Het dynamische groeimodel van Karl Marx

Plaatsing op Heterodox Gezelschap Sam de Wolff: 1 februari 2012

E.A. Bakkum is eindredacteur van de periodiek Sociaal Vooruit, en een betrokken PvdA lid. Hij is beroepsmatig werkzaam bij het Socialistisch Centrum, waar hij de functie van zaakwaarnemer vervult.

De economische theorie van Marx kende haar grootste bloeitijd tussen 1880 en ongeveer 1920, toen zij de intellectuele basis vormde voor de snel opkomende politieke arbeidersbeweging, Naarmate de arbeidersbeweging integreerde in de bestaande orde, distantieerde zij zich geleidelijk van de marxistische visie. In Rusland, waar de Bolsjewieken na een staatsgreep een dictatuur hadden gevestigd, verstarde de theorie van Marx tot een dogma en een staatsideologie. Tussen 1966 en 1980 maakte de theorie van Marx een wonderbaarlijke herleving mee1. Deze was meer cultureel gemotiveerd dan te danken aan nieuwe wetenschappelijke doorbraken. Er zijn minstens twee redenen aan te wijzen voor de hernieuwde belangstelling:

Op het filosofische terrein leidde de hernieuwde belangstelling voor de werken van Marx daadwerkelijk tot enige vooruitgang. De belangstelling voor de economie van Marx leidde evenwel alleen tot de publicatie van populaire werkjes, die niet verder kwamen dan het herkauwen van de traditionele kennis. In Nederland speelde de Communistische Partij hierbij een faciliterende rol, omdat zij er een bron van propaganda in zag. In wetenschappelijke kringen was de economie van Marx vrijwel geheel verdrongen door het productiemodel van Sraffa2. Deze richting duidt men ook wel aan als de neoricardiaanse theorie. Dientengevolge was men in de jaren 1965-1985 voor wat betreft de wetenschappelijke studies van de theorie van Marx geheel aangewezen op het onderzoek in de Bolsjewistische landen. Daar werd het dynamische groeimodel van Marx de basis voor allerlei modellen van economische planning.

In deze column wordt dat dynamische groeimodel van Marx nog eens uiteengezet, juist omdat die in het westen zo onbekend is gebleven. De groei krijgt bij Marx de naam uitgebreide reproductie, waarmee het onderscheiden wordt van de eenvoudige reproductie zonder groei. Het formalisme in deze column is ontleend aan een standaardboek geschreven door de Oost-Duitse econome Eva Müller3. Het groeimodel behoort in beginsel tot de categorie van vervlechtingsmodellen, die de samenhang tussen alle bedrijfstakken beschrijven. In zijn meest simpele vorm kent het model van Marx twee takken, door hem afdelingen genoemd, te weten (I) de afdeling voor de productie van productiemiddelen, en (II) de afdeling voor de productie van consumptiegoederen. Dit is macro-economisch gezien een logische uitsplitsing, die later, halverwege de twintigste eeuw, ook door J.M. Keynes en M. Kalecki in hun modellen is toegepast. Immers de afdeling I bevat juist de investeringsgoederen, die ten doel hebben om een kapitaalrendement af te werpen, en niet direct de menselijke consumptieve behoeften willen bevredigen. Voor de voorziening in de menselijke behoeften dient juist de afdeling II.

Elke afdeling produceert een bepaalde hoeveelheid product X. In het twee-afdelingen model van Marx zijn dat dus XI en XII. Men zou die grootheden kunnen uitdrukken bijvoorbeeld in fysieke hoeveelheden product, maar Marx geeft er de voorkeur aan de bestede hoeveelheid arbeidstijd (in jaren, of dagen, of uren) als maat te gebruiken. De bestede arbeidstijd werkt natuurlijk door in de waarde van het product. Voor Marx is de eenheid van arbeidstijd de universele uitdrukking van waarde, en is als zodanig leidinggevend voor de geldwaarde ervan. De arbeidswaarde van het totale product moet worden verdeeld over de diverse bij het productieproces betrokken partijen. Als we even de index van de afdeling achterwege laten, dan laat de waarde zich compact weergeven in de formule:

K + L + A + C = X     (1)

De symbolen in formule 1 hebben de volgende betekenis:

De som K+L geeft de productiekosten (P) weer, en de som A+C de bruto winst. Marx gaf aan A+C de naam meerwaarde (M). De meerwaarde is het deel van de productwaarde, dat tijdens het productieproces extra aan het product wordt toegevoegd4. De verhouding M/P van deze twee waardesommen levert de winstvoet r op. Marx hechtte bovendien veel waarde aan de verhouding M/L, die hij de meerwaardevoet noemde. De verhouding a=A/M geeft aan welk deel van de winst opnieuw wordt geïnvesteerd, en wordt door Marx de accumulatiequote genoemd5.

Het is zeker sinds de publicaties van Sraffa gebruikelijk om alle vergelijkingen te normeren op de hoeveelheid product X. Formule 1 verandert dan in

κ + λ + α + γ = 1     (2)

De grootheden κ, λ, α en γ worden de technische coëfficiënten genoemd, omdat hun waarde afhankelijk is van de gekozen productietechniek. Zij zijn formeel gedefinieerd door κ=K/X, λ=L/X, α=A/X en γ=C/X. Deze schrijfwijze is met name handig voor dynamische groeimodellen, omdat daarin het product X met de tijd zal groeien. Dit impliceert dat ook K, L, A en C afhankelijk zijn van de tijd t. Als men echter veronderstelt dat deze vier grootheden evenredig met X toenemen, dan zullen de coëfficiënten κ, λ, α en γ tijdsonafhankelijke constanten zijn. De winstvoet r en de accumulatiequote a kunnen direct worden uitgedrukt in termen van de technische coëfficiënten. Het resultaat is r = (α+γ) / (κ+λ) en a = α / (α+γ).

In dit formalisme wordt het groeigedrag van het economische systeem gegeven door de formule:

K(t+Δt) = K(t) + A(t)     (3)

De op tijdstip t geaccumuleerde waarde A wordt benut om na verloop van een periode Δt de productiemiddelen en grondstoffen uit te breiden. De formule 3 is eenvoudig omzetbaar naar een vorm met coëfficiënten:

κ(t+Δt) × X(t+Δt) / X(t) = κ(t) + α(t)     (4)

De verhouding X(t+Δt) / X(t) wordt wel de groeifactor genoemd en aangeduid met het symbool G(t). Indien κ constant is in de tijd, dan krijgt de formule 4 een simpele gedaante:

α = κ × (G - 1)     (5)

Nadat aldus de formules binnen één afdeling zijn opgesteld, kunnen wij bepalen hoe de transacties tussen de afdelingen I en II zullen verlopen. Op tijdstip t brengt afdeling I de productiemiddelen voort, die zij zelf een tijdje Δt later nodig zal hebben. Bovendien moet zij dan de productiemiddelen voortbrengen, die afdeling II nodig zal hebben op tijdstip t+Δt. Omgekeerd moet afdeling II op tijdstip t de consumptiegoederen voortbrengen, die haar arbeiders èn die van afdeling I nodig zullen hebben op tijdstip t+Δt. Immers zowel de productiemiddelen als de loongoederen moeten klaar staan bij aanvang van het productieproces. Merk hierbij op, dat in het model van Eva Müller de groei ΔLI = LI(t+Δt) - LI(t) van de loongoederen (consumptie van de arbeiders) wordt bekostigd uit de opbrengst CI. Bovendien moet afdeling II op tijdstip t ook nog de consumptiegoederen ten behoeve van de kapitaaleigenaren in afdeling I voortbrengen, en eveneens ten behoeve van de belastingen in afdeling I. Deze worden evenwel niet voorgeschoten. Met andere woorden, de afdelingen I en II moeten een deel van hun productie zodanig ruilen, dat KII(t+Δt) gelijk is aan LI(t) + CI(t). In termen van de technische coëfficiënten wordt dit

κII(t+Δt) × GII(t) × XII(t) = (λI(t) + γI(t)) × XI(t)     (6)

Met formule 6 is het groeimodel van Marx voltooid, en staat alles gereed om concrete berekeningen uit te voeren6.

Het is instructief om een voorbeeld door te rekenen, dat Marx zelf gebruikte in band 2 van zijn boek Das Kapital7. De getallen zijn weegegeven in tabel 1. De kenmerken van het rekenvoorbeeld worden snel duidelijk, wanneer men de grootheden omrekent naar de technische coëfficiënten. Dan blijkt namelijk, dat Marx heeft verondersteld dat voor alle periodes de coëfficiënten constanten zijn. Hun waarden zijn weergegeven in tabel 2.

Tabel 1: voorbeeld van uitgebreide reproductie
Bron: Das Kapital band 2
PeriodeKILIAICIXIKIILIIAIICIIXII
144001100440660660016008001606403200
248401210484726726017608801767043520


Tabel 2: technische coëfficiënten in het voorbeeld
κIλIαIγIκIIλIIαIIγII
0.66670.16670.06670.10000.50000.25000.05000.2000

In dit geval van constante coëfficiënten zijn de berekeningen van de groei relatief eenvoudig. Van belang is uiteraard de groeifactor G in de beide afdelingen, die direct kan worden berekend uit formule 5. Er blijkt dat GI en GII dezelfde waarde hebben, te weten 1.1. De economie groeit in elke periode met 10%. In een dergelijk geval spreekt men van proportionele groei, omdat de economie expandeert zonder dat de economische structuur verandert. De accumulatiequotes zijn aI=0.4 en aII=0.2. De winstvoeten blijken rI=0.2 en rII=0.3333 te zijn. Hierbij moet worden aangetekend, dat er volgens de theorie van Marx niet permanent verschillende winstvoeten kunnen bestaan in de diverse economische takken. Dientengevolge is zijn rekenvoorbeeld kennelijk bedoeld als een academische vingeroefening. Overigens is de meerwaardevoet wel hetzelfde in allebei de afdelingen, namelijk 1.

Het economische systeem kan alleen bestaan, indien is voldaan aan de ruilvoorwaarde van formule 6. Deze schrijft voor, dat XII/XI de verhouding 0.4849 moet hebben. Tabel 1 laat zien, dat dit inderdaad geldt voor periode 1. Wegens de proportionele groei zal die verhouding in alle volgende perioden onveranderd blijven. Men kan zich natuurlijk ook een geval voorstellen, waarin sommige technische coëfficiënten wèl tijdsafhankelijk zijn. Marx geeft daarvan een rekenvoorbeeld in de reeds genoemde pagina's van band 2 van Das Kapital. Het wordt hier samengevat in tabel 3.

Tabel 3: voorbeeld van uitgebreide reproductie
Bron: Das Kapital band 2
PeriodeKILIMIXIKIILIIMIIXII
0400010001000600015007507503000
1440011001100660016008008003200


De tabel maakt direct duidelijk, dat in periode 0 de groeifactoren GI en GII verschillend zijn. GII is nu geen 1.1, maar slechts 1.067. Dit betekent dat de technische coëfficiënten in periode 1 een andere waarde krijgen dan in periode 0, met als consequentie dat formule 5 niet opgaat. Wel kan men formule 4 gebruiken om αI(t), en αII(t) te berekenen uit de reeds bekende waarden κI(t), GI(t), κII(t) en GII(t). Merk hierbij op, dat κI(t) en κII(t) in alle perioden 0, 1, 2, ... constant blijven. Er volgt dat αI(0) = 0.0667 en αII(0) = 0.0333. Door te vergelijken met tabel 2 ziet men, dat in periode 0 dezelfde αI geldt, maar dat αII kleiner is dan in periode 1. Gedurende periode 0 wordt in afdeling I een waarde AI=400 geaccumuleerd, en in afdeling II een waarde AII=100. Hieruit volgt direct, dat gedurende periode 0 γI=0.1 en γI=0.2167. Daarmee is de technische structuur gedurende periode 0 geheel vastgelegd.

Het totale rekenvoorbeeld van Marx laat kennelijk in periode 0 eerst een disproportionele groei zien, waarna in alle volgende perioden de groei proportioneel wordt. In periode 0 kon het traject van proportionele groei alleen bereikt worden door even de afdeling II langzamer te laten groeien dan de afdeling I. Een alternatieve interpretatie is, dat men op de lange termijn het consumptieve aanbod kan vergroten door tijdelijk de afdeling I sneller te laten groeien dan afdeling II. De groei van afdeling I zal maximaal zijn, wanneer afdeling II niet groeit, en dus geen extra machines nodig heeft. Afdeling I kan dan al haar extra geproduceerde machines geheel voor zichzelf behouden.

  1. Een willekeurige greep uit de veelheid van publicaties: De actualiteit van Marx (1965, Kruseman) onder redactie van G. Harmsen, De jonge Marx (1962, Veenman en Zonen) door B. Delfgaauw, Karl Marx (1975, Uitgeverij Ankh-Hermes) door H. van Praag, of De visie van Marx (1975, Boom) door R.C. Kwant.
  2. Het standaardwerk van P. Sraffa is Production of Commodities by Means of Commodities (1960, Cambridge University Press).
  3. Zie hoofdstuk 9 in Volkswirtschaftlicher Reproduktionsprozeβ und dynamische Modelle (1973, Verlag Die Wirtschaft) door Eva Müller.
  4. Tegenwoordig neemt men gewoonlijk aan, dat de loonsom pas na afloop van het productieproces wordt uitbetaald. Deze maakt dan geen deel uit van het voorschot, maar wordt voortgebracht tijdens het productieproces zelf. De loonsom wordt dan een onderdeel van de toegevoegde waarde (meerwaarde).
  5. De verhouding A/K noemt men de accumulatievoet. In de hedendaagse economische terminologie wordt meestal de investeringsquote als maat gebruikt. Zij is de verhouding tussen de bruto investeringen en het totale product. Tegenwoordig rekent men in tegenstelling tot Marx het voorschot voor grondstoffen en dergelijke niet tot de investeringen. Grondstoffen en dergelijke worden namelijk direct bij de verkoop geheel terugverdiend, terwijl de investeringen in outillage (machines, panden) gedurende vele jaren moeten worden afgeschreven.
  6. Wellicht is de evenwichtsvergelijking 6 voor de lezer wat moeilijk te doorzien. Dit komt doordat Eva Müller in haar formules de grootheid C heeft ingevoerd. Zij vindt dat handig, omdat C in de socialistische economie een belangrijke plangrootheid is. In feite was de oorspronkelijke evenwichtsvergelijking van Marx evenwel helderder. Marx constateert simpelweg, dat afdeling I op tijdstip t alle productiemiddelen voor de volgende periode voorbrengt. Dientengevolge geldt de identiteit KI(t+Δt) + KII(t+Δt) = XI(t) = KI(t) + LI(t) + MI(t). Dat wil zeggen, KII(t+Δt) = LI(t) + MI(t) - ΔKI(t). Merk op, dat ΔKI(t) simpelweg een andere schrijfwijze is van de waarde AI(t) voor accumulatie. Aldus komt Marx uit op de evenwichtsvergelijking KII(t+Δt) = LI(t) + MI(t) × (1-aI(t)), waarin a de accumulatiequote is. Deze formule is wezenlijk hetzelfde als formule 6, en kan daarom eveneens als basis dienen voor de berekeningen met technische coëfficiënten. De grootheid C blijft dan buiten beeld. Voor wie Marx tot op de letter nauwkeurig wil volgen, vermelden wij nog dat hij de zojuist vermelde ruilformule eigenlijk weergeeft in de vorm KII(t+Δt) = LI(t+Δt) + MI(t) - (ΔKI(t) + ΔLI(t)). Dit laat zich herschrijven tot KII(t+Δt) = LI(t+Δt) + MI(t) × (1-bI(t)). Met andere woorden, Marx gebruikt eigenlijk de accumulatiequote b(t), die de accumulatie in zowel de productiemiddelen als de loonsom vertegenwoordigt. Marx behandelt de productiemiddelen en de lonen op gelijke voet, omdat zij allebei productiekosten representeren.
  7. Zie p.505 van Das Kapital band 2 (1974, Dietz Verlag) door K.H. Marx en F. Engels.