Aantekeningen bij de AWL van de Wolff

Plaatsing op Heterodox Gezelschap Sam de Wolff: 11 mei 2012

E.A. Bakkum is eindredacteur van de periodiek Sociaal Vooruit, en een betrokken PvdA lid. Hij is beroepsmatig werkzaam bij het Socialistisch Centrum, waar hij de functie van zaakwaarnemer vervult.


Arbeidstijd

Aan het begin van de twintigste eeuw ontwikkelde Sam de Wolff een eigen versie van de arbeidswaardeleer (AWL), die belangwekkend en origineel genoemd mag worden. De Wolff heeft evenwel niet de tijd gevonden, althans in zijn hoofdwerk Het Economisch Getij, om de consequenties van zijn model uit te spitten. Het is de bedoeling om hiervoor nu in een column een eerste aanzet te geven. Het uitgangspunt is het model, zoals dat in twee voorgaande columns is geformuleerd. In de eerste column wordt een economie van vraag en aanbod in haar meest simpele gedaante gemodelleerd. De tweede column breidt het model uit naar een economie met een verscheidenheid aan producten. De huidige column geeft daarop commentaar. Dit zal worden aangevuld met de beschrijving van de visie, die de Wolff heeft op verschillende soorten arbeid. De uitleg van de Wolff bij zijn visie op verschillende soorten arbeid is nogal summier, zodat het nuttig is om er in deze column aantekeningen bij te plaatsen. Dientengevolge is de onderstaande tekst niet zozeer een herhaling van de Wolffs werk, als wel een betoog over het model van de Wolff.

De arbeidstijd t vervult in het model van de Wolff verschillende functies. Enerzijds bepaalt zij hoezeer de consument een zeker product begeert. Het lustgevoel L van de consument neemt toe, naarmate hij kan beschikken over een grotere hoeveelheid X van dat product. De hoeveelheid X is via de arbeidsproductiviteit ap op een natuurlijke manier verbonden met de hoeveelheid arbeidstijd tX, die nodig was voor haar productie. Dientengevolge is het lustgevoel L voor dat product een functie van de arbeidstijd: L = L(tX). Het functionele verband is hier niet dynamisch, maar enkel een vaststelling vooraf (ex ante): de consument kent het lustgevoel L, dat hij ervaart bij de hoeveelheid X, behorend bij de tijd tX. De consument ondergaat het lustgevoel L en de daarin verwerkte t in eerste instantie als iets statisch. Dit blijkt vooral uit het feit, dat het voor het lustgevoel van de consument niet uitmaakt, wanneer hij de producten verwerft. Gewoonlijk zal hij tevreden zijn, indien hij ze na afloop van zijn werkdag allemaal tegelijk in ontvangst kan nemen. Zijn lustgevoel zal in het algemeen niet toenemen, wanneer hij bijvoorbeeld de vis eerder ontvangt dan het graan. Als die twee producten worden aangeboden op de markt, dan kunnen daarvoor vaste isolust krommen worden getekend in het (tg, tv) vlak. De krommen drukken een potentiële lust uit, die pas door (het inkomen van) gedane arbeid kan worden bevredigd.

Anderzijds bepaalt de arbeidstijd t wat de arbeidsinspanning is, die de producent bereid is te leveren. De arbeidsprestatie veroorzaakt een zeker leed, een onlustgevoel O(t), dat toeneemt naarmate er langer moet worden gewerkt. Als de producent, tevens arbeider, beschikt over zelfkennis, dan zal hij natuurlijk zijn onlustgevoel vooraf kennen. Maar toch speelt de arbeidstijd t hier een meer dynamische rol dan bij de consument. De arbeidstijd lijkt in de productie vooral een voortschrijdend karakter te hebben, en niet zozeer statisch. Het laatste uur werken is voor hem niet gelijk aan het eerste uur, want het werken valt hem in de loop van de dag steeds zwaarder. Zoals het vervolg van deze column zal tonen, is deze volgtijdelijkheid met name van belang in de situatie met verschillende soorten arbeid. Bovendien is de arbeid een keten van keuzemomenten: steeds moet de arbeider beslissen, of hij zijn koopkracht wil vergroten door langer te werken. Een groter inkomen belooft aan de arbeider weliswaar een groter lustgevoel, in zijn rol als consument, maar die vergroting lijkt zich voor hem vooral te voltrekken in de arbeid. Immers tijdens de arbeid wordt het inkomen verdiend, of tenminste een aanspraak op materiële producten.

Zeer zeker bij een ideoloog als Sam de Wolff moet de ontwikkeling van deze arbeidswaardeleer een politiek doel hebben gehad. Hij heeft deze studie niet louter uit wetenschappelijke nieuwsgierigheid uitgevoerd. Het ligt voor de hand dat hij in het onlustgevoel van de arbeid een argument zag om de arbeidstijd te verkorten, en om te pleiten voor redelijke rustpauzes, meer vakantiedagen en een vroege pensionering1.


Onlustgevoel

De Wolff maakt in zijn model het onlustgevoel O van de arbeid op een specifieke manier afhankelijk van de arbeidstijd2

(1)     O(t) = p1×t + p2×t2 + p3×t3 + ...

Formule 1 garandeert, dat het onlustgevoel nul is zolang er niet is gewerkt. De formule wijkt in zekere zin af van datgene wat gebruikelijk is in de traditionele arbeidswaardeleer. De traditionele AWL veronderstelt, dat elk arbeidsuur evenveel waarde toevoegt aan het product, waaraan het wordt besteed. De waarde van het product neemt dus proportioneel met de eraan bestede arbeidstijd t toe. In formule 1 is het juist zo, dat in het algemeen het eerste arbeidsuur minder onlustgevoel geeft dan bijvoorbeeld het vijfde arbeidsuur. De exponent n van tn stuwt namelijk het onlustgevoel exponentieel omhoog. Dit kan men ook inzien door de onlustintensiteit OI(t) uit te rekenen, dat wil zeggen het onlustgevoel van de laatst toegevoegde eenheid product3:

(2)     OI(t) = p1 + 2×p2×t + 3×p3×t2 + ...

Formule 2 laat zien, dat in het algemeen het onlustgevoel bij de laatst geproduceerde eenheid product groter is dan bij de voorgaande. Het ligt voor de hand, dat de arbeider zijn grotere leed gecompenseerd wil zien door een groter uurloon. Zelfs wanneer het uurloon wordt gemiddeld voor de duur van een hele arbeidsdag van acht uren, dan nog mag verwacht worden dat overwerk beter moet worden beloond. Dit suggereert dat langer werken de stukprijs (of stukwaarde) van het product zou opdrijven. In ieder geval is het een feit, dat in de subjectieve beleving van de arbeider de later geproduceerde eenheden een hogere prijs hebben.


De economische productie

In de Robinsonade zijn de consument en de producent één en dezelfde persoon. Als het lustgevoel van de consument en het onlustgevoel van de producent bekend zijn, dan kan de persoon uitrekenen wat zijn optimale arbeidstijd moet zijn. Men kan dit nazien in de eerste column, waar het met een rekenvoorbeeld is geïllustreerd. Merk op, dat in dit simpele geval de eis LI=OI gelijk staat aan het optimaliseren van het verschil L-O, dus aan ∂(L-O)/∂t = 0. Onlust is hier een negatieve lust. Dit betekent, dat men in de theorie desgewenst het onlustgevoel van arbeid zou kunnen vervangen door het lustgevoel van vrije tijd4. In de tweede column wordt een interessanter geval bestudeerd, omdat dit direct kan worden vergeleken met de methoden uit de theorie van het grensnut. Beschouw opnieuw de twee lustfuncties uit het rekenvoorbeeld van die column. Daar werd uit de twee lustfuncties een samengestelde lustintensiteit LI(t) geconstrueerd. Veronderstel nu, dat het onlustgevoel van de arbeid wordt gegeven door

(3)     O(t) = ½×t2

De onlustintensiteit wordt dan gegeven door OI(t) = t. De meest economische (optimale) productie wordt gevonden door het snijpunt te bepalen van de samengestelde lustintensiteit LI(t) en de onlustintensiteit OI(t) van formule 3. Op de manier van de Wolff vindt men met behulp van de formules, of uit de grafiek, dat in het snijpunt geldt t=93/5 arbeidsuren. Zolang zal de persoon willen werken. Daarvan besteedt hij 42/5 uur aan graan oogsten, en 51/5 uur aan vissen.

Grafiek van isolust krommen
Figuur 1: Isolust krommen voor graan en vis

De vorm van de samengestelde lustintensiteit kan echter veel inzichtelijker worden voorgesteld. De toepassing van de methoden uit de vertrouwde grensnuttheorie is hierbij behulpzaam. Twee lustgevoelens mogen gewoon worden opgeteld, omdat de Wolff een kardinale lustanalyse hanteert. Het samengestelde lustgevoel is

(4)     L(tg, tv) = Lg(tg) + Lv(tv) = 14×tg - ½×tg2 + 20×tv - tv2

Figuur 1 is een grafische weergave van formule 4 in het (tg, tv) vlak. De krommen zijn zogenaamde isolust krommen, waarop het lustgevoel overal even groot is, dat wil zeggen een constante waarde heeft. In de grensnuttheorie wordt een soortgelijke figuur gebruikt om de optimale consumptie bij een bepaald budget te bepalen. Men tekent dan in de figuur de zogenaamde isonuts krommen (krommen waar het nut een constante waarde heeft) alsmede de budgetlijn (de mogelijke combinaties van producten, die met het gegeven budget kunnen worden gekocht)5. In het model van de Wolff kan men in analogie een onlustlijn definiëren. Die lijn beschrijft in dit geval een constant onlustgevoel O(t)=c. Wegens formule 3 is ½×t2 = c, en dus t=c' (met c' = √(2×c)). Merk op, dat een deel tg van de arbeidstijd t wordt besteed aan de graanoogst, en het andere deel tv aan de visserij. Er volgt dat geldt tg+tv = c', ofwel tv = c'- tg. Dit is een rechte lijn in het (tg, tv) vlak. Desgewenst kan men c of c' opvatten als het onlustbudget, dat de persoon beschikbaar heeft.

De methode, die vanuit de grensnuttheorie bekend is voor de berekening van de optimale consumptie bij een gegeven budget, krijgt in het model van de Wolff de volgende gedaante. Eerst wordt de helling van de onlustlijn bepaald, dus (dtv/dtg)O. Hierin duidt dt een minimale tijdsstap aan. Daarna wordt de isolust kromme gezocht, die precies raakt aan de onlustlijn. De helling (dtv/dtg)I van de isolust kromme is daar dus gelijk aan de helling van de onlustlijn. Er bestaat maar één zo'n isolust kromme, omdat isolust krommen elkaar nooit kunnen snijden. Het raakpunt (tg, tv)r is dan de gezochte optimale oplossing. Men kan simpel inzien wat de consequenties zijn van deze methode. Zonet is aangetoond, dat de helling van de onlustlijn gelijk is aan -1. Op een isolust kromme geldt dat dL(tg, tv) = 0. Dat wil zeggen L verandert niet, wanneer men langs de kromme beweegt. Invullen van formule 4 in dL=0 leidt tot (∂Lg/∂tg) × dtg + (∂Lv/∂tv) × dtv = 0. Dus LIg × dtg + LIv × dtv = 0. Hieruit volgt, dat de helling van de isolust kromme (dtv/dtg)I gelijk is aan -LIg/LIv. In het raakpunt, dat zoals gezegd de optimale productencombinatie weergeeft, is deze helling gelijk aan die van de onlustlijn. Dus -LIg/LIv = -1, zodat LIg = LIv. Dit is precies de voorwaarde, die de Wolff gebruikt om zijn samengestelde lustintensiteit te construeren. Hiermee is aangetoond, dat de methode van de Wolff en de methode van de grensnuttheorie inderdaad leiden tot dezelfde verdeling van de beschikbare arbeid over de twee productiesectoren. Zoals gezegd, de hoeveelheid arbeid, die de Robinson persoon totaal beschikbaar stelt, hangt mede af zijn zijn onlustintensiteit OI.


Verschillende soorten arbeid

Zijn ambitie verleidt de Wolff er toe om ook het geval te beschouwen, waarin elke soort arbeid haar eigen onlustgevoel kent. Het oogsten van graan en het vissen hebben dan ieder een eigen onlustfunctie, nog steeds van de gedaante zoals in formule 1, maar met verschillende coëfficiënten p1, p2, ... . Inderdaad erkent de traditionele arbeidswaardeleer, dat iedere soort arbeid haar eigen inspanning vereist, omdat er specifieke kennis en vaardigheden voor nodig zijn. Desondanks veronderstelt men gewoonlijk, dat het effect van de verschillen in arbeid van ondergeschikte betekenis is. De Wolff had daarom zijn model op dit punt met een gerust hart kunnen afsluiten.

Grafiek van onlust krommen
Figuur 2: Koppelen van twee soorten onlustgevoel

De nieuwe verfijning plaatst hem voor de vraag, hoe je verschillende onlustgevoelens O(t) moet optellen. In formule 4 wordt een kardinale sommering toegepast, omdat het voor het lustgevoel van de Robinson persoon niet uitmaakt of hij het graan eerder verwerft dan de vis, dan wel omgekeerd. Deze kardinale sommering gaat helaas niet op voor het onlustgevoel. Immers wanneer iemand een aantal uren heeft gevist, dan zal hij die uitputting blijven voelen, wanneer hij vervolgens gaat oogsten. Subjectief begint het oogsten niet bij tg=0, want er is een arbeidsverleden, en dus een volgtijdelijkheid. Dientengevolge ontstaat er een ingewikkelde vraagstelling: stel de Robinson persoon wil met zijn arbeid een bepaald punt in het (tg, tv) vlak bereiken, omdat hij het desbetreffende lustgevoel nastreeft (zie figuur 1). Hoe moet hij zijn arbeidsdag dan indelen om een minimaal onlustgevoel te ervaren? Welk traject moet hij doorlopen in het (tg, tv) vlak? Moet hij eerst gaan oogsten, of eerst gaan vissen? Dit is allerminst een triviale vraag6.

De Wolff gaat nogal achteloos aan deze dilemma's voorbij. Hij neemt simpelweg aan ("het is plausibel") dat het totale onlustgevoel onafhankelijk is van de volgorde, waarin de productie wordt afgewikkeld7. Zijn methode is als volgt: stel er wordt eerst gedurende een tijd tg geoogst. Het bijbehorende onlustgevoel is Og(tg). Vervolgens gaat dezelfde persoon gedurende een tijd tv vissen. Zijn onlustgevoel bij aanvang van het vissen kun je opvatten als een onlustgevoel Ovv), waarbij het lijkt alsof hij al een tijd τv lang heeft gevist. De tijd τv kan worden berekend uit de gelijkheid Og(tg) = Ovv). Na afloop van zijn werkdag is het onlustgevoel van de persoon gelijk aan Ovv + tv). Figuur 2 laat grafisch zien, hoe de aanpak van de Wolff verloopt.

Eenzelfde redenatie kan worden gehouden, wanneer de persoon begint met een tijd tv lang vissen, gevolgd door een tijd tg lang graan oogsten. In dit geval is aan het einde van de werkdag zijn onlustgevoel gelijk aan Ogg + tg). Aldus kan de aanpak van de Wolff worden samengevat in drie formules:

(5a)     Ovv) = Og(tg)
(5b)     Ogg) = Ov(tv)
(5c)     Ovv + tv) = Ogg + tg)

Grafiek van onlust krommen
Figuur 3: Onlust van niet verwisselbare arbeid
De drie formules 5a-b-c leggen een aanzienlijke beperking op aan de toegestane gedaanten van de onlustfuncties van formule 1. De Wolff leidt af, dat wegens de eisen 5a-b-c de coëfficiënten in formule 1 moeten voldoen aan8

(6)     (pn)v = (pn)g × ((p1)v / (p1)g)n   voor n=1, 2, 3, ...

De formule 6 definieert wanneer de volgorde bij het verrichten van twee soorten arbeid zonder problemen kan worden verwisseld. Een rekenvoorbeeld kan dit verduidelijken. Stel er geldt Og(tg) = ½×tg2 en Ov(tv) = tv. Hier is (p2)g=½ en alle andere (pn)g zijn nul, (p1)v=1, en alle andere (pn)v zijn nul. Dit voorbeeld behoort duidelijk niet tot het type van formule 6, zodat de arbeidssoorten in deze situatie niet verwisselbaar moeten zijn. Nu vindt men uit de formules 5a-b, dat τv = ½×tg2 en τg = √(2×tv). Invullen in het linkerlid van formule 5c geeft Ovv + tv) = τv + tv. Invullen in het rechterlid geeft evenwel Ogg + tg) = τv + tv + 2×√(τv × tv). Het linker- en het rechterlid van formule 5c zijn dan niet gelijk. Figuur 3 toont dit ook grafisch aan (met tg = tv = 2 arbeidsuren). In deze figuur is afhankelijk van de arbeidsvolgorde het onlustgevoel gelijk aan 4 of 8. Inderdaad is er bij het stelsel onlustgevoelens Og(tg) = ½×tg2 en Ov(tv) = tv geen sprake van verwisselbaarheid. Zulke stelsels van onlustgevoel zijn voor de Wolff dus niet plausibel.

De Wolff gaat nu opnieuw op zoek naar de meest economische productie. Als uw columnist hem juist interpreteert, dan volgt hij de volgende redenatie. Enerzijds ervaart de Robinson persoon aan het einde van de arbeidsdag een onlustgevoel Ovv + tv). De onlustintensiteit voor visserij is op dat moment gelijk aan OIvv + tv). Er is een balans, wanneer deze onlustintensiteit juist in balans is met de lustintensiteit voor de hoeveelheid vis, die gedurende deze dag is verworven. Immers, als de lustintensiteit groter zou zijn, dan zou de persoon doorgaan met vissen. Dat wil zeggen,

(7a)     OIvv + tv) = LIv(tv)

Met dezelfde redenatie vindt de Wolff voor het graan, dat moet gelden

(7b)     OIgg + tg) = LIg(tg)

De Wolff formuleert dat aldus: "Wel geldt hiet de wet, dat de intensiteitssaldi (columnist: dat zijn (LI - OI)g en (LI - OI)v) voor elk artikel nul zijn, of de intensiteitsverhouding (columnist: dat zijn (LI / OI)g en (LI / OI)v) gelijk 1" 9. Dit kenmerkt de meest economische productie. Hoewel dus de intensiteitsverhoudingen allemaal gelijk zijn, en wegens vergelijking 5c de onlustgevoelens eveneens, geldt dit niet voor de lustintensiteiten. In het algemeen zal LIg(tg) ongelijk zijn aan LIv(tv).

De Wolff illustreert zijn aanpak met een rekenvoorbeeld. Hij neemt Og(tg) = ½×tg2 en Ov(tv) = 2×tv2. Men kan simpel nagaan, dat deze onlustgevoelens voldoen aan de formules 5a-b-c. Er volgt dat τg = 2×tv en τv = ½×tg. De Wolff neemt voor de lustgevoelens weer die van formule 4. Met behulp van de formules 7a-b vind men na enig eenvoudig rekenwerk, dat voor de economische productie moet gelden tg = 5½ arbeidsuren en tv = 1½ arbeidsuren. De Robinson persoon kiest in deze situatie kennelijk voor een totale arbeidsdag met een duur van 7 arbeidsuren.

Eerdere columns op dit portaal hebben al laten zien, dat Sam de Wolff niet bang was om gewaagde onderstellingen voor waar aan te nemen, en te vuur en te zwaard te verdedigen. Desalniettemin is uw columnist allerminst overtuigd, dat de onderstellingen 5a-b-c en 7a-b van de Wolff inderdaad plausibel zijn. Indien men ze evenwel accepteert, dan beschikt men daarmee over een volledig AWL model om de optimale productieomvang voor een economisch systeem met twee productieprocessen te berekenen. De columnist is zeker bij deze column dankbaar voor verbeteringen, toevoegingen en andere opmerkingen.

  1. Als men het model van de Wolff in deze richting wil toepassen, dan moet worden bedacht, dat de arbeider vaak invloed kan uitoefenen op het onlustgevoel. Met name kan hij besluiten om in de loop van de dag het arbeidstempo wat te verminderen (als hij tenminste niet totaal is geïntegreerd in het productieproces, zoals bij arbeid aan de lopende band). Zijn arbeidsproductiviteit ap neemt dan af. Of anders geformuleerd, de arbeider herdefinieert in de loop van de dag de soort arbeid van zijn sector. Men dient hiermee rekening te houden, bijvoorbeeld bij het hanteren van de isolust krommen. Zij zijn alleen bruikbaar, zolang men een stabiele ap veronderstelt.
  2. Deze uitdrukking is te vinden op p.445, in het aanhangsel van Het Economisch Getij.
  3. Gemaks halve is verondersteld, dat de eenheid zeer klein is. Dan is OI(t) simpelweg de afgeleide van O(t), dus OI(t) = ∂O/∂t.
  4. Uw columnist is geen arbeidseconoom. Maar in het uitstekende leerboek Volkswirtschafstlehre (2003, Oldenbourg Wissenschafstverlag GmbH), van M. Heine en H. Herr, wordt op p.121 en verder de vrije tijd als een nutsartikel behandeld. De beslissing over de hoeveelheid vrije tijd wordt dan een onderdeel van de consumententheorie. Tegelijk verdwijnt zo de volgtijdelijkheid van de arbeidstijd uit het model. Er kan geen uitspraak worden gedaan over de vorm, die de vrije tijd moet aannemen: langere pauzes, een kortere werkweek, meer vakantie, of een vroege pensionering. De columnist meent te begrijpen, dat het begrip onlustintensiteit afstamt van Jevons (marginal disutility of labour). Het begrip lustintensiteit (grensnut) van de vrije tijd zou afstammen van de Oostenrijkse School.
  5. Men kan de theorie van het consumentennut naslaan in het zonet genoemde boek Volkswirtschafstlehre, in het Nederlandstalige boek Micro-economie (1996, Stenfert Kroese), van F.J. Dietz, W.J.M. Heijman, en E.P. Kroese, of elk ander fatsoenlijk boek over algemene economie.
  6. Wellicht wordt het verschijnsel duidelijker, wanneer twee zeer verschillende vormen van arbeid worden vergeleken. Men zou zich bijvoorbeeld een Robinson persoon kunnen voorstellen, die dagelijks enkele uren lang zakken graan moet versjouwen, en ook enkele uren lang horloges moet repareren. Als hij eerst gaat sjouwen, dan mist hij vervolgens wellicht de kalme hand van de horlogemaker. Gaat hij anderzijds eerst horloges repareren, dan heeft hij aansluitend wellicht niet meer voldoende energie om nog urenlang zakken graan te versjouwen.
  7. Op p. 445 in het aanhangsel van zijn werk het Economisch Getij schrijft hij: "We voeren nu in de onderstelling (overigens zeer plausibel) der verwisselbaarheid der opeenvolgende arbeidssoorten. D.w.z.: het is onverschillig, of men eerst x uur in den eersten, vervolgens y uur in de tweede bedrijfstak werkt, dan wel eerst y uur in den tweeden en dan x uur in den eersten".
  8. De Wolff argumenteert als volgt: beschouw arbeidsdagen, waarop tg uren lang wordt geoogst en tv uren lang wordt gevist, met tg en tv zodanig, dat Ov(tv) = Og(tg). Dat wil zeggen, voor deze tg en tv vallen de formules 5a en 5b samen. Dan volgt uit formule 5c, dat Ov(2×tv) = Og(2×tg), en algemener Ov(k×tv) = Og(k×tg), met k=1, 2, 3, ... . Invullen van de formule 1 in formule 5c geeft: k × ((p1)g×tg - (p1)v×tv) + k2 × ((p2)g×(tg)2 - (p2)v×(tv)2) + ... = 0 voor k = 1, 2, 3, ... . Dit is alleen mogelijk, wanneer in deze formule alle coëfficiënten van de macht kn gelijk aan nul zijn. Dus (pn)g×(tg)n - (pn)v×(tv)n = 0 voor alle n. Als in deze formule de tijden worden weggedeeld via (p1)g×tg = (p1)v×tv, dan volgt hieruit de formule 6.
  9. Zie p.331 van Het Economisch Getij.