x1=0 in x11 en in x2=0, en aan de randvoorwaarde ∂x2/∂x1 = negatief oneindig in x22 en in x1=0. De simpelste formule, die hieraan voldoet, is

(1)     ∂xj/∂xk = - (xj / xk) × (1 − xkk) / (1 − xjj)

De formule 1 kan worden opgelost met de methode van de scheiding van variabelen. Deze leidt tot

(2)     (1 − xjj) × (1 / xj) × dxj = (xkk − 1) × (1 / xk) × dxk

Het linker-lid en het rechter-lid kunnen allebei simpel worden geïntegreerd. Het resultaat is

(3)     ln(xj) − xj / χj = xk / χk − ln(xk) + c

In de formule 3 is ln(.) de functie van de natuurlijke logaritme, en c is een willekeurige integratie-constante. Als beide zijden worden ingevuld in het argument van de e-macht e(.) of exp(.), dan volgt daaruit de relatie xj × xk / exp(xjj + xkk) = constant. In de meer algemene gedaante met N producten verandert de indifferentie-curve in een hypervlak, dat wordt gedefinieerd door de formule

(4)     (Πn=1N xn) / exp(Σ n=1N xnn) = C

In de formule 4 is Π het symbool voor de vermenigvuldiging van de variabelen, en Σ is het sommatie symbool. Op de indifferentie-curve is de grootheid C een constante. Varieer nu xj, en houdt de overige xk met k≠j constant. Dan geldt er (niet vermeld in het boek van Val'tuch)

(5)     ∂C(xj)/∂xj = C(xj) × (χj − xj) / (χj × xj)

De formule 5 bewijst, dat C een stijgende functie van xj is. Daarom kan C worden gezien als een grootheid, die aangeeft hoe nuttig het waren-pakket (x1, ..., xN) is. Met andere woorden, C vervult de rol van de nuts-waarde op de indifferentie-curve. Aldus kan U(x1, ..., xN) = C inderdaad worden opgevat als de vergelijking van een indifferentie-vlak. Voor zover uw columnist het begrijpt, is deze nuts-functie in beginsel ordinaal. De formule 4 is bijzonder handig voor een plan-orgaan, dat zoekt naar een optimale inrichting van het economische systeem. Immers de formule maakt het mogelijk om het nut U van de diverse alternatieve productie-resultaten onderling kwalitatief te vergelijken.

Om deze reden stelt Va'tuch voor om de door de formule 4 gegeven functie U(x) te gebruiken als een doel-functie Z(x) bij optimalisatie-berekeningen voor het economische plan. De trouwe lezer herinnert zich de columns over meer-perioden optimalisatie, op de basis van een vervlechtings-balans. De doelfunctie Z uit die reken-voorbeelden is vaak simpelweg de omvang van het totale product. De doelfunctie U=C uit de formule 4 brengt veel nauwkeuriger de werkelijke voorkeuren van het plan-orgaan in rekening. Een praktisch nadeel van deze doel-functie is wel, dat zij niet-lineair is, in tegenstelling tot de gebruikelijke doel-functies. Dat compliceert de berekeningen.

Val'tuch heeft daadwerkelijk zulke berekeningen van meer-perioden optimalisatie met een vervlechtings-balans en zijn doelfunctie uitgevoerd. Als normale behoeften, het uitgangs-punt van de berekening (x=0), is de situatie van de USSR in het jaar 1967 genomen9. Als de perspectivische behoeften aan het einde van de plan-periode (x=χ) is de consumptie van de meest welvarende inkomens-groep van de arbeiders en beambten gebruikt, eveneens in het jaar 1967. Val'tuch deelt de vervlechtings-balans op in 11 sectoren, en kan op deze manier vervolgens het optimale groei-traject berekenen.

Aldus is de essentie van Val'tuch's theorie van maatschappelijke indifferentie-curven verduidelijkt. In de zo-even genoemde eerdere column over het cardinale grensnut is beschreven wat voor een invulling Val'tuch geeft aan de historische dynamiek van het indifferentie-veld. Men moet acht slaan op de veranderingen, die de maatschappelijke ontwikkeling aanbrengt in de indifferentie-curven. Zolang het veld onveranderd blijft, kan het als beste uitgekozen plan worden voorgesteld door een curve in dat veld, een pad x(t). Met het voortschrijden van de tijd t beweegt het plan-punt naar rechts en omhoog in het veld.

Figuur van de nuts-functie
Figuur 4: Functie η10 / e10×η

Val'tuch merkt nog op, dat het meest simpele groei-pad de rechte lijn van x=0 naar x=χ is. Langs deze lijn veranderen de hoeveelheden volgens de formule xj(t) = η(t) × χj. De waarden van η(t) stijgen met een toenemende tijd t van 0 tot aan hoogstens 1. Op het lineaire groei-pad geldt er volgens de formule 4 dat

(6)     (Πn=0N χn) × ηN / eN×η = C(x(η(t)))

Om duidelijk te maken hoe C zal veranderen langs dat pad, toont de figuur 4 het verloop van de functie ηN / eN×η, voor het geval N=10. De formule 6 is simpelweg te herschrijven tot

(7)     η = eη × C1/N(x) / (Πn=0N χn)1/N

Zo men wil kan men vervolgens in de formule 7 nog de formule 4 voor C invullen. Je kunt deze η opvatten als een maat voor de maatschappelijke vooruitgang, en daarmee als een alternatieve nuts-functie. Anders gezegd, de formule 7 is een niet-lineaire transformatie van de nuts-functie U=C naar de nuts-functie η.

De introductie van de nuts-functie η is in zoverre aardig, dat zij leidt tot een vrij eenvoudige uitdrukking voor het grensnut10

(8)     ∂η / ∂xj = η × (1 − xjj) / (xj × (1 − η) × N)

Het bijzondere aan dit grensnut is, dat het bij een gegeven waarde van xj toeneemt naarmate alle behoeften in de door η beschreven toestand beter worden bevredigd. Immers naarmate xχ geldt ook η→1. Val'tuch noemt het een wetmatigheid: het grensnut van een product j stijgt, naarmate het totale niveau van de behoeften-bevrediging (te weten, de grootheid η) hoger ligt11. Deze ontdekking past natuurlijk goed in het algehele beeld, dat Val'tuch schetst, en waarin je enkel van het (grens-)nut van een product kunt spreken in relatie tot het algehele nuts-niveau van de totale productie12.

  1. De Wolff schrijft op p.220 van Voor het land van belofte (1954, 1978 reprint SUN): "Het nageslacht zal rechtvaardiger zijn. Zeker komt ook hier de tijd, dat het marxisme wederom als het geestelijke wapen in de bevrijdings-strijd der arbeidende klasse zal worden erkend. Dan zullen jonge ogen het door Van der Wijk geschrevene gaan lezen en zal men het door hem begonnen werk verder uitbouwen. Men zal zijn oeuvre in de moderne talen vertalen, zodat het voor de gehele wereld toegankelijk zal zijn en Nederland zal trots zijn, dat Van der Wijk hier geboren is en heeft gewerkt". Tegenwoordig is de naam van Van der Wijk verbonden aan de wet van Gibrat-van der Wijk, zodat deze voorspelling al snel is uitgekomen.
    Vermeldens waard vanuit historisch oogpunt is, dat Harold Ferro, Van der Wijk's schoonzoon, in de jaren na de Tweede Wereldoorlog een pionier was in het markt-onderzoek. Ferro publiceerde diverse leerboeken, en richtte een eigen advies-bureau op. Dit bestaat nog heden, onder de naam Ferro Explore!. Aldus is weer een draad gevonden, die het verleden verbindt aan het heden en aan de toekomst.
  2. Al een eeuw terug zong J.H. Speenhoff in het lied Ons Hollands ideaal: Dan je leunstoel, je sigaartje / Met je vrouwtje en de krant, / Warmte toffels en je klaartje, / Wonen in je eigen pand. / Dat wensen wij ons allemaal, / Dat is ons Hollands Ideaal.
  3. Dit voorbeeld is afkomstig van p.18 in het beroemde boek Theory of games and economic behaviour (1947, Princeton University Press) van J. von Neumann en O. Morgenstern. Dat boek zat in een partij, die uw columnist kocht op een veiling! Zo komt tenslotte alles goed terecht. Wie een moderne bron wil naslaan, kan terecht bij het hoofdstuk 6 in Micro-economic theory (1995, Oxford University Press, Inc.) van Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston en Jerry R. Green. Dat hoofdstuk is geheel gewijd aan het vak-gebied van keuze bij onzekerheid. Uw columnist hoopt er een toekomstige column aan te kunnen besteden.
  4. Bovendien wordt op p.136 en verder in Mikro-ökonomische Theorie (2011, UVK-Verlagsgesellschaft mbH) van W. Hoyer en W. Eibner geconstateerd, dat consumptie van een product xi vaak een zekere tijd ti vergt. Aangezien de tijd voor elk individu een schaars goed is, wordt ook hierdoor een beperking opgelegd aan het nut van hoeveelheden.
  5. Zie p.157 in Micro-economie (1996, Stenfert Kroese), van F.J. Dietz, W.J.M. Heijman, en E.P. Kroese. Dit leerboek behoort zeker tot de betere, en is bovendien in de Nederlandse taal. De favoriet van uw columnist blijft Volkswirtschaftslehre (2003, Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH) van M. Heine en H. Herr. Maar er moet worden toegegeven, dat Heine en Herr het fenomeen van de nuts-piek niet expliciet noemen.
  6. Ook Bernard van Praag noemt het dalende nut op p.97 en verder in zijn boek Individual welfare functions and consumer behavior (1968, North-Holland Publishing Company). Hij leidt er zelfs wiskundig af, hoe de indifferentie-curven zowel de vorm van een hyperbool (figuur 2a) als van een ellips (figuur 2b) kunnen hebben. Daartoe ontwikkelt hij de nuts-functie u(x0 + h) in een Taylor-reeks rondom het punt x0. Hierin stelt h een vector voor met een willekeurig kleine lengte. Uiteraard wordt het gedrag van de nuts-functie u in dit model bepaald door de waarden van de tweede orde afgeleiden van u naar zijn argumenten x. Uw columnist hoopt toekomstig een column te wijden aan deze berekening.
  7. Je moet omgekeerd bij hen wel alert blijven op de inkapseling vanuit het leninisme. Uw columnist heeft het vermoeden, dat de plan-economie in bijvoorbeeld Oost-Duitsland vanaf het begin is opgebouwd op een wereld-vreemd en ideologisch verwrongen inzicht. Een sterke aanwijzing in die richting is te vinden in het boek Die Ausnutzung der Ware-Geld-Beziehungen durch die Wirtschaftspolitik der DDR (1961, Verlag Die Wirtschaft). Op p.108 en verder in dat boek betoogt G. Pfütze, dat de nog bestaande kapitalistische (lees: private) bedrijven in de DDR beduidend minder efficiënt zijn dan de staats-bedrijven. Hun productie-kosten zouden veel hoger zijn. Op p.124 noemt Pfütze de private bedrijven zelfs achterlijk (zurück-geblieben). En op p.123 bespreekt hij de optie van centraal opgelegde marktprijzen: "Er wordt wel beweerd, dat sommigen de private bedrijven met hun lage arbeids-productiviteit willen liquideren door een eenheids-prijs. Natuurlijk is het onzin om een vaste eenheids-prijs in te voeren zonder rekening te houden met de tegenstelling tussen de [lage] arbeids-productiviteit in de meeste private bedrijven en de gemiddelde arbeids-productiviteit in de socialistische [collectieve staats-] bedrijven in die sector ... De oplossing van de tegenstelling is enkel mogelijk ... door staats-deelname aan de private bedrijven". Uw columnist staat positief tegenover staats-bedrijven, daar waar dat economisch voordelig is. Maar hij weigert te geloven, dat private ondernemingen altijd structureel slechter zouden zijn. Kennelijk heeft de Oost-Duitse staat indertijd een beetje "geholpen" om de private bedrijven "onrendabel" te maken, tot zijn eigen ongeluk. De ideologie werd belangrijker gevonden dan de realiteit! Let ook op de publicatie-datum van het boek, uiteraard weer afkomstig van antiquariaat Helle Panke. Er bestond toen nog een private sector in de DDR. Later is die vrijwel opgeheven.
    Wie wil plannen, moet keiharde argumenten hebben, en democratische legitimiteit. Wijselijk zingt Wannes van de Velde in het lied Het is de mensen niet gegeven (van de LP De kleuren van de stad): Ik heb geen macht, en da's maar 't beste; / Ik zou niet weten hoe of wat. / Wie weet of da'k de braafste mensen / niet zou verbannen naar de kou / van een bevrozen stuk savanne; / in naam van 't heilig ideaal.
  8. Zie Entwicklungs-proportionen und Befriedigung der Bedürfnisse (1972, Verlag Die Wirtschaft) van K.K. Val'tuch (in de Duitse taal Waltuch). Dit boek is gekocht bij de Hofbuchhandlung te Löwenberg (Oost-Duitsland).
  9. Zie p.110 en verder in Entwicklungs-proportionen und Befriedigung der Bedürfnisse.
  10. Zie p.132 in Entwicklungs-proportionen und Befriedigung der Bedürfnisse.
  11. Zie p.135 in Entwicklungs-proportionen und Befriedigung der Bedürfnisse.
  12. Val'tuch contrasteert deze wetmatigheid van het stijgende grensnut met de bekende eerste wet van Gossen over het dalende grensnut. Hij levert tamelijk felle kritiek op de eerste wet van Gossen, omdat die betrekking heeft op het nut van één product in afzondering. Aangezien in de ogen van uw columnist Val'tuch zijn kritiek nogal overdrijft, moet zij wellicht worden verklaard uit van de richtingen-strijd tussen oost en west. De grootheid η speelt in de nuts-theorie van Val'tuch een prominente rol. Het is jammer, dat hij haar betekenis niet uitvoeriger, met meer detail, uitwerkt.