Een grondmodel van meerperioden optimalisatie

Plaatsing op Heterodox Gezelschap Sam de Wolff: 26 augustus 2012

E.A. Bakkum is eindredacteur van de periodiek Sociaal Vooruit, en een betrokken PvdA lid. Hij is beroepsmatig werkzaam bij het Socialistisch Centrum, waar hij de functie van zaakwaarnemer vervult.

Het boek Volkswirtschaftlicher Reproduktionsprozeβ und dynamische Modelle van de Oost-Duitse econome Eva Müller is een goudmijn van boeiende modellen, met een verrassende diversiteit. Je vindt er keynesiaanse groeimodellen, naast input-output (Leontief) modellen, en drie-sector modellen in de trant van Marx. Maar ook behandelt zij lineair programmeren en optimalisatie problemen. In de huidige column wordt haar benaderingswijze van dat soort problemen weergegeven.


Lineair programmeren

In de hedendaagse economische wetenschap worden lineair programmeren en optimalisatie problemen ingedeeld bij de disciplines operations research, management analyse of productiewetenschappen1. De toepassing op de macro-economie lijkt minder zinvol, omdat de staat weinig zeggenschap heeft over de private productie. In de voormalige Oost-Europese plan-economieën lag dat anders, en daar is de lineaire programmering veelvuldig toegepast. Ze is daar zelfs uitgevonden en ontwikkeld2.

Lineair programmeren (LP) wordt gekenmerkt door vier eigenschappen3:

  1. er is een doelfunctie Z, die moet worden ge-optimaliseerd,
  2. er zijn beperkingen opgelegd aan de grootheden, die de waarde van de doelfunctie bepalen,
  3. ,
  4. de beperkingen laten ruimte voor een aantal verschillende handelswijzen, en
  5. er is zowel bij de doelstelling als bij de beperkingen sprake van lineaire verbanden.

Als er slechts twee beslissingsgrootheden x1 en x2 zijn, dan kan het probleem grafisch worden opgelost. De beperkingen zijn dan lijnen, die het gebied van mogelijke combinaties (x1, x2) afperken. De doelstelling Z wordt gerepresenteerd door een lijn, die zo ver mogelijk van de oorsprong weg moet worden geschoven. De optimale oplossing zal liggen op de rand van het afgeperkte gebied. De meest gebruikte oplossingstechniek is overigens de zogenaamde Simplex methode4. De situatie compliceert, indien het een dynamisch probleem is. Dan geeft de factor tijd t een extra vrijheidsgraad aan het probleem.

De formulering van het LP noemt men de primaal. De reden is uiteraard, dat er ook een duaal bestaat. Bijvoorbeeld kan de primaal vragen om de optimale hoeveelheid product, die in een bepaalde situatie kan worden voortgebracht. De duaal zal dan vragen om de minimale productiekosten te vinden, als geldsom, die moeten worden gemaakt onder de gegeven productie-omstandigheden. Het formuleren van de duaal heeft de volgende kenmerken5:


Meerperioden optimalisatie modellering

Het uitgangspunt van Eva Müller, en dus ook van deze column, is het model van de dynamische vervlechtingsbalans met een uitgebreide investeringsvergelijking6. In de desbetreffende column is de volgende formule afgeleid:

(1)     y(t) = (I − A(t) − G(t)) · x(t) + (I − W(t)) · Γ(t-1)

De formule 1 is een matrixvergelijking, met evenveel rijen als er productieve sectoren zijn. De relatie is tijdsafhankelijk, met variabele t, omdat de dynamica gedurende de hele looptijd van het economische plan wordt gemodelleerd. De vector x(t) is het totale product, y(t) is het nationale (netto) product, minus de investeringen, en Γ(t-1) is het bestand aan kapitaalgoederen (grondfonds) in de periode direct voorafgaand aan tijdstip t. De matrices A, G en W staan voor respectievelijk het materiaalgebruik in het productieproces, het gebruik van grondfonds, en de vervanging van grondfonds. Het symbool I stelt de eenheidsmatrix voor. De vector Γ(t) wordt gegeven door G · x(t). De lezer kan een diepgaande bespreking vinden in de reeds genoemde column.

De doelstelling van economische plannen op macro-niveau is de optimalisatie van de consumptie bij de huishoudens. In de voorgaande columns is die consumptie gewoonlijk gelijk gesteld aan y(t). In het model van de meerperioden optimalisatie verloopt de benadering iets anders. Er wordt nu gesteld, dat geldt:

(2)     (I − A(t) − G(t)) · x(t) + (I − W(t)) · Γ(t-1) ≥ y(t)

De formule 2 stelt, dat de uitstoot uit het productieproces eventueel groter mag zijn dan het nettoproduct y(t). Het planbureau stelt y(t) als een minimaal vereiste, maar heeft geen bezwaar tegen een planoverschrijding. De overschrijding zou bijvoorbeeld kunnen optreden door niet gebruikte productiemiddelen, of door onbezette fondsen uit de voorgaangde tijdsperiode. Het nettoproduct krijgt daardoor de betekenis van een minimaal consumptieniveau, dat zeker moet worden bereikt.

De formule 2 kan kernachtig als een LP probleem worden geschreven:

(3a)     C · x(t) ≤ c(t), waarin
(3b)     C = A + G − I
(3c)     c(t) = Γ(t-1) − y(t)

Müller verwaarloost hier gemaks halve de vervangingen en de afdankingen, in de vorm van de matrix W. De overige matrices worden verondersteld om onafhankelijk van de tijd t te zijn. Het probleem moet volgens punt 4 boven immers lineair zijn.

Ter completering van het LP probleem is het toegestaan om nog meer beperkingen toe te voegen:

(4)     B · x(t) ≤ b(t)

In de formule 4 stelt B een matrix voor, en b(t) een vector van beperkingen. De modelbouwer kan de formule 4 invullen volgens zijn eigen behoeften. Beperkingen kunnen bijvoorbeeld worden opgelegd door het aantal beschikbare arbeidskrachten, of door de schaarste aan bepaalde grondstoffen.

Zoals reeds is opgemerkt, heeft de doelstelling een bijzondere vorm

(5)     Z(T) = Σt=1T d · x(t)

In de formule 5 is Σ het bekende wiskundige symbool voor sommatie, in dit geval over alle perioden tot aan de planhorizon T. Het symbool † duidt de transpositie van d aan, die daardoor een liggende vector wordt. Er wordt dus een inproduct genomen van d en x. De doelfunctie Z moet in dit LP maximaal worden gemaakt. De vector d bevat de waarderingscoëfficiënten di voor het product van elke tak i. Deze coëfficiënten zijn subjectief. De verschillen in waardering en weging per tak betekenen, dat men sommige takken sneller wil doen groeien dan andere. Ze staan symbool voor de behoeften, die worden gevoeld door de consumenten en/of de producenten. De totale waarde van de doelfunctie Z(T) heeft verder geen economische betekenis.

Het LP probleem kan nog wat verder worden versimpeld. De doelfunctie kan voor elke tijdsperiode t afzonderlijk maximaal worden gemaakt, zodat er T doelfuncties zijn met Z(t) = d · x(t). En de matrices C en B in de formules 3 en 4 kunnen worden samengevoegd tot één matrix M, evenals de vectoren c en b kunnen worden verenigd in één vector m. Er volgt:

(6a)     M · x(t) ≤ m(t)
(6b)     Zd(t) = d · x(t)

Overeenkomstig het eerder al gegeven recept wordt het duale probleem nu gegeven door:

(7a)     M · p(t) ≥ d(t)
(7b)     Zd = m · p

De duale doelfunctie Zd moet minimaal worden gemaakt. De vector p stelt de waarderingen voor van de grootheden, die in het model voorkomen. Merk op, dat zich hieronder ook grootheden bevinden, die niet worden geproduceerd, namelijk de schaarse grondstoffen, arbeid enzovoort van de ongelijkheid 4. De minimalisatie garandeert, dat er wordt geproduceerd met zo min mogelijk onkosten.


Een rekenvoorbeeld: de primale opgave

Dit rekenvoorbeeld baseert op dezelfde getallen, die eerder zijn gebruikt in de column over de vervlechtingsbalans met dynamische investeringsvergelijking. Die zijn immers bekend bij de lezer. Bovendien wordt aldus direct zichtbaar, welke gevolgen de schaarste kan hebben op de economische groei. Er zijn twee sectoren, zodat het probleem twee dimensies kent. Dat heeft als voordeel, dat de situatie goed grafisch kan worden weergegeven. De figuur 1 toont de elementen van de matrices A, G en B. De waarden van de coëfficiënten in de matrix B zijn min of meer willekeurig gekozen.

Afbeelding van matrices
Figuur 1: De elementen in de matrices A, G en B

Als beginvoorwaarden voor Γ wordt [Γg(0), Γm(0)] = [11.6, 12.7] genomen. In het vervolg worden de graan- en metaal-indices vervangen door respectievelijk de cijfers 1 en 2. Het nettoproduct y en de begrenzing b door schaarste van hulpbronnen (grondstoffen, arbeid, valuta, enzovoort) zijn op t=0 respectievelijk [1.0, 0.3] en [13.5, 5.0]. Hierbij is b min of meer willekeurig gekozen. Deze twee vectoren hebben allebei een groeifactor van 1.1. Dat wil zeggen, er geldt

(8)     vector(t) = 1.1t × vector(0)

Tenslotte wordt de waardering d bij de afweging van de doelfunctie gezet op [1, 1], want uw columnist vindt graan en metaal allebei belangrijk. Daarmee staat alles gereed om het LP probleem te formuleren en op te lossen.

Voor alle duidelijkheid wordt het LP probleem voor de eerste periode (t=1) nog eens helemaal uitgeschreven:

(9a)     -0.0833×x1 + 2.29×x2 ≤ 10.5
(9b)     0.5167×x1 − 0.1048×x2 ≤ 12.37
(9c)     0.5×x1 + x2 ≤ 14.85
(9d)     x2 ≤ 5.5
(9e)     x1 + x2 → max

Grafiek van LP grenzen
Figuur 2: Grenzen in het LP probleem bij periode 1

De figuur 2 geeft weer, wat het gebied van toegestane waarden voor x is. De legenda laat zien, welke van de grenzen 9a-d elke lijn voorstelt. Het blijkt, dat de ongelijkheid 9d op dit moment nog geen extra beperking oplegt. Tezamen vormen de grenzen van 9a-c een vijfhoek met als punten [0, 0], [0, 4.59], [19.14, 5.28], [24.47, 2.62] en [23.94, 0]. De gestippelde lijn stelt de doelfunctie Z voor. Deze raakt de vijfhoek in het punt [24.47, 2.62], en dat is dus het optimum van het probleem. De doelfunctie bereikt daar zijn maximale waarde van 27.08.

Vergelijk het hier gevonden optimum met de productwaarden, die in de eerdere column van het vervlechtingsmodel met uitgebreide investeringsvergelijking zijn gerapporteerd voor de eerste periode, te weten [x1(1), x2(1)] = [24.5, 5.38]. Kennelijk remt de schaarste aan grondstoffen (ongelijkheid 9c) de economische groei af, hier met name in de tweede sector. Daarnaast vormt in het huidige LP probleem de tweede tak een beperking (ongelijkheid 9b): men heeft de productie helemaal nodig om er het geplande nettoproduct te realiseren. Anderzijds realiseert de eerste tak een groot overschot, namelijk 6.55. De oorzaak ervan is uiteraard het geringe productievolume in de tweede tak.

Op dezelfde manier kan het LP probleem worden opgelost voor de navolgende perioden. In dit rekenvoorbeeld is dat gedaan tot en met de vijfde periode. Ter illustratie toont de figuur 3 voor de vijfde en laatste periode het gebied van toegestane waarden. Ter vergelijking is ook de vijfhoek van de periode 1 ingetekend. Allereerst valt op, dat het toegestane gebied intussen een zeshoek is geworden. Namelijk al vanaf de tweede periode wordt ook de ongelijkheid 9d relevant. Verder valt op, dat met de groei van het economische systeem de omvang van het gebied van toegestane waarden toeneemt. Het optimale punt blijft in al deze perioden het snijpunt van de lijnen 9b en 9c. In de vijfde periode is de maximale waarde van de doelfunctie Z gestegen naar 36.94.

Grafiek van LP grenzen
Figuur 3: Grenzen in het LP probleem bij periode 5 (en 1)

Volledigheids halve laat de tabel 1 voor alle vijf perioden de waarden van de essentiële grootheden zien. Vanwege de door de ongelijkheid 9c opgelegde schaarste bij de eerste hulpbron wordt de omvang van de tweede sector geknepen. Daardoor produceert de eerste sector in alle perioden een overschot. Het planbureau zou kunnen overwegen om dat overschot te gebruiken voor een hogere consumptie. Het nettoproduct wordt dan enkel het minimale consumptieniveau, dat moet worden gerealiseerd. En hoewel de ongelijkheid 9d wel relevant is, blijkt zij in geen enkele periode een knelpunt te vormen. Integendeel, er blijft van deze tweede hulpbron steeds een deel ongebruikt.

Tabel 1: Productie voor vijf perioden
(product, overschotten, en ongebruikte hulpbronnen)
Periode12345
x124.4725.0326.2828.0830.41
x22.613.834.835.736.53
Overschot 16.556.976.135.735.73
Overschot 200000
Ongebruikt 1 (9c)00000
Ongebruikt 2 (9d)2.892.231.822.321.52


Een rekenvoorbeeld: de duale opgave

De formules 7a-b vormen de duale opgave van de formules 6a-b. Voor de eerste periode in het huidige rekenvoorbeeld veranderen de formules 9a-e als volgt in de duale vorm:

(10a)     -0.0833×p1 + 0.5167×p2 + 0.5×p3 ≥ 1
(10b)     2.29×p1 − 0.1048×p2 + p3 + p4 ≥ 1
(10c)     10.5×p1 + 12.37×p2 + 14.85×p3 + 5.5×p4 → min

Dit LP probleem kan niet grafisch worden opgelost, omdat het zich afspeelt in vier dimensies. Desondanks kan vrij eenvoudig een oplossing worden gevonden, namelijk met de simplex methode. Zij geeft een stap-voor-stap recept om het stelsel 10a-c zodanig te manipuleren, dat alleen de essentiële grootheden overblijven. Begrip is niet nodig, en dat bespaart veel hoofdpijn. Voor details zij de lezer verwezen naar de leerboeken7. De toepassing van de methode geeft als resultaat p = [0, 0.8786, 1.092, 0] 8. Men kan direct nagaan, dat de doelfunctie Z dezelfde optimale waarde aanneemt als eerder bij de primale opgave9. Het uitwerken van de duaal voor de volgende perioden is stug rekenwerk en wordt overgelaten aan de lezer (zo die daaraan behoefte heeft).

De grootheden p worden geïnterpreteerd als de alternatieve kosten (in de Engelse taal: opportunity costs) van de twee producten en de twee hulpbronnen. Nog een andere benaming is schaduw prijzen. Zij geven aan met welk bedrag de doelfunctie Z verandert, wanneer er een eenheid product of hulpbron wordt toegevoegd (of onttrokken) aan het systeem. De waarderingscoëfficiënten di in de formule 5 bepalen, wat de schaduwprijzen zullen zijn. In het huidige rekenvoorbeeld is d = [1, 1].

Eva Müller geeft de volgende interpretatie van het duale resultaat10. Er is een overschot aan product in de eerste tak, en een overschot aan capaciteit bij de tweede hulpbron. Zij vormen geen beperking voor de groei, en daarom heeft een extra eenheid geen waarde. Dat wil zeggen, hun alternatieve kosten zijn gelijk aan nul. Anderzijds kan de tweede tak maar net voorzien in het nettoproduct (minimaal consumptieniveau), en de eerste hulpbron wordt helemaal benut. Als men hier slaagt om een uitbreiding te realiseren, dan is verdere groei van het nettoproduct mogelijk. In dat geval zal de doelfunctie in (optimale) waarde stijgen. Zoals reeds is opgemerkt, bepalen de schaduwprijzen wat precies die stijging per eenheid zal zijn.

In het westen bestaat veel literatuur over lineair programmeren. Zij beperkt zich evenwel tot toepassingen op het micro-niveau, gewoonlijk het maximaal maken van de bedrijfswinst. Het is aardig en origineel om in het boek van Eva Müller eens een toepassing op het macro-niveau tegen te komen. En het geeft een tastbaar inzicht in het effect, dat de schaarste aan hulpbronnen in een samenleving op de groeiperspectieven uitoefent. Je kunt je afvragen wat de kapitalistische landen missen door deze vakdiscipline op het macro-niveau te verwaarlozen.

  1. Uw columnist bezit uit de twee eerstgenoemde disciplines onder andere de titels Quantitative analysis for management (1997, Prentice-Hall, Inc.) van B. Render en R.M. Stair, Managerial economics (1992, Macmillan Publishing Company) van P. Keat en P.K.Y Young, en Operations research (1997, Prentice-Hall, Inc.) van H.A. Taha. De twee eerstgenoemde titels zijn een plezier om te lezen, met rekenvoorbeelden, plaatjes, en anecdotes. Er wordt zelfs uitgelegd, hoe je met een spreadsheet als Excel LP problemen kunt oplossen. Het boek van Taha is tamelijk lastig. Tot de laatste categorie behoort onder andere Grundzüge der Produktionswirtschaft (1995, Springer Verlag) van H. Dyckhoff (eveneens lastig). Overigens heeft uw columnist ook nog Hydrosystems engineering and management (1992, McGraw-Hill) van L.W. Mays en Y-K. Tung in de kast. Daarin wordt de optimalisatie toegepast op stroomgebieden, bijvoorbeeld om de beste zuiveringstechniek te vinden, of het juiste beheer van een waterbassin. Deze aanwinst dateert uit de tijd, dat uw columnist werk zocht in het waterbeheer. Maar ondanks al het water moeten in het kleine Nederland dit soort toepassingen van LP met een kaarsje en een vergrootglas worden gezocht. Het geeft enige voldoening en zelfbevestiging om het thema hier opnieuw te ontmoeten in de politieke economie. Old friends ... . Kennelijk is kennis altijd wel ergens goed voor.
  2. Al vóór de Tweede Wereldoorlog ontwikkelde de Sovjet-econoom A.N. Kolmogorov de methode van het lineaire programmeren. De Sovjet-econoom L. Kantorovitsj kreeg zelfs de Nobelprijs voor zijn onderzoek naar methoden voor de optimale planvorming.
  3. Zie p.288 van Quantitative analysis for management.
  4. Zie p.381 en verder van Quantitative analysis for management.
  5. Zie p.418 en verder van Quantitative analysis for management Of p.410 en verder in Volkswirtschaftlicher Reproduktionsprozeβ und dynamische Modelle (1973, Verlag Die Wirtschaft). Müller behandelt deze techniek bij de uitleg van het meerperioden optimalisatie model van de bekende J. von Neumann.
  6. Zie p.424 en verder in Volkswirtschaftlicher Reproduktionsprozeβ und dynamische Modelle
  7. Müller noemt de methode niet. Zie evenwel p.397 en verder (voor surplus termen) en p.400 en verder (voor minimalisatie) in Quantitative analysis for management.
  8. Voor de berekening moeten vier simplex tableau's worden doorlopen.
  9. De waardering van het planbureau voor de productie is gelijk aan de totale waarde van het product en de gebruikte hulpbronnen. Men kan bewijzen, dat de doelfuncties van de primaal en de duaal steeds dezelfde optimale waarden hebben. De lezer zij weer verwezen naar de leerboeken. Een mogelijkheid is p.156 van Mathematical economics (1985, Cambridge University Press) van A. Takayama. Overigens heeft uw columnist dit boek vol mysterieuze wiskundige formules nog niet durven inkijken.
  10. Zie p.432 en verder in Volkswirtschaftlicher Reproduktionsprozeβ und dynamische Modelle. De getallen zijn bij Müler uiteraard anders.