Het groeimodel van Marx volgens Sam de Wolff

Plaatsing op Heterodox Gezelschap Sam de Wolff: 6 februari 2012

E.A. Bakkum is eindredacteur van de periodiek Sociaal Vooruit, en een betrokken PvdA lid. Hij is beroepsmatig werkzaam bij het Socialistisch Centrum, waar hij de functie van zaakwaarnemer vervult.

In een eerdere column is een beschrijving gegeven van het dynamische groeimodel van Marx. Marx gebruikte zijn model vooral om te onderzoeken of de verschillende bedrijfstakken met elkaar handel kunnen drijven, zonder dat die aanleiding geeft tot economische storingen. In de twintigste eeuw hebben gezaghebbende economen dit concept verder uitgewerkt. Het vermelden waard zijn M. Kalecki en J.M. Keynes in de dertiger jaren, en vooral P. Sraffa in de zestiger jaren. Eerder al, namelijk in hoofdstuk 9 van zijn hoofdwerk Het Economisch Getij1, heeft Sam de Wolff zich verdiept in het groeimodel van Marx. De Wolff voerde zijn studie met name uit om de bewering van Rosa Luxemburg te weerleggen, dat het kapitalisme in beginsel instabiel is. In een publicatie Die Accumulation des Kapitals stelde zij, dat er in het kapitalistische systeem structureel onvoldoende consumptieve vraag is. Deze Krise in Permanenz kan alleen tijdelijk worden opgeheven, namelijk zolang als het kapitalistische systeem zijn producten kan exporteren naar pre-kapitalistische samenlevingen, zoals indertijd de kolonieën.

De Wolff deelt het standpunt van Rosa Luxemburg niet. Teneinde zijn gelijk te bewijzen gebruikt hij het al in de voorgaande column beschreven twee-afdelingen model, dat een onderscheid maakt tussen de productie van de productiemiddelen (afdeling I) en de productie van consumptiegoederen (afdeling II). Hij brengt in dit model een verfijning aan, door de afdeling II te splitsen in twee onderafdelingen: de afdeling IIa voor de productie van de loongoederen ten behoeve van de arbeiders en de afdeling IIb voor de productie van de luxe goederen ten behoeve van de ondernemers. Deze onderverdeling is niet strikt noodzakelijk voor zijn polemiek met Rosa Luxemburg. Verderop in zijn werk gaat hij de afdeling IIb evenwel nuttig gebruiken om de invloed van het geld, in de vorm van goudreserves, op de economie te bestuderen.

De Wolff vat dus het economische systeem samen in de volgende drie formules:

(1)     KI + LI + MI = XI
(2)     KIIa + LIIa + MIIa = XIIa
(3)     KIIb + LIIb + MIIb = XIIb

Men ziet hoe elke afdeling een bepaalde hoeveelheid product X produceert. In het drie-afdelingen model van de Wolff zijn dat dus de productiemiddelen XI, de loongoederen XIIa, en de luxe goederen XIIb. In beginsel kunnen die grootheden worden uitgedrukt bijvoorbeeld in fysieke hoeveelheden product, maar Marx geeft er de voorkeur aan de bestede hoeveelheid arbeidstijd (in jaren, of dagen, of uren) als maat te gebruiken. De bestede arbeidstijd werkt natuurlijk door in de waarde van het product. Voor Marx is de eenheid van arbeidstijd de universele uitdrukking van waarde, en is als zodanig leidinggevend voor de geldwaarde ervan. De arbeidswaarde van het totale product moet worden verdeeld over de diverse bij het productieproces betrokken partijen. De overige symbolen in de formules 1, 2 en 3 hebben de volgende betekenis:

In principe zouden de ondernemers de meerwaarde helemaal kunnen uitgeven teneinde een exorbitante levensstijl de bekostigen. Wat overblijft van de opbrengst is in dat geval juist voldoende om hetzelfde productieproces nogmaals te herhalen. Marx gaf deze mogelijkheid de benaming van eenvoudige reproductie. De Wolff kijkt inderdaad even naar de eenvoudige reproductie, maar hij vindt haar weinig interessant. Het ondernemerschap wordt namelijk gekenmerkt door het streven om de productie voortdurend te doen groeien, en op die manier de eigen positie te verstevigen en de geïncasseerde winst te vergroten. Met andere woorden, de ondernemers zullen een deel van de meerwaarde investeren in de expansie van hun productieproces. In eerste instantie valt daarbij te denken aan de aanschaf van meer productiemiddelen, en dus aan de toename van K. Aangezien evenwel productiemiddelen bediend moeten worden, zal ook de loonsom L moeten stijgen. Uit datgene wat van de meerwaarde M overblijft na de investeringsuitgaven, zullen de ondernemers nog hun kapitaalrente en pacht moeten betalen. Het restant is de ondernemerswinst, die voor de consumptie van de ondernemer beschikbaar is. De kapitaalrente en de pacht zullen worden geconsumeerd door de kapitaal- en grondeigenaren. Marx noemt een dergelijk economisch systeem de uitgebreide reproductie.

In de voorgaande column werd een formule afgeleid, die de ruil tussen de afdelingen beschrijft (zie formule 6 aldaar). Wegens de spitsing van afdeling II geldt die formule echter niet voor de berekeningen van de Wolff. Bovendien laat de Wolff de idee van de proportionele economische groei helemaal los. Hij volgt namelijk de opvatting van Marx, dat de ondernemers proberen om de arbeidsproductiviteit te verbeteren. Daarmee kunnen de ondernemers namelijk de loonsom zo laag mogelijk houden. Dit impliceert evenwel een aanhoudende automatisering, met als gevolg dat de materiële kosten K sneller zullen stijgen dan de loonkosten. De verhouding K/L, die Marx en ook de Wolff aanduiden als de organische samenstelling van de productie, vertoont een stijgende ontwikkeling3. Het gevolg van deze keuze is, dat de technische coëfficiënten in het groeimodel allen tijdsafhankelijk worden. Daarmee verliezen zij aan betekenis, en heeft het weinig zin om er gebruik van te maken, zoals wèl gebeurde in de voorgaande column over het groeimodel.

In een model met steeds veranderende productietechnieken zal er gewoonlijk geen proportionele groei zijn. Elke afdeling i heeft haar eigen groeifactor, gegeven door de formule:

(4)     Gi(t) = Xi(t+Δt) / Xi(t)

In formule 4 geeft Gi(t) de groei aan in het tijdsinterval Δt volgend op tijdstip t. Gewoonlijk noemt men elk tijdsinterval Δt een periode. Veronderstel dat de eerste periode begint op t=0. De Wolff presenteert in zijn boek een rekenvoorbeeld4, en kiest daarin voor alle perioden GI = 1.1 en GIIa = 1.05. Dit betekent dat afdeling I steeds meer gaat domineren. Dat volgt natuurlijk uit de veronderstelde tendens van onbegrensde automatisering. Bovendien zet hij voor alle perioden de zogenaamde meerwaardevoet m' voor alle afdelingen gelijk aan 1: MI/LI = MIIa/LIIa = MIIb/LIIb = 1. De uniforme meerwaardevoet M/L voor alle afdelingen in het systeem is kenmerkend voor de economische theorie van Marx. Het impliceert, dat de arbeiders in elke tak goed opletten, dat zij vergeleken met andere takken niet buitensporig veel meerwaarde moeten voortbrengen in verhouding tot hun arbeidsloon. De onveranderlijkheid van m' bij het voortschrijden van de tijd past eigenlijk minder goed in de visie van Marx. We komen daarop terug aan het einde van deze column.

Verder stelt de Wolff voor de eerste periode de organische samenstellingen op KI/LI=3, KIIa/LIIa=2 en KIIb/LIIb=1. De productie van productiemiddelen is hier dus het meest kapitaalintensief, wat overeenkomt met de werkelijkheid. Hij stelt zich de vraag hoe de economische getalsverhoudingen moeten zijn om aan al deze eisen te voldoen. Er zijn twaalf onbekenden, namelijk K. L. M en X in de drie afdelingen, allen uiteraard met betrekking tot periode 1. De eisen voor de meerwaardevoet en de organische samenstelling leveren zes vergelijkingen op. Daarnaast zijn er de drie formules 1, 2 en 3. En tenslotte zijn er vanwege de formule 4 de twee groeiformules:

(5)     XI(1) = GI(0) × XI(0) = GI(0) × (KI(1) + KIIa(1) + KIIb(1))
(6)     XIIa(1) = GIIa(0) × XIIa(0) = GIIa(0) × (LI(1) + LIIa(1) + LIIb(1))

De formules 5 en 6 drukken uit, dat de totale hoeveelheid kapitaalgoederen K bij het begin van periode 1 het voortbrengsel is van afdeling I gedurende periode 0, en evenzo de totale hoeveelheid loongoederen L bij het begin van periode 1 het voortbrengsel is van afdeling IIa gedurende periode 0. Zo men wil kunnen de formules 5 en 6 worden gecombineerd met de formules 1 en 2 tot

(7)     LI(1) + MI(1) = ΔKI(1) + GI(0) × (KIIa(1) + KIIb(1))
(8)     KIIa(1) + MIIa(1) = ΔLIIa(1) + GIIa(0) × (LI(1) + LIIb(1))

In de formules 7 en 8 zijn ΔKI(1) en ΔLIIa(1) respectievelijk de in periode 1 extra geproduceerde hoeveelheden kapitaal- en loongoederen. Zij vormen de accumulatie gedurende de periode 1, die zorgt dat er voor periode 2 goederen beschikbaar zijn ten behoeve van netto investeringen en expansie. Men herkent in deze formules het equivalent van de ruilformule 6 uit de voorgaande column over het dynamische groeimodel van Marx, zij het nu zonder technische coëfficiënten. Of men de groeiformules 5 en 6 gebruikt, dan wel de ruilformules 7 en 8 maakt niet uit, want in ieder geval zijn er nu elf vergelijkingen met twaalf onbekenden. Kennelijk kan één grootheid vrij worden gekozen, en de Wolff neemt daarvoor de gelijkheid KI(1)=3333, omdat met deze waarde alle grootheden (bijna) natuurlijke getallen blijken te worden. Het resultaat van de oplossing van de nu twaalf vergelijkingen is weergegeven in tabel 1.

Tabel 1: voorbeeld van uitgebreide reproductie in periode 1
Bron: Het Economisch Getij p.387
AfdelingKLMXΔX
I3333111111115555505
IIa11765885882352112
IIb54154154116230
totaal5050224022409530617

Tabel 1 laat zien, dat in periode 1 ten opzichte van de voorgaande periode extra productiemiddelen ter waarde ΔK=505 beschikbaar komen, en extra loongoederen ter waarde ΔL=112. De ondernemerz zullen deze producten in de volgende periode toevoegen aan het productieproces, en daarom representeren zij een accumulatie ter waarde van 617. De accumulatie moet worden betaald uit de meerwaarde, waardoor de ondernemers slechts een waarde 1623 overhouden voor hun consumptie van luxe goederen. In afdeling IIb wordt niet geaccumuleerd, omdat luxe goederen geen bijdrage leveren aan de productie. De productiefactoren worden geheel voortgebracht door de afdelingen I en IIa. De accumulatiequote5 voor de hele economie is a=ΔX/M=0.2754. Op basis van de gegevens in tabel 1 is het niet mogelijk om de accumulatiequotes in elk van de afdelingen te berekenen. Met andere woorden, de verdeling van de geaccumuleerde waarde van 617 over elk der afdelingen is nog onbekend.

De verdeling van de geaccumuleerde waarde over de afdelingen bepaalt hoe de economische structuur in periode 2 er uit zal zien. De Wolff heeft al eisen opgelegd aan die ontwikkeling, toen hij koos voor tijdsonafhankelijke groeifactoren en een tijdsonafhankelijke meerwaardevoet. Hij zet zich vervolgens in zijn boek aan de opgave om daaruit de consequenties voor periode 2 te onderzoeken. Hij maakt daarbij de opvallende keuze om zich bij zijn berekeningen niet te richten op de grootheden K, L, M en X zelf, maar op hun aangroei6, dus op de accumulatie ΔK, ΔL en ΔM. De grootheid ΔX. is al bekend uit tabel 1. Daarom zijn er wegens de drie afdelingen negen onbekende grootheden, zodat er hier negen vergelijkingen nodig zijn om ze te berekenen. De Wolff gaat op zoek naar dit mathematische stelsel. Aangezien de meerwaardevoet tijdsonafhankelijk is, moet ook voor de veranderingen gelden dat m'=1. Dus ΔMI/ΔLI = ΔMIIa/ΔLIIa = ΔMIIb/ΔLIIb = 1.

De Wolff definieert de totale accumulatie in het economische systeem als volgt

(9)     ΔXI(t) = ΔKI(t) + ΔKIIa(t) + ΔKIIb(t)
(10)     ΔXIIa(t) = ΔLI(t) + ΔLIIa(t) + ΔLIIb(t)

Tezamen met de groeiformule 4 geven deze twee formules het resultaat

(11)     ΔXI(2) = XI(2) - XI(1) = GI × (XI(1) - XI(0)) = GI × ΔXI(1)
(12)     ΔXIIa(2) = GIIa × ΔXIIa(1)

Dus de totale accumulatie van de productiemiddelen en van de loongoederen vertonen dezelfde groei als de voorraden XI en XIIa zelf. Dientengevolge zijn ΔXI(2) en ΔXIIa(2) bekende grootheden, want ΔXI(1) en ΔXIIa(1) kunnen worden afgelezen uit tabel 1. Men vindt ΔXI(2) =555 en ΔXIIa(2)=118. Aldus heeft men nogmaals twee formules gevonden:

(13)     555 = ΔXI(2)= ΔKI(1) + ΔLI(1) + ΔMI(1)
(14)     118 = ΔXIIa(2)= ΔKIIa(1) + ΔLIIa(1) + ΔMIIa(1)

Tezamen met de drie formules voor de meerwaardevoet leiden de formules 9, 10, 13 en 14 tot een stelsel van 7 vergelijkingen. Er zijn nog twee formules nodig om het stelsel te completeren. Deze twee formules betreffen de snelheid waarmee de organische samenstellingen van de afdelingen groeien, en zijn min of meer vrij te kiezen. In tabel 1 is voor periode 1 te lezen, dat KI/LI=3 en KIIa/LIIa=2. De toename van deze verhoudingen voor periode 2 vereist, dat ΔKI/ΔLI>3 en ΔKIIa/ΔLIIa>2. De Wolff kiest voor deze verhoudingen respectievelijk de waarden 6 en 2.5. Daarmee is het stelsel compleet en oplosbaar. Het resultaat7 is weergegeven in tabel 2, en de daaruit voortkomende economische structuur van periode 2 is weergegeven in tabel 3. In tabel 2 zijn bovendien voor elke afdeling de accumulatiequotes aK(1)=ΔK(1)/M(1) en aL(1)=ΔL(1)/M(1) vermeld, die de opdeling van de meerwaarde aan het einde van periode 1 weergeven. Aangezien de groei in afdeling IIb geheel wordt geconsumeerd, is in tabel 3 ΔXIIb (daar opgevat als een accumulatie-grootheid) op nul gesteld.

Tabel 2: voorbeeld van accumulatie bij de start van periode 2
Bron: Het Economisch Getij p.394
AfdelingΔKΔLΔMΔXaK(1)aL(1)
I41570705550.3740.0630
IIa6626261180.1120.0442
IIb241616560.04440.0296
totaal505112112729------------


Tabel 3: voorbeeld van uitgebreide reproductie in periode 2
Bron: Het Economisch Getij p.395
AfdelingKLMXΔX
I3748118111816110555
IIa12426146142470118
IIb56555755716790
totaal55552352235210259673

Het is instructief om in navolging van de reeds genoemde formules in het boek van Eva Müller te kijken hoe de technische coëfficiënten met de tijd veranderen. Tabel 4 toont deze coëfficiënten voor de perioden 1 en 2. In plaats van de door Müller gebruikte coëfficiënten α en γ wordt hier de coëfficiënt μ=M/X weergegeven.

Tabel 4: technische coëfficiënten in het voorbeeld
PeriodeκIλIμIκIIaλIIaμIIaκIIbλIIbμIIb
10.60.20.20.50.250.250.33330.33330.3333
20.61340.19330.19330.50280.24850.24860.33650.33170.3317

Tabel 4 laat zien dat in het rekenvoorbeeld van de Wolff geen enkele coëfficiënt constant is, in tegenstelling met het rekenvoorbeeld bij Eva Müller. Bovendien worden de technieken steeds kapitaal-intensiever, waardoor κ toeneemt en λ afneemt, het meest in afdeling I. De Wolff heeft duidelijk een gecompliceerder economisch stelsel gemodelleerd dan Müller. Zijn model is geavanceerder. Het model heeft evenwel net zoals dat van Müller het nadeel, dat er niet sprake is van een algemene gemiddelde winstvoet r. Dit wordt geïllustreerd in tabel 5, waar de winstvoeten in de drie afdelingen voor de perioden 1 en 2 zijn weergegeven. Volgens Marx zijn ongelijke winstvoeten in de verschillende afdelingen op de (middel-)lange termijn niet mogelijk. Het is namelijk duidelijk, dat in bijvoorbeeld de situatie van tabel 5 alle ondernemers hun activiteiten zullen verplaatsen naar de bijzonder winstgevende afdeling IIb. Marx is er evenwel nooit in geslaagd om een rekenmodel te ontwikkelen, dat zorg draagt voor een algemene winstvoet in alle afdelingen. Ook de Wolff heeft hiervoor kennelijk geen oplossing. Dat ondermijnt de praktische nuttigheid van zijn betoog enigszins8.

Tabel 5: winstvoeten in de afdelingen
PerioderIrIIarIIbr
10.2500.3330.5000.307
20.2400.3310.4960.297

De Wolff heeft in ieder geval aangetoond, dat een toenemende kapitaal-intensiteit op zich het productieproces niet hoeft te verstoren. Hij erkent evenwel, dat zijn aanname van een tijdsonafhankelijke meerwaardevoet ietwat dubieus is9. Immers de ondernemers voeren de automatisering van het productieproces juist door, omdat zij de loonsom willen beteugelen. De automatisering vergroot de arbeidsproductiviteit, en daardoor zullen de loongoederen goedkoper worden. Dientengevolge kan het nominale loon (in geldwaarde) dalen, terwijl toch het reële (fysieke) loon onveranderd blijft of wellicht zelfs licht stijgt. De ondernemers zullen dan meer winst overhouden. Met andere woorden, de meerwaardevoet zal in beginsel stijgen ten gevolge van de toenemende kapitaal-intensiteit. Aangezien de Wolff deze trend heeft weggelaten uit zijn model, kan op basis daarvan niet definitief worden geconcludeerd, dat Rosa Luxemburg ongelijk had met haar stelling van de Krise in Permanenz10.

  1. Zie Het Economisch Getij (1929, J. Emmering).
  2. Tegenwoordig neemt men gewoonlijk aan, dat de loonsom pas na afloop van het productieproces wordt uitbetaald. Deze maakt dan geen deel uit van het voorschot, maar wordt voortgebracht tijdens het productieproces zelf. De loonsom wordt dan een onderdeel van de toegevoegde waarde (meerwaarde).
  3. Tegenwoordig zou men zeggen, dat de kapitaalintensiteit van de productie voortdurend toeneemt. Merk evenwel op, dat K bij Marx ook de grond- en hulpstoffen omvat. In het moderne spraakgebruik behoren die niet tot de kapitaalinvesteringen, omdat zij direct bij de verkoop van de productie al weer geheel worden terugverdiend.
  4. Zie p.385 en verder in Het Economisch Getij.
  5. In de hedendaagse economische terminologie wordt meestal de investeringsquote als maat gebruikt. Zij is de verhouding tussen de bruto investeringen en het totale product. Tegenwoordig rekent men in tegenstelling tot Marx het voorschot voor het loon, en de grond- en hulpstoffen niet tot de investeringen. Die worden namelijk direct bij de verkoop geheel terugverdiend, terwijl de investeringen in outillage (machines, panden) gedurende vele jaren moeten worden afgeschreven.
  6. Eva Müller vermeldt op p.233 en p.237 van haar boek Volkswirtschaftlicher Reproduktionsprozeβ und dynamische Modelle (1973, Verlag Die Wirtschaft) deze mogelijkheid, maar werkt haar niet uit in formules.
  7. Bij narekenen van de tabellen 2 en 3 ziet men dat de Wolff op p.394 zijn getallen enigszins ruw en onnauwkeurig heeft afgerond op natuurlijke getallen.
  8. We hebben voor een oplossing moeten wachten tot 2007, toen Andrew Kliman in zijn boek Reclaiming Marx's "Capital" (Lexington Books) zijn Temporal Single System Interpretation (TSSI) bekend maakte aan het brede publiek. De TSSI van Kliman is een model (zelf noemt hij het een exegetische interpretatie, dat wil zeggen een tekstuele verklaring van de theorie van Marx), dat berekeningen toelaat onder de aanname van de algemene winstvoet r, en daarbij tegelijk zorg draagt voor een probleemloze uitwisseling van producten tussen de afdelingen.
  9. Zie p.397 en verder in Het Economisch Getij.
  10. Toch is het wat merkwaardig, dat de Wolff deze slag om de arm houdt. Hij had namelijk zonder problemen in zijn model een grotere meerwaardevoet kunnen kiezen voor periode 2. De berekening had dan verder hetzelfde verloop gekregen als nu. Het lijkt er dus op, dat de Wolff de stelling van Rosa Luxemburg wèl heeft weerlegd.