Het grensnut van geld volgens Jacob van der Wijk

Plaatsing op Heterodox Gezelschap Sam de Wolff: 9 juni 2013

E.A. Bakkum is eindredacteur van de periodiek Sociaal Vooruit, en een betrokken PvdA lid. Hij is beroepsmatig werkzaam bij het Socialistisch Centrum, waar hij de functie van zaakwaarnemer vervult.

Jacob van der Wijk was een apotheker, en in zijn vrije tijd sociaal-democraat en marxist. Hij heeft evenwel een nationale naams-bekendheid gekregen dankzij zijn studies over de vermogens- en inkomens-verdeling. Zijn grootste verdienste daarin is de ontdekking van de logaritmische frequentie-verdeling van de inkomens en vermogens, overigens op hetzelfde moment (1931) als de Belg R. Gibrat. Werkelijk uniek is Van der Wijk's koppeling van die verdeling aan het psychische inkomen (zeg maar het nut). Aldus doen zijn studies uitspraken over het grensnut van geld voor de diverse inkomens-groepen.

Net zoals Sam de Wolff publiceerde ook Jacob van der Wijk nog uitsluitend in de Nederlandse taal. Dat heeft in ieder geval hier te lande geholpen bij de verspreiding van zijn werk. De beide denkers verkeerden trouwens op een vriendschappelijke voet, en de Wolff wijdt in zijn memoires1 vriendelijke woorden aan zijn strijdgenoot. Hij roemt de publicaties van Van der Wijk in De Socialistische Gids. Allebei hadden zitting in het bestuur van de S.V.M.V. (Socialistische Vereniging tot bevordering van Maatschappelijke Vraagstukken), indertijd een gezag-hebbende sociologische denk-tank. Voorts was Van der Wijk politiek actief onder andere in de Partijraad van de SDAP. Zijn hoofdwerk uit die tijd is het boek Inkomens- en vermogens-verdeling2. In 1942 werd hij, zwaar ziek, door de Duitse bezetters gedeporteerd naar Sobibor in Polen en daar door vergassing vermoord3.


De inkomens-theorie van Van der Wijk

Zoals reeds is vermeld in de inleiding, heeft Van der Wijk een theorie ontwikkeld over de verdeling van de inkomens en vermogens. De theorie is gebouwd op twee steun-pilaren. De eerste pilaar is de veronderstelling van de Belg A. Quetelet, dat er een "gemiddelde mens" bestaat. Dat wil zeggen, dat de menselijke eigenschappen volgens een normaal-verdeling zijn gespreid rondom een universele gemiddelde waarde. De tweede pilaar is de opvatting van de Italiaan D. Bernoulli, dat mensen geneigd zijn om geld-bedragen niet te vergelijken volgens hun absolute verschillen, maar volgens hun onderlinge verhoudingen.

Net zoals De Wolff combineert Van der Wijk een belangstelling voor de sociologie met vaardigheid in de omgang met wiskundige methoden. Dit is ongetwijfeld te danken aan het feit dat allebei worden geïnspireerd door de publicaties van Karl Marx4. Van der Wijk neemt de methode van Quetelet over, die de formules van de waarschijnlijkheids-rekening toepast op persoonlijke eigenschappen en gedragswijzen. Van der Wijk rechtvaardigt dat met de constatering, dat op vele maatschappij-verschijnselen de wet der grote getallen niet alleen kwalitatief, maar ook kwantitatief van toepassing is. Hij schrijft: "Wegens de gestadige vergroting der groepen, die de dragers zijn van het maatschappelijke leven is dit ook in toenemende mate het geval voor de zuiver economische verschijnselen" (Zie p.67 en verder in Inkomens- en vermogens-verdeling).

Bovendien volgt Van der Wijk de opvatting van Quetelet, dat ook subjectief-psychologische eigenschappen meetbaar zijn. Quetelet wil bijvoorbeeld de eigenschap "moed" meten door het aantal moedige handelingen van personen te tellen. Tegenwoordig is deze opvatting van meetbaarheid gemeengoed geworden onder andere in de persoonlijkheids-psychologie5. Merkwaardiger wijze hebben onder de sociale wetenschappers juist de economen nog reserve behouden inzake de meetbaarheid van subjectief gedrag. Van der Wijk richt zijn aandacht in het bijzonder op het psychische inkomen (of vermogen) van een gegeven geld-bedrag.

Van der Wijk definieert het psychische inkomen u van een fysiek inkomen x (dat wil zeggen, een geld-som) als de gemiddelde waardering voor dat inkomen x door de bezitters ervan. Evenzo wordt het psychische vermogen gedefinieerd. Feitelijk drukt het woord "psychisch" hier uit, dat het een nuts-waardering betreft. Van der Wijk betoogt: "In onze atomistische maatschappij [dragen] de factoren, die de inkomens- en vermogens-vorming bepalen, een toevallig karakter. Dat betekent niet, dat er géén oorzaak is voor die veranderingen, dat betekent integendeel, dat er zeer vele oorzaken werkzaam zijn, maar die, doordat ze elkaars werking doorkruisen, voor ons niet waarneembaar zijn" (zie p.67 in zijn boek). Volgens Van der Wijk is het psychische inkomen of vermogen van een geld-bedrag altijd verdeeld volgens de normale waarschijnlijkheids-verdeling.

Aldus krijgt de frequentie-verdeling van de psychische inkomens u de bel-vormige gedaante van de normale curve (ook wel Gauss curve genoemd). Overigens noemt Van der Wijk deze curve liever de lijn van Quetelet, omdat Quetelet haar heeft geïntroduceerd in de sociologie. De "gemiddelde mens" heeft een psychisch inkomen u0, dat correspondeert met een zeker geld-inkomen x0. De bezitters van het inkomen x0 voelen zich noch arm noch rijk. Heeft men minder, dan voelt men zich arm, in gradaties overeenkomstig de grootte van de afwijking. Heeft men meer, dan voelt men zich rijk. Wegens de wet van de grote getallen worden de uitschieters minder waarschijnlijk, naarmate zij extremer zijn. Er zijn evenveel armen als rijken6.

Figuur van normale verdeling
Figuur 1: Verdeling van psychisch inkomen

In de economie is het gebruikelijk om aan elk bezit een positieve nuts-waarde te geven. Een geld-bedrag, hoe klein ook, heeft altijd een zeker nut. Echter Van der Wijk veronderstelt, dat een inkomen beneden x0 door zijn bezitter als een last wordt ervaren, omdat de bezitter zich onder-gewaardeerd zal voelen7. Daarom geeft hij aan u0 de psychische (nuts-)waarde van nul (zie p.79). De figuur 1 geeft grafisch weer hoe de psychische inkomens (of vermogens) zijn verdeeld. De waarden van de psychische inkomens zelf zijn uitgezet langs de horizontale as. De verticale as geeft aan welke fractie f(u) van de mensen beschikt over het des betreffende psychische inkomen. Met andere woorden, de verticale as is zodanig genormeerd, dat het oppervlakte onder de normale curve gelijk is aan 1. De grootheid σ meet de spreiding van de psychische inkomens; haar kwadraat wordt de variantie genoemd8. Het geheel vormt een frequentie-functie.

Vervolgens richt Van der Wijk de tweede pilaar van zijn model op, te weten de grootte van het fysieke geld-inkomen (of vermogen), dat nodig is om het psychische inkomen (of vermogen) te realiseren. Hij brengt de hypothese van Bernoulli in herinnering, die de waardering voor een inkomen met gelijke stappen doet toenemen telkens wanneer het bijbehorende geld-bedrag met een gelijke factor wordt vermenigvuldigd (zie p.57 in zijn boek). In formules uitgedrukt wordt de hypothese: als het geld-inkomen groeit van x naar μn×x, met μ>1, dan neemt het psychische inkomen toe van u naar u + n×Δu. Telkens als het geld-inkomen x wordt vermenigvuldigd met μ, stijgt het psychische inkomen met dezelfde stap Δu. De hypothese van Bernoulli brengt in rekening, dat €1000 een verschillend nut heeft voor een miljonair en voor iemand met een minimum loon.

Er is voldaan aan de hypothese van Bernoulli, wanneer het psychische inkomen een logaritmische functie van het geld-inkomen is. Ten einde dit logaritmische verband in formule-gedaante te gieten, maakt Van der Wijk de aanname, dat er een absoluut menselijk bestaans-minimum m is. Uiteraard wordt de hoogte daarvan bepaald door de maatschappelijke omstandigheden. Tegenwoordig zou men m gelijk kunnen stelllen aan het bijstands niveau. Van der Wijk definieert de hoogte van het geld-inkomen, dat zorgt voor het gemiddelde psychische inkomen u0, als m+a. De grootheid a noemt hij de absolute waardemaat.

Aldus komt Van der Wijk op het volgende verband tussen het geld-inkomen x en het psychische inkomen u:

(1)     x(u) = m + a × 10u/k

In de formule 1 vormt de grootheid k een schaal-factor voor het psychische inkomen u. Immers u is een nut, en daarvoor bestaat (nog?) geen logische eenheid. Zijn absolute waarde is willekeurig. Men ziet aan de formule 1, dat inderdaad het inkomen x − m boven het minimum moet worden vermenigvuldigd met een factor 10Δu/k ten einde het psychische inkomen te doen stijgen met Δu.

Van der Wijk geeft er in zijn boek de voorkeur aan om u uit te drukken in x. Dan krijgt de formule 1 de gedaante

(2)     u(x) = k × 10log((x − m) / a)

De formule 2 laat duidelijk zien, dat a de maat is, waarmee de inkomens worden geschaald. Daarmee verdwijnt de invloed van de munt-eenheid. Bovendien is formule 2 handig om het grensnut van het geld (inkomen) te berekenen. Immers dat grensnut is gedefinieerd als ∂u/∂x. Aldus vindt men er de waarde k / (x − m) voor. Dit is precies de hypothese van Bernoulli, althans indien tevens m=0 wordt genomen.

Figuur van log-normale verdeling
Figuur 2: Verdeling van geld-inkomen

Van der Wijk heeft de grootheid m geïntroduceerd, omdat inkomens beneden het existentiële minimum geen praktische betekenis hebben. De grootheid m is onmisbaar om de empirisch gevonden verbanden natuur getrouw te kunnen modelleren. Men kan namelijk het model toetsen aan de werkelijke inkomens-verdeling, zoals die bijvoorbeeld wordt gevonden in de gegevens voor de overheids-belastingen. Immers wanneer u(x) in de bevolking normaal is verdeeld, dan moeten volgens de formule 2 de inkomens (x − m) / a verdeeld zijn volgens een zogenaamde log-normale verdeling G. Men ziet direct uit de formule 1, dat de frequentie-verdeling van de geld-inkomens bij het rijke volks-deel wordt opgerekt naar de grote bedragen. De figuur 2 is een grafische illustratie van dit fenomeen.

De log-normale verdeling van de geld-inkomens wordt de Wet van Gibrat-Van der Wijk genoemd (hoewel Van der Wijk zelf aangeeft, dat ook J. Wisniewski bijna gelijktijdig tot dezelfde ontdekking kwam). Merk op, dat bij G(x) de bevolkings-fractie met het gemiddelde geld-inkomen niet dezelfde is als de bevolkings-fractie met het gemiddelde psychische inkomen. Voorts is x=m+a het geld-inkomen, dat leidt tot u=0 (van de "gemiddelde mens"). Van der Wijk laat in zijn boek zien, dat de inkomens-verdelingen van allerlei landen en tijden redelijk worden benaderd door de log-normale verdeling.

Zo leidt Van der Wijk uit de Nederlandse belasting-statistieken van 1915-1916 af, dat de verdeling van geld-inkomens wordt gekenmerkt door m=568 gulden en a=49.84 gulden. In dit geval is de breedte (wortel van de variantie) σ van de normale verdeling gelijk aan 0.896. Zie p.253. En de verdeling van de Nederlandse geld-vermogens van 1913-1914 voldoet aan mv = -450 gulden, av = 568 gulden, en σv = 1. Zie p.258.

Overigens krijgt Van der Wijk een nòg betere benadering van de werkelijkheid door aan te nemen, dat het bestaans-minimum licht afhangt van het geld-inkomen x. Er zit enige logica in die aanname. Immers een bevolkings-fractie met een zeker geld-inkomen x moet m schatten om haar psychische inkomen u (de behoefte-bevrediging) te bepalen. Het ligt voor de hand dat rijke mensen, die een grote x hebben, zullen opteren voor een hoger bestaans-minimum m. Van der Wijk heeft enkele berekeningen uitgevoerd met

(3)     m(x) = m0 × (1 + ln(x / a))

In de formule 3 is m0 een constante grootheid, en ln is de functie van de natuurlijke logaritme. Zie p.105. Deze formule is zuiver empirisch, en enkel gekozen om haar eenvoud. Van der Wijk acht denkbaar, dat er geschiktere functies dan de formule 3 zijn te vinden.

Met deze formule zijn de essenties omschreven van het model, dat Van der Wijk heeft ontwikkeld. Zijn vondst om 10log((x − m) / a) te identificeren met het nut van een inkomen getuigt van originaliteit. Daarnaast is sindsdien zijn gedachten-gang gedurfd geworden, omdat veel economen de meetbaarheid van nut zijn gaan afwijzen. Terwijl de meetbaarheids visie van Van der Wijk, die tegenwoordig wordt aangeduid als de cardinale nuts opvatting, steun ondervindt van prominente economen zoals Frisch en Tinbergen, wordt zij afgewezen door anderen, zoals Robbins, Hicks, en Samuelson9. In de rest van deze column zal worden ingegaan op de positionering, die de inkomens-theorie van Van der Wijk heeft ten opzichte van de moderne inzichten over behoefte-bevrediging en nut.


De cardinale nuts waardering

Toen Jevons, Menger en Walras de prijs van producten in verband brachten met hun nut, hadden zij daarbij toch vooral een meetbaar voordeel in gedachten. Dit blijkt nog duidelijker uit het werk van H.H. Gossen, die als eerste wees op het belang van de consumenten-voorkeuren. De eerste wet van Gossen stelt zelfs onomwonden dat de intensiteit van een behoefte steeds sneller vermindert met zijn toenemende bevrediging, en tenslotte voorbij het verzadigings-punt ook negatief kan worden10. Met andere woorden, het grensnut ∂u/∂x neemt met elke volgende eenheid van het product verder af. Deze baan-brekende gedachte kan enkel worden verdedigd, zolang de consument inderdaad kan vast stellen met welke hoeveelheid het nut afneemt, naarmate hij er meer van koopt. De waardering van het nut moet cardinaal zijn.

Figuur van indifferentie curve
Figuur 3: Indifferentie curve

Je hebt cardinaliteit in verschillende gradaties. De cardinaliteit blijft bij Gossen beperkt tot de waarderingen, die een individu geeft aan bepaalde van zijn eigen behoefte-bevredigingen. Een individu kan beoordelen hoeveel nut het bezit van een product of dienst hem oplevert. Van der Wijk gaat een stap verder dan dat. Hij maakt namelijk gebruik van inter-persoonlijke nuts vergelijkingen. Het nut, dat een individu heeft van het geld-inkomen x1, wordt vergeleken met het nut van een ander individu, dat een geld-inkomen x2 bezit. Bovendien betreft deze vergelijking niet concrete individuen, maar het nut, dat wordt ervaren door de "gemiddelde" mens in een bepaalde inkomens-categorie. Hoewel deze vorm van cardinaliteit bij tal van economen grote verontwaardiging oproept, voelt zij toch intuïtief logisch en werkbaar aan. Een mens is een mens. En een gevoel is een gevoel, een bewust zijn, helemaal in groeps-verband11.

Later kwam Pareto op de gedachte, dat je ook een nuts-theorie kunt opbouwen zonder gebruik te maken van cardinaliteit. In die alternatieve visie hoeft nut niet kwantitatief te worden gemeten, maar moet het enkel kwalitatief worden geordend. Deze ordinale opvatting veronderstelt, dat een nuts-rij u(i) in de vorm u(1) > u(2) > u(3) > ... kan worden gebracht, zonder een verdere kennis over de daadwerkelijke nuts-verschillen. Er moet dan afstand worden gedaan van de eerste wet van Gossen12.

De eerste wet van Gossen is evenwel dermate belangrijk voor de economische theorie, dat er bij zijn afdanking iets soort-gelijks voor in de plaats moet komen. De ordinale opvatting voorziet in het gemis door speciale eisen te stellen aan de zogenaamde indifferentie-curven. Indifferentie-curven geven aan welke combinaties hoeveelheden x1 en x2 van twee producten leiden tot dezelfde nuts ervaring. Daarom worden ze ook wel iso-nuts curven genoemd. De figuur 3 illustreert dit concept aan de hand van een afbeelding. In de ordinale aanpak wordt nu geëist, dat de indifferentie-curven een convex verloop hebben. Dat wil zeggen, de bolle kant van de curve is gericht naar het assen-kruis toe13.

Hoewel deze moderne aanpak, die leunt op de wiskundige theorie van verzamelingen, formeel juist is, komt de eis van convexiteit toch wat uit de lucht vallen. De hypothese mist de intuïtieve logica, die wel aanwezig is in de eerste wet van Gossen. En dat is onprettig.


Maatschappelijke welvaarts functies

De normale verdeling van de figuur 1 maakt duidelijk, hoe het nut van de inkomens is verdeeld over de bevolking. Je kunt de verdeling discreet maken en schrijven als f(u1, ..., un), waarin de bevolking is opgesplitst in n inkomens-groepen. Dan kun je (u1, ..., un) opvatten als een vector u met n componenten in de ruimte Ωn van maatschappelijk toegestane nuts combinaties. Van der Wijk doet er geen uitspraak over, in hoeverre de werkelijke verdeling rechtvaardig is. Dat is het werk-terrein van de zogenaamde welvaarts theorie. Zij houdt zich bezig met het onderzoek naar de collectieve welvaart, en de optimalisatie ervan. Dat wil zeggen, er wordt gezocht naar manieren om de nuts-vector (u1, ..., un) maximaal te maken. Hierbij telt n gewoonlijk alle individuen, en niet bepaalde groepen. Bovendien wordt het welvaarts begrip niet onomwonden gekoppeld aan het inkomen, zoals Van der Wijk doet met de formule 1. In plaats daarvan rekent men gewoonlijk met een welvaarts-functie W(u)14.

Het is aardig en instructief om enkele opvattingen te inventariseren, die in zwang zijn met betrekking tot de maatschappelijke welvaart15. In de utilitaristische opvatting moet simpelweg W(u) = Σi=1n αi × ui maximaal worden gemaakt. Daarin zijn de αi weeg-factoren, die eventueel ook gelijk aan 1 mogen zijn. In deze optie is de cardinaliteit inter-persoonlijk. Merk op, dat de maatschappelijke welvaart hier zelfs toeneemt, indien de armen moeten inleveren, zolang tenminste de rijken daarvoor worden (over-)gecompenseerd.

Deze onrechtvaardigheid kan worden geëlimineerd door de eis van een egalitaire verdeling, waarin geldt dat ui = β (constante) voor alle i. Dan bedraagt de totale welvaart W(u) = n×β, en die kan niet meer worden verbeterd door een omverdeling van inkomens of goederen. De meest populaire verdelings-eis (al dan niet terecht) is echter het maximin principe, dat is gebaseerd op de redenatie van de socioloog J. Rawls. Het maximin principe verlangt, dat de kleinst voorkomende nuts-waarde ui maximaal wordt gemaakt. Wiskundig geformuleerd: maximaliseer W(u) = mini ui. In de verdeling volgens Van der Wijk uit de figuur 1 betekent dit, dat de linker staart van de normale curve zo hoog mogelijk moet worden "afgekapt". Het zou in beginsel kunnen, dat dit alleen lukt door de rijken navenant rijker te maken.

De utilitariteits en maximin principes stellen a priori verder geen eisen aan de welvaarts verdeling. Het zijn vuist-regels om de maatschappij in de gewenste richting te kunnen sturen.


De inkomens-theorie van Van Praag

In deze paragraaf zal summier een beschrijving worden gegeven van de welvaarts-functies in de inkomens-theorie van de Nederlandse econoom Bernard van Praag16. Het aardige aan deze econoom, en overigens van de Leidse School waartoe hij behoort, is dat zij recent de cardinale nuts functies in ere hebben hersteld. In zijn aanpak blijft de cardinaliteit echter individueel, en wordt dus niet inter-persoonlijk. Het is opmerkelijk, dat Van Praag voor het individu een log-normale nuts verdeling van het inkomen vindt. Uiteraard is de context hier anders dan bij Van der Wijk, die de maatschappelijke verdelings functie beschouwt. Maar het toont toch aan, dat Van der Wijk niet in een wetenschappelijk vacuüm heeft gedacht.

Feitelijk neemt Van Praag, net zoals Van der Wijk, aan dat het individu het overzicht dreigt te verliezen bij zeer grote hoeveelheden. Teneinde dat probleem te omzeilen worden in de waardering de verschillen tussen fysieke hoeveelheden van producten omgezet in verhoudingen, en niet in absolute verschillen. Daardoor kan de (individuele) nuts functie een overzichtelijke vorm behouden, terwijl de fysieke dichtheids-functie exponentiële uitschieters heeft.

Dit concept kan worden gegeneraliseerd tot een geld-bedrag, of in de woorden van Van Praag tot het "representatieve (of homogene) goed". De nuts-verdelingen van al de onafhankelijke producten in de waren-mand van het individu kunnen worden ge-aggregeerd in de verdeling van dit representatieve goed, dat daardoor zèlf een log-normale gedaante krijgt. Aldus ontstaat een preferentie-curve van het individu in het inkomens-bereik.

Natuurlijk hebben de waarschijnlijkheids-verdelingen bij Van der Wijk en Van Praag een verschillende betekenis. Bij Van der Wijk geeft de nuts-functie de maatschappelijke spreiding van de behoefte-bevrediging weer, zoals zij ontstaat door de inwerking van allerlei biologische en sociale invloeds-factoren. Bij Van Praag weerspiegelt de nuts-functie de behoeften van de individu, los van hun eventuele realisatie. Bovendien neemt Van Praag niet aan, dat de nuts-functies van de producten in de waren-mand normaal verdeeld zijn. Hij laat altijd het nut van elk product variëren tussen 0 en 1, zodat er noch negatieve nutten zijn, noch oneindige nutten, zoals bij Van der Wijk. Bij een nut van 1 is de verzadiging bereikt.

Een boeiend aspect aan de studies van Van Praag en de Leidse School is hun toepassing van de theorie in empirisch onderzoek. Daarbij worden meet-methoden ingezet, die in de sociologie en psychologie al tot de gangbare werkwijze horen. Ook daarom kon uw columnist deze paragraaf niet achterwege laten. Behoudens overmacht zal in toekomstige columns worden terug gekomen op de bevindingen van de Leidse School, en haar samenhang met de theorie van Van der Wijk.


Kritiek op de inkomens-theorie van Van der Wijk

Tenslotte is het gedienstig om iets te zeggen over de tegenwoordige visie op de theorie van Gibrat-Van der Wijk. Dat kan kort blijven, want zij behoort nog steeds tot het beste dat wij hebben. Er is wel kritiek, maar die komt vooral voort uit de onwil om toevals-processen in de vorming van inkomens te accepteren17. In het verlengde daarvan wordt wel tegen geworpen, dat de diverse oorzaken van ongelijkheid onderling gerelateerd zijn. Bijvoorbeeld zal een sociaal zwakke positie waarschijnlijk samen gaan met een matige opleiding18. Dat ondermijnt de veronderstelling van toeval, die ten grondslag ligt aan het model van Van der Wijk. Van der Wijk erkent dit ook zelf, en repliceert op p.76 van zijn boek: "Dit nu (de onafhankelijkheid) behoeft a priori volstrekt niet het geval te zijn. De logica kan ons hoogstens a priori doen veronderstellen, of de vervulling dezer voorwaarden mogelijk of zelfs waarschijnlijk is, de proef, in casu de statistische verificatie moet uitmaken of die verwachting gegrond was"19. En vanuit deze optiek kan niet worden ontkend, dat er inderdaad goede resultaten zijn geboekt met de theorie van Gibrat-Van der Wijk.

  1. Zie p.213 en verder in Voor het land van belofte (1954, 1978, reprint Socialistische Uitgeverij Nijmegen) van Sam de Wolff. Hoewel De Wolff ongetwijfeld sympathiseerde met Van der Wijk, verleidt zijn ongetemde Ego hem ook hier tot enkele neerbuigende uitlatingen. Aldus leest men op p.218: "Toch heeft zijn uiterlijk en voorts zijn zich zo moeilijk een houding kunnen geven, hem telkens en telkens in zijn leven gehandicapt. 'Zo iemand kan toch niets betekenen', was de eerste en dikwijls blijvende indruk, die hij op de oppervlakkige waarnemer maakte". In ieder geval wordt op internet nauwelijks aandacht besteed aan Van der Wijk, nog minder dan aan De Wolff.
  2. Zie Inkomens- en vermogens-verdeling (1939, De Erven F. Bohn N.V.) van J. van der Wijk. Het is een uitgave in de reeks van het Nederlandsch Economisch Instituut. Indertijd waren de directeuren J. Tinbergen en P. Lieftinck, maar in het Curatorium zaten ook "kritische" geesten zoals Fentener van Vlissingen, van Lanschot en Regout.
  3. Historische bronnen op internet noemen allemaal 1943 als sterfjaar. Volgens de auto-biografie van De Wolff is het 1942. Wellicht is dit het verschil tussen het tijdstip van de deportatie en van de moord.
  4. Onwillekeurig moet je denken aan het gedicht Marx (uit de bundel Het zwaard des levens) van Theun de Vries: Hij lei zijn hand op 't boek; ik las / maar zag dóor cijfer en schriftuur / een werklijkheid van levend vuur: / hoe 't grote plan voltekend was / en hoe het lang verschopte ras / zoals een boom in de natuur / de bodem opwoelt tot het uur / van 't opperst menslijke gewas -.
  5. Zie p.96 in Empirische Sozialforschung (2012, Rohwolt Taschenbuch Verlag) van A. Diekmann. Uw columnist hoopt in latere columns terug te komen op dit boeiende thema.
  6. Uw columnist stelt zich hierbij voor, dat mensen proberen te voldoen aan het gangbare welvaarts-niveau. Dankzij persoonlijke talenten slagen sommige mensen er in om hun behoeften wat beter te bevredigen dan gemiddeld. Andere mensen hebben een persoonlijke handicap, waardoor de bevrediging van hun behoeften onder-gemiddeld blijft. Er is geen reden te bedenken, waarom het ene relatief vaker zou voorkomen dan het andere. Mensen zijn mensen. Op p.47 en verder van Theorie der Einkommensverteilung (1975, Springer Verlag) van G. Blümle wordt opgemerkt, dat de veronderstelling van een toevallig en stochastisch karakter betekent, dat er vele invloeden moeten zijn, die onderling onafhankelijk zijn, en die ieder afzonderlijk niet doorslag gevend zijn. Daarbij is allereerst te denken aan persoonlijke talenten en vaardigheden, en voorts aan opleiding en vorming, en aan de sociale positie en macht.
  7. Misschien had Van der Wijk kort tevoren het gedicht Maskerade (uit de bundel Liederen van de zelfkant) van Willem van Iependaal gelezen: Je slentert weer verder - in vijver en hout, / De ware paleizen fouilleren je boud. / Ze kleden je uit - Zo althans in je waan - / En klagen je dan om je nakend zijn aan. / Maar 't lafste van alles tart in een gazon / De gapende muil van veroverd kanon. Van der Wijk's jeugd was bittere armoede.
  8. De lezer herinnert zich, dat de Gauss curve wordt beschreven door de formule f(u) = exp(-(u/σ)² / 2) / (σ × √(2×π)), waarin exp de e-macht functie voorstelt. De functie f(u) is symmetrisch rond u=0. Men noemt f(u) de dichtheids-functie, de waarschijnlijkheids-functie, of de frequentie-functie. De integraal F(u) = ∫u f(ν) × dν heet dan de cumulatieve verdelings-functie.
    De keuze van Van der Wijk om u=0 te zetten bij de grootste dichtheid van de frequentie-verdeling is willekeurig. In de hoofdtekst wordt al opgemerkt, dat men gewoonlijk de nuts-waarden beperkt tot het niet-negatieve gebied. Het is zelfs bij een meetbaar nut gebruikelijk, dat de schaal en de oorsprong willekeurig blijven. Een lineaire transformatie van het nut in de vorm u' = κ×u + λ, met constante κ en λ, verandert niets aan de situatie. Zie bijvoorbeeld p.834 in Micro-economic theory (1995, Oxford University Press) van A. Mas-Colell, M.D. Whinston en J.R. Green. Des gewenst kan dus het nulpunt u=0 worden verschoven. Natuurlijk kan men bij een symmetrische normale frequentie-functie nooit alle negatieve argumenten u lineair "weg" transformeren.
  9. Zie bijvoorbeeld p.3 van Happiness quantified (2008, Oxford University Press) van B.M.S. van Praag en A. Ferrer-i-Carbonell.
  10. Zie p.43 van Mikro-ökonomische Theorie (2011, UVK Verlagsgesellschaft mbH) van W. Hoyer en W. Eibner.
  11. Het is intuïtief werkelijk wat zot om in twijfel te willen trekken, dat een miljonair een veel bevredigender materieel leven heeft dan een bijstands-trekker. Uw columnist hoopt dit thema in toekomstige columns verder te kunnen uitdiepen. Van der Wijk argumenteert op p.70 van zijn boek, dat bij het gebruik van de "gemiddeld" gevoelde waardering de inter-persoonlijke nuts vergelijking beter verdedigbaar is dan bij de zuiver individuele waardering. Blümle constateert op p.39 van Theorie der Einkommensverteilung, dat in de praktijk het nut van inkomens voortdurend wordt vergeleken, dat er algemene vormen van nuts-functies bekend zijn, en dat de rechtvaardigheid van de inkomens-verdeling een populair onderwerp van het politieke debat is.
    Op dit portaal moet er natuurlijk even aan herinnerd worden, dat ook Sam de Wolff, die sterk is geïnspireerd door Gossen, argumenteert in cardinale termen. Dit wordt bijzonder duidelijk in de column, waarin zijn reken-methode van het nationale product wordt uiteen gezet.
  12. Dit punt wordt in de standaard leerboeken onvoldoende benadrukt. Zij verwerpen wel de idee van het cardinale nut, maar nemen toch de eerste wet van Gossen over. Zie bijvoorbeeld Micro-economie (1996, Stenfert Kroese) van F.J. Dietz, W.J.M. Heijman en E.P. Kroese (p.153 over Gossen, en p.585 over Pareto). Nòg onduidelijker is Grundzüge der Volkswirtschafts-lehre (2011, Pearson Studium) van P. Bofinger (p.84 over Gossen, waarna p.87 in één adem de cardinaliteit verwerpt). Ook Inleiding tot de economische wetenschap (1969, N.V. Uitgeversmaatschappij v/h G. Delwel) van G.Th. J. Delfgaauw verwerpt cardinaliteit, om vervolgens toch te verwijzen naar het afnemende grensnut (zie p.16, p.68, en p.160). En dit is nog slechts een greep uit de ervaringen van uw columnist.
  13. Zie bijvoorbeeld p.48 van Mikro-ökonomische Theorie. Of p.44 van Micro-economic theory (1995, Oxford University Press) van A. Mas-Colell, M.D. Whinston en J.R. Green. Dit laatst genoemde boek is zo consequent om Gossen totaal niet te vermelden.
  14. In een eerdere column is al een bescheiden aanzet gegeven om dit thema uit te diepen. De vele vragen, die onbeantwoord blijven in die column, vormen de aansporing om de huidige column te schrijven.
  15. Deze opsomming is overgenomen van p.825 en verder in Micro-economic theory.
  16. Zie p.39-40 en p.74 en verder in Individual welfare functions and consumer behavior (1968, North Holland Publishing Company) van B.M.S. van Praag.
  17. Zie p.73 in Naar een rechtvaardiger inkomens-verdeling (1977, Uitgeversmaatschappij Agon Elsevier) van J. Pen en J. Tinbergen. Het argument is eerder eigenwijs dan overtuigend (inbreng van Pen?). De auteurs zetten al hun hoop op het verbeteren van het onderwijs. Maar in de ontaarde meritocratie zijn ook minimale verschillen in talent voldoende om enorme inkomens-verschillen voort te blijven brengen.
  18. Zie p.49 in Theorie der Einkommensverteilung.
  19. En wellicht dacht Van der Wijk hier aan het gedicht Toeval (uit dezelfde bundel Liederen van de zelfkant) van Willem van Iependaal: Door een toeval rijdt hij auto, / Heeft een tuinman en chauffeur, / Door een toeval heet hij Jansen / En geen Collaborateur ... / Door een toeval heeft hij zitting / In een erecomité, / Rouwt en huldigt hen die vielen / Op het slagveld en de zee ...